Intégrales convergentes

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1 Universié Joseph Fourier, Grenoble Mhs en Ligne Inégrles convergenes L plupr des inégrles que vous renconrerez ne son ps des ires de domines bornés du pln. Nous llons pprendre ici à clculer les inégrles de domines non bornés, soi prce que l inervlle d inégrion es infini, soi prce que l foncion à inégrer end vers l infini u bornes de l inervlle. Pour ssimiler ce chpire, vous vez juse besoin d une peie révision des echniques de clcul des primiives, e d une bonne compréhension de l noion de limie. Tble des mières Cours. Définiions e propriéés Foncions posiives, inervlle non borné Foncions posiives, inervlle borné Foncions oscillnes, inervlle non borné Foncions oscillnes, inervlle borné Pln d éude Eemples Enrînemen 9. Vri ou fu Eercices QCM Devoir Corrigé du devoir Complémens L pédgogie des sourds-mues Un our de psse-psse d Euler L courbe de Guss mi

2 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Cours. Définiions e propriéés Nore bu dns ce chpire es de clculer des inégrles sur des inervlles non bornés (lln jusqu à + ou ), ou bien des inégrles sur un domine borné, de foncions yn une limie infinie en un poin de l inervlle d inégrion. Si on se réfère à l inerpréion inuiive d une inégrle comme l surfce d un domine dns le pln, dns les deu cs nous cherchons à clculer des surfces de domines non bornés. Considérons pr eemple l foncion f qui à R ssocie f() = 3/ sin() : son grphe es représené sur l figure. Commen donner un sens à l inégrle de f.5 y y= ^( 3/) sin() Figure Grphe de l foncion 3/ sin(). sur R? Nous souhions une définiion qui respece les propriéés de bse que son l relion de Chsles, l linérié e l monoonie. On commence d bord pr idenifier les poins incerins, soi ± d une pr, e d ure pr le ou les poins u voisinge desquels l foncion n es ps bornée ( = dns nore eemple). On découpe ensuie l inervlle d inégrion en un d inervlles qui fu pour que chcun d eu ne conienne qu un seul poin incerin, plcé à l une des deu bornes. L relion de Chsles impose que l inégrle sur l inervlle comple soi l somme des inégrles sur les inervlles du découpge. Dns l eemple de l foncion f() = 3/ sin() ci-dessus, il fu découper en 4 sous-inervlles : pour isoler e +, e ures pour le poin incerin. On pourr écrire pr eemple : f() d = f() d + f() d + f() d + f() d. Le seul bu es d isoler les difficulés : les choi de e comme poins de découpge son rbirires (pr eemple 3 e urien convenu ou ussi bien). Pr ce découpge, on se rmène à des inégrles de 4 ypes.

3 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble. inégrle sur ], ],. inégrle sur [, + [, 3. inégrle sur ], b], foncion non bornée en, 4. inégrle sur [, b[, foncion non bornée en b, Le chngemen de vrible perme de réduire ces 4 cs à seulemen. En effe : b f() d = f() d = b f( u) du, f( u) du. Nous devons donc définir l inégrle dns deu cs disincs. Définiion.. Soi f une foncion coninue sur [, + [. On di que l inégrle f() d converge si l limie qund end vers + de l primiive f() d eise. Si c es le cs, on pose : f() d = Dns le cs conrire, on di que l inégrle diverge. lim + f() d. (). Soi f une foncion coninue sur ], b]. On di que l inégrle b f() d converge si l limie à droie qund end vers de b f() d eise. Si c es le cs, on pose : b b f() d = lim f() d. () + Dns le cs conrire, on di que l inégrle diverge. Observons que l deuième définiion es cohérene vec les propriéés de l inégrle d une foncion coninue : si l foncion f es coninue sur [, b] ou enier, lors b f() d es une foncion de coninue en, e () es vérifié. Dns f() d, l borne de guche de l inervlle d inégrion n ps d influence sur le comporemen de l inégrle. Supposons f coninue sur [, + [ e choisissons un réel >. Pr l relion de Chsles, Comme si celle de f() d = f() d + f() d f() d ne dépend ps de, l limie de f() d eise si e seulemen f() d eise ussi. L convergence d une inégrle ne dépend donc ps du comporemen de l foncion sur des inervlles bornés, mis seulemen de son comporemen u voisinge de +.

4 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Si f n es ps bornée u voisinge de, l convergence de b f() d ne dépend ps de b, pour l même rison : elle ne dépend que du comporemen de f u voisinge de. Le résul suivn es une conséquence immédie de l linérié des inégrles e des limies. Proposiion.. Soien f e g deu foncions coninues sur [, + [, e α, β deu réels. Si les inégrles f() d e g() d convergen, lors αf() + βg() d converge e αf() + βg() d = α f() d + β g() d.. Soien f e g deu foncions coninues sur ], b], e α, β deu réels. Si les inégrles b f() d e b g() d convergen, lors b αf() + βg() d converge e b b b αf() + βg() d = α f() d + β g() d. Qund on peu clculer une primiive de l foncion à inégrer, l éude de l convergence se rmène à un clcul de limie. Voici plusieurs eemples. L inégrle En effe, d converge. + [ ] + d = rcn() = rcn() e lim rcn() = π +. On pourr écrire : [ ] + + d = rcn() = π, [ ] + à condiion de se souvenir que rcn() désigne une limie en +. Pr conre, l inégrle En effe, d diverge. + [ ] + d = ln( + ) = ln( + ) e lim ln( + ) = +. + L inégrle ln() d converge. 3

5 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble En effe, ln() d = On pourr écrire : Pr conre, l inégrle En effe, [ ] ln() = ln() e lim +( ln() ) = ln() d = [ ] ln() =. d diverge. [ ] d = ln() = ln() e lim ln() = +. () (b) (c) (d) Figure Différens ypes d inégrles : () inervlle non borné, foncion de signe consn ; (b) inervlle borné, foncion de signe consn ; (c) inervlle non borné, foncion de signe non consn ; (d) inervlle borné, foncion de signe non consn. Qund on ne si ps clculer une primiive, on recours à deu ypes de méhodes, selon que l foncion es ou non de signe consn u voisinge du poin incerin. Il y donc 4 cs disincs, selon le ype du poin incerin, e le signe, consn ou non, de l foncion à inégrer. Ces 4 ypes son schémisés dns l figure e leur éude fi l obje des secions suivnes. 4

