Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

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2 Chapitre 4 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées La motivation de ce chapitre est la suivante. Étant donné un endomorphisme f d un espace E de dimension finie, déterminé par sa matrice A, dans une base B de E, on cherche à comprendre comment «agit» l endomorphisme f sur les vecteurs de E. Dans le cas où la matrice est diagonale, l effet de l application f sur les vecteurs de E est facile à comprendre : le k ème vecteur de la base B est multiplié par une constante λ k par f. Si la matrice n est pas diagonale, l effet de f sur les vecteurs de E peut être moins simple à comprendre. Exemple 1. Soit f l endomorphisme d un espace E de dimension 2, donné par sa matrice A = 1 2 [ ] dans une base B = (e 1, e 2 ) de E. On ne voit pas immédiatement quel est la nature géométrique de cet endomorphisme f. Pourtant, sa matrice A vérifie A 2 = A, donc f est un projecteur. Pour comprendre f, il aurait été plus commode d exprimer sa matrice dans une base adaptée à ce projecteur plutôt que dans la base B. On cherchera donc une base C de E dans laquelle la matrice de f est la plus simple possible (i.e. diagonale). Ce n est pas toujours possible, mais nous verrons à quelle condition c est possible, et comment déterminer une telle base. Dans tout le chapitre, K désigne soit R, soit C. 4.1 Éléments propres Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres Soit f un endomorphisme d un K-espace vectoriel E. Définition (vecteur propre) Un vecteur propre de f est un vecteur non nul x tel que f(x) soit colinéaire à x. C est donc un vecteur non nul pour lequel il existe un scalaire λ vérifiant f(x) = λx. Du fait de la non nullité de x, un tel λ est alors unique. Exemple 1. Tout vecteur non nul du noyau de f (s il existe de tels vecteurs) est un vecteur propre de f (le coefficient λ est nul). Exemple 2. Soit E = F G une décomposition de f en somme directe et p le projecteur sur F parallèlement à G. Tous les vecteurs non nuls de F sont des vecteurs propres de p (pour le coefficient λ = 1). Tous les vecteurs non nuls de G sont des vecteurs propres de p (pour le coefficient λ = ). De plus, ces vecteurs sont les seuls vecteurs propres de p. En effet, soit x = x F +x G un vecteur propre de p et λ le coefficient de proportionnalité correspondant. L égalité p(x) = λx s écrit encore x F = λx F + λx G, soit encore (1 λ)x F λx G =. Comme la somme est directe, on en déduit que (1 λ)x F = λx G =. Deux cas sont alors possibles : 49

3 5 Chapitre 4. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 1. ou bien λ = 1, ce qui conduit à x G =, donc x = x F F 2. ou bien λ =, ce qui conduit à x F =, donc x = x G G (le cas λ, 1 conduirait à x F = x G =, ce qui est exclu car x ). Exemple 3. Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 muni d une base B = (e 1, e 2, e 3 ) et f L(E) donné par sa matrice 1 7 A = mat B (f) = On lit sur la matrice que f(e 2 ) = 4e 2, donc le vecteur e 2 est un vecteur propre de f (associé au scalaire λ = 4). Remarque 1. Dire qu un vecteur x est vecteur propre de f équivaut encore à dire que la droite vectorielle D = Vect(x) est stable par f. Remarque 2. La relation f(x) = λx s écrit encore (f λ Id E )(x) =. Un vecteur propre est donc un vecteur non nul appartenant au noyau d un endomorphisme du type f λ Id E, où λ est un scalaire. Il est donc naturel de commencer par chercher quels sont les λ pour lesquels ce noyau n est pas réduit à l espace nul, i.e. tel que l endomorphisme f λ Id E ne soit pas injectif. Définition (valeur propre, espace propre) Une valeur propre de l endomorphisme f est un scalaire λ tel que l endomorphisme f λ Id E ne soit pas injectif. Le noyau E λ (f) = Ker(f λ Id E ) est alors appelé sous-espace propre associé à la valeur propre λ. Les vecteurs non nuls de l espace propre E λ (f) sont donc les vecteurs propres associés à la valeur propre λ. On a aussi la description E λ (f) = {x E f(x) = λx}. Dire que l espace propre E λ (f) est réduit à l espace nul, c est dire que λ n est pas valeur propre de f. Définition (spectre) Le spectre d un endomorphisme est l ensemble de ses valeurs propres. On le note Sp(f). L objectif est donc de trouver une base de E formée de vecteurs propres, ou de décomposer l espace E en somme directe de sous-espaces propres (en concaténant les bases de ces espaces propres, on obtient alors une base de E, formée de vecteurs propres). Un premier résultat encourageant est le suivant : Théorème (indépendance des sous-espaces propres) Soient λ 1,..., λ p des valeurs propres deux à deux distinctes de f. Alors la somme E λ1 (f)+ +E λp (f) est directe. Démonstration. Il s agit de démontrer que, si x 1,..., x p sont des vecteurs appartenant aux espaces propres E λ1 (f),..., E λp (f) et vérifiant x x p =, alors ces vecteurs sont tous nuls. Pour cela, procédons par récurrence sur p. Cas p = 2 : on considère deux vecteurs x 1 E λ1 (f) et x 2 E λ2 (f) tels que x 1 + x 2 =. On a donc f(x 1 + x 2 ) = f(), i.e. λ 1 x 1 + λ 2 x 2 =. En retranchant la première égalité (multipliée par λ 2 ) à la seconde, on obtient (λ 1 λ 2 )x 1 =, d où x 1 = (car λ 1 λ 2 ), puis x 2 = (car x 1 + x 2 = ). Soit p 2. Supposons le résultat établi pour p sous-espaces propres, démontrons-le pour p + 1 espaces propres. Choisissons donc x 1 E λ1 (f),..., x p+1 E λp+1 (f) tels que x 1 + +x p+1 =. En appliquant f, on trouve λ 1 x λ p+1 x p+1 = d où, par la combinaison linéaire L 2 λ p+1 L 1, (λ 1 λ p+1 )x (λ p λ p+1 )x p =. Or, pour tout entier i [[1, p]], le vecteur y i = (λ i λ p+1 )x i appartient à l espace propre E λi (f), et on a y y p =. Par hypothèse de récurrence, les y i sont tous nuls. Le scalaire λ i λ p+1 étant non nul, chaque vecteur x i (1 i p) est nul. L égalité x x p+1 = fournit alors x p+1 =, ce qui prouve la propriété au rang p + 1, donc pour tout entier p 2 par récurrence.

