Mathématiques CPES. Année

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1 Objectifs de l'année Mathématiques CPES Année Le cours de mathématiques en CPES a été construit dans un but multiple : le premier objectif est de familiariser les élèves avec le travail et les méthodes qu'ils rencontreront dans le cadre de leurs études dans le supérieures, tant du point de vue de la quantité de travail que des attentes (travail personnel accru, capacité d'apprentissage rapide de notions nouvelles...). Le choix a été de se baser sur les grandes lignes du contenu et de l'esprit des classes préparatoires, avec à l'esprit «qui peut le plus, peut le moins». En effet, les méthodes et réflexes nécessaires en classe préparatoire ne peuvent que donner de très bonnes bases pour les études supérieures ; un autre objectif important est de les aider dans la recherche et la résolution de problèmes posés. Ils sont ainsi amenés à travailler par groupes, en cherchant par eux même des informations dans des livres, ou en expérimentant. Pour ce dernier point, ils se sont trouvés confrontés à des résultats ne menant à rien, et ils ont appris à les détecter et à en tirer le maximum d'informations. Ainsi, lors de la résolution d'exercices, ils devraient ne plus perdre trop de temps en explorant différentes pistes de recherche ; initier les élèves aux notions nouvelles qu'ils rencontreront en classe préparatoires. Un accent tout particulier a été mis sur les points du programme demandant une phase d'acquisition particulièrement difficile en raison de la nouveauté de la notion ou de la méthodologie liée à ce point du cours. En revanche, les chapitres demandant essentiellement un travail d'apprentissage «simple» sont laissés plus ou moins de côté : ils sont abordés rapidement lors d'exemples ou de généralisations de certains points, ou encore il sont traités directement par les élèves lors de travaux particuliers ; dans le cours, la plupart des résultats sont prouvés de manière rigoureuse. Ainsi, les élèves sont confrontés à différents types de raisonnements mathématiques. Ils sont aussi appelés à déterminer le principe fondamental d'une preuve, et à en déterminer les étapes importantes. De ce fait, ils sont capables de retenir un raisonnement sans pour autant faire du par cœur, ce qui entraînerait un apprentissage du type bachotage et non une compréhension réelle ; certaines notions calculatoires du programme seront l'occasion de permettre plus particulièrement aux élèves de se trouver confrontés à des problèmes de temps dans les calculs. Nous axerons ainsi également l'année dans le but de les entraîner à effectuer des calculs rapides et efficaces (en vue entre autre de les aider pour les épreuves de concours). Ils devraient ainsi trouver plus facilement des réflexes pour mener à bien des calculs plus ou moins longs ; initier les élèves à l'utilisation de l'informatique et de la programmation, comme cela se fait désormais en CPGE. De ce fait, il sera organisé des séances d'utilisation du langage Python (langage choisi à l'epa). Ce sera également l'occasion d'initier les élèves à l'algorithmique et dans le but d'aider les élèves à structurer un raisonnement de manière rigoureuse. Programme CPES Le programme de mathématiques en classe CPES part du programme de terminale S et fait le lien avec celui de première année de classe préparatoire. Un accent particulier est donné aux méthodes

2 de travail et à l'approfondissement des différentes notions. Il a également pour but de mettre en place les techniques nécessaires pour construire un raisonnement construit, cohérent et rigoureux par la définition stricte des notions et notations de base. Enfin, un des objectifs de ce programme est de donner de la culture mathématique aux élèves en abordant certaines notions moins étudiées au cours d'un cycle traditionnel. L'intérêt d'une telle pratique est de permettre aux élèves de prendre davantage de recul face aux notions afin de mieux les aborder par la suite. Le programme actuel a été présenté à un inspecteur général de