Lois de probabilité à densité

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1 Lois de probbilité à densité Christophe ROSSIGNOL Année scolire 0/03 Tble des mtières Loi à densité sur un intervlle I. Deux exemples pour comprendre Densité de probbilité Espérnce, vrince et écrt-type L loi uniforme sur [ ; b] 3. Définition, exemple Espérnce d une loi uniforme L loi normle centrée réduite 4 3. Définition Utilistion de l clcultrice L loi normle Cs générl 6 4. Définition Propriétés Utilistion de l clcultrice Probbilités d événements prticuliers Tble des figures Loi uniforme sur [ ; b] Loi normle centrée réduite Utilistion de l courbe de l loi de densité Loi normle N ( µ ; σ ) Ce cours est plcé sous licence Cretive Commons BY-SA

2 LOI À DENSITÉ SUR UN INTERVALLE I En préliminire u cours : Exercices :, pge 5 [TrnsMth] Il s git dns ce chpitre d étudier des exemples de lois de probbilités sur des vribles létoires, lorsque celle-ci peut prendre toutes les vleurs d un intervlle I de R, on prle de loi de probbilité continue, ou à densité. Activité : Activité pge 7 [TrnsMth] Loi à densité sur un intervlle I. Deux exemples pour comprendre Exemple : Soit X l vrible létoire mesurnt l durée excte du temps d ttente ux urgences d un hôpitl. On suppose que ce temps d ttente est toujours inférieur à 3 heures. L vrible létoire X peut prendre n importe quelle vleur dns l intervlle [0 ; 3]. On ne peut donc ps énumérer les possibilités sous l forme X = x i. On dit que l loi de probbilité de X est à densité. Le clcul de l probbilité que le temps d ttente soit exctement de h 3 mn est ici complètement inutile 3. Il serit pr contre intéressnt de déterminer l probbilité que ce temps d ttente soit compris entre et heures (ce que l on noter p (X [ ; ])) ou bien soit inférieure à une heure et demi (ce que l on noter p (X, 5)). Exemple : Une usine produit de l eu minérle en bouteille. On note Y l vrible qui, à chque bouteille prélevée u hsrd, ssocie le tux de clcium de l eu qu elle contient. L vrible létoire Y peut prendre toutes les vleurs dns [0 ; + [. C est ussi une loi de probbilité à densité. Il pourrit être intéressnt de déterminer l probbilité que le tux de clcium dépsse un tux limite de 6,5 mg pr litre, ce qu on noter p (Y > 6, 5).. Densité de probbilité Définition : Soit I un intervlle de R et f une fonction définie sur I. On dit que f est une densité de probbilité sur J si :. f est continue et positive sur I. f (x) dx = I Remrque : Dns le cs où I n est ps borné, on dmettr que cette intégrle existe et qu elle représente l ire «sous l courbe». Définition : Soit f une densité de probbilité sur un intervlle I et X une vrible létoire à vleurs dns un intervlle I. On dit que X suit l loi à densité f si, pour tout réels, b de I (vec < b) : p (X [ ; b]) = b f (x) dx Propriété : Soit X une vrible létoire qui suit une loi de densité f sur I. Pour tout I, p (X = ) = f (x) dx = 0 Remrque : On donc pr exemple p (X ) = p (X < ) cr p (X ) = p (X < )+p (X = ) (événements incomptibles). Exercices : 0, pge 30 et 33 pge 3 4, 3, 5, 7 pge pge 30 6 [TrnsMth]. Rppels sur les vribles létoires.. Loi à densité. 3. On verr d illeurs pr l suite que cette probbilité est nulle. 4. Clculs de probbilités. 5. Densité de probbilité. 6. Loi exponentielle, durée de vie.