4 4.1. Éléments propres 51 Remarque 3. Autrement formulé, cela signifie que des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont des vecteurs indépendants. Corollaire Un endomorphisme f d un espace vectoriel de dimension finie n a au plus n valeurs propres distinctes. Démonstration. Soient λ 1,..., λ p des valeurs propres distinctes de f et E 1 (f),..., E p (f) les espaces propres associés. La somme directe E 1 (f) E p (f) est incluse dans E, donc on a dim ( E 1 (f)) + + dim(e p (f) ) n. Comme chaque espace propre est de dimension au moins égale à 1, on obtient p n. Remarque 4. En dimension n, un endomorphisme peut avoir n valeurs propres distinctes : c est le cas par exemple de l endomorphisme f : P XP de K n 1 [X], qui admet les n valeurs propres, 1,..., n 1 (en effet, pour tout k [[, n 1]], f(x k ) = kx k ). Remarque 5. En dimension infinie, un endomorphisme peut avoir une infinité de valeurs propres distinctes! Par exemple, l opérateur de dérivation de l espace vectoriel E = C (R, C) admet tous les nombres complexes pour valeurs propres. En effet, pour tout α C, la fonction f α : t e αt vérifie D(f α ) = αf α. Cette constatation est d ailleurs une façon très simple de montrer que la famille des fonctions f α (α C) est libre (ce qui signifie, rappelons-le, que toute sous-famille finie est libre). Théorème Soient f, g deux endomorphismes d un espace E qui commutent (i.e. tels que f g = g f). Alors tout sous-espace propre de f est stable par g. Démonstration. Soit λ une valeur propre de f et E λ (f) = {x E f(x) = λx} l espace propre associé. Pour tout vecteur x E λ (f), on a f ( g(x) ) = g ( f(x) ) = g(λx) = λg(x), ce qui prouve que le vecteur g(x) appartient à E λ (f). Une application linéaire est souvent donnée par sa matrice dans une base. On définit également la notion de valeur propre et de vecteur propre pour une matrice. Définition (valeur propre et vecteur propre d une matrice) Soit A M n (K) une matrice carrée. On appelle vecteur propre de A toute matrice colonne X non nulle telle qu il existe un scalaire λ vérifiant AX = λx valeur propre de A tout scalaire λ tel que la matrice A λ I n ne soit pas inversible. L ensemble E λ (A) = Ker(A λ I n ) = {X M n,1 (K) AX = λx} est l espace propre associé à la valeur propre λ spectre de A l ensemble Sp(A) de ses valeurs propres. Ainsi, si A est la matrice d un endomorphisme f dans une certaine base B, alors un scalaire λ est valeur propre de f si, et seulement si, il est valeur propre de A ; un vecteur x E est vecteur propre de f si, et seulement si, sa matrice X = mat B (x) est vecteur propre de A Polynôme caractéristique En dimension finie, les valeurs propres de f sont les scalaires λ pour lesquels f λ Id E n est pas bijectif (en dimension finie, l injectivité, la surjectivité et la bijectivité sont équivalentes), i.e. pour lesquels det(f λ Id E ) =.

5 52 Chapitre 4. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Proposition Soit f un endomorphisme d un espace de dimension finie. L application est polynomiale. Φ : K K λ det(f λ Id E ) Démonstration. Soit B une base de E et A = mat B (f). Pour tout λ, on a det(f λ Id E ) = det(a λ I n ). La méthode de développement d un déterminant par rapport à une ligne ou une colonne montre que ce déterminant est égal à une somme de produits de coefficients de la matrice A λ I n, i.e. un polynôme en λ. Définition (polynôme caractéristique) Soit f un endomorphisme d un espace E de dimension finie. Le polynôme caractéristique de f est le polynôme χ f K[X] tel que λ K, χ f (λ) = ( 1) n det(f λ Id E ). On définit de la même façon le polynôme caractéristique d une matrice carrée. Si A est la matrice de l endomorphisme f dans une certaine base B de E, on a donc χ A = χ f. Remarque 1. Dans les anciens programmes, ce polynôme était défini par χ f (λ) = det(f λ Id E ). Attention donc si vous consultez d anciens manuels ou sujets de concours... La raison du coefficient ( 1) n apparaîtra lorsque nous examinerons le coefficient dominant du polynôme. Exemple 1. Soit A = [ ] a b c d M2 (K). Pour tout λ K, on a χ A (λ) = ( 1) 2 a λ b c d λ = (a λ)(d λ) bc = λ2 (a + d)λ + ad bc, donc χ A = X 2 (a + d)x + (ad bc) = X 2 Tr(A)X + det(a). Théorème Soit A M n (K) une matrice carrée. Le polynôme caractéristique de A est de degré n exactement. Plus précisément, il vérifie χ A = X n Tr(A)X n ( 1) n det(a). Le théorème s applique bien sûr à un endomorphisme f d un espace de dimension n : son polynôme caractéristique est de la forme χ f = X n Tr(f)X n ( 1) n det(f). Démonstration. La linéarité par rapport à chaque colonne montre que l on a χ A (λ) = det(λ I n A). Notons A 1,..., A n les colonnes de la matrice A et D 1,..., D n les colonnes de la matrice I n. Pour tout entier k [[1, n]], la k ème colonne de la matrice λ I n A est égale à λd k A k, i.e. une combinaison linéaire de deux colonnes. En utilisant la linéarité du déterminant par rapport à chaque colonne, le déterminant de la matrice λ I n A s exprime comme somme de 2 n déterminants, qui sont construits en gardant, en k ème colonne, soit la colonne A k, soit la colonne λd K. Par exemple, pour n = 3, la linéarité par rapport à chacune des trois colonnes donne λ a 11 a 12 a 13 χ A (λ) = a 21 λ a 22 a 23 a 31 a 32 λ a 33 λ = λ λ + λ a 13 λ a 23 a 33 + λ a 12 a 22 a 32 λ + a 11 a 21 λ a 31 λ + = λ 3 a 33 λ 2 a 22 λ 2 a 11 λ 2 + = λ 3 Tr(A)λ 2 +

