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1 Séminaires & Congrès 10, 2005, p FAMILLE ADMISE ASSOCIÉE À UNE VALUATION DE K[x] par Miche Vaquié Résumé. Toute vauation µ de K[x] proongeant une vauation ν donnée de K permet de construire une famie admise de vauations de K[x], essentieement unique, qui converge vers µ. L étude de ensembe E(K[x], ν) des vauations ou pseudo-vauations proongeant ν à K[x] peut aors se ramener à étude de ensembe F(K[x], ν) des famies admissibes, ce qui permet en particuier de définir une reation d ordre sur ensembe E(K[x],ν). Abstract (Admissibe famiy associated to a vauation of K[x]). Any vauation µ of K[x] extending a given vauation ν of K gives a construction of an amost unique admissibe famiy of vauations of K[x], which converges to µ. The study of the set E(K[x], ν) of the vauations or pseudo-vauations extending ν to K[x] is then reduced to the study of the set F(K[x],ν) of admissibe famiies. By this way we can define an order on the set E(K[x],ν). Introduction Soit K un corps muni d une vauation ν, à vaeurs dans un groupe ordonné Γ ν. Nous savons que nous pouvons obtenir toute vauation ou pseudo-vauation µ de anneau des poynômes K[x] qui proonge ν grâce à une famie admise de vauations convergente A = (µ i ) i I (cf. théorèmes 2.4 et 2.5 de [Va]). Nous rappeons dans une première partie es notions de vauations augmentées et de vauations augmentées imites, qui sont nécessaires pour définir es famies admises de vauations. Puis nous précisons dans une deuxième partie comment nous pouvons construire a famie admise associée à une vauation µ, ainsi nous pourrons a déterminer de manière essentieement unique à partir de µ. Cea nous permettra de définir certains invariants de cette vauation et de décrire ensembe de toutes es extensions de a vauation ν à K[x]. En particuier nous pouvons définir grâce aux Cassification mathématique par sujets (2000). 13A18, 12J10, 14E15. Mots cefs. Vauation, extension, famie admise. c Séminaires et Congrès 10, SMF 2005

2 392 M. VAQUIÉ famies admises une reation d ordre partie sur cet ensembe, et nous comparons cet ordre avec ordre nature défini par ordre sur e groupe des vaeurs. Toute famie admise est réunion de famies admissibes simpes, qui sont eesmêmes constituées d une partie discrète et d une partie continue. Dans une troisième partie, nous aons étudier a partie continue d une famie admissibe simpe. Nous aons en particuier donner une propriété des poynômes-cés imites associés à cette partie continue, propriété équivaente à une propriété des poynômes-cés apparaissant dans a partie discrète, propriété caractéristique donnée par MacLane ([McL1] Theorem 9.4, [Va] Théorème 1.11). Remerciements. L auteur tient à remercier e Mathematica Sciences Research Institute à Berkeey pour ui avoir offert un cadre de travai chaeureux et stimuant, pour un séjour au cours duque cet artice a été en partie rédigé. 1. Vauation augmentée et vauation augmentée imite Dans ce qui suit nous nous donnons une vauation ν sur un corps K et toutes es vauations ou pseudo-vauations µ de anneau des poynômes K[x] que nous considérons sont des proongements de ν. Nous nous donnons aussi un groupe totaement ordonné Γ, contenant e groupe des ordres Γ ν de a vauation ν, et toutes es vauations ou pseudo-vauations µ de K[x] ont eur groupe des ordres Γ µ qui est un sous-groupe ordonné de Γ. Nous définissons aussi ensembe totaement ordonné Γ = Γ {+ }. En fait nous supposerons dans a suite que a vauation ν de K est de rang fini r, aors nous pouvons considérer e groupe des ordres Γ ν comme un sous-groupe ordonné du groupe R r muni de ordre exicographique ([Ab], proposition 2.10), que nous notons Γ ν,r. Aors toute vauation ou pseudo-vauation µ de K[x] qui proonge a vauation ν est de rang r + 1 et son groupe des vaeurs Γ µ peut être incus dans e groupe ( R Γ ν,r )ex = ( R r+1). Nous pourons donc supposer dans a suite que e ex groupe Γ est e groupe ( R Γ ν,r )ex. Pour toute vauation µ de K[x] nous pouvons définir a notion de poynôme-cé φ, et si φ est un poynôme-cé