mathématiques, qui l'a validé. Organisation des cours Le cours s'articule suivant trois grands axes. Un premier concernant à (re)mettre en place les techniques de bases des mathématiques, telles que la démonstration, la logique ou le raisonnement en général. Ensuite vient une phase liée plus particulièrement à l'approfondissement des notions de terminales. Au cours de celle ci, nous partirons des programmes de terminale, mais nous y ajouterons systématiquement les aspects étudiés en classe préparatoire, éventuellement en mettant de côté les démonstrations les plus complexes. Pour ces dernières, nous nous contenterons du schéma global, Sans rentrer dans les détails. Nous ferons aussi quelques incursions dans le bestiaire mathématique des exemples et contre exemples ou des notions annexes. Enfin, une troisième phase sera consacrée aux notions exclusivement du programme de classe préparatoire. Dans cette partie de l'année, nous y découvrirons des notions nouvelles. Les différentes phases, principalement les seconde et troisième, seront plus ou moins imbriquées les unes dans les autres. L'introduction des notions complètement nouvelles permettant parfois d'aborder plus sereinement les notions déjà vues les années précédentes. Ainsi, au bout d'une année de CPES, les élèves seront à même d'aborder une classe préparatoire sans difficultés. Ils posséderont au moins les rudiments du programme de première année de classe préparatoire, mais ils auront à leur disposition tous les outils nécessaires pour mener à bien un parfait raisonnement. Ils auront aussi le recul nécessaire pour aborder en détail tous les aspects du programme. Programme de l'année En mathématiques, le programme de CPES est orienté vers une préparation aux mathématiques en classe préparatoire et non vers une révision du programme de terminale. Les notions de terminales ne seront vues que comme point de départ pour aller plus loin. Les chapitres énoncés ci dessous sont toujours susceptibles d'être modifiés ou réorganisés suivant la classe. 1. Rédaction logique. Ce premier chapitre ne prend pas beaucoup de temps mais il est fondamental pour la construction d'un raisonnement mathématique. Il a pour but de placer correctement les notions de logiques nécessaires pour effectuer un raisonnement. Nous y aborderons également les règles de bases d'une rédaction mathématique. Un document mal rédigé est souvent source d'erreurs. Si cela s'ajoute à l'angoisse d'un concours Notions sur les ensembles. Dans ce chapitre, nous reverrons la notion d'ensembles et les opérations sur ces derniers. Ce chapitre met l'accent sur la méthode de raisonnement dans le cas d'ensembles, comme par exemple pour montrer des égalités ou inclusions d'ensembles. Ces notions seront fort utiles lors de l'étude des structures algébriques, d'arithmétique et d'espaces vectoriels. 3. Calcul matriciel.

3 Ce chapitre présente le calcul matriciel «de base». Nous ne rentrerons pas ici dans les notions liées aux espaces vectoriels et applications linéaires. Nous nous contenterons de présenter ici les opérations matricielles et les applications directes des matrices. Ce sera l'occasion de se construire un ensemble où la multiplication n'est pas commutative et qui servira d'exemple «tordu» lors de l'étude des structures. Nous reviendrons brièvement sur ces notions lorsque l'on verra les applications linéaires. 4. Calculs de probabilités. Ce chapitre intéressera également particulièrement les élèves désirant se réorienter vers une classe préparatoire commerciale, comme nous en avons déjà eu, les probabilités étant un point très important de leur programme. Après un très rapide rappel sur les bases du calcul de probabilités, nous aborderons les notions de variables aléatoires à densité. Nous en profiterons pour faire les parallèles entre les variables aléatoires discrètes et les continues. Les différentes lois vues au lycée seront revues, ainsi que plusieurs lois continues usuelles. Une petite introduction au calcul intégral et aux intégrales généralisées sera faite dans ce chapitre en vue de pouvoir effectuer tous les calculs de probabilités nécessaires. 