6 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble. Foncions posiives, inervlle non borné Nous considérons ici f() d, où f es de signe consn u voisinge de +. Quie à réduire l inervlle d inégrion, e à chnger évenuellemen le signe de f s il es négif, nous pouvons supposer que l foncion es posiive ou nulle sur l inervlle d inégrion [, + [ (figure 3). Rppelons que pr définiion, () Figure 3 Inégrle d une foncion posiive sur un inervlle non borné. f() d = lim f() d. + Observons que si l foncion f es posiive, lors l primiive f() d es une foncion croissne de (cr s dérivée es f()). Qund end vers l infini, soi f() d es bornée, e l inégrle f() d converge, soi f() d end vers +. Si on ne peu ps (ou si on ne veu ps) clculer une primiive de f, on éudie l convergence en comprn vec des inégrles don l convergence es connue, grâce u héorème suivn. Théorème. Soien f e g deu foncions posiives e coninues sur [, + [. Supposons que f soi mjorée pr g u voisinge de + : A, > A, f() g(). Si g() d converge lors f() d converge. Si f() d diverge lors g() d diverge. Démonsrion : Comme nous l vons observé, l convergence des inégrles ne dépend ps de l borne de guche de l inervlle, e nous pouvons nous conener d éudier A f() d e A g() d. Or en uilisn l monoonie des inégrles, on obien que pour ou > A : f() d g() d. A 5 A

7 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Si A g() d converge, lors A f() d es une foncion croissne e mjorée pr A g() d, donc convergene. Inversemen, si A f() d end vers +, lors A g() d end vers + églemen. Comme pplicion ypique du héorème de comprison des inégrles, nous llons monrer que l inégrle pour ou réel α. Pour cel nous écrivons : On si que α e d converge, α e = α e / e /. lim + α e / =, pour ou α (l eponenielle l empore sur les puissnces de ). En priculier, il eise un réel A > el que : > A, α e /. En muliplin les deu membres de l inéglié pr e / on obien : > A, α e e /. Or l inégrle e / d converge. En effe : e / d = [ e /] = e / e / e lim + e / e / = e /. On peu donc ppliquer le héorème de comprison : puisque e / d converge, on en dédui que α e d converge ussi. Grâce u héorème de comprison, on peu remplcer l foncion à inégrer pr un équivlen u voisinge de + pour éudier l convergence d une inégrle. Théorème. Soien f e g deu foncions coninues e posiives sur [, + [, équivlenes u voisinge de + : f() lim + g() =. L inégrle f() d converge si e seulemen si g() d converge. Démonsrion : Dire que deu foncions son équivlenes u voisinge de +, c es dire que le rppor end vers, ou encore : ε >, A, > A, 6 f() g() < ε,

8 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble soi encore : ε >, A, > A, ( ε)g() < f() < ( + ε)g(). Fions ε <, e ppliquons le héorème de comprison sur l inervlle [A, + [. Si l inégrle A f() d converge, lors l inégrle A ( ε)g() d converge, donc l inégrle A g() d ussi pr l linérié (proposiion ). Inversemen, si A f() d diverge, lors A (+ε)g() d diverge, donc A g() d diverge ussi. Pr eemple, l inégrle En effe, e d converge e e, e nous vons déjà monré que l inégrle e d converge. L uilision des équivlens perme insi de rmener l éude de l convergence d une inégrle pour lquelle on n ps de primiive, à un clogue d inégrles don l convergence es connue. Les plus clssiques son les inégrles de Riemnn e de Berrnd. Inégrles de Riemnn : α d, où α es un réel sricemen posiif. Dns ce cs, l primiive es eplicie : α d = lim + lim + [ α + α+ [ ] ln() ] si α si α = On en dédui immédiemen l nure (convergene ou divergene) des inégrles de Riemnn. Si α α d diverge, si α > α d converge. Inégrles de Berrnd : (ln()) β d, où β es un réel sricemen posiif. L primiive es eplicie : (ln()) β d = lim + lim + [ β + (ln()) β+ [ ] ln(ln()) ] si β si β = 7

9 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble On en dédui l nure (convergene ou divergene) des inégrles de Berrnd. Si β si β > (ln()) β d diverge, (ln()) β d converge. Voici un eemple d pplicion : ( ( )) ( ) + 3 ln cos sin d converge. ln() Pour le démonrer, clculons un équivlen de l foncion u voisinge de = ln (cos( ) ( ) = ln + o( ) ) +. ( ) ( ) sin. ln() + ln() D où un équivlen de l foncion u voisinge de + : + 3 ln (cos( ) ( ) ) sin ln() + (ln()). Remrquons que l foncion es négive u voisinge de +, ce qui ne chnge ps l nure de l inégrle. D près le héorème, l inégrle proposée es de même nure que l inégrle de Berrnd (ln()) d, donc convergene..3 Foncions posiives, inervlle borné Nous rions ici le cs où l foncion à inégrer end vers l infini en l une des bornes de l inervlle d inégrion. Le riemen es ou à fi nlogue u cs précéden. Quie à réduire l inervlle d inégrion, e à chnger évenuellemen le signe de f, nous pouvons supposer que l foncion es posiive ou nulle sur l inervlle d inégrion ], b], e end vers + en (figure ). Rppelons que pr définiion, b b f() d = lim f() d. + Observons que si l foncion f es posiive, lors b f() d croî qund décroî vers : soi b f() d es bornée, e l inégrle b f() d es convergene, soi b f() d end vers +. Si on ne peu ps (ou si on ne veu ps) clculer une primiive de f, on éudie l convergence en comprn vec des inégrles don l convergence es connue, grâce u héorème suivn. 8

10 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble (b) Figure 4 Inégrle d une foncion posiive non bornée. Théorème 3. Soien f e g deu foncions posiives e coninues sur ], b]. Supposons que f soi mjorée pr g u voisinge de : ε, ], + ε], f() g(). Si b g() d converge lors b f() d converge. Si b f() d diverge lors b g() d diverge. Démonsrion : Comme nous l vons observé, l convergence des inégrles ne dépend ps de l borne de droie de l inervlle, e nous pouvons nous conener d éudier +ε f() d e +ε g() d. Or en uilisn l monoonie des inégrles, on obien que pour ou ], + ε] : +ε f() d +ε g() d. Si +ε g() d converge, lors +ε f() d croî qund décroî vers e es mjorée pr +ε g() d, elle converge donc. Inversemen, si +ε f() d end vers +, lors +ε g() d end vers + églemen. Voici une pplicion ypique du héorème de comprison des inégrles 3. Nous llons monrer que l inégrle ( ln()) α pour ou réel α. Pour cel nous écrivons : d converge, ( ln()) α = (( ln()) α /4 ) 3/4. On si que lim ln()α /4 =, + 9

