QUADRILATÈRES PARTICULIERS

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1 hapitre 8 QURLTÈRES PRTULERS - REOMMNTONS. NTROUTON l s'agit de consolider les connaissances acquises en 6e sur les parallélogrammes particuliers (rectangle, losange, carré) et le trapèze, et de les approfondir en liaison avec la symétrie centrale. Un accent particulier sera mis sur le raisonnement déductif. Le professeur s'efforcera d'entraîner les élèves à utiliser les "propriétés directes" de ces quadrilatères pour faire des démontrations simples Les caractérisations sont entièrement au programme de 4e. Elles peuvent cependant faire l'objet d'exercices d'approfondissement.. OMPÉTENES EXGLES onnaître et utiliser les propriétés d'un trapèze, d'un rectangle, d'un losange, d'un carré concernant les longueurs des côtés, les diagonales et les égalités de mesures d'angles. onstruire un quadrilatère à l'aide d'un compas. Reconnaître qu'un quadrilatère est un trapèze, un losange, un rectangle, un carré. Reconnaître qu'un quadrilatère est un trapèze isocèle à l'aide des égalités d'angles. Utiliser les propriétés "directes" des quadrilatères pour : démontrer que des droites sont concourantes, parallèles, perpendiculaires, calculer et comparer des aires, des longueurs, démontrer qu'un point est milieu d'un segment, calculer des mesures d'angles, démontrer l'alignement.. PRÉREQUS E L LSSE Propriétés du parallélogramme éfinition et construction d'un rectangle, d'un losange ou d'un carré. ire d'un parallélogramme, d'un rectangle, d'un losange, d'un carré. Propriétés des triangles particuliers. xe de symétrie. Équations dans. V - ÉQUTON U LVRE...M U PROGRMME EN VGUEUR PRTES TRTÉES HORS PROGRMME PRTES JOUTER Rectangle : Rectangle : Rectangle : propriétés des diagonales aractérisation à partir des centre de symétrie; axes de symétrie. angles, des diagonales. utilisation de la formule littérale de l'aire du périmètre. losange. Losange : arré : caractérisation d'un losange; Losange : le carré est à la fois un rectangle comment reconnaître qu'un propriétés des diagonales; et un losange ;axes de symétrie. quadrilatère est un losange ; utilisation de la formule littérale de l'aire du périmètre ; Trapèze : comment reconnaître qu'un définition, parallélogramme est un centre de symétrie. trapèze rectangle, isocèle losange : axes de symétrie d'un trapèze - à partir des diagonales, isocèle;caractérisation du trapèze - à partir des côtés. isocèle; aire du trapèze.

2 - OURS. ONSOLTON ES PRÉREQUS Exercice 1 et EF sont des parallélogrammes. Quelle est la nature du quadrilatère EF? Exercice 2 Quelle est l'aire d'un carré dont le périmètre est 20 cm? Quelle est l'aire d'un rectangle dont le périmètre est 16 cm et dont un côté mesure 2 cm? Exercice 3 onstruis un triangle tel que = = 5 cm. Soit le milieu de []. Que peux-tu dire de la droite ()? Exercice 4 Soient un segment [] de longueur 6 cm et le milieu de ce segment. est un point tel que = 3 cm. Quelle est la nature du triangle? Exercice 5 est un carré de 36 cm de périmètre. EF est un rectangle dont l'aire est 11,7 cm 2. alcule les dimensions du rectangle EF. F E Exercice 6 Le carré JKL a une aire de 1 m 2 ; le triangle KM une aire de 0,75 m 2. alcule les dimensions du rectangle LKNM. L M J K N Exercice 7 (Exercice 1-e page 107 M 5 ) alcule l'aire d'un trapèze dont les longueurs respectives de la grande base, de la petite base et de la hauteur sont 5 cm, 3 cm et 6,5 cm. Exercice 8 Pour chacune des figures suivantes indique le nombre d'axes de symétrie ; fais une figure et place le (ou les ) axe(s) : -rectangle ; - losange ; - carré ; - triangle isocèle ; - triangle équilatéral.