3 LA LOI UNIFORME SUR [A ; B].3 Espérnce, vrince et écrt-type.3 Espérnce, vrince et écrt-type Définition : Soit X une vrible létoire de densité f sur [ ; b]. L espérnce mthémtique de X est le nombre E (X) défini pr : E (X) = b xf (x) dx Remrque : Dns le cs d une vrible létoire prennt un nombre fini de vleurs, l formule de l espérnce étit : n E (X) = p x + p x + + p n x n = p i x i L définition précédente est cohérente vec ce résultt, en remplçnt l somme n i= pr l intégrle b. Définition : Soit X une vrible létoire de densité f sur [ ; b]. On note m = E (X). L vrince de X est le nombre V (X) défini pr : V (X) = E ((X m) ) L écrt-type de X est le nombre σ (X) défini pr : σ (X) = V (X) Remrque : On dmettr que l écrt-type est une mesure de dispersion de l vrible létoire X utour de son espérnce. Exercice : 8 pge 30 7 [TrnsMth] i= L loi uniforme sur [ ; b]. Définition, exemple Propriété : Soient et b deux réels tels que < b et f l fonction définie sur [ ; b] pr : f (x) = b Alors f est une densité de probbilité sur [ ; b]. (voir figure ) Figure Loi uniforme sur [ ; b] Démonstrtion : f est continue sur [ ; b] et est clirement positive. b f (x) dx = [ ] b b b dx = x b = b b b = b b = Définition : Soient et b deux réels tels que < b et X une vrible létoire. On dit que X suit l loi uniforme sur [ ; b] lorsque X dmet comme densité de probbilité l fonction f définie sur [ ; b] pr : f (x) = b 7. Espérnce et vrince d une loi à densité. 3

4 . Espérnce d une loi uniforme 3 LA LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE Exemple : On reprend l exemple du. et on suppose que le temps d ttente u urgences de cet hôpitl suit l loi uniforme sur [0 ; 3]. On lors : p (X [ ; ]) = p (X, 5) = 3 0 dt = [ x ] 3 dt = = = 3,5 0 [ x ],5 3 dt = =, =. Espérnce d une loi uniforme Propriété : Soit X une vrible létoire qui suit l loi uniforme sur [ ; b]. Alors : Démonstrtion : E (X) = b xf (x) dx = b [ ] b x b dx = b x E (X) = + b = b b b = b (b ) = (b )(b+) (b ) = b+ Exercices :, pge 3 et 35, 36 pge , 39, 40, 4, 4 pge , 3 pge 30 0 [TrnsMth] 3 L loi normle centrée réduite Activités : Exercice 3 pge 5 et Activité pge 6 [TrnsMth] 3. Définition Définition : On dit qu une vrible létoire X sur R suit l loi normle centrée réduite si s loi de densité est : f (x) = e x π On note cette loi N (0 ; ). (voir figure ) Figure Loi normle centrée réduite 8. Loi uniforme. 9. Utilistions de l loi uniforme. 0. Espérnce, vrince.. Rppels sur l loi binomile.. De l loi binomile à l loi normle. 4

5 3 LA LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE 3. Utilistion de l clcultrice Remrques :. On dmettr que l fonction f est une loi de densité sur R, en prticulier que + f (x) dx = ( ). Le point A comme coordonnées 0 ; π cr f (0) = π e 0 = π 3. L courbe représentnt f est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées. 3. Utilistion de l clcultrice On ne peut ps trouver grâce ux techniques hbituelles de primitives de l fonction f. On utiliser donc l clcultrice qui permet de clculer directement p ( X b) lorsque X suit l loi normle centrée réduite (voir pge 5[TrnsMth], en prennt µ = 0 et σ = ). Exemples : On suppose que l vrible létoire X suit l loi normle centrée réduite.. À l clcultrice, p ( X ) 0, 359. Grphiquement, cel correspond à l ire bleue sur l figure 3. Figure 3 Utilistion de l courbe de l loi de densité. p ( X ) correspond à l ire verte sur l figure 3. Comme l courbe est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées, cette ire est l même que l ire bleue, donc : p ( X ) = p ( X ) 0, À l clcultrice, on p (, 96 X, 96) 0, 95. Donc, p ({X <, 96} {X >, 96}) = p (, 96 X, 96) 0, 05. Pr suite, en dehors de l intervlle [, 96 ;, 96], l courbe est très proche de l xe des bscisses. Remrque : Comme l loi de densité f dmet une courbe représenttive symétrique pr rpport à l xe des ordonnées, on p (X 0) = p (X 0) = 0, 5. Exemple : On veut déterminer p (X >, 5). Ceci n est ps possible à déterminer directement à l clcultrice. Pr contre : p (X 0) = p (0 X, 5) + p (X >, 5) On donc : Exercices : 3, 4 pge 4 3 [TrnsMth] 3. L loi normle centrée réduite. p (X >, 5) = p (X 0) p (0 X, 5) = 0, 5 p (0 X, 5) 0, 5 0, 433 = 0, 068 5