11 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble pour ou α (les puissnces de l emporen sur le logrihme). En priculier, il eise un réel ε > el que : ], ε], ( ln()) α /4. En muliplin les deu membres de l inéglié pr 3/4 on obien : ], ε], ( ln()) α 3/4. Or l inégrle 3/4 d converge. En effe : 3/4 d = [ 4 /4 ] = 4 4 /4 e lim +(4 4/4 ) = 4. On peu donc ppliquer le héorème de comprison 3 : puisque 3/4 d converge, on en dédui que d converge ussi. ( ln()) α Grâce u héorème de comprison 3, on peu remplcer l foncion à inégrer pr un équivlen u voisinge de pour éudier l convergence d une inégrle. Théorème 4. Soien f e g deu foncions coninues e sricemen posiives sur ], b], équivlenes u voisinge de : f() lim + g() =. L inégrle b f() d converge si e seulemen si b g() d converge. Démonsrion : Dire que deu foncions son équivlenes u voisinge de, c es dire que le rppor end vers, ou encore : f() ε >, η, ], + η], g() < ε, soi encore : ε >, η, ], + η], ( ε)g() < f() < ( + ε)g(). Fions ε >, e ppliquons le héorème de comprison 3 sur l inervlle ], + η]. Si l inégrle +η f() d converge, lors l inégrle +η ( ε)g() d converge, donc l inégrle +η g() d ussi pr l linérié (proposiion ). Inversemen, si +η f() d diverge, lors +η ( + ε)g() d diverge, donc +η g() d diverge ussi. Pr eemple, l inégrle ln() + d converge. sin()

12 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble En effe, ln() + sin() ( ln()) /, + ( ln()) / e nous vons déjà monré que l inégrle d converge. L uilision des équivlens perme insi de rmener l éude de l convergence d une inégrle pour lquelle on n ps de primiive, à un clogue d inégrles don l convergence es connue. Les plus clssiques son du ype α d, mis enion, l convergence en foncion du prmère α es inversée pr rppor u inégrles de Riemnn. Si α < α d converge, si α α d diverge..4 Foncions oscillnes, inervlle non borné Nous considérons ici f() d, où f() oscille jusqu à l infini enre des vleurs posiives e négives (figure 5). L définiion de l convergence rese l même. (c) Figure 5 Inégrle d une foncion oscillne sur un inervlle non borné. f() d = lim f() d. + Conriremen u cs des foncions posiives, où l limie éi soi finie, soi égle à +, ous les comporemens son possibles ici : les vleurs de f() d peuven endre vers une limie finie, vers + ou ou bien encore osciller enre deu vleurs finies (comme sin() d), ou s pprocher lernivemen de + e (comme sin() d). Le cs le plus fvorble es celui où l vleur bsolue de f converge.

13 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Définiion. Soi f une foncion coninue sur [, + [. On di que bsolumen convergene si f() d converge. f() d es Le héorème suivn es souven uilisé pour démonrer l convergence d une inégrle. Mlheureusemen, il ne perme ps de clculer l vleur de cee inégrle. Théorème 5. Si l inégrle f() d es bsolumen convergene, lors elle es convergene. Démonsrion : Rppelons l définiion : f() d converge si e seulemen si f() d converge. Posons F () = f() d. Nous llons démonrer que, pour oue suie ( n ) n N, endn vers l infini, l suie (F ( n )) n N es une suie de Cuchy. Sns pere de générlié, nous pouvons supposer que l suie ( n ) n N es sricemen croissne. Pr l relion de Chsles, pour ou couple d eniers (n, m) vec n < m : F ( m ) F ( n ) = m n f() d m f() d Or pr hypohèse, l inégrle f() d converge. On en dédui que l suie de erme générl n f() d converge : c es donc une suie de Cuchy. Pour ou ε >, il eise n el que pour m > n > n, F ( m ) F ( n ) m n n f() d < ε. L suie (F ( n )) n N es une suie de Cuchy, donc elle converge. Puisque c es vri pour oue suie ( n ) n N endn vers l infini, l foncion F () dme une limie en +, d où le résul. Pr eemple, donc convergene. En effe pour ou, sin() d es bsolumen convergene, sin(). Or l inégrle de Riemnn d es convergene. D où le résul pr le héorème de comprison. Pr conre, sin() d n es ps bsolumen convergene. Voici un moyen de le vérifier. Comme sin() pour ou, on : sin() sin () = cos().

14 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble En ppliqun une inégrion pr pries à cos(), on obien : sin() cos() d = [ ] ln() + [ sin() ] + sin() Or d converge bsolumen, comme nous venons de le voir. Des 3 ermes de l somme ci-dessus, les deu derniers convergen, le premier end vers +. Donc l inégrle diverge, e pr le héorème de comprison, l inégrle sin() d diverge églemen. Il se rouve que sin() d converge. Pour le monrer, effecuons une inégrion pr pries : sin() d = [ cos() ] cos() d. L foncion cos() end vers (cr cos() es borné e end vers ). Pr comprison vec l inégrle de Riemnn d, on monre que l inégrle cos() d es bsolumen convergene, donc convergene. Pr conséquen, sin() d converge. Pour monrer qu une inégrle converge qund elle n es ps bsolumen convergene, on dispose du héorème suivn, di héorème d Abel. Théorème 6. Soi f une foncion coninûmen dérivble sur [, + [, posiive, décroissne, yn une limie nulle en +. Soi g une foncion coninue sur [, + [, elle que l primiive g() d soi bornée. Alors l inégrle f() g() d converge. Démonsrion : C es une générlision de l eemple précéden. Pour ou, posons G() = g() d. Pr hypohèse, G es bornée, donc il eise M el que pour ou, G() M. Effecuons minenn une inégrion pr pries. f() g() d = [ ] f() G() f () G() d. Comme G es bornée e f end vers, le premier erme converge. Monrons minenn que le deuième converge ussi, en vérifin que d. On : f () G() d es bsolumen convergene. f () G() = f () G() ( f ()) M, 3

15 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble cr f es décroissne (donc f () ) e G es bornée pr M. Pr le héorème de comprison, il suffi donc de monrer que f () d es convergene. Or : f () d = f() f() e lim (f() f()) = f(). + Comme eemple d pplicion, si α es un réel sricemen posiif, e k un enier posiif impir, lors l inégrle sin k () α d converge. Remrquons que cee inégrle n es bsolumen convergene que pour α >. On vérifie que les hypohèses du héorème 6 son sisfies pour f() = α e g() = sin k (). Pour s ssurer que l primiive de sin k es bornée, il suffi de penser à une linérision, qui rnsformer sin k () en une combinison linéire des sin(h), h =... k, don l primiive ser oujours bornée..5 Foncions oscillnes, inervlle borné Le dernier cs à rier es celui où l foncion à inégrer oscille u voisinge d une des bornes, prenn des vleurs rbiriremen proches de + e (figure 6). Le (d) Figure 6 Inégrle d une foncion posiive non bornée. chngemen de vrible u = /( ) perme de se rmener u cs précéden, ce qui nous dispenser de donner un de déils. Rppelons que pr définiion, b b f() d = lim f() d. + L noion imporne es oujours l convergence bsolue. 4