6 4.1. Éléments propres 53 Lorsque p exemplaires exactement des colonnes de la matrice λ I n sont conservés (et donc n p exemplaires des colonnes de la matrice A), on peut mettre λ en facteur dans chacune de ces p colonnes ; ce déterminant est donc égal à λ p det(m), où M est une matrice dont les coefficients ne dépendent pas de λ. On obtient donc un monôme de degré p exactement (ou le monôme nul dans le cas où cette matrice M vérifie det(m) = ). Comme on ne peut conserver que n exemplaires au plus des colonnes de la matrice λ I n, les monômes apparaissant dans l expression de det(λ I n A) sont tous de degré n au plus, donc le degré de χ A est au plus égal à n. Il est en fait exactement égal à n : en effet, la seule façon d obtenir un monôme de degré n est de conserver, dans chaque colonne, la partie provenant de la matrice λ I n et non de la matrice A. Il y a donc un unique terme de degré n, qui est det(λ I n ) = λ n. Le coefficient dominant de χ A est donc égal à 1. Il y a ensuite n façons exactement d obtenir un monôme de degré n 1 exactement : conserver, en n 1 occurrences exactement, les colonnes de la matrice λ I n et prendre, en une occurrence uniquement, une colonne de la matrice A. Si c est la k ème colonne de la matrice A qui a été conservée, le déterminant obtenu est égal à a kk. Le coefficient de λ k dans le résultat final est donc égal à a 11 a kk = Tr(A). Enfin, le coefficient constant est égal à χ A () = det( I n A) = ( 1) n det(a). Proposition Les valeurs propres d un endomorphisme d un espace de dimension finie (resp. d une matrice carrée) sont les racines de son polynôme caractéristique. Exemple 2. En dimension n, le polynôme caractéristique de l homothétie h de rapport r est χ h = (X r) n (en particulier, une homothétie a une unique valeur propre : son rapport). En effet, pour tout λ K, on a λ r χ h (λ) = ( 1) n λ r det(r I n λ I n ) = det(λ I n r I n ) =... = (λ r) n. λ r Remarque 2. Réciproquement, si un endomorphisme f vérifie χ f = (X r) n, ce n est pas nécessairement l homothétie vectorielle de rapport r! Par exemple, l endomorphisme f canoniquement associé à la matrice A = [ ] est χ = (X 1)2 ; pourtant, f n est pas l homothétie de rapport 1 (i.e. l application identité). Proposition Soient A, B M n (K) deux matrices. Si A et B sont semblables, elles ont le même polynôme caractéristique. La réciproque est fausse. Démonstration. Les matrices A et B étant semblables, il existe un endomorphisme f d un espace vectoriel E de dimension n et deux bases B, C de E telles que A = mat B (f) et B = mat C (f). On a alors χ A = χ f et χ B = χ f, d où χ A = χ B. Pour la réciproque, il suffit de considérer les matrices A = [ ] et B = [ 1 1 ] = I 2, qui ont même polynôme caractéristique mais ne sont pas semblables. Proposition (polynôme caractéristique d une matrice triangulaire ou diagonale) Soit A M n (K) une matrice triangulaire, de coefficients diagonaux λ 1,..., λ n. Alors χ A = (X λ 1 ) (X λ n ). C est en particulier vrai si la matrice A est diagonale. Démonstration. Résulte immédiatement du calcul du déterminant d une matrice triangulaire.

7 54 Chapitre 4. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Définition (multiplicité d une valeur propre) Soit f un endomorphisme d un espace de dimension finie et λ une valeur propre de f. La multiplicité algébrique de λ est sa multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique de f géométrique de λ est la dimension du sous-espace propre E λ (f) = Ker(f λ Id E ). Remarque 3. Il arrive que l on parle de la multiplicité d une valeur propre, sans préciser algébrique ou géométrique. Il s agit alors implicitement de la multiplicité algébrique. Théorème Soit λ une valeur propre d un endomorphisme f d un espace E de dimension finie. Sa multiplicité géométrique est inférieure ou égale à la multiplicité algébrique. Autrement dit : si λ est une racine de multiplicité ν du polynôme caractéristique, alors l espace propre associé est de dimension inférieure ou égale à ν. Démonstration. Soit d la dimension de l espace propre associé E λ (f). Considérons une base (e 1,..., e d ) de cet espace, que l on complète en une base B = (e 1,... e n ) de E. La matrice de f dans cette base est de la forme [ ] λ Id B A = mat B (f) =, C donc pour tout x K, on a χ f (x) = ( 1) n det(a x I n ) = ( 1) n (λ x) I d B C x I n d = ( 1) n det ( (λ x) I d ) det(c x In d ) = (x λ) d ( 1) n d det(c x I n d ) = (x λ) d χ C (x), donc χ f = (X λ) d χ C est divisible par (X λ) d : λ est racine de multiplicité au moins égale à d du polynôme caractéristique χ f. Remarque 4. On parle aussi de multiplicité algébrique et géométrique d une valeur propre d une matrice (c est la multiplicité algébrique et géométrique de λ en tant que valeur propre de l endomorphisme canoniquement associé). Exemple 3. Considérons la matrice A = M 3 (R) Pour tout réel λ, on a 5 λ 6 2 χ A (λ) = ( 1) λ λ 1 λ 6 2 = 1 λ 4 λ 2 1 λ 5 4 λ = (λ 1) 1 4 λ λ = (λ 1) 2 λ 1 2 λ = (λ 1) 2 λ 1 2 λ = (λ 1)(λ 2) 2 C 1 C 1 + C 2 + C 3 L 2 L 2 L 1 L 3 L 3 L 1

8 4.2. Diagonalisation et trigonalisation 55 donc χ A = (X 1)(X 2) 2. La matrice a deux valeurs propres : 1, de multiplicité algébrique 1, et 2, de multiplicité (algébrique) 2. Cherchons les multiplicités géométriques de ces valeurs propres. L espace propre E 1 (A) est de dimension au moins égale à 1 (car 1 est valeur propre de la matrice!), et au plus égale à 1 (multiplicité algébrique), donc l espace propre E 1 (A) est de dimension 1 exactement. On sait a priori que l espace propre E 2 (A) est de dimension 1 ou 2, mais on ne peut pas conclure directement. Calculons donc cette dimension, qui est la dimension de Ker(A 2 I 3 ). Par la formule du rang, il suffit de connaître le rang de cette matrice. Or rg(a 2 I 3 ) = rg = 2, donc dim(e 2 (A)) = 1. Dans ce cas, la multiplicité géométrique de la valeur propre 2 est strictement inférieure à sa multiplicité algébrique. Remarque 5. Dans la pratique, on essaye de calculer un polynôme caractéristique comme dans le calcul qui vient d être effectué : on essaye, par combinaisons linéaires de lignes et/ou colonnes, de faire apparaître des facteurs communs dans une même ligne ou colonne. 4.2 Diagonalisation et trigonalisation Diagonalisation Définition (endomorphisme diagonalisable) Un endomorphisme f d un espace E est dit diagonalisable si, et seulement si, il existe une base de E formée de vecteurs propres de f. En dimension finie (seul cas qui nous intéressera désormais), un endomorphisme est donc diagonalisable si, et seulement si, il existe une base B de E telle que la matrice de f dans la base B soit diagonale. Diagonaliser l endomorphisme f, c est trouver une telle base. Exemple 1. Une homothétie, un projecteur, une symétrie sont diagonalisable. Exemple 2. L endomorphisme f de R 2 dont la matrice dans la base canonique est A = [ 1 1 ] n admet aucune valeur propre : en effet, son polynôme caractéristique est χ A = X 2 Tr(A)X + det(a) = X Il n existe donc aucun vecteur x non nul tel que f(x) soit colinéaire à x (ce qui est assez raisonnable : nous verrons plus tard que f est une rotation...). Théorème (conditions nécessaires et suffisantes de diagonalisabilité) Soit f un endomorphisme d un espace E de dimension finie n. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1. l endomorphisme f est diagonalisable 2. l espace E est la somme directe des sous-espaces propres de f 3. la somme des dimensions des sous-espaces propres de E est égale à n 4. le polynôme caractéristique de f est scindé, et la multiplicité géométrique de chaque valeur propre est égale à sa multiplicité algébrique. Démonstration. 4 = 3 : supposons le polynôme caractéristique scindé et écrivons-le sous la forme χ f = (X λ 1 ) d1 (X λ p ) dp (donc d d p = n car χ f est de degré n). Les valeurs propres sont donc les λ i, et l hypothèse sur les multiplicités signifie que chaque espace propre E λi (f) est de dimension d i : la somme des dimensions est égale à n. 3 = 2 : supposons que la somme des dimensions des sous-espaces propres soit égale à la dimension de E. Comme ces sous-espaces sont en somme directe, E est la somme directe des sous-espaces propres de f.