5. Structures. Nous aborderons les notions nouvelles de groupes, anneaux, corps et espaces vectoriels. Nous ne donnerons pas toutes les propriétés concernant ces derniers car ils feront l'objet d'un chapitre à part entière. Ces notions nouvelles pour les élèves sont fondamentales lors de l'étude des espaces vectoriels par exemple. Ces notions permettront d'introduire plus facilement les parties suivantes du programme en nous permettant de nous placer directement dans un corps ou un anneau par exemple. Ce chapitre permettra également de donner aux élèves d'autres méthodes de raisonnement, que seuls ceux ayant suivit l'enseignement de spécialité en terminale ont abordé en arithmétique. Plusieurs élèves de promotions antérieures de CPES m'ont affirmé que ce chapitre leur avait été particulièrement utile, tout comme les chapitres traitant de l'algèbre. 6. Polynômes et fractions rationnelles. Nous définirons les polynômes et les fractions rationnelles en tant qu'objet à part entière, puis en tant que fonction polynomiale. Une courte introduction de ces notions à l'aide des suites presque nulles sera faite mais uniquement dans le but de pouvoir illustrer de manière plus simple certains exemples où «ça ne marche pas comme on voudrait». Ce chapitre a pour but d'introduire la notion de développement limité qui sera vue par la suite. Nous y verrons également les propriétés sur les racines. Ce sera l'occasion de revenir un peu sur les nombres complexes, en prévision du chapitre qui leur sera consacré. 7. Étude de fonctions réelles et calcul différentiel. Dans ce chapitre, nous reverrons les notions de continuité, dérivabilité et limites des fonctions d'une variable réelle. Nous y aborderons aussi la notion de continuité uniforme et les fonctions de plusieurs variables. Nous y verrons aussi les notions de fonctions lipschitziennes. Ce chapitre est également l'occasion d'aborder les notions de base du calcul différentiel, avec entre autre les formules de Taylor. Ces notions, parfois plus difficiles si l'on veut introduire une rigueur suffisante seront revues plus précisément dans le chapitre sur l'étude des comparaisons de fonctions 8. Espaces vectoriels de dimensions finies. Nous découvrirons les définitions et des exemples d'espaces vectoriels. Nous aurons l'occasion d'étudier les applications linéaires et toutes les propriétés liées à ces dernières. Il n'est pas à exclure d'aborder les espaces vectoriels de dimensions infinies. Nous aurons dans ce chapitre l'occasion de revenir sur la notion de matrice. Ici, ces dernières ne seront plus un «simple outil» mais elle traduiront une catégorie particulières d'objets mathématiques liés 9. Ensemble des nombres complexes.

4 Nous redéfinirons cet ensemble de nombres et ses propriétés. Nous aurons aussi l'occasion d'introduire plus précisément les liens entre ces nombres et la géométrie. Par exemple, nous reverrons les écritures complexes des transformations. Nous aurons également l'occasion d'aborder la notion de similitude, qui n'est abordée en terminale que par les élèves suivant l'enseignement de spécialité. 10. Produit scalaire et formes bilinéaires. Nous étudierons les formes bilinéaires en général, et nous verrons que l'on retrouve en fait une généralisation du produit scalaire étudié en terminale. Ce chapitre peut éventuellement se retrouver intégré au chapitre précédent. Nous pourrons y voir la traduction matricielle d'une forme bilinéaire. Les chapitres qui suivent seront traités en fonction du temps qu'il reste en fin d'année. 11. Fonctions usuelles. Dans ce chapitre nous aborderons une révision générale des fonctions usuelles vues au lycée, et nous découvrirons les fonctions circulaires. aux espaces vectoriels. 12. Comparaisons de fonctions. Ce chapitre, relativement court, fait un complément au chapitre sur le calcul différentiel. Il permet d'introduire les notions de fonctions équivalentes, négligeables et prépondérantes. 