pour µ et si γ est un éément de Γ vérifiant γ > µ(φ), nous pouvons définir une nouvee vauation µ de K[x], appeée vauation augmentée associée au poynôme-cé φ et à a vaeur γ que nous notons µ = [µ ; µ (φ) = γ]. Dans a suite, chaque fois que nous dirons que µ est a vauation augmentée associée à un poynôme φ et à une vaeur γ, ou que nous utiiserons a notation µ = [µ ; µ (φ) = γ], nous supposerons que e poynôme φ est un poynôme-cé pour a vauation µ et que a vaeur γ appartient à Γ et vérifie γ > µ(φ). De pus nous pouvons aussi définir a notion de famie de vauations augmentées itérées comme une famie dénombrabe (µ i ) i I de vauations de K[x], I = {1,..., n} ou I = N, associée à une famie de poynômes ( φi )i I et à une famie ( ) γ i i I d ééments de Γ, tee que chaque vauation µ i, i > 1, est une vauation augmentée de a forme µ i = [µ i 1 ; µ i (φ i ) = γ i ] et où a famie des SÉMINAIRES & CONGRÈS 10

3 FAMILLE ADMISE ASSOCIÉE À UNE VALUATION DE K[x] 393 poynômes-cés ( φ i ) vérifie es deux propriétés suivantes : pour tout i > 2 nous avons deg φ i deg φ i 1 et es poynômes φ i et φ i 1 ne sont pas µ i 1 -équivaents. Nous renvoyons aux artices de MacLane [McL1], [McL2], et à artice de auteur [Va], pour es définitions et es propriétés des poynômes-cés, des vauations augmentées et des famies de vauations augmentées itérées. Dans [Va], nous avons introduit a notion de famie admissibe simpe de vauations de K[x] : une famie admissibe simpe S est composée par a réunion de deux famies D et C définies de a manière suivante. La famie D = (µ i ) i I est une famie non vide de vauations augmentées itérées de K[x] tee que a famie de poynômes-cés ( φ i )i I vérifie inégaité stricte deg φ i > deg φ i 1 ; de pus nous pouvons vérifier que pour tout i, sauf éventueement pour i = n e pus grand éément de I, a vaeur γ i appartient à Γ ν Z Q. La famie C = ( µ α est une famie de vauations de K[x], où ensembe A )α A est un ensembe totaement ordonné, sans éément maxima, associée à une famie de poynômes ( ) φ α α A de même degré d, et à une famie ( γ α d ééments de Γ, )α A pour tout α < β dans A, φ β est un poynôme-cé pour a vauation µ α et a vauation µ β est a vauation augmentée µ β = [µ α ; µ β (φ β ) = γ β ], avec γ β > µ α (φ β ) = γ α. La famie C est vide si a famie D est infinie, sinon e degré d des poynômes-cé φ α est éga au degré du dernier poynôme-cé φ n de a famie ( φ i associée à D, et pour )i I tout α dans A, a vauation µ α est a vauation augmentée µ α = [µ n ; µ α (φ α ) = γ α ]. En fait si nous savons que pour un indice α a vauation µ α est a vauation augmentée µ α = [µ n ; µ α (φ α ) = γ α ], nous en déduisons que pour tout β > α, a vauation µ β est aussi a vauation augmentée µ β = [µ n ; µ β (φ β ) = γ β ]. De pus pour tout α dans A, e groupe des ordres de a vauation µ α est éga au groupe des ordres de a vauation µ n. Les famies D et C sont appeées respectivement es parties discrète et continue de a famie admissibe simpe S. De pus si a famie C est vide, c est-à-dire pour S = D, nous disons que a famie S est une famie admissibe simpe discrète ou une famie admissibe discrète, et si a famie D ne contient qu une vauation, c est-à-dire pour S = ( µ α avec A )α A = {1} A, nous disons que a famie S est une famie admissibe simpe continue ou une famie admissibe continue. Remarquons que si C est a partie continue d une famie admissibe simpe S, pour tout α 0 dans A nous pouvons définir e sous-ensembe A = {α A α > α 0 } et a famie C = ( µ α. Aors C )α A est a partie continue d une nouvee famie admissibe simpe S définie par S = (µ α0 ) C. La famie S est une famie admissibe simpe continue et est une sous-famie de a famie C. En particuier toute partie continue C = ( µ α d une famie admissibe simpe S tee que A possède un pus )α A petit éément α 0 peut être considérée comme une famie admissibe continue, et nous dirons en fait que toute partie continue C est une famie admissibe continue, même si ensembe A ne possède pas de pus petit éément. SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2005