16 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Définiion 3. Soi f une foncion coninue sur ], b]. On di que b f() d es bsolumen convergene si b f() d es une inégrle convergene. Nous dmerons le héorème suivn, qui se démonre de l même fçon que le héorème 5. Théorème 7. Si l inégrle b f() d es bsolumen convergene, lors elle es convergene. Pr eemple, sin(/) d es bsolumen convergene, donc convergene. En effe pour ou, sin(/). Or l inégrle / d converge. D où le résul pr le héorème de comprison 3. Pr conre, sin(/) d n es ps bsolumen convergene, mis elle es convergene. Pour le voir, effecuons le chngemen de vrible /u. sin(/) d = / u sin(u) / u du = sin(u) du. u Nous vons déjà monré que l inégrle du es convergene sns êre bsolumen convergene. On pourri énoncer un héorème d Abel nlogue u héorème 6, mis cel n es ps vrimen uile. D une pr les foncions uquelles il s ppliqueri se renconren rremen, d ure pr, il es en générl fcile de se rmener à un problème sur [c, + [, sin(u) u pr le chngemen de vrible u = /( ) : nous l vons déjà fi pour.6 Pln d éude sin(/) Nous résumons ici l ensemble des echniques vues dns ce chpire pour l éude de l inégrle d une foncion f sur un inervlle non borné de R, l foncion én évenuellemen non bornée u voisinge d un ou plusieurs poins de l inervlle. Pour illusrer le pln d éude, nous déillerons l eemple inroducif : I = 3/ sin() d.. Idenifier le ou les poins incerins L foncion 3/ sin() es impire, elle end vers en oscilln qund end vers e +, elle end vers en e vers + en + (cf. figure ). Il y donc 4 poins incerins à éudier. 5 d.

17 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble. Isoler les poins incerins Pour cel, il fu découper l inervlle d éude en un de sous-inervlles qu il y de poins incerins, de mnière à ce que les problèmes soien ous siués sur une borne de chque inervlle. Dns nore eemple, on diviser en 4 inervlles. I = I 3 = 3/ sin() d, I = 3/ sin() d, I 4 = 3/ sin() d, 3/ sin() d, Chcune des inégrles obenues doi êre éudiée séprémen. L inégrle I n es définie que si chcun des morceu converge. 3. Se rmener à une inégrle sur [, + [ ou sur ], b] Pour cel, il suffi d effecuer le chngemen de vrible. Dns nore cs, puisque l foncion es impire, I = I 4 e I = I Clculer une primiive si c es possible Ayn une primiive, le problème es rmené à un clcul de limie (définiion ). Si on n ps de primiive eplicie, lors : 5. Si l foncion es de signe consn Chnger évenuellemen le signe pour se rmener à une foncion posiive. Clculer un équivlen u voisinge du poin incerin e uiliser le héorème ou 4. Si l équivlen ne donne ps l réponse direcemen, uiliser le héorème de comprison ou 3. Dns nore eemple, l inégrle I 3 es celle d une foncion posiive, endn vers + en +. 3/ sin() + /. Or l inégrle / d converge, donc I 3 converge. 6. Si l foncion n es ps de signe consn Commencer pr éudier l inégrle de f, comme dns le cs précéden (équivlen ou comprison). Si elle converge, l inégrle éudiée es bsolumen convergene, donc convergene. Si l inégrle n es ps bsolumen convergene, il fu essyer de mere l foncion sous forme d un produi pour ppliquer le héorème d Abel 6. Dns nore eemple, l inégrle I 4 es bsolumen convergene : on le dédui du héorème de comprison, cr 3/ sin() 3/, e l inégrle de Riemnn 3/ d es convergene. On pourri ussi ppliquer le héorème d Abel 6 vec f() = 3/ e g() = sin(). 6

18 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble.7 Eemples Comme eemple d inégrles don l primiive es epliciemen clculble, observons que l on peu générliser les inégrles de Riemnn e de Berrnd. Si γ si γ > 3 Pour des inégrles u voisinge de : 3 Si β si β > (ln()) (ln(ln())) γ d diverge, (ln()) (ln(ln())) γ d converge. / / ( ln()) β d diverge, ( ln()) β d converge. Voici minenn des pplicions des héorèmes de comprison e 3. L idée inuiive à reenir es l suivne. Qund une foncion es un produi de plusieurs foncions du ype eponenielle, puissnces de, puissnces de logrihmes, l une de ces foncions l empore sur les ures : l eponenielle l empore sur les puissnces de e les puissnces de l emporen sur le logrihme. Dns les eemples suivns, α, β, γ, δ désignen des réels sricemen posiifs. Les inégrles suivnes son convergenes. e α β d, e α β (ln()) γ d, e α β (ln()) γ sin() δ d. L démonsrion es l même que pour α e d. Nous en rppelons le principe, en le générlisn. Proposiion. Soien α e α deu réels els que < α < α. Soi f une foncion coninue sur [, + [ elle que e (α α ) f() soi bornée. Alors l inégrle e α f() d es bsolumen convergene. Démonsrion : Pr hypohèse, il eise M el que pour ou >, En muliplin pr e α, on obien e (α α ) f() M. e α f() e α M. D où le résul pr le héorème de comprison, puisque e α d converge. Le même risonnemen vu qund c es une puissnce de qui es dominne. Pr eemple, pour ou α > e pour ou β, α (ln()) β d converge. 7

19 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Proposiion 3. Soien α e α deu réels els que < α < α e soi f une foncion elle que (α α ) f() soi bornée. Alors l inégrle α f() d es bsolumen convergene. Démonsrion : Pr hypohèse, il eise M el que pour ou >, En muliplin pr α, on obien (α α ) f() M. α f() α M. D où le résul pr le héorème de comprison, puisque α d converge. 8

20 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Enrînemen. Vri ou fu Vri-Fu. Soi f une foncion définie e coninue sur R. Prmi les ffirmions suivnes lesquelles son vries, lesquelles son fusses e pourquoi?. Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors son inégrle sur R converge.. Si l inégrle de f sur R converge, lors son inégrle sur [, + [ converge. 3. Si f es une foncion pire, lors son inégrle sur R converge si e seulemen si son inégrle sur [, + [ converge. 4. Si l inégrle de f sur R + converge, lors son inégrle sur [, + [ converge. 5. Si f() end vers qund end vers + lors son inégrle sur [, + [ converge. 6. Si l inégrle de f sur R converge, lors f() end vers qund end vers Si f() end vers l qund end vers +, lors son inégrle sur [, + [ diverge. 8. Si l inégrle de f sur [, ] es une foncion bornée de, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. 9. Si f es posiive e si l inégrle de f sur [, ] es une foncion bornée de, lors l inégrle de f sur [, + [ converge.. Si pour ou, f(), lors l inégrle de f sur [, + [ converge.. Si f es posiive e si pour ou, f(), lors l inégrle de f sur [, + [ converge.. Si f es posiive e si pour ou e, f() (ln()), lors l inégrle de f sur [, + [ converge. 3. Si f es posiive e si pour ou, f() 4, lors l inégrle de e / f() sur [, + [ converge. 4. Si pour ou, f() 4, lors l inégrle de e / f() sur R converge. 5. Si pour ou R, f() e, lors l inégrle de e f() sur R converge. Vri-Fu. Soi f une foncion définie e coninue sur ], ]. Prmi les ffirmions suivnes lesquelles son vries, lesquelles son fusses e pourquoi?. Si f() end vers l qund end vers, lors son inégrle sur ], ] diverge.. Si l inégrle de f sur ], ] converge, lors l inégrle de f sur ], ] converge. 3. Si l inégrle de f sur [, ] es une foncion bornée de lors l inégrle de f sur ], ] converge. 9