9 56 Chapitre 4. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 2 = 1 : supposons que E soit la somme directe des sous-espaces propres de f. En choisissant une base de chacun de ces sous-espaces, on obtient, par concaténation, une base de E, formée de vecteurs propres de f, donc f est diagonalisable. 1 = 4 : supposons f diagonalisable. Choisissons une base B de E formée de vecteurs propres de f et écrivons la matrice A de f dans cette base. Notons λ 1,..., λ p les coefficients diagonaux de A et d i le nombre d occurrences du scalaire λ i. Le polynôme caractéristique de f est donc χ f = (X λ 1 ) d1 (X λ p ) dp, où d d p = n, donc scindé. Les valeurs propres de f sont les λ i et chaque espace propre E λi (f) est de dimension d i (par la formule du rang : la matrice A λ i I n est de rang n d i ), i.e. de dimension égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre λ i. Un cas particulier important est le suivant : Théorème (condition suffisante de diagonalisabilité) Soit f un endomorphisme de E de dimension finie n. Si f admet n valeurs propres deux à deux distinctes, f est diagonalisable. Les sous-espaces propres sont alors tous de dimension 1. Démonstration. En effet, sous cette hypothèse, notons λ 1,..., λ n les valeurs propres, et d i = dim(e λi (f)). On a ( n ) n dim E λi (f) = d i. i=1 Cette somme est inférieure ou égale à n (car n i=1 E λ i (f) E) et supérieure ou égale à n (car d i 1 pour tout i). Donc cette somme est égale à n, et E est égal à la somme directe des sous-espaces propres de f : l endomorphisme f est diagonalisable. De plus, les d i sont tous égaux à 1 : les espaces propres sont tous des droites. i=1 Remarque 1. Ce cas se produit si, et seulement si, le polynôme caractéristique de f est scindé à racines simples. En effet, si f admet les n valeurs propres deux à deux distinctes λ 1,..., λ n, en écrivant la matrice de f dans une base diagonale, on constate que χ f = (X λ 1 ) (X λ n ) : il est scindé à racines simples. Réciproquement, si le polynôme χ f est scindé à racines simples, f admet n racines deux à deux distinctes (car χ f est de degré n). Définition (matrice diagonalisable) Une matrice A M n (K) est dite diagonalisable si, et seulement si, il existe une matrice P inversible telle que la matrice P 1 AP soit diagonale. Diagonaliser la matrice A, c est trouver une telle matrice P inversible. Une matrice A est donc diagonalisable si, et seulement si, l endomorphisme f de K n canoniquement associé est diagonalisable. Tous les résultats énoncés pour les endomorphismes s étendent donc aux matrices carrées. Exemple 3. Diagonaliser, si possible, la matrice A =

10 4.2. Diagonalisation et trigonalisation 57 Commençons par calculer le polynôme caractéristique : pour tout réel λ, on a λ 1 2 χ A (λ) = ( 1) 3 1 λ 2 L 1 L 1 L λ λ 1 λ + 1 = 1 λ λ 1 1 = (λ + 1) 1 λ 2 C 2 C 2 + C λ 1 = (λ + 1) 1 λ λ = (λ + 1) 1 λ 2 λ = λ(λ + 1)(λ 1). La matrice admet trois valeurs propres distinctes : 1, et 1, donc elle est diagonalisable. Reste à trouver une matrice P inversible telle que P 1 AP soit diagonale (et plus précisément égale à diag( 1,, 1)). Pour cela, notons f l endomorphisme canoniquement associé à la matrice A et B = (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique de R 3. On cherche une base C = (ε 1, ε 2, ε 3 ) telle que mat C (f) = diag( 1,, 1). En notant P la matrice de passage de la base B à la base C, on aura alors P 1 AP = diag( 1,, 1). Pour cela, il faut trouver une base de chaque espace propre (dont on sait qu ils sont tous de dimension 1). Espace propre E (f) = Ker(f). Soit x = (x 1, x 2, x 3 ) un vecteur de R 3. On a la suite d équivalences : x 2 2x 3 = x E (f) x 1 2x 3 = L x 1 x 2 = 2 L 2 L 3 x 2 2x 3 = x 2 2x 3 = x 1 x 2 = { x 2 = 2x 3 x 1 x 2 = λ R x = (2λ, 2λ, λ), donc le vecteur ε 1 = (2, 2, 1) forme une base de E (f). Espace propre E 1 (f) = Ker(f + Id R 3). La même méthode (résolution d un système linéaire) montre que le vecteur ε 2 = (1, 3, 2) en forme une base (faites le calcul!). Espace propre E 1 (f) = Ker(f Id R 3) : on s intéresse maintenant au noyau de la matrice A I 3 = On constate que les colonnes de cette matrice vérifient C 1 + C 2 =, ce qui s écrit encore (A I 3 ) 1 1 =. [ 11 ] La matrice colonne appartient donc au noyau de la matrice A I 3, i.e. à l espace propre E 1 (A). En revenant aux vecteurs, cela signifie que le vecteur ε 3 = (1, 1, ) appartient à l espace propre E 1 (f). Comme on sait que celui-ci est de dimension 1, c en est même une base. Cette méthode permet d obtenir une solution «à vue» du système linéaire, sans avoir à le résoudre. Remarque 2. La même méthode marche aussi pour les autres espaces propres, mais les combinaisons linéaires sont moins faciles à voir. Par exemple, les colonnes de la matrice A vérifient 2C 1 + 2C 2 + C 3 =, ce qui indique que le vecteur ε 1 = (2, 2, 1) appartient au noyau de f.

