Mélanges de cartes et mathématiques

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1 Mélags d carts t mathématiqus Bruo Blhost To cit this vrsio: Bruo Blhost. Mélags d carts t mathématiqus. mags ds Mathématiqus, CNRS, 2009, <hal > HAL d: hal Submittd o 6 Apr 2011 HAL is a multi-discipliary op accss archiv for th dposit ad dissmiatio of scitific rsarch documts, whthr thy ar publishd or ot. Th documts may com from tachig ad rsarch istitutios i Frac or abroad, or from public or privat rsarch ctrs. L archiv ouvrt pluridiscipliair HAL, st dstié au dépôt t à la diffusio d documts scitifiqus d ivau rchrch, publiés ou o, émaat ds établissmts d sigmt t d rchrch fraçais ou étragrs, ds laboratoirs publics ou privés.

2 Mélags d carts t mathématiqus L 17 mars 2009, par Bruo Blhost Histori, Profssur à l'uivrsité Paris, Pathéo Sorbo (pag wb) U jouur doit savoir mélagr ls carts t l magici, comm l trichur, ls battr sas ls mélagr! Ls mélags d carts prmttt fft d motr ds tours d prstidigitatio surprats. ls ouvrt aussi sur ds mathématiqus profods, probabilités, combiatoir, théori ds groups t mathématiqus discrèts. O vrra das ct articl commt la faço d mélagr ds carts pour jour t pour s amusr a ispiré ds rchrchs mathématiqus dpuis l siècl. XV MATHEMATQUES t magi puvt fair bo méag [1]! L mathématici Prsi Diacois (voir ici mêm), spécialist ds probabilités, a commcé par gagr sa vi comm prstidigitatur. Miux : la magi a été pour lui u véritabl sourc d ispiratio mathématiqu. E prstidigitatio, l grad art d Diacois, comm clui d so maîtr magi Dai Vro, c sot ls tours d carts. Ls carts à jour offrt mill possibilités pour l prstidigitatur : clui-ci put ls maipulr, pour ls fair disparaîtr t réapparaîtr à voloté ; il put aussi combir t calculr, pour produir ds ffts spctaculairs t iattdus. Ls tours d carts sot particulièrmt appréciés magi rapproché, ou clos-up, u typ d prstidigitatio qui s st cosidérablmt dévloppé au XX siècl, particulir aux Etats-Uis. ls sot aussi, hélas, très prisés ds trichurs, qui ot su dévloppr ds tchiqus frauduluss pour forcr l dsti das ls jux d argt. Nous allos ous itérssr ici à l histoir ds rlatios tr tours d carts t mathématiqus ous coctrat plus particulièrmt sur la qustio ds mélags. Nous commcros par la fi, avc l œuvr d Diacois, avat d évoqur l rôl ds mélags d carts das ls jux d hasard qui fot furur sous l Aci régim. Das u duxièm parti, ous vrros commt ls mélags d carts utilisés das ls récréatios mathématiqus ot ispirés ds mathématicis comm Mog t Grgo.

3 Commt mélagr ls carts? Mélagr st u opératio préalabl idispsabl das prsqu tous ls jux d carts. L objctif st bi sûr d rdr aléatoir la distributio ds carts pour qu la parti soit équitabl tr ls jouurs. E magi, o mélag aussi ls carts avat u tour pour rassurr ls spctaturs. E pricip, doc, u paqut mélagé st u paqut o préparé. Évidmmt, pour l magici comm pour l trichur, il st ri : l mélag ds carts, qu il soit régulir, simulé ou truqué st u élémt sstil du tour. C st doc au mélag ds carts qu Diacois mathématici s st surtout itérssé. l a cosidéré dux typs d mélags bi cous ds jouurs t ds magicis, l mélag américai (riffl shuffl) t l mélag parfait (prfct shuffl ou faro shuffl). L étud d cs dux mélags coduit à dux typs d problèms très différts. L mélag américai st-il aléatoir? C st Hri Poicaré qui a posé l prmir l problèm du mélag aléatoir ds carts, au début du XX siècl. U mélag st aléatoir quad ls carts mélagés sot distribués «au hasard», qul qu soit l ordr iitial. O dit alors aussi qu l ju st bi mélagé. Plusiurs mathématicis, dot Borl, Hadamard t Paul Lévy, ot étudié c problèm das l Etrdux-gurrs (voir Laurt Mazliak, Pritmps rgodiqu). L mélag américai, pratiqué commuémt au pokr par xmpl, st u mélag aléatoir. l comport dux opératios : u coup aléatoir du paqut iitial, doat dux paquts d coup iégaux (mais gééralmt d taills comparabls), t l mélag proprmt dit, cosistat à imbriqur ls dux paquts d coup par isrtio ds carts d l u das l autr pour formr l paqut fial. L mélag put s fair sas grad difficulté sur la tabl, d u coup d mai assz spctaculair : Sous c li, o trouvra u xmpl vivat.. L imbricatio ds carts y obéit à u sul règl : l ordr ds carts d chaqu paqut d coup