3 . RETNGLE 1. Parallélogramme particulier Un rectangle est un parallélogramme. Un rectangle a donc toutes les propriétés d'un parallélogramme. Un rectangle admet pour centre de symétrie le point d'intersection de ses diagonales. 2. Propriété des diagonales Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont la même longueur. 3. onfiguration ctivité 1) onstruis un rectangle. Justifie que les droites () et () d'une part, et () et () d'autre part, sont parallèles. 2) Que peux-tu en déduire pour le quadrilatère? 3) Que représente alors le point d'intersection de ses diagonales? 4) Trace les axes de symétrie ( ) et ( ') de. 5) étermine le symétrique du segment [] par rapport à ( ), puis par rapport à ( '). 6) Que peux-tu dire des longueurs des segments [] et []? 7) Justifie ta réponse. est rectangle donc =. LOSNGE 1. Parallélogramme particulier Un losange est un parallélogramme. Un losange a donc toutes les propriétés d'un parallélogramme. Un losange admet pour centre de symétrie le point d'intersection de ses diagonales. 2. Propriété des diagonales Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires. 3. xes de symétrie Les diagonales d'un losange sont ses axes de symétrie. ctivité 1) onstruis un losange. 2) Justifie que la droite () est médiatrice du segment [] et que la droite () est médiatrice du []. 3) Montre que est un parallélogramme. 4) Que représente alors le point d'intersection des diagonales pour? 5) étermine les symétriques de par rapport à () puis par rapport à (). 6) Que représentent () et () pour? 4. onfiguration est un losange donc () ()

4 V. RRÉ Propriétés Un carré est à la fois un rectangle, un losange et un parallélogramme Si un quadrilatère est un carré, alors : ses côtés consécutifs sont perpendiculaires et de même longueur ; ses diagonales sont perpendiculaires, ont même longueur et même milieu ; il possède un centre et quatre axes de symétrie. onfiguration : ctivité (ilan des propriétés du rectangle et du losange) onstruis un carré (on sait que le carré est à la fois un rectangle et un losange). Que peux-tu dire des côtés [], [], [], [] du carré? Que peux-tu dire des diagonales [] et [] du carré? ombien d'axes de symétrie possède le carré? onstruis et nomme tous les axes de symétrie du carré. Quel est le centre de symétrie du carré? V. TRPÈZES PRTULERS 1. Trapèze isocèle éfinition Un trapèze dont les deux côtés non parallèles sont de même longueur est isocèle. onfiguration ()//() et = donc. est un trapèze isocèle Propriété Un trapèze isocèle admet un axe de symétrie qui est la médiatrice commune de ses bases. onfiguration ( ) ( ) médiatrice de [] et de [] est axe de symétrie du trapèze donc = et = ctivité 1.3 page 105 M 5 E est un triangle isocèle en. (EF) est une droite parallèle à (). Trace l'axe de symétrie () du triangle 1) Justifie que les angles E et F ont même mesure. 2) Justifie que () est axe de symétrie pour le quadrilatère EF. (Pour cela, justifie que () est la médiatrice de [EF].) 3) Justifie que E =F. F 2. Trapèze rectangle