13. Il n'est pas impossible, si les besoins s'en font sentir de revenir sur certains points abordés rapidement dans d'autres chapitres, tels que les intégrales généralisées ou les équations différentielles par exemple. Ce programme détaillé est appelé à s'adapter à la classe et aux élèves. Les chapitres sur les fonctions usuelles ou les équations différentielles pourront éventuellement être repoussés en fin d'année voire supprimés s'il s'avère nécessaire de donner plus de temps à l'acquisition de notions plus complexes. En effet, le contenu de ces deux chapitres est essentiellement un «catalogue» de propriétés, et ne comporte pratiquement aucune nouveauté ou du moins rien de fort difficile. En revanche, il n'est pas à exclure d'y ajouter, suivant la motivation et la curiosité des élèves, des points de mathématiques relevant de domaines complètement extérieurs à ces notions sus nommées. De même, l'ordre des chapitres peut évoluer suivant les besoins du moment, par exemple les notions nécessaires en sciences physiques. Exposés Certains thèmes sont abordés sous forme d'exposés. Les élèves, par groupe de trois ou quatre, doivent préparer par eux mêmes certaines notions en vue de les présenter à l'ensemble de la classe. Ensuite, la séance se termine par des compléments de cours sur ces notions. Le but principal de ces exposés est triple : permettre à des élèves de découvrir par eux mêmes une notion nouvelle. En effet, les thèmes choisis pour les exposés font partie soit de notions qui ne seront pas vues en cours cette année, soit sur des notions qui seront vues mais qui n'ont pas encore été abordées. Ainsi, ils ont plus le réflexe d'aller regarder dans des livres afin de comprendre ce qu'ils n'auraient éventuellement pas compris en cours, ou d'approfondir certains points mathématiques ; forcer les élèves à assimiler et comprendre suffisamment une notion, de manière à être capable de l'expliquer à d'autres personnes ; travailler en groupe en se partageant le travail, l'exposé... et savoir expliquer quelque chose au tableau. Ce dernier point étant fort utile en vue de leur donner de l'assurance pour les

5 examens oraux qu'ils peuvent avoir au cours de leur scolarité à suivre. Suite à chaque exposé, un compte rendu écrit est remis et corrigé. La séance suivant l'exposé comporte une petite interrogation écrite de quelques minutes et portant sur les bases de la notion abordée la veille. Ainsi, d'une part les élèves qui présentent l'exposé doivent le faire le plus clairement possible, d'autre part, les autres élèves sont incités à poser des questions et ils doivent s'assurer d'avoir bien tout compris. Les difficultés et les exigences des exposés vont croissants tout au long de l'année. Les thèmes abordés en exposés sont donnés ci dessous. 1. Ensemble des entiers naturels et ensembles finis. 2. Calcul matriciel. 3. Déterminants. 4. Intégration et intégrales généralisées. 5. Variables aléatoires, lois usuelles (loi uniforme, de Bernoulli, binomiale), couples de variables aléatoires, espérance, variance et covariance, variables aléatoires indépendantes. 6. Structures algébriques. 7. Polynômes. 8. Fractions rationnelles. 9. Espaces vectoriels et applications linéaires (cas général, sans précisions de dimensions). 10. Espaces vectoriels de dimension finie. 11. Applications linéaires en dimensions finies. 12. Développements limités. 13. Équations différentielles. 14. Courbes paramétrées. 15. Équations et courbes polaires. 16. Comparaisons de fonctions. 17. Fonctions de deux variables réelles. 18. Espaces euclidiens. 19. Espaces affines. 20. Séries numériques, séries entières. 21. Coniques. Suivant les années, il est arrivé que certains élèves souhaitaient avoir «de quoi manger» (intellectuellement bien entendu). Ils me demandaient alors des sujets supplémentaires d'exposés qu'ils pourraient traiter et éventuellement exposer au reste de la classe en toute fin d'année. Si cette demande est reformulée cette année des thèmes en plus seront ajoutés, comme par exemple les formes quadratiques, et le lien avec les matrices (classification des coniques et quadriques).