4 doit subsistr das l paqut fial. E rvach, plusiurs carts succssivs du paqut iitial puvt très bi s suivr das l paqut fial, si l imbricatio st imparfait. Après u sul mélag, l ju st doc gééral mal mélagé. O put s dmadr combi d mélags américais succssifs sot écssairs pour obtir u mélag aléatoir ds carts. Avc qulqus hypothèss simpls sur ls probabilités associés à la coup aléatoir t au mélag ds carts, o put costruir u modèl mathématiqu du mélag américai, tstabl xpérimtalmt. Diacois a pu aisi démotrr t vérifir qu u ju d 52 carts st bi mélagé, c st-à-dir mélagé d faço parfaitmt aléatoir, après 7 mélags américais succssifs (voir Diacois, 1992). E rvach, après sulmt 2 ou 3 mélags, il rst gééralmt das l paqut fial qulqus suits d carts ayat appartu au paqut iitial, c qui suffit à u magici imagiatif pour motr u tour ou à u trichur pour forcr u distributio d cart avc u très fort probabilité d succès! Ls mélags parfaits Avat d s itérssr aux mélags américais, Diacois a étudié ls mélags parfaits (ou mélags faro), utilisés par ls magicis pour ds tours spctaculairs. U mélag parfait st u mélag américai parfaitmt réussi, c ss qu la coup partag l paqut iitial dux paquts d coup égaux (si l ju a u ombr pair d carts) ou quasi-égaux (u cart d plus das u ds dux paquts si l ju à u ombr impair d carts) t qu l mélag ds dux paquts d coup st parfaitmt altré, u cart d u paqut succédat à u cart d l autr das l paqut fial. O put doc dir tout aussi bi qu c st u mélag américai complètmt raté, puisqu il a ri d aléatoir! Réussir u mélag parfait st tout cas u tour xtrêmmt difficil. Suls qulqus prstidigitaturs, dot Diacois, y parvit (prsqu) à chaqu coup : Voici, sous c li, u aprçu d so xécutio cocrèt.. E rvach, o l réalis très facilmt comptat ls carts t ls mélagat u par u, c qui a pu d itérêt pour l magici ou l trichur mais suffit au mathématici xpérimtatur.