11 58 Chapitre 4. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées La famille C = (ε 1, ε 2, ε 3 ) est libre (ce sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes), donc c est une base de R 3. Par construction, on a f(ε 1 ) =, f(ε 2 ) = ε 2 et f(ε 3 ) = ε 3, donc la matrice de f dans cette base C est B = diag(, 1, 1). En notant P la matrice de passage de la base B à la base C, cette matrice B est aussi égale à P 1 AP. La matrice P est P = (il n est pas utile de déterminer la matrice P 1 pour vérifier que P 1 AP = diag(, 1, 1)). Exemple 4. Calculer les puissances de la matrice A = M 3 (R) Comme les puissances des matrices diagonales sont faciles à calculer, on essaye de diagonaliser cette matrice. Commençons par calculer son polynôme caractéristique : pour tout réel λ, on a λ 1 2 χ A (λ) = ( 1) 3 1 λ L 1 L 1 + L λ 1 λ 1 λ = 1 λ λ 1 1 = (λ 1) 2 1 C 3 C 3 C λ 1 = (λ 1) λ = (λ 1) 2 (λ + 2). Notons à nouveau f l endomorphisme de R 3 canoniquement associé à la matrice A. L endomorphisme f a deux valeurs propres : 1, de multiplicité 2, et 2, de multiplicité 1. L espace propre E 2 (f) est donc de dimension 1, alors que l espace propre E 1 (f) est de dimension 1 ou 2. Plus précisément, si E 1 (f) est de dimension 1, alors f (donc A) n est pas diagonalisable, alors qu il l est si dim(e 1 (f)) = 2. Commençons donc par déterminer cet espace propre. Matriciellement, il revient au même de déterminer l espace propre E 1 (A), i.e. le noyau de la matrice A I 3 = Cette matrice est de rang 1 (les trois colonnes sont proportionnelles), donc son noyau est de dimension 2, donc f est diagonalisable. De plus, les colonnes de cette matrice vérifient C 1 C 2 = et 2C 1 + C 3 =, ce qui signifie que les vecteurs ε 1 = (1, 1, ) et ε 2 = (2,, 1) appartiennent à l espace propre E 1 (f). Comme ces vecteurs sont indépendants et que cet espace est de dimension 2, ils en forment une base. Pour déterminer l espace propre E 2 (f) = Ker(f + 2 Id R 3), on s intéresse au noyau de la matrice A + 2 I 3 = Les colonnes de celle-ci vérifient C 1 = C 3, donc le vecteur ε 3 = (1,, 1) forme une base de E 2 (f). La famille C = (ε 1, ε 2, ε 3 ) est une base de R 3, et la matrice de f dans cette base est diag(1, 1, 2). Matriciellement : la matrice P =

12 4.2. Diagonalisation et trigonalisation 59 est inversible (c est la matrice de passage de la base canonique à la base C ), et vérifie P 1 AP = diag(1, 1, 2) = D. Pour tout entier n, on a 1 A n = (P DP 1 ) n = (P DP 1 )(P DP 1 ) (P DP 1 ) = P D n P 1 = P 1 P 1. ( 2) n Le calcul donne par ailleurs d où, tous calculs faits, P 1 = A n = ( 2) n ( 2) n 1 2 2( 2) n ( 2) n 1 ( 2) n 1 + 2( 2) n On vérifie que, pour n =, on trouve bien la matrice I 3, et la matrice A pour n = 1. Exemple 5. Diagonaliser si possible A = M 3 (R) Le polynôme caractéristique χ A = (X 1)(X 2) 2 a déjà été calculé (exemple 3 du paragraphe 4.1.2). La matrice A a une valeur propre de multiplicité 1 et une valeur propre de multiplicité 2. Comme dans l exemple précédent, cette matrice est diagonalisable si, et seulement si, l espace propre E 2 (f) est de dimension 2. Mais cette fois-ci, la matrice A 2 I 3 = est de rang 2 (car de rang au moins égal à 2 : les deux premières colonnes sont indépendantes, et de rang différent de 3 : 2 est valeur propre), donc E 2 (f) est de dimension 1, et la matrice n est pas diagonalisable. Exemple 6. Diagonaliser si possible A = [ ] 1. 1 Le polynôme caractéristique est χ A = X Pour déterminer les valeurs propres de A, il convient de préciser si l on travaille sur le corps R ou sur le corps C. Si K = R, le polynôme caractéristique n est pas scindé, donc la matrice n est pas diagonalisable : il n existe aucune matrice P inversible à coefficients réels telle que la matrice P 1 AP soit diagonale. Si K = C, alors le polynôme caractéristique χ A = (X i)(x + i) est scindé à racines simples, donc A est diagonalisable : il existe une matrice P à coefficients complexes telle que P 1 AP soit diagonale (et plus précisément égale à diag(i, i)). Le calcul (faites-le!) donne (par exemple) P = [ ] 1 1 i i Suites récurrentes linéaires Considérons l ensemble E des suites vérifiant la relation de récurrence linéaire n N, u n+p = a p 1 u n+p a 1 u n+1 + a u n (où a,..., a p 1 sont des scalaires). Proposition L ensemble E est un K-espace vectoriel de dimension p.

13 6 Chapitre 4. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Démonstration. Il est parfaitement clair que E est un K-espace vectoriel. Pour étudier sa dimension, considérons l application f : E K p. u (u,..., u p 1 ) Cette application est linéaire, et le théorème de définition des suites par récurrence indique que, pour tous y,..., y p 1 K, il existe une unique suite vérifiant u = y,..., u p 1 = y p 1 et n N, u n+p = a p 1 u n+p a 1 u n+1 + a u n. Autrement dit, cette application linéaire f est bijective, donc dim(e) = dim(k p ) = p. On s intéresse au calcul de u n en fonction des premiers termes u,..., u p 1. Pour cela, remarquons que, en posant on a, pour tout entier n, où u n+1 X n = u n. u n+p 1, u n+1 X n+1 =. u n+p 1 =. u n+p 1 = AX n, u n+p a u n + a 1 u n a p 1 u n+p 1 A = a a 1 a p 2 a p 1 Par récurrence, on a X n = A n X. Calculer le terme général u n de la suite (le premier coefficient du vecteur X n ) revient donc à calculer les puissances de A. Pour ce faire, on cherche à la diagonaliser. Proposition Le polynôme caractéristique de la matrice A ci-dessus est. χ A = X p a p 1 X p 1 a 1 X a. Démonstration. Soit λ K. La manipulation C 1 C 1 + λc λ n 1 C n (détaillée en plusieurs étapes) donne λ 1. λ... det(λ I n A) =... 1 C 1 C 1 + λc 2 λ 1 a a 1 a p 2 λ a p 1 1 λ 2 λ 1. =... 1 C 1 C 1 + λ 2 C 3 λ 1 a λa 1 a 1 a p 2 λ a p 1 = 1. λ... =.... 1, λ 1 P (λ) a 1 a p 2 λ a p 1