21 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble 4. Si pour ou ], ], f() e si l inégrle de f sur [, ] es une foncion bornée de lors l inégrle de f sur ], ] converge. 5. Si l inégrle de f sur ], ] converge, lors l inégrle de /f sur [, + [ converge. 6. L inégrle de f sur ], ] converge si e seulemen si l inégrle de l foncion f( ) sur [, + [ converge. 7. Si pour ou ], ], f(), lors l inégrle de f sur ], ] converge. 8. Si pour ou ], ], f(), lors l inégrle de f sur ], ] converge. Vri-Fu 3. Soi f une foncion définie e coninue sur R. Prmi les ffirmions suivnes lesquelles son vries, lesquelles son fusses e pourquoi?. Si f() end vers qund end vers l infini, lors l inégrle de sin()f() sur [, + [ converge.. Si pour ou >, f(), lors l inégrle de sin()f() sur [, + [ converge. 3. Si f() es décroissne e si s limie en + es nulle, lors l inégrle de sin ()f() sur [, + [ converge. 4. Si f() es décroissne e si s limie en + es nulle, lors l inégrle de sin()f() sur [, + [ converge. 5. Si l inégrle de e i f() sur [, + [ converge, lors l inégrle de sin()f() sur [, + [ converge. 6. Si l inégrle de sin()f() sur [, + [ converge, lors l inégrle de e i f() sur [, + [ converge. Vri-Fu 4. Les inégrles suivnes convergen : vri ou fu e pourquoi? sin( ). rcn() d.. sin ( ) d cos ( ) d. 4 + e d. (e + 4 ) e d. (e + 4 ) e d. (e + 4 ) e d. Vri-Fu 5. Les inégrles suivnes convergen : vri ou fu e pourquoi?

22 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble / / / sin() n () d. sin() ( n()) d. 3 sin ( ) d. 3 n ( 3 ) 7 ln( ) d. cos ( 3 ) (ln( d. )) sin ( 3 ) 7 (ln( d. )) Vri-Fu 6. Prmi les inégrles suivnes convergen, mis ne son ps bsolumen convergenes : vri ou fu e pourquoi? sin 3 ( ). d. sin ( ). d. sin 3 ( ) 3. d sin() ln() d. sin() (ln()) 3 d. sin () (ln()) 3 d. sin () ( ln()) 3 d. Vri-Fu 7. Les inégrles suivnes convergen mis ne son ps bsolumen convergenes : vri ou fu e pourquoi?.. 3. sin( ) rcn() d. e ln d. e + + d.

23 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble ( + 8 ) d. 3 sin() + 8 d. Vri-Fu 8. Prmi les égliés suivnes lesquelles son vries, lesquelles son fusses e pourquoi? e d =. e d =.. Eercices e d = 4. cos()e d =. sin()e d =. cos()e d = d = π d = π. Eercice. Pour chcune des foncions f : f() suivnes : f() = f() =. Clculer pour ou,. En déduire f() d. ( + ) ln () ; f() = ; f() = f() d. ( + )( + ) ; ln()(ln(ln()) 3. Eercice. Pour chcune des foncions f : f() suivnes : f() = e cos() ; f() = e sin() ; f() = e ; f() = cosh().

24 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble. Clculer pour ou,. En déduire f() d. f() d. Eercice 3. Soi un réel sricemen compris enre e.. Clculer d.. En uilisn une inégrion pr pries, en déduire I() = 3. Quelle es l limie à droie en de I()? 4. Quelle es l limie à guche en de I()? Eercice 4. Démonrer les résuls suivns ln( ) d. e d converge. 4 e + d converge. sin() d converge. (ln()) d diverge. π sin() d diverge. + cos() d converge. sin() sin 3 () d converge. sin () d diverge d diverge. + e d converge. Eercice 5. Démonrer que les inégrles suivnes convergen e clculer leur vleur. ( + ) d ; + + sin() d ; + + sin( ) + ln( + ) d ; sin() ln() d. Eercice 6. Éudier l convergence des inégrles suivnes. ln() + + e d ; sin() + d ; ln() ( e d ; ) d ; ( ) d ; e d ; 3

25 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble + sin ( (ln()) d ; 3 + sin() + sin () d ; e d ; (ln()) d ; 3 ) 3 ( + ) d ; ln( + ) rcn( + ) d ; ln() rcn( + ) d ; e + d ; + d ; ( ) + + sin d ; ( + ) ln( + ) rcn( + 3 ) d ; ln() rcn( + ) d. Eercice 7. Éudier l convergence des inégrles suivnes. ln() + d ; + sin() d ; + sin() + ln() d ; sin () ( ) ln d. Eercice 8. Dns chcun des cs suivns, l foncion f es supposée coninue sur R +, ffine pr morceu, e nulle en. Pour chcun de ces cs. n N, f(n) =, f(n /n) = f(n + /n) = () n N, f(n) = /n, f(n /n) = f(n + /n) = (b) n N, f(n) = n, f(n /n ) = f(n + /n ) = (c) n N, f(n) = n, f(n /n 3 ) = f(n + /n 3 ) = (d). L foncion f dme-elle une limie en +?. L inégrle f() d es-elle convergene? Eercice 9. On rppelle l ngene hyperboliques es définie pr :. Vérifier que nh() = e +. nh() = e e e + e. 4

26 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble. Déerminer les deu réels e b els que l foncion f : nh() (+b) soi d inégrle convergene sur [, + [. Eercice. On rppelle que pour ou R, rcn() es défini comme l unique ngle θ ] π, π [ el que n(θ) =.. Vérifier que pour ou R, rcn() = rcn( ), e que pour ou >, rcn() + rcn( ) = π.. Déerminer les deu réels e b els que l inégrle de l foncion f : rcn( ) ( + b) soi convergene sur R. Eercice. Pour ou n, on pose : u n = (n+)π nπ sin(). Déerminer un réel > el que pour ou [nπ + π, nπ + 3π ], sin() En déduire un réel b > el que u n b 3. En déduire que l inégrle Eercice. Soi un nombre réel. π sin() n+. d. d es divergene.. Discuer, en foncion de, l nure de l inégrle d.. Uiliser le chngemen de vrible u = pour clculer cee inégrle pour =. Eercice 3. Soien e b deu réels. Discuer en foncion de e b l nure de l inégrle suivne. ( ) b d. Eercice 4. Soien e b deu réels. Discuer en foncion de e b l nure de l inégrle suivne. ln( + ) d. b Eercice 5. Soien, b, c rois réels. Discuer en foncion de, b, c l nure de l inégrle suivne. c ( ) ln( ) d. b Eercice 6. Uiliser le héorème d Abel pour démonrer que les inégrles suivnes convergen. Monrer qu elles ne convergen ps bsolumen. sin() + + d, sin 3 () d, + cos() + ln() d, sin 5 () 3 ln(ln()) d. 5