5 Mélags d carts t théori ds groups L itérêt ds mélags parfaits tit à lurs propriétés mathématiqus rmarquabls. Qulqus otios préalabls sot ici écssairs. Gééralisat la défiitio ds mélags parfaits, o admttra d abord qu l mélag résultat d dux mélags parfaits succssifs st cor u mélag parfait, c qu o écrira. Comm o put toujours ramr u paqut à l état iitial répétat u crtai ombr d fois l mêm mélag, l mélag idtiqu laiss touts ls carts à la mêm plac, st aussi u mélag parfait, c qu o écrira. l s suit qu à tout mélag parfait corrspod l mélag parfait ivrs À1 M M, égal à À1 M, tl qu M:M À1 = M À1 :M = id M 1:M 2 = M, qui. O put résumr touts cs propriétés disat qu ls mélags parfaits d carts formt u group fii (lui-mêm sous-group du group d touts ls prmutatios possibls ds carts). E fait, comm il xist dux maièrs disticts d réalisr u mélag parfait d carts, l u xtériur, l autr itériur (out-shuffl oté t i-shuffl, oté ), slo qu la prmièr cart du paqut fial apparti à l u ou à l autr ds paquts d coup, tout mélag parfait st u suit fii d t d. Doc, l group ds mélags parfaits st clui gdré par t, autrmt dit l plus ptit sous-group d cotat t. O l otra. Diacois, associé à Graham t Kator, st parvu pour tout pair à détrmir la structur d, qui dépd sstillmt d la valur d modulo 4. Pour u ju d 52 carts, par xmpl,, l sous-group a 26 ho; i 26!2 élémts t st isomorph au group d Wyl B 26 ; pour u ju d 24 carts, cas très particulir, la structur du sous-group fait itrvir d faço surprat u group bi cou ds spécialists, l group d Matthiu 12. Tout cci ous xpliqu pas pourquoi ls mélags parfaits itérsst autat ls magicis. Pour u prstidigitatur, l importat st la maièr dot ls carts s déplact das l ju. L objctif st d fair allr, par ds mélags succssifs, u cart à u crtai positio détrmié à l avac, par xmpl au sommt du paqut, pour la fair apparaîtr à voloté. Or, justmt, l group st tl qu o put toujours passr u cart par u suit d t d d u positio doé à u positio qulcoqu das l ju (o dit qu il agit trasitivmt). Ecor faut-il, pour qu ctt propriété soit util pratiqumt, savoir costruir u tll suit d t d. C st là qu l mélag parfait révèl ds propriétés étoats. O id M = id O O S O ho; i ho; i =2 O ho; i O M S Déplacr ls carts ls mélagat E 1957, l iformatici t prstidigitatur amatur Alx Emsly découvrit xpérimtalmt qu il suffit, pour obtir la suit dmadé, d umérotr bas 2 ls carts das l paqut iitial commçat par l sommt du paqut. O do aisi à la prmièr cart l uméro 0, à la duxièm l uméro 1, à la troisièm l uméro 10 (2 bas 2), à la quatrièm l uméro 11 (3 bas 2), t aisi d suit. Pour amr la prmièr cart à u positio qulcoqu, il rst O plus qu à rmplacr chaqu 0 par t chaqu 1 par das l uméro xprimé bas 2 t à ffctur succssivmt ls mélags parfaits corrspodats, allat d la gauch vrs la

6 droit. Ctt propriété rmarquabl, qui put s démotrr par ds moys élémtairs, fourit par la mêm occasio la pruv qu l group st trasitif. Par xmpl, pour déplacr la prmièr cart à la positio d la cart, 1101 bas 2, il suffit d ffctur succssivmt ls ; ; O; 12 ho; i mélags parfaits. C «truc» prmt aussi d réalisr d magifiqus tours d cart, à la coditio, bi sûr, d savoir réalisr ds mélags parfaits, c qui st pas doé à tout l mod. l st baucoup plus difficil, malhurusmt, d détrmir u suit d t d qui réalis l opératio ivrs, c st à dir qui prmtt d ramr la cart haut du paqut. Diacois, cor lui, a récmmt doé u méthod systématiqu pour trouvr das chaqu cas la plus court suit d c gr. Das u ju d 52 carts, par xmpl, la plus court suit pour ramr O; ; ; ; u cart d la 30 positio au sommt du paqut st. l st d aillurs possibl, via u trasformatio, d itrprétr l déplacmt d u cart sous l fft ds mélags succssifs comm sa trajctoir sur u orbit discrèt situé das l spac ds phass, c qui fourit d autrs résultats. Cs méthods sot éamois trop compliqués pour êtr utilisabls prstidigitatio. O [0; 1] Commt battr ds carts sas ls mélagr ho; i hoi hi O Limitos-ous au cas du sous-group hoi élémts, st égal au ombr miimum d mélags O Parmi ls sous-groups d, o put cosidérr, pour u doé, ls groups cycliqus t, gdrés rspctivmt par t par. Lur étud st baucoup plus facil. O motr facilmt qu c ombr st égal à l ordr d 2 modulo pour pair. So ordr, c st-à-dir l ombr d ss qui ramèt l paqut à so état iitial., c st-à-dir au plus ptit tir pour lqul st divisibl par. L calcul motr qu croît pas k 2 k À 1 À 1 avc : das u ju d 13 carts, il faut 12 mélags xtériurs succssifs pour rvir à l état iitial, alors qu das u ju d 52 carts, il suffit d 8. O voit doc qu u prstidigitatur, ou u jouur mal ittioé, put battr 8 fois d suit u ju d carts sas modifir l ordr (alors qu l mêm ju, après 7 mélags américais, st bi mélagé!). C st ctt propriété rmarquabl, cou dpuis logtmps, qui paraît avoir justifié l itroductio du mélag parfait das l arsal d l scroc, puis du magici. À 1 k Ls mélags parfaits gééralisés Ls mélags parfaits à u sul coup puvt êtr gééralisés à ds mélags parfaits à