4 394 M. VAQUIÉ Soit C = ( µ α une famie admissibe continue de vauations, aors es groupes )α A des ordres des vauations µ α sont tous égaux à un même sous-groupe Γ de Γ, et ensembe Λ(A) = {γ α α A} est un sous-ensembe de Γ isomorphe à ensembe ordonné A. Nous en déduisons que Λ(A) n a pas de pus grand éément, en particuier si es vauations µ α sont discrètes de rang un, c est-à-dire pour Γ Z, cet ensembe n est pas borné. Nous disons que a famie admissibe continue C = ( µ α )α A est exhaustive si ensembe Λ(A) est un intervae du groupe Γ, c est-à-dire si pour tout α < α dans A, pour tout éément γ de Γ vérifiant γ α < γ < γ α, i existe α dans A te que γ = γ α. Pour pouvoir définir a notion de famie admissibe de vauations de K[x] nous devons d abord introduire a notion de vauation augmentée imite associée à une famie admissibe continue. Soit C = ( ) µ α α A une famie admissibe continue, associée à a famie ( φ α )α A de poynômes-cés dans K[x] de degré d, et à a famie ( γ α de vaeurs dans Γ, )α A et soit Γ e groupe des ordres des vauations de C. Pour tout poynôme f de K[x] et pour tout α < β dans A nous avons µ α (f) µ β (f), avec égaité µ α (f) = µ β (f) pour deg f < d. De pus, si pour e poynôme f i existe α < β avec µ α (f) = µ β (f), aors pour tout α > α nous avons encore égaité µ α (f) = µ α (f). Nous pouvons définir e sous-ensembe Φ(A) de K[x] formé des poynômes pour esques a famie ( µ α (f) ) n est pas stationnaire à partir d un α A certain rang, Φ(A) = { f K[x] µ α (f) < µ β (f) α < β A }. Pour tout poynôme f de K[x] n appartenant pas à Φ(A) nous posons µ A (f) = sup ( µ α (f), α A ). En particuier µ A (f) est défini pour tout poynôme f de degré strictement inférieur à d, et si ensembe Φ(A) est vide µ A est une nouvee vauation de K[x]. Dans e cas où ensembe Φ(A) est non vide nous pouvons définir ensembe Φ(A) des poynômes unitaires appartenant à Φ(A) de degré minima, et tout poynôme φ appartenant à Φ(A) est un poynôme-cé imite pour a famie C = ( µ α (cf. [Va], )α A proposition 1.21), et un te poynôme φ permet aors de définir une vauation augmentée imite pour a famie C. Rappeons a définition de a vauation augmentée µ = [µ ; µ (φ) = γ] de K[x], construite à partir d une vauation µ, associée à un poynôme-cé φ pour µ et à une vaeur γ dans Γ vérifiant γ > µ(φ). Pour tout poynôme f de K[x], nous écrivons e déveoppement de f seon es puissances de φ, f = g m φ m + + g 1 φ + g 0, où es poynômes g j, 0 j m sont de degré strictement inférieur au degré du poynômecé φ, et nous avons : µ (f) = inf ( µ(g j ) + jγ, 0 j m ). SÉMINAIRES & CONGRÈS 10

5 FAMILLE ADMISE ASSOCIÉE À UNE VALUATION DE K[x] 395 Rappeons que nous pouvons définir aussi pour tout poynôme unitaire φ de degré 1, φ = x + b, et pour toute vaeur γ de Γ une vauation µ de K[x] de a manière suivante. Tout poynôme f de K[x] s écrit de manière unique sous a forme f = a d φ d + + a 1 φ + a 0 et nous posons µ(f) = inf ( ν(a j ) + jγ, 0 j d ), nous notons cette vauation µ = [ν ; µ(φ) = γ]. De même a vauation augmentée imite µ construite à partir de a famie admissibe continue C = ( µ α, associée au poynôme-cé imite φ et à une vaeur γ )α A dans Γ vérifiant γ > µ α (φ) pour tout α dans A, est définie de a manière suivante. Pour tout poynôme f de K[x], nous écrivons encore e déveoppement de f seon es puissances de φ, f = g m φ m + + g 1 φ + g 0, es poynômes g j, 0 j m sont de degré strictement inférieur au degré du poynôme-cé φ, par conséquent sont de degré strictement inférieur à d est nous pouvons définir es vaeurs µ A (g j ), en fait nous pouvons trouver un indice α 0 te que pour tout j, 0 j m, nous ayons µ A (g j ) = µ α (g j ) pour tout α α 0. Nous posons aors : µ (f) = inf ( µ A (g j ) + jγ, 0 j m ). L appication µ ainsi définie est bien une vauation de K[x], à vaeurs dans Γ, qui vérifie µ (f) µ α (f) pour tout poynôme f de K[x] et pour tout α dans A, et µ (f) = µ A (f) pour tout f n appartenant pas à Φ(A). Nous a notons : µ = [( µ α )α A ; µ (φ) = γ ]. Nous renvoyons à [Va] pour es définitions précises et es propriétés des poynômes-cés imites et