14 4.2. Diagonalisation et trigonalisation 61 où P (λ) = a a 1 λ a p 2 λ p 2 + (λ a p 1 )λ p 1. Le développement par rapport à la première colonne fait apparaître une matrice triangulaire inférieure, dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1. On a donc χ A (λ) = ( 1) p+1 ( 1) p 1( λ p a p 1 λ p 1 a 1 λ a ). Remarque 1. La matrice a. 1.. a1 C = , 1 a p 2 1 a p 1 transposée de la matrice A précédente, est appelée matrice compagnon du polynôme P (qui est son polynôme caractéristique). Elle est d apparition assez fréquente en algèbre linéaire. En particulier, elle fournit simplement une matrice dont le polynôme caractéristique est imposé. Les valeurs propres de cette matrice A sont donc les racines du polynôme P = X p a p 1 X p 1 a 1 X a. Définition (équation caractéristique d une récurrence linéaire) L équation r p = a p 1 r p a 1 r + a est appelée équation caractéristique de la récurrence linéaire u n+p = a p 1 u n+p a 1 u n+1 + a u n. Ses racines sont les racines du polynôme caractéristique. Dans le cas p = 2, on retrouve l équation caractéristique de la récurrence linéaire d ordre 2 que vous avez étudiée l an dernier. Supposons ce polynôme scindé à racines simples et notons r 1,..., r p ces racines. La matrice A est alors semblable à la matrice D = diag(r 1,..., r p ), donc A n est semblable à D n = diag(r n 1,..., r n p ). Les formules de changement de base montrent alors que les coefficients de A n sont combinaisons linéaires des r n i. Il en est de même des coefficients de la matrice colonne An X, et en particulier de son premier coefficient u n. On a donc démontré le Théorème Si l équation caractéristique de la récurrence linéaire d ordre p admet p racines distinctes r 1,..., r p, alors les solutions de la récurrence sont les combinaisons linéaires des suites (r n 1 ) n,..., (r n p ) n. Plus précisément, si u est une suite vérifiant cette relation de récurrence, il existe un unique p-uplet (λ 1,..., λ p ) tel que n N, u n = λ 1 r n λ p r n p. L existence résulte de l énoncé précédent. Pour l unicité, il suffit de remarquer que, si la formule est vraie pour tout entier n, elle est en particulier vraie pour n [[, p 1]], ce qui conduit au système linéaire λ 1 r1 + + λ p rp = u. λ 1 r p λ p rp p 1 = u p 1 (dont les inconnues sont les λ i ). La matrice de ce système est la matrice de Vandermonde formée sur les scalaires deux à deux distincts r 1,..., r p, donc elle est inversible et le système admet une unique solution. Remarque 2. Dans le cas où les racines du polynôme P ne sont pas toutes simples, la situation est plus compliquée car on montre que la matrice A n est pas diagonalisable (vérifier que les espaces propres sont toujours de dimension 1). Ce cas sera étudié dans le cas particulier n = 2 dans le paragraphe suivant.

15 62 Chapitre 4. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Trigonalisation L exemple 5 du paragraphe précédent a montré que, même lorsque le polynôme caractéristique d une matrice (ou d un endomorphisme, ce qui revient au même) est scindé, la matrice (ou l endomorphisme) n est pas nécessairement diagonalisable. Définition (endomorphisme, matrice trigonalisable) Un endomorphisme f d un espace E de dimension finie est dit trigonalisable si, et seulement si, il existe une base B de E dans laquelle la matrice mat B (f) soit triangulaire supérieure. Une matrice A M n (K) est dite trigonalisable si, et seulement si, il existe une matrice P GL n (K) telle que la matrice T = P 1 AP soit triangulaire supérieure. Ainsi : une matrice A M n (K) est trigonalisable si, et seulement si, l endomorphisme f L(K n ) canoniquement associé est trigonalisable un endomorphisme f d un espace E est trigonalisable si, et seulement si, sa matrice, exprimée dans une base quelconque de E, est trigonalisable. Trigonaliser la matrice (ou l endomorphisme), c est trouver une telle matrice P (ou une telle base B). Théorème Une matrice A M n (K) est trigonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé. Un endomorphisme f d un espace E de dimension finie est trigonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé. Démonstration (non exigible). Les deux assertions étant équivalentes, nous les traiterons simultanément, utilisant alternativement le point de vue matriciel et le point de vue vectoriel. Si l endomorphisme est trigonalisable, on choisit une base B telle que la matrice A = mat B (f) soit triangulaire supérieure. Pour tout λ, la matrice λ I n λ est triangulaire supérieure, donc son déterminant est χ A (λ) = (λ a 11 ) (λ a nn ), donc le polynôme caractéristique est χ f = (X a 11 ) (X a nn ) : il est scindé. Pour la réciproque, raisonnons par récurrence sur la taille n de la matrice. Pour n = 1, le résultat est évident. Soit n 1. Supposons le résultat vrai pour toute matrice de taille inférieure ou égale à n et démontrons-le pour une matrice de taille n + 1. Soit donc A une telle matrice, χ son polynôme caractéristique et f l endomorphisme de K n+1 canoniquement associé. Soit r une valeur propre de A donc de f (le polynôme caractéristique est scindé) et ε 1 un vecteur propre associé. Complétons ce vecteur en une base B 1 de K n+1 : la matrice de f dans cette nouvelle base est de la forme r T 1 =. A 1 où A 1 M n (K). Matriciellement, en notant P 1 la matrice de passage de la base canonique à la base B 1, on a l égalité P1 1 AP 1 = T 1. Cette matrice T 1 étant triangulaire supérieure par blocs, elle vérifie :, λ K, χ(λ) = det(λ I n+1 T 1 ) = (λ r)χ A1 (λ). Par suite, on a χ = (X r)χ A1, donc le polynôme caractéristique de la matrice A 1 est scindé. Par hypothèse de récurrence, il existe une matrice Q 1 GL n (K) telle que la matrice T 2 = Q 1 1 A 1Q 1 soit triangulaire supérieure. Notons alors Q la matrice 1 Q =. Q 1 :