7 plusiurs coups. Par xmpl, supposos qu après avoir divisé par dux coups u ju d carts trois paquts égaux, o rform l ju prat succssivmt t toujours das l mêm ordr ls prmièrs carts ds trois paquts d coup, puis ls duxièms, t aisi d suit jusqu à épuismt dsdits paquts. Slo l ordr ds paquts, o obtidra aisi six mélags parfaits différts. O put alors gééralisr à cs mélags parfaits d u ouvau gr ls résultats obtus précédmmt, particulir pour l étud ds trajctoirs d carts. O vrra plus loi qu l tour ds trois paquts, cous dpuis bi logtmps, t ss gééralisatios utilist ds propriétés d cs mélags parfaits. 3p Mathématiqus t magi L xmpl ds mélags parfaits illustr assz bi c qui put rapprochr u joli problèm d mathématiqus d u joli tour d magi : u éocé simpl, u répos surprat t, tr ls dux, u démarch subtil. Ls mathématiqus y ajoutt l souci d la gééralité, tadis qu magi l importat st surtout la virtuosité, car c qui distigu toujours u bau tour d u bau problèm, y compris d récréatio, c st l illusio qui doit accompagr so xécutio. Ctt illusio s obtit gééralmt par l moy d u grad dxtérité maull ou d u discours trompur, l plus souvt cor par ls dux à la fois. Si l o rprd l cas ds mélags parfaits, lur bauté prstidigitatio tit aisi tout autat à l xtrêm difficulté d lur xécutio qu aux ffts surprats qu ils puvt produir. E s ispirat d la magi, l mathématici itroduit aisi das so art ds dimsios corporlls, matérills t socials qu o pourrait croir lui êtr étragèrs. Mais ls mathématiqus s sot jamais épaouis das u uivrs éthéré, sas matièr, i corps, i société. Au cotrair, c st au cotact ds réalités t répos aux bsois t aux désirs ds homms qu lls ot pu aîtr t s dévloppr. Comm l histoir l prouv abodammt, lls sot l produit du pouvoir, d l argt, du commrc t d la gurr, mais aussi du plaisir. Ctt origi tout humai s traduit das l activité mathématiqu ll-mêm : cll-ci s fait avc l corps, avc la mai qui trac, ls yux qui voit t ls doigts qui comptt, autat qu avc l sprit ; ll s fait société, par l éducatio, la discussio, la commuicatio t la publicatio, plutôt qu solitair ; ll s fait fi au moy d multipls auxiliairs matérils, tls ls objts, ls figurs, ls istrumts t ls ordiaturs. Quat à la moté abstractio qui caractéris u parti ds mathématiqus aujourd hui, il s agit d u phéomè réct, qui xclut ri ds sociabilités t ds matérialités spécifiqus, comm l motr d aillurs l itérêt suscité chz ls mathématicis ux-mêms par ls rchrchs d Diacois sur ls mélags parfaits. Das ls rapports tr magi t mathématiqus itrvit souvt u troisièm domai d activité : l ju. Parc qu la magi st souvt u ju t ls mathématiqus aussi qulqufois ; parc qu tr l mathématici t l magici, l jouur oscill : il doit rspctr ls règls, comm l prmir, mais il lui arriv d trompr, comm l scod ; parc qu fi l trichur t l illusioist puvt tirr l mêm profit ds mathématiqus. L xmpl ds mélags d carts illustrt parfaitmt cs rlatios complxs tr ls uivrs ludiqu, magiqu t mathématiqu. Jux d hasard avc ds carts Ls carts à jour ot probablmt été ivtés Chi sous la dyasti ds Tag, avat d passr au Proch-Orit, d où lls sot arrivés Europ au XV siècl. Mais c st au XV siècl qu la passio ds carts s y répad das la société, tali, puis Frac t aillurs,

