Codage des nombres Résolution d équations Systèmes linéaires Dérivation Intégration Equation différentielles Optimisation

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Benjamin Chassé
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1 Stéphane GOBRON HES SO HE Arc ISIC 2015 Algorithmes Numériques Chapitre 1 Codage des nombres Résolution d équations Systèmes linéaires Dérivation Intégration Equation différentielles Optimisation Mots clés du cours

2 Codage Initiation Exemples de codage? Qu est ce qu un codage? En informatique Que code t on? Codage postal Ancien perse Pourquoi coder? Peut on tout coder? Y a t il un problème d optimisation? Codes civil code morale? Un codage permet de passer d'une représentation des données vers une autre Problématique Modèle mathématique Valeurs entières Codage Arithmétique Valeurs réelles Stockage Arithmétique Précision Labo 1 Représentation du codage de la Matrice

3 Problèmatique Comment communiquer avec quelque chose qui ne «comprend» que des zéros et des uns? Capacité mémoire d'un ordinateur par contrainte finie Beaucoup, vraiment beaucoup de zéros et de uns Modèle mathématique Changement de base Discrétisation Il n y a pas de modèle mathématique puisque nous traitons un problème purement informatique! Art et discrétisation code barres

4 Valeurs entières 1 octet = 8 bits Anglais «Octet» «byte» «Bit» «bit» Entier sur 1 octet avec signe et valeur absolue avec signe et complément Entier sur 2 octets Grand à la fin Petit à la fin Valeurs entières Pour le C et C++ Tableau récapitulatif Type de Signification Taille (en octets) Plage de valeurs acceptée donnée char Caractère à 127 unsigned char Caractère non signé 1 0 à 255 short int Entier court à unsigned short int int unsigned int Entier court non signé Entier Entier non signé 2 0 à (sur processeur 16 bits) 4 (sur processeur 32 bits) 2 (sur processeur 16 bits) 4 (sur processeur 32 bits) à à à à long int Entier long à unsigned long int Entier long non signé 4 0 à float Flottant (réel) 4 3.4*10 38 à 3.4*10 38 double Flottant double 8 1.7* à 1.7* long double Flottant double long * à 3.4*

5 Valeurs entières Arithmétique Très simple en passant par le codage Booléen Mais attention aux calculs avec des «int» En informatique, avec un codage sur des entiers : 7 / 2 = 3 et (7 / 2) x 2= 6 Valeurs réelles et signe Pour toute valeur réelle codée «x» x = S.M.2 e-d Formule du codage d un nombre réel «s» est le bit de signe Pour trouver «S» avec le bit de signe «s» : si s=1 => négatif donc S=-1 si s=0 => positif donc S=1 Exemple pour un codage sur 32 bits Ou encore S=-2s+1 bit de signe Mantisse de bits s m S M signe Valeur entre 0.0 et 1.0 ou entre 0.5 et 1.0

6 Mantisse et exposant «m» la mantisse de bits est faite tel que M=m/2 n, i.e. une valeur 0.0 < M < 1.0 Si «M» [0.5, 1.0[, on dit que la mantisse est normalisée «e-d» est l exposant dont seule la valeur «e» est stockée d (pour décalage) est fixé 2 E 1 1 avec E nb de bits pour e x = S.M.2 e-d Formule du codage d un nombre réel Exemple pour un codage sur 32 bits Pour 32 bits, E=8 => d = 127 Pour 64 bits, E=11 => d = 1023 Codage ANSI / IEEE Std /!\ ne pas confondre avec l ancienne norme IEEE Std Valeurs réelles n Bits pour 32 et 64 bits Bit le plus significatif n Bit le moins significatif Attention au «(+1)» Codage ANSI / IEEE Std /!\ ne pas confondre avec l ancienne norme IEEE Std 754 n n Réf.: J M. Blanc, "Analyse et Simulation, Chap.1, Comment un processeur calcule «, Fribourg

7 Valeurs réelles Exemple de calcul pour retrouver une valeur réelle Ici on cherche à trouver ce que l ordinateur a codé pour le calcul «9 divisé par 5» 32 bits => d=126 s e m m réel: m = = = M = (m / 2 24 ) Et pour e = = 127 x = (-2 x 0+1) x M x 2 e-d =1 x x Petits exercices Que valent ces codes?

8 Valeurs réelles Arithmétique L addition Concept Pour toute variable «réelle flottante» x et y de mantisse et exposant {m x, e x } et {m y, e y } Astuce : s arranger pour que e x et e y soient les mêmes Etape 0 : initialisation des float (32bits) x et y x = y = Notez bien que x et y sont normalisés Etape 1 : décaler le plus petit exposant vers la droite => y n est plus normalisé, et a perdu un peu de précision Dans ce cas e y e y +1 Etape 2 : addition des mantisses + = O O O O O ici x = 9.f / 5.f et y = 8.f / 9.f m x m y m x+y Valeurs réelles: l addition Composition du nouveau codage Etape 3 : normalisons la trame de bits e e+1 Etape 4 : élimination du dernier bit Réf.: J M. Blanc, "Analyse et Simulation, Chap.1, Comment un processeur calcule «, Fribourg

9 Valeurs réelles Précision La précision est toute relative Ainsi définir un «epsilon» peut se révéler difficile Les plus grands nombres finis à 32 et 64 bits Les plus petits nombres finis à 32 et 64 bits Nombres les plus proches de 1 vers le haut et le bas Développement info. Choix des équipes Vous avez 5 minutes pour former des équipes de 3 étudiants Indices! Regroupez vous avant tout pour réaliser une équipe homogène Trois critères Éloignement Affinité Complémentarité

10 Développement info. Réels sur 17 bits? (a) Développer la classe nombre réel sur 17 bits avec e à 5 bits /!\ La valeur de d est à trouver (3pts) Avec codage et décodage (b) Déduire en justifiant les limites de votre modèle : valeurs min, max et plus proches de zéro non nulles (1pts) Challenge : Implémentez l addition Super challenge (=> mini projet à discuter avec STG) : trouvez une approximation de avec ce codage et cette formule Indice! Réfléchissez bien avant de vous lancer dans le code Le coté SoftEng est tjrs sur 1pt Réf. de chapitre Merci! Questions? Références Remerciements spéciaux pour l utilisation du support de cours du prof. J M. Blanc, HES SO Fribourg Wikipédia Prochain cours Résolution d équation Problématique Modèle mathématique Méthode bissection Méthode de Newton Méthode du point fixe Labo 2 Résolution par point fixe et bissection

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