16 4.2. Diagonalisation et trigonalisation 63 c est une matrice inversible de taille n + 1, qui vérifie (en effectuant les produits par blocs) 1 r 1 Q 1 T 1 Q =. Q 1 1. A 1. Q 1 r =. Q 1 1 A 1Q 1 r =. T 2 = T qui est une matrice triangulaire supérieure. En notant P = P 1 Q (qui est une matrice inversible de M n+1 (K)), on a donc P 1 AP = T, ce qui prouve la propriété au rang n + 1, donc pour tout n par récurrence. [ ] 1 Exemple 1. Considérons la matrice A = r 2, où r est un scalaire. Son polynôme caractéristique 2r est χ A = X 2 2rX + r 2 = (X r) 2, donc A a une unique valeur propre, de multiplicité algébrique égale à 2. Si la multiplicité géométrique de cette valeur propre était égale à 2, A serait semblable de r I 2, donc égale à r I 2, ce qui n est pas. L espace propre est donc dimension 1 et la matrice n est pas diagonalisable. Trigonalisons-la. Pour cela, notons f l endomorphisme de K 2 canoniquement associé à A. Pour déterminer l espace propre E r (f), on calcule l espace propre [ ] ([ r 1 1 E r (A) = Ker(A r I 2 ) = Ker r 2 = Vect. r r]) On choisit donc pour premier vecteur de la nouvelle base ε 1 = (1, r). On complète ensuite avec le vecteur ε 2 = (, 1) (qui est bien indépendant du premier). Le calcul A [ ] = 1 [ ] 1 = 2r [ ] 1 + r r montre que l on a f(ε 2 ) = ε 1 + rε 2. [ ] r 1 La matrice T de f dans la base C = (ε 1, ε 2 ) est donc T = et la matrice P vérifiant P r 1 AP = T [ ] 1 est la matrice P =. r 1 [ ] 1 Exemple 2. Reprenons l exemple 5 du paragraphe : la matrice A = a pour polynôme caractéristique χ A = (X 1)(X 2) 2. Notons f l endomorphisme de R 3 canoniquement associé et cherchons une base C de R 3 telle que mat C (f) soit triangulaire supérieure. Pour l espace propre E 1 (f) = Ker(f Id R 3), on calcule l espace propre E 1 (A), i.e. qu on s intéresse au noyau de la matrice A I 3 =

17 64 Chapitre 4. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Les colonnes de cette matrice vérifient C 1 + C 2 + C 3 =, donc le vecteur ε 1 = (1, 1, 1) appartient à l espace propre E 1 (f), donc en forme une base. Pour l espace propre E 2 (f), on s intéresse au noyau de la matrice A 2 I 3 = On a cette fois-ci 2C 1 + 2C 2 + 3C 3 =, donc le vecteur ε 2 = (2, 2, 3) appartient à l espace propre E 2 (f) (et en forme même une base). Complétons la famille libre (ε 1, ε 2 ) en une base (ε 1, ε 2, ε 3 ) de R 3 : le fait que les deux premiers vecteurs soient des vecteurs propres de f montre que la matrice A 1 de f dans cette nouvelle base est de la forme 1 A 1 = 2, où les termes marqués restent à déterminer. Quelque soit le choix de ce vecteur ε 3, la matrice A 1 est triangulaire supérieure. La trace de A 1 étant par ailleurs égale à la trace de A, le terme situé en bas à droite est nécessairement égal à 2. Les deux autres termes dépendent du choix du vecteur ε 3. Choisissons par exemple le vecteur ε 3 = (1,, ) et déterminons ces deux autres termes. Remarquons tout d abord que ce choix est licite car ce vecteur n est pas combinaison linéaire des deux précédents (par exemple, le déterminant de la famille C = (ε 1, ε 2, ε 3 ) dans la base canonique de R 3 est égal à 1 ; en revanche, on ne pourrait pas choisir le vecteur (,, 1)...). Deux méthodes sont possibles pour terminer. Première méthode : on écrit la matrice de passage P de la base canonique à la base C, on calcule son inverse, et la matrice A 1 est A 1 = P 1 AP. On trouve P = , P 1 = 1 1 et A 1 = Deuxième méthode : on sait a priori qu il existe deux coefficients a, b tels que f(ε 3 ) = aε 1 + bε 2 + 2ε 3 (ce sont les deux coefficients cherchés). On calcule donc f(ε 3 ) 2ε 3, que l on cherche à exprimer comme combinaison linéaire de ε 1 et ε 2. Matriciellement, on a (A 2 I 3 ) = = 3 = 5 1 2, ce qui prouve que f(ε 3 ) 2ε 3 = 5ε 1 ε 2, donc que la matrice de f dans cette base C est A 1 = Attention! Le fait que f(ε 3 ) = (5, 3, 2) = 5e 1 +3e 2 +2e 2 (en notant e i les vecteurs de la base canonique) ne donne aucun renseignement sur les coefficients de la matrice A 1! Pour connaître les coefficients de la troisième colonne de cette matrice, il faut exprimer le vecteur f(ε 3 ) en fonction des vecteurs ε i de la nouvelle base C et non en fonction des vecteurs e i de l ancienne base. Corollaire (trigonalisation des matrices complexes) Toute matrice à coefficients complexes est trigonalisable ; tout endomorphisme d un C-espace vectoriel de dimension finie est trigonalisable. Démonstration. En effet, tout polynôme à coefficients complexes est scindé.

18 4.2. Diagonalisation et trigonalisation 65 Théorème Soit A M n (K) une matrice carrée dont le polynôme caractéristique est scindé. Notons λ 1,..., λ n ses valeurs propres (éventuellement confondues pour certaines). Alors Tr(A) = λ λ n det(a) = λ 1 λ n. Démonstration. Le polynôme caractéristique de A étant scindé, la matrice A est semblable à une matrice triangulaire supérieure T. Notons t i,j les coefficients de cette matrice : le polynôme caractéristique de T est égal à χ T = (X t 1,1 ) (X t n,n ). Comme ce polynôme caractéristique est aussi celui de A, les t i,i sont égaux aux λ i (avec même multiplicité). On a alors Tr(A) = Tr(T ) = n t i,i = i=1 n λ i et det(a) = det(t ) = i=1 n t i,i = i=1 n λ i. Terminons ce paragraphe en revenant sur le résolution des récurrences linéaires dans le cas où l équation caractéristique admet des racines doubles. Nous nous limiterons au cas p = 2. L équation admet donc une unique racine, notée r, double, donc la récurrence linéaire est u n+2 = 2ru n+1 r 2 u n (d équation caractéristique x 2 2rx + r 2 = ). [ ] 1 La matrice associée à cette récurrence linéaire est A = r 2. Nous avons étudié cette matrice 2r [ ] 1 dans l exemple 1, où nous avons vu qu en posant P =, on avait r 1 P 1 AP = [ ] r 1 = T. r Comme nous l avons vu, calculer u n revient à calculer A n ou, de façon équivalente, T n. L examen des premières puissances et une récurrence immédiate montrent que, pour tout entier n, on a [ ] T n r n nr = n 1 r n. Les coefficients de la matrice A n sont donc des combinaisons linéaires de r n et de nr n. On obtient Théorème Si l équation caractéristique de la récurrence linéaire u n+2 = au n+1 + bu n admet une racine double, notée r, alors les solutions de cette récurrence linéaire sont les combinaisons linéaires des suites (r n ) n et (nr n ) n. i=1