8 mêm tmps qu ls typs d jux s multiplit. Parmi cs jux, cux d hasard occupt u plac gradissat. Ls dés, avc ou sas accssoirs, domit alors ls jux d hasard. U réflxio mathématiqu commc à s dévloppr pour cs jux, qui sot aussi ds jux d argt. L but st d prévoir l gai ou d forcr l dsti, avc ds préoccupatios morals, ou immorals, évidts. Ls prmièrs rchrchs sur ls probabilités émrgt das c cotxt, d abord tali, puis aillurs, avc Pascal, Huygs, Libiz t baucoup d autrs. À partir ds aés 1660, ls dés sot progrssivmt détrôés par ls carts, avc l apparitio d la basstt, du lasqut t surtout du pharao, tous és tali t qui s impost à la cour d Frac. L pharao Das tous cs jux d hasard, u baquir jou cotr ds jouurs, ou pots, ombr variabl. Cosidéros l cas du pharao, l plus populair ds jux d hasard au XV siècl, qui s jou avc 52 carts. Ls jouurs mist sur u ou plusiurs carts d lur choix, supposos l roi (la coulur st idiffért). À chaqu tour (ou taill), l baquir tir dux carts, la prmièr pour lui, la duxièm pour ls pots ; si sa cart st u roi, il gag t il rmport ls miss ; si cll ds pots st u roi, il prd t ls pots doublt lur mis. Si l roi sort dux fois d suit (c st u doublt), l baquir gag la moitié d la mis ds pots. La parti cotiu jusqu à épuismt du ju (il y a doc 26 taills). Ls jouurs ot la possibilité d misr à tout momt tr dux taills. Efi, l baquir put pas prdr la drièr taill, car la 52 cart, qui st pour l pot, st toujours déclaré ull. Ls doublts t la drièr taill assurt au baquir u avatag légr mais crtai, qu ls mathématicis du XV siècl (Motmort, Eulr) ot pu calculr. C st pourquoi ls grads jouurs d pharao, comm Casaova, prt toujours la plac d baquir. Trichr mélagat

9 XV Au siècl, l pharao fait furur à la cour t à la vill t ls scrocs sot légio (o ls appll ls «Grcs»). Pour trichr au pharao, il lur suffit, pricip au mois, d placr à u rag impair la cart sur laqull l pot a misé. Plus facil à dir qu à fair cours d ju. Mais si l pot st aïf, l opératio put réussir avc d l habilté t ds complics. U faço radical d trichr st bi sûr d préparr l ju d carts à l avac, par xmpl pour multiplir ls doublts. La règl du pharao prévoit qu début d parti, ls carts ot été bi mélagés, mais u faux mélag put produir l ordr désiré. C st das c cotxt qu l idé ds mélags parfaits paraît avoir émrgé. La prmièr mtio d u tl mélag, d après Diacois, s trouv das u ouvrag aglais sur ls jux d carts publié L autur aoym, qui l évoqu trois ligs à propos du basst, l cosidèr cpdat comm hoêt (fair). l faut attdr l XX siècl pour qu l mélag parfait soit xplicitmt décrit comm u moy d trichr au pharao, ou plutôt à u variat d c ju, l faro, qui coaît alors u grad succès aux Etats-Uis. Dès la fi du siècl, ls prstidigitaturs s sot mparés pour fair la bas d tours d magi. (Fi d la prmièr parti, scod parti à suivr...) Référcs, pour allr plus loi E. Blmas, Jour autrfois. Essai sur l ju das la Frac modr, Champ Vallo, S. Brt Morris, Magic Tricks, Card Shufflig ad Dyamic Computr Mmoris, Th Mathmatical Associatio of Amrica, P. Diacois, R. Graham t W. M. Kator, Th Mathmatics of Prfct Shuffl, Advacs i Applid Mathmatics, 4 (2) (1983) p

10 P. Diacois, Trailig th Dovtail Shuffl to its Lair, Aals of Applid Probability, (2) (1992), p P. Diacois t R. Graham, Th Solutios to Emsly s Problm, Math Horizos, 14 (fév. 2007), p J.-M. Lhôt, Histoir ds jux d société : géométris du désir, Flammario, L. Mazliak, Pritmps rgodiqu, Nots d cours (ENS), 6 t 13 décmbr Nots [ 1] Das ct articl, la magi sigifi toujours la magi blach, c st-à-dir l art d l illusio ou prstidigitatio. Crédits imags Pour citr ct articl : Bruo Blhost, Mélags d carts t mathématiqus. mags ds Mathématiqus, CNRS, E lig, URL :