27 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Eercice 7. Soi f une foncion coninue sur R, périodique de période e elle que f() d =.. Appliquer le crière d Abel pour démonrer que el que < <. f() d converge pour ou. En uilisn le chngemen de vrible u = α, démonrer que l inégrle f( α ) d converge pour ou α >..3 QCM Donnez-vous une heure pour répondre à ce quesionnire. Les quesions son indépendnes. Pour chque quesion 5 ffirmions son proposées, prmi lesquelles son vries e 3 son fusses. Pour chque quesion, cochez les ffirmions que vous pensez vries. Chque quesion pour lquelle les ffirmions vries son cochées rppore poins. Quesion. Soi f une foncion définie e coninue sur R. A Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors l inégrle de f sur R converge. B Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. C Si lim f() =, lors l inégrle de f sur [, + [ diverge. + D Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors lim f() =. + E Si lim f( ) =, lors l inégrle de f sur R converge. + Quesion. Soi f une foncion définie e coninue sur [, [. A Si l inégrle de f sur [, ] converge, lors l inégrle de f( ) sur [, + [ converge. B Si l inégrle de f( ) sur [, + [ converge, lors l inégrle de f sur [, ] converge. C Si lim f() =, lors l inégrle de f sur [, ] converge. D Si l inégrle de f sur [, ] diverge, lors lim f() = +. E L inégrle de f sur [, ] converge si e seulemen si l inégrle de f( ) sur [, + [ converge. Quesion 3. Soi f une foncion définie e coninue sur R +. A Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. B Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. 6

28 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble C Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. D Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors l inégrle de sup{f(), } sur [, + [ converge. E Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. Quesion 4. Soi f sur foncion définie, coninue e sricemen posiive sur R +. A Si f() es mjoré sur R +, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. B Si lim f() =, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. + C Si lim + f() = +, lors l inégrle de f sur [, + [ diverge. D Si f() es équivlen à ln() u voisinge de +, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. E Si pour ou, f(), lors l inégrle de f sur [, + [ diverge. ln() Quesion 5. Soi f sur foncion définie, coninue e sricemen posiive sur ], + ]. A Si lim f() =, lors l inégrle de f sur ], ] converge. + B Si lim ln( )f() =, lors l inégrle de f sur ], ] diverge. + C Si lim f() =, lors l inégrle de f sur ], ] converge. + D Si l inégrle de f sur ], ] converge, lors f() es bornée u voisinge de +. E Si l inégrle de f sur ], ] diverge, lors lim f() = +. + Quesion 6. L inégrle proposée converge. A ln d + + B d + + C d D E ln () + 4 d d Quesion 7. L inégrle proposée converge. A ln ( ) d B 4 + d 5 C d 7

29 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble D E e 3 d e ln(+34) d Quesion 8. L inégrle proposée es bsolumen convergene. sin( A ) d + cos() B d cos( C d D E sin() 3 + d sin( ) 4 + d Quesion 9. L inégrle proposée es convergene, mis ps bsolumen convergene. sin() A + d B C D E sin() 3 + d sin()e d sin() + 3 d cos( ) + 3 d Quesion. + A d = + B e d = C D E d = π ( + ) d = 4 e d = Réponses : BC CE 3 CD 4 DE 5 AB 6 CE 7 CD 8 CD 9 AE CE.4 Devoir Essyez de bien rédiger vos réponses, sns vous reporer ni u cours, ni u corrigé. Si vous souhiez vous évluer, donnez-vous deu heures ; puis comprez vos réponses vec 8

30 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble le corrigé e compez un poin pour chque quesion à lquelle vous urez correcemen répondu. Quesions de cours : Les foncions f e g considérées ici son supposées définies, coninues e sricemen posiives sur [, [.. Définir l convergence de l inégrle de f sur [, ]. On suppose qu il eise ε > el que pour ou [ ε, [, f() g(). Démonrer que si g() d converge, lors f() d converge, e que si f() d diverge, lors g() d diverge. 3. On suppose minenn que f e g son équivlenes u voisinge de : f() lim g() =. Démonrer que f() d converge si e seulemen si f() d converge. ( ln( )) 4. Démonrer que pour ou réel α, l inégrle α d converge. 5. Démonrer que l inégrle ( ln( )) d converge. sin(π) Eercice :. Démonrer que pour ou >, l inégrle converge. On noe f() s vleur. sin(). En uilisn deu inégrions pr pries successives, vérifier que pour ou >, 3. Démonrer que l inégrle f() = cos d es bsolumen convergene, e rerouver le résul de l quesion. 4. Démonrer que pour ou >, En déduire que l inégrle + sin() sin() 3 d sin() 3 d. cos() f(). f() d converge. 9

31 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble 5. Écrire l dérivée de f. En uilisn une inégrion pr pries, monrer que f() d = f() cos() En déduire que f() d =. sin() Eercice : Le bu de l eercice es de clculer d. sin (). Démonrer que l inégrle d es convergene.. En uilisn une inégrion pr pries e le chngemen de vrible u =, monrer que : sin () d = 3. Pour ou n N, on pose : I n = sin() cos() π sin (n) d d = sin() En uilisn le chngemen de vribles u = n, monrer que I + n lim n + n = sin() d. 4. Pour ou n N, on pose : A n = Clculer A e A. 5. Démonrer que pour ou n N, π sin (n) sin () d. sin (n) sin ((n + )) + sin ((n + )) = sin () cos((n + )). En déduire que A n A n+ + A n+ =. 6. Déduire des deu quesions précédenes que pour ou n N, A n = n π. 7. Pour ou n N, on pose : Monrer que A n B n = π 4. B n = π sin (n) n () d. 8. En uilisn le fi que pour ou [, π [, sin() n(), démonrer que pour ou n N, B n I n A n. 9. Déduire de ce qui précède que sin() 3 d = π. d.