19 66 Chapitre 4. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

20 4.3. Test de compréhension du chapitre Test de compréhension du chapitre Questions 1. Soit f un endomorphisme d un espace E de dimension finie, et λ 1,..., λ p les valeurs propres de f. Est-il vrai que p p p a) E = E λi (f)? b) E λi = E λi (f)? i=1 i=1 i=1 c) f est diagonalisable si, et seulement si, E = p E λi (f)? i=1 2. Qu est-ce que la multiplicité algébrique d une valeur propre? La multiplicité géométrique? Quel lien y a-t-il entre les deux? 3. Combien un projecteur a-t-il de valeurs propres? Quelles sont-elles et quels sont les espaces propres associés? 4. Soit f un endomorphisme d un espace E de dimension n. Quelles sont les implications logiques entre les deux assertions suivantes : a) f est diagonalisable b) f admet n valeurs propres deux à deux distinctes. 5. Soient f et g les endomorphismes canoniquement associé aux matrices A = Combien y a-t-il de droites de R 3 stables par f? Par g? [ [ ] et B = [ ] Soient f, g deux endomorphismes qui commutent d un espace E. Que peut-on dire des sous-espaces propres de f? ] 7. Soit A =. Y a-t-il d autres matrices que les matrices diagonales qui commutent à A? 8. Soit f un endomorphisme d un espace E de dimension n. Quelles sont les implications logiques entre les trois assertions suivantes : a) f est inversible b) χ f () c) n est pas valeur propre de f. ] 9. À quelle condition sur les coefficients a, b, c, d, e, f la matrice A = 1. Une symétrie vectorielle est-elle toujours diagonalisable? [ 1 a 1 b c 2 d e f Soit f un endomorphisme nilpotent d un espace E. Quel est son spectre? est-elle diagonalisable? 12. Soit f un endomorphisme d un espace E de dimension n. On suppose que χ f = X n. Peut-on en déduire que f est nilpotent? 13. Soient A, B M n (K). Quelles sont les implications logiques entre les deux assertions suivantes : a) A et B sont semblables b) χ A = χ B. 14. Soit A M n (K). Y a-t-il un lien entre les valeurs propres de A et celles de A T? Entre les vecteurs propres? 15. Exhiber une infinité de matrices semblables à la matrice A = [ 1 2 ]. 16. On considère la matrice A = En commençant par trouver une valeur propre évidente, trouver toutes les valeurs propres (avec multiplicité) de la matrice A. Cette matrice est-elle diagonalisable?

21 68 Chapitre 4. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

22 4.3. Test de compréhension du chapitre Réponses 1. a) Non : si f n est pas diagonalisable, la somme des espaces propres est strictement incluse dans E. b) Oui : la somme des espaces propres est toujours une somme directe. c) Oui : théorème du cours. 3. Un projecteur a en général deux valeurs propres : ; l espace propre associé est le noyau du projecteur, i.e. l espace parallèlement auquel on projette 1 ; l espace propre associé est l espace des vecteurs invariants, i.e. l espace sur lequel on projette. Deux cas particulier : Id E est un projecteur qui admet 1 pour unique valeur propre, et l application nulle, projecteur qui admet pour unique valeur propre. 4. L assertion b) entraîne l assertion a) (cours) ; la réciproque est fausse (par exemple, l application Id E est diagonalisable, bien qu ayant une unique valeur propre). 5. L endomorphisme f admet trois valeurs propres simples, donc trois espaces propres, chacun étant de dimension 1. Il y a donc trois droites stables par f. La matrice B est de rang 1, donc son noyau est de dimension 2. Toute droite incluse dans le noyau de g (il y en a une infinité) est stable par g. 6. Chaque sous-espace propre de f est stable par g. 7. Notons f l endomorphisme canoniquement associé à la matrice A. Cet endomorphisme a trois valeurs propres simples, les trois espaces propres associés sont des droites, qui sont Vect(e i ), 1 i 3. Si M est une matrice qui commute à A, l endomorphisme canoniquement associé g commute à f, donc chacune des trois droites Vect(e i ) est stable par g, ce qui signifie qu il existe un scalaire λ i tel que g(e i ) = λ i e i : la matrice M = diag(λ 1, λ 2, λ 3 ) est diagonale. 8. Les trois assertions sont équivalentes (en effet, χ f () = ( 1) n det(f) ; les valeurs propres sont les scalaires λ tels que χ f (λ) = ). 9. La matrice A a deux valeurs propres doubles : 1 et 2. Le rang de la matrice A I 4 est en général égal à 1, sauf si a =, auquel cas il est égal à 2 (donc l espace propre E 1 est de dimension 2). De même, l espace propre E 2 est en général de dimension 1, sauf si f =, auquel cas il est de dimension 2. La matrice est donc diagonalisable si, et seulement si, a = f =. 1. Oui : on a E = Ker(s Id E ) Ker(s + Id E ). 11. On a Sp(f) = {}. En effet, f n est pas inversible donc est valeur propre de f. Réciproquement, si λ est une valeur propre de f et x un vecteur propre associé, on a f p (x) = λ p x pour tout entier p. Comme f p (x) = pour p grand, et que x, c est que λ =. 12. Oui. Le polynôme caractéristique de f est scindé donc f est trigonalisable. La seule valeur propre de f est, donc il existe une base B dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure, les coefficients diagonaux étant tous nuls. Cette matrice est nilpotente. 13. L assertion a) entraîne l assertion b) ; la réciproque est fausse. 14. Les matrices A et A T ont les mêmes valeurs propres : pour tout λ, on a det(a λ I n ) = det ( (A λ I n ) T) = det(a T λ I n ). En revanche, on ne peut rien dire des vecteurs propres (l égalité AX = λx ne donne aucun renseignement sur le produit A T X). 15. Toutes les matrices de la forme [ 1 a 2 ], a R, on deux valeurs propres distinctes, donc sont diagonalisables. Les valeurs propres étant 1 et 2, elles sont semblables à la matrice A. 16. Pour λ = 1, la matrice A λ I n n est pas inversible, donc λ = 1 est valeur propre. Comme rg(a+i n ) = n 1, la multiplicité géométrique de cette valeur propre est égale à n 1, donc sa multiplicité algébrique est au moins égale à n 1. Les valeurs propres sont donc λ 1 = = λ n 1 = 1 et λ n à déterminer (éventuellement égale à 1 elle aussi). La relation λ i = Tr(A) donne λ n = n 1. La multiplicité algébrique de la valeur propre 1 est donc égale à sa multiplicité géométrique, et c est aussi le cas pour la valeur propre n 1 (comme toujours pour une valeur propre simple). La matrice A est donc diagonalisable.