6 4 LA LOI NORMALE CAS GÉNÉRAL 4 L loi normle N (µ ; σ ) 4. Définition Propriétés Définition : On dit qu une vrible létoire X suit l loi normle N ( µ ; σ ) si l vrible létoire X µ σ l loi normle centrée réduite N (0 ; ). Remrque : On peut montrer que, dns ce cs, l loi de densité est donnée pr l fonction f suivnte : f (x) = σ π e ( x µ σ ) suit On trcé l courbe représenttive de cette fonction sur l figure 4. Cette courbe est symétrique pr rpport à l droite d éqution x = µ. Figure 4 Loi normle N ( µ ; σ ) Propriété : (dmise) Soit X une vrible létoire suivnt l loi normle N ( µ ; σ ). Alors : E (X) = µ V (X) = σ et σ (X) = σ Remrque : Les prmètres de l loi normle N ( µ ; σ ) sont donc son espérnce et s vrince. On peut montrer que, plus l écrt-type σ est importnt, plus l courbe est «pltie». Module : TD 3 pge 8 4 [TrnsMth] 4. Utilistion de l clcultrice Comme pour l loi normle centrée réduite, on utiliser l clcultrice pour déterminer p ( X b) (voir pge 5 [TrnsMth]). Comme l loi de densité f dmet une courbe représenttive symétrique pr rpport à l droite d éqution x = µ, on p (X µ) = p (X µ) = 0, 5. Exemple : On reprend l exemple du. et on suppose que le tux de clcium dns l eu minérle suit l loi normle d espérnce 5 et d écrt-type,5 (c est-à-dire l loi N ( 5 ;, 5 ) ) et on veut déterminer p (Y 6, 5). L courbe de l loi de densité étnt symétrique pr rpport à l droite d éqution x = 5, on p (Y 5) = 0, 5 De plus : p (Y 5) = p (5 Y 6, 5) + p (Y 6, 5) On donc : p (Y 6, 5) = p (Y 5) p (5 Y 6, 5) = p (5 Y 6, 5) À l clcultrice, on obtient p (5 Y 6, 5) 0, 343, d où p (Y 6, 5) 0, Pour mettre en évidence l influence de l écrt-type. 6

7 RÉFÉRENCES 4.3 Probbilités d événements prticuliers Exercices : 5, 6 pge , 46 pge 3 et 49, 50, 5, 54 pge pge 3 et 75 pge , 56, 58 pge 34 ; 59 pge 35 et 76 pge 39 8 [TrnsMth] 4.3 Probbilités d événements prticuliers Propriété : (dmise) Soit X l vrible létoire qui suit l loi normle N ( µ ; σ ). Alors : Remrques : p (µ σ X µ + σ) 0, 68 p (µ σ X µ + σ) 0, 95 p (µ 3σ X µ + 3σ) 0, 977. Ces trois probbilités ne dépendent ni de l espérnce µ, ni de l écrt-type σ.. Il y donc 95 % de chnces que l vleur soit dns l intervlle [µ σ ; µ + σ] Module : TD 4 pge 9 9 [TrnsMth] Exercices : 7, 8 pge 6 0 [TrnsMth] Références [TrnsMth] TrnsMATH Term ES Spécifique / L Spécilité, édition 0 (Nthn), 3, 4, 5, 6, 7 5. Loi normle N ( µ ; σ ). 6. Utilistions. 7. De l loi binomile à l loi normle. 8. En pssnt pr l loi normle centrée réduite. 9. Pour étudier l probbilité de quelques événements prticuliers. 0. Probbilités d événements prticuliers. 7