32 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble.5 Corrigé du devoir Quesions de cours :. Pour ou el que < <, l foncion f es coninue sur l inervlle fermé [, ]. Son inégrle sur [, ] es donc définie. On di que l inégrle de f sur [, ] converge si l limie qund end vers de l inégrle de f sur [, ] f() d = lim f() d.. Pr l relion de Chsles, pour < < y <, Donc pour ou y [, ] : f() d = y f() d + y f() d. f() d converge y f() d converge. L convergence des inégrles sur [, ] ne dépend que du comporemen des foncions u voisinge de. En uilisn l monoonie des inégrles e l hypohèse, pour ou [ ε, [, ε f() d ε g() d Comme f e g son posiives, les deu inégrles ci-dessus son foncion croissne de g. Si l inégrle de g converge, lors celle de f es mjoré, donc elle converge. Si l inégrle de f diverge (end vers + ), il en es de même pour celle de g. 3. Si f() lim g() =, lors il eise ε > el que pour ou [ ε, [, g() f() g(). Si l inégrle de g converge, lors l inégrle de g converge églemen, donc celle de f ussi, d près l quesion précédene. Si l inégrle de f converge, lors celle de g converge églemen d près l quesion précédene, donc celle de g ussi. 4. D près les limies clssiques, lim ln( )( ) 4 =. 3

33 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Donc il eise ε > el que pour ou [ ε, [, ( ln( )) α ( ) 3 4. En ppliqun le résul de l quesion, pour monrer que l inégrle proposée converge, il suffi de monrer que l inégrle de ( ) 3 4 converge. qui end vers 4 qund end vers. 5. Au voisinge de, Donc ( ) 3 4 d = 4( ) 4 + 4, sin(π) = sin(π π) = sin(π( )) ( ln( )) sin(π) ( ln( )) π( ) π( ). L seconde inégrle converge d près le résul de l quesion 4, donc l première converge d près le résul de l quesion 3. Eercice :. Pour ou > >, L inégrle sin() d = cos() cos() es bornée (comprise enre e ). L foncion es posiive e décroissne sur [, + [ e s limie en + es. Donc l inégrle d es sin() convergene, pr pplicion du héorème d Abel.. Pour ou >, [ + sin() d = cos() ] + cos() d 3. = cos() = cos() sin() 3 [ sin() + sin() d ] + 3 d =. sin() 3 sin() 3 d. Donc pour ou >, l inégrle sur [, + [ de sin() es l somme d une foncion de e d une inégrle convergene. Elle es donc convergene. d 3

34 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble 4. Pour ou >, cos() f() = sin() + sin() sin() 3 d d + =. cos() L inégrle d converge, en ppliqun le héorème d Abel comme dns l quesion. Nous venons de voir que f() cos() es mjoré pr un ( + foncion don l inégrle converge, donc l inégrle f() cos() ) d es bsolumen convergene. L inégrle f() d es l somme d une inégrle convergene e d une inégrle bsolumen convergene, donc elle converge. 5. L dérivée de f (comme inégrle dépendn de s borne inférieure) es : f () = sin(). f() d = f() d = [f()] f () d = f() + sin() d = f() cos() + 6. D près l quesion 4, f() cos(). Donc qund end vers +, f() cos() end vers : Eercice : lim f() d = + lim f() cos() + = = f() d. + 33

35 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble. Remrquons que sin () lim =. + L foncion peu êre prolongée pr coninuié en, donc le problème de l convergence de l inégrle ne se pose qu en +. Il suffi d uiliser le héorème de comprison. Pour ou, sin ().. Or l in égrle de converge. sur [, + [ converge, donc l inégrle de sin () sin () d = = = = [ sin () ] + sin() sin(u) u sin() d d. + du sin() cos() d sur [, + [ 3. Pour ou n N, Donc I n = π Puisque l inégrle de sin () I n π n lim n + n = lim n + sin (n) d = I n n = n π converge, n π sin () d. n sin (u) u n du. sin () + sin () + sin() d = d = d. 4. A = π d = e A = π d = π 34

36 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble 5. Pour ou, b R, sin( + b) sin( b) = ( )( ) sin cos b + cos sin b sin cos b cos sin b = sin cos b cos sin b = sin ( sin b) ( sin ) sin b = sin sin b. En ppliqun cee formule à = n, b = n +, puis = n +, b = n +, on obien : sin (n) sin ((n + )) + sin ((n + )) = sin((n + )) sin() + sin((n + 3)) sin() ( ) = sin() sin() cos((n + )) = sin () cos((n + )). En divisn pr sin (), puis en inégrn enre e π, on obien : π [ ] π A n A n+ + A n+ = cos((n + )) d = n + sin((n + )) =. 6. L propriéé es vrie pour A e A. Supposons-l vrie pour ous les eniers inférieurs ou égu à n. D près l quesion précédene, A n+ = A n A n = n π (n )π = (n + )π, 7. D où le résul pr récurrence. A n B n = π sin (n) ( sin () ) n d () = = = = π π π sin (n) cos () sin () sin (n) d cos(n) [ sin(n) ] π 4n d = π 4. d 35

37 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble 8. En pssn à l inverse, puis en muliplin pr sin (n) : sin (n) n () sin (n) En uilisn l monoonie des inégrles : sin (n) sin () π sin π (n) n () d sin (n) d π sin (n) sin () d, soi B n I n A n. 9. De l quesion précédene, nous déduisons que : D près l quesion 6, A n n = π B n n I n n A n n. De plus d près l quesion 7, A n lim n + n B n n = lim n + π 4n =. Donc B n n end vers π. Pr le héorème des gendrmes, I n n end ussi vers π. Cee limie es l inégrle cherchée, d près l quesion 3. I + n lim n + n = sin() d = π. 36

38 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble 3 Complémens 3. L pédgogie des sourds-mues Comme l plupr des svns de son emps, John Wllis (66 73) vi de nombreuses cordes à son rc. Pendn plus de 4 ns, il fu le crypogrphe en chef du prlemen puis de l cour royle. Il publi ussi sur l héologie, l héorie de l musique, l circulion du sng, l collision des corps, l logique, l grmmire nglise, ec. Il éi surou un ecellen mhémicien e un formidble clculeur, cpble di-on d erire de êe l rcine crrée d un nombre de plus de 5 chiffres. Son «Arihmeic Infiniorum», publié en 656, préfigure le clcul infiniésiml. Pr des méhodes de clcul de séries, il obien pour l première fois l inégrle des puissnces de l vrible, y compris négives. Il es donc le premier à voir compris que l ire d un domine non borné peu êre finie. r >, dr = r r. Bien sûr, il n eprimi ps le résul sous cee forme, e ses risonnemens éien esseniellemen géomériques. Il es ou de même le premier à voir noé l infini pr le symbole. S conroverse de plus de ns vec Thoms Hobbes ( ) es resée célèbre. Il fu dire que Hobbes ne se coneni ps d voir fondé l philosophie poliique (il es l inveneur de l noion de «conr socil»). Il préendi ussi résoudre les problèmes mhémiques clssiques qu éien l qudrure du cercle e l duplicion du cube, mis vi beucoup ml à reconnîre que ses démonsrions éien fusses. Qund en 66 Wllis enreprend d pprendre l nglis à un sourd-mue, l comprison ne mnque ps de sveur. I m now upon noher work ; s hrd lmos s o mke Mr. Hobbes undersnd demonsrion. I is o ech person dumb nd def o spek, nd o undersnd lnguge : of which he could do eiher, he oher would be more esy ; bu knowing neiher, mkes boh he hrder. And lhough he former my be hough he more difficul, he ler my perhps require s much of ime. For, if considerble ime be requisie for him, h cn spek no one, o lern second lnguge ; much more for him, h knows none, nor hh so much s he dvnge of speech. 3. Un our de psse-psse d Euler En ces emps insoucins où démonrer l convergence d une inégrle vn de l clculer ne veni à l idée de personne, le viruose qu éi Euler ne se privi ps d offrir u monde svn ces perles don son cerveu ferile éi prodigue. Celle-ci pr 37