5 Un trapèze est rectangle si et seulement si l'un de ses côtés est perpendiculaire à ses deux bases. Exemple : ctivité : 1.2 page 104 M 5 E F est un trapèze tel que ()//() et ()^ () et ()^(), alors est un trapèze rectangle. est un triangle rectangle en. (EF) est une droite parallèle à (). 1 ) Nomme tous les angles droits du quadrilatère EF. 2 ) Quelle est la nature de ce quadrilatère? 6. ire d'un trapèze ( + b) x h = 2 = aire du trapèze ; = longueur de la grande base ; b = longueur de la petite base ; h = hauteur. Exemple =5 cm ; = 8 cm ; h = 7 cm (hauteur du trapèze ). L'aire du trapèze est : ( + ) x h = (8 + 5) x 7 = 2 2 = 45,5 Réponse L aire mesure 45,5 cm 2. ctivité ('après 1.4 page 106 M 5 ) 7 cm 5 cm E F 8 cm On veut calculer l'aire du trapèze dont l'esquisse codée est proposée ci-dessus. Le point est le milieu du []. 1 ) onstruis les points E et F symétriques respectifs des points et par rapport au point. 2 ) Justifie que le quadrilatère EF est un parallélogramme. 3 ) alcule l'aire de ce parallélogramme. 4 ) alcule l'aire du trapèze. - EXERES. PPLTON Exercice 1 ( 10 page 100 du livre M 5 ) onstruis un triangle rectangle en dont les longueurs des côtés [] et [] sont respectivement 4 et 7 cm. onstruis le milieu O du côté [] ; construis le point, symétrique de par rapport à O. Justifie que le quadrilatère est un rectangle. Quelle est la longueur du segment []? Justifie ta réponse. Exercice 3 ( 13 page 100 du livre M 5 ) Trace un segment [] de 2,5 cm. onstruis le losange de centre et dont la longueur du côté est 6 cm. Exercice 2 ( 12 page 100 du livre M 5 ) L'unité de longueur est le cm ; construis un losange tel que = 4 et = 7. Exercice 4 ( 17 page 100 du livre M 5 )

6 Trace un cercle ( ) de centre O et deux de ses diamètres [] et [] dont les supports sont perpendiculaires. Justifie que le quadrilatère est un carré. Exercice 5 ( 20 page 100 du livre M 5 ) onstruis un carré de côté 3 cm. onstruis les points E et F symétriques respectifs des sommets et par rapport à. Quelle est la nature du quadrilatère EF? Justifie la réponse.. PPROFONSSEMENT Exercice 6 (21 page 100 du livre M 5 ) MNPQ est un parallélogramme. () est la droite perpendiculaire à (NQ) passant par M. onstruis à l'aide de la règle non graduée, la droite perpendiculaire à (NQ) passant par P. Justifie la construction. () M N Q P Exercice 7 (23 page 101 du livre M 5 ) est un parallélogramme. alcule la mesure de chacun des angles suivants :, et. Justifie les réponses. Peux-tu calculer et? Exercice 8 (24 page 101 du livre M 5 ) Trace un triangle ; construis les points ' et ', symétriques respectifs des points et par rapport à. Quelle est la nature du quadrilatère ''? Justifie ta réponse. Quelle doit être la nature du triangle pour que '' soit : - un rectangle? - un losange? - un carré? Exercice 9 (25 page 101 du livre M 5 ) Trace un triangle. onstruis les hauteurs issues des sommets et ; ces deux hauteurs se coupent au point. onstruis la droite perpendiculaire à () passant par et la droite perpendiculaire à () passant par. es deux droites se coupent au point O. Quelle est la nature du quadrilatère O? Justifie ta réponse. Exercice 10 ( 27 page 101 du livre M 5 ) Trace un segment [] et marque un point E extérieur à (). onstruis un rectangle tel que E appartienne à (). quelles conditions peux-tu construire un carré MQ tel que E appartienne à (MQ)? Exercice 11 ( 28 page 101 du livre M 5 ) Trace un rectangle. onstruis la parallèle à () passant par ; cette parallèle coupe () au point E. Quelle est la nature du quadrilatère E? Justifie ta réponse. Quelle est la nature du triangle E? Justifie ta réponse.

7 Exercice 12 ( 30 page 101 du livre M 5 ) onstruis un parallélogramme tel que = 2x, puis construis les points M et N, milieux respectifs des segments [] et []. Justifie que MN et MN sont des losanges. Justifie que N est le centre du cercle circonscrit au triangle M. éduis-en la nature de ce triangle. Exercice 13 ( 31 page 101 du livre M 5 ) onstruis un rectangle de centre O. Les points, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [], [], [] et []. Justifie que les droites (K) et (LJ) sont perpendiculaires. Quelle est la nature du quadrilatère JKL? Justifie ta réponse. Exercice 14 (21 page 113 du livre M 5 ) est un trapèze. En utilisant un découpage du trapèze en un parallélogramme et un triangle, calcule l'aire de ce trapèze. Où placer un point M sur () pour que l'aire du triangle M soit égale à la moitié de l'aire du trapèze? Justifie ta réponse. 2 cm 2,5 cm 8 cm