39 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble eemple, prue u commenires de l Acdémie des Sciences de Sin-Péersbourg en 76. m ( n ) k y m d = dy. ( + y n ) k++ m n Commen vi-il rouvé cel? Fcile qund on s ppelle Euler : il suffi(!) de fire le chngemen de vrible y =. ( + y n ) n (Allez-y, vérifiez... ) Commen Euler s y prend-il pour clculer ces inégrles? Admirez l rise. Il commence pr poser P = α ( n ) γ, d où il ire (nous reproduisons ses epressions) dp = α α d ( n ) γ γn α+n d ( n ) γ. Dns l prie guche, le fceur ( n ) γ es récri en ( n ) γ ( n ) ; les ermes se rérrngen insi. dp = α α d ( n ) γ γn α+n d ( n ) γ. Dernier our de psse-psse : le fceur α+n devien α ( ( n )) : dp = (α + γn) α d ( n ) γ γn α d ( n ) γ. Or P s nnule en e : Euler dédui rois ideniés d inégrles des rois epressions de dp. α α ( n ) γ d = γn α+n ( n ) γ d, α α ( n ) γ d = (α + γn) (α + γn) α+n ( n ) γ d, α ( n ) γ d = γn α ( n ) γ d, Une formule récurrene, e hop, le our es joué! Avec en prime une foule d ideniés relin des rppors d inégrles à des produis infinis... don l convergence ne fisi ps vrimen prie des préoccupions d Euler. 3.3 L courbe de Guss Il eise u moins une dizine de démonsrions différenes du résul suivn. e d = π. 38

40 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble L hisoire de l courbe de Guss remone à Abrhm de Moivre ( ), qui donné l première version du héorème cenrl limie pour le jeu de pile ou fce, en fi une sympoique des probbiliés binomiles. Elle de semble--il de 7, bien que le résul n i éé publié qu en 733. De Moivre lui-même ne donne qu une vleur pprochée de l consne qui pprî dns son résul, don Sirling donner l vleur ece. En fi, ni l un ni l ure n eprimen epliciemen l inégrle de l courbe de Guss, ni ne se préoccupen des quesions de convergence. Il y eu depuis, dns chque mnuel de probbiliés, une démonsrion du résul. L méhode de clcul l plus clssique uilise un chngemen de vrible en coordonnées polires. Elle éé populrisée pr Ch. Surm (83 855), qui l ribue à Poisson. ( π ( ) e d) = e r r dr dθ = = ] + π [ e r π = π. dθ Auprvn, P.S. Lplce (749 87) vi éé le premier en 774 à fournir un clcul rigoureu. L foncion à inégrer én pire, e d = π π e d =. Voici l méhode que Lplce donne dns s «Théorie nlyique des probbiliés». Elle consise à écrire une inégrle double, dns lquelle on effecue le chngemen de vrible y s = y/. ( e d) = = = = = ( ( ( [ + dθ ) e ( +y ) dy d ) e ( (+s ) ds d ) e ( (+s ) d ds ( + s ) e (+s ) ( + s ) ds ] + ds = [ ] + rcn(s) = π 4 39

41 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble L «Méhode des moindres crrés», qui implique l uilision de l disribuion normle dns l esimion pprochée des erreurs, éé publiée en 85 pr Legendre e en 89 pr Guss. Mis Guss préendi à l nériorié : Au rese, ce principe, don nous vons fi usge depuis 795, éé donné dernièremen pr Legendre dns ses Nouvelles méhodes pour l déerminion des orbies des comèes, Pris 85 ; on rouver dns ce ouvrge plusieurs conséquences que le désir d bréger nous fi omere. Cee ciion négligene eu le don d gcer sérieusemen Legendre, qui répliqu. Je ne vous dissimuleri donc ps, Monsieur, que j i éprouvé quelque regre de voir qu en cin mon mémoire..., vous dies principum nosrum... Il n es ucune découvere qu on ne puisse s ribuer en disn qu on vi rouvé l même chose quelques nnées uprvn ; mis si on n en fourni ps l preuve en cin le lieu où on l publiée, cee sserion devien sns obje e n es plus qu une chose désobligene pour le vérible ueur de l découvere. En Mhémiques il rrive rès souven qu on rouve les mêmes choses qui on éé rouvées pr d ures e qui son bien connues ; c es ce qui m es rrivé nombre de fois, mis je n en i poin fi menion e je n i jmis ppelé principum nosrum un principe qu un ure vi publié vn moi. Vous êes ssez riche de [vore] fond, Monsieur, pour n voir rien à envier à personne ; e [je suis] bien persudé u rese que j i à me plindre de l epression seulemen e nullemen de l inenion... Mis Guss persise e signe. Je n vis ps l idée, que M. Legendre pouvi cher n de pri à une idée ussi simple, qu on doi pluô s éonner qu on ne l ps eue depuis ns, pour se fâcher que je rcone, que je m en suis servi vn lui? Le différen n es oujours ps réglé. Sns vouloir jeer de l huile sur le feu, un roisième lrron, beucoup moins connu que les deu précédens, lui ussi publié l méhode des moindres crrés, en 88 sns connîre les rvu des deu ures. Il s gi de Rober Adrin ( ), mhémicien méricin d origine irlndise. Comme le di B. Hyes, One obvious fc is h i cn be very hrd o ge noiced when you re snding on he frher shore of he ocen, no mer how vigorously you wve your rms. Anoher ruh, even more bier, is h i s lso very hrd in hose circumsnces o do nyhing worh noicing. And ye here is more cheerful oulook, les for hose who cn fford o be pien : The world urns, nd evenully he frher shore my become he cener. Schez ussi que Adrin s es fi licencier (à 59 ns) de son pose à l universié, cr il ne prveni ps à minenir l discipline dns ses cours.. B. Hyes : Science on he frher shore Americn Scienis 9(6) p () 4

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