des vauations augmentées imites. Nous pouvons maintenant définir une famie admissibe, et aussi fixer es notations que nous utiiserons dans a suite. Définition. Une famie admissibe A pour a vauation ν de K est une famie de vauations (µ i ) i I de K[x], obtenue comme réunion de famies admissibes simpes A = S (j), j J où J est un ensembe dénombrabe, J = {1,..., N} ou J = N, et nous définissons J par J = {1,...,N 1} si J est fini et par J = J = N sinon. Pour tout j dans J a famie admissibe simpe S (j) est constituée d une partie discrète D (j) et d une partie continue C (j), S (j) = ( D (j) ; C (j)) = ( (µ (j) ) L (j); (µ (j) α ) α A (j)), avec L (j) = {1,...,n j } ou L (j) = N et A (j) ensembe totaement ordonné sans éément maxima, vérifiant : pour j appartenant à J, a partie discrète D (j) = ( µ (j) ) est finie et a L (j) partie continue C (j) = ( µ (j) α est non vide, et a première vauation µ )α A (j+1) (j) 1 de a famie simpe S (j+1) est une vauation augmentée imite pour a famie admissibe continue C (j) ; SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2005

6 396 M. VAQUIÉ a première vauation µ (1) 1 de a famie est a vauation associée à un poynôme unitaire φ (1) 1 de degré 1 et à une vaeur γ (1) 1, µ(1) 1 = [ν ; µ (1) 1 (φ(1) 1 ) = γ(1) 1 ]. Dans a suite, comme a vauation ν de K est fixée nous dirons simpement que A est une famie admissibe de vauations de K[x]. Nous pouvons aussi écrire a famie admissibe A comme une famie indexée par un ensembe totaement ordonné I, A = (µ i ) i I, et ensembe I peut être décrit de a manière suivante : pour tout j dans J, nous munissons ensembe B (j) = L (j) A (j) de ordre tota induit par es ordres sur L (j) et sur A (j) et défini par < α pour tout L (j) et tout α A (j) ; et nous posons I = { (j, b) j J et b B (j)}, muni de ordre exicographique, c est-à-dire (j, b) < (j, b ) si j < j dans J et (j, b) (j, b ) si et seuement si b b dans B (j). L ordre sur ensembe I peut être caractérisé par a reation suivante : i < k dans I si et seuement si pour tout poynôme f de K[x] nous avons µ i (f) µ k (f) et i existe au moins un poynôme g avec µ i (g) < µ k (g). Nous pouvons remarquer que es ensembes A (j) peuvent être choisis comme sousensembes des groupes des ordres des vauations µ (j) n j, par conséquent nous ne pouvons faire aucune hypothèse sur e cardina de ces ensembes, ni sur ceui de ensembe I et de a famie A. A toute famie admissibe A nous associons a famie des poynômes-cés ou poynômes-cés imites ( φ i, que nous appeons pour simpifier a famie des )i I poynômes-cés, et a famie des vaeurs ( γ i )i I. Définition. Une famie admissibe A = (µ i ) i I de vauations de K[x] est dite compète si ensembe I possède un pus grand éément ι, sinon a famie admissibe A est dite ouverte. Remarque 1.1. Une famie admissibe A est compète uniquement dans e cas où A est réunion d un nombre fini de famies simpes et où a dernière famie simpe S (N) est discrète finie, S (N) = ( µ (N) 1,...,µ n (N) ) N. Nous utiiserons aussi de manière essentiee e théorème de factorisation (théorème 1.19 de [Va]), pour cea, nous rappeons es notations suivantes. Soit C = ( µ α ) α A une famie admissibe continue, associée à a famie ( φ α )α A de poynômes-cés de degré d, et à a famie ( γ α )α A de vaeurs dans Γ, et nous supposons que ensembe A a un pus petit éément ω, nous pouvons toujours nous ramener à ce cas car nous ne nous intéressons qu à ce qui se passe pour α suffisamment grand. Nous définissons + te que α A, ω α < +, et A = A {+ }, et nous définissons formeement φ + par α A, µ α (φ + ) = γ α. SÉMINAIRES & CONGRÈS 10

7 FAMILLE ADMISE ASSOCIÉE À UNE VALUATION DE K[x] 397 Aors, si nous posons γ + = +, pour tout α dans A et tout β dans A, nous avons : µ α (φ β ) = inf(γ α, γ β ). Nous disons que deux poynômes f et g de K[x] sont A-équivaents, et nous notons f A g, si et seuement si pour tout α dans A, nous avons égaité µ α (f) = µ α (g). Théorème de factorisation. Soit f un poynôme de K[x] de degré n, avec n<(m+1)d, m 0, aors i existe {α 1,..., α m } dans A, avec ω α 1 α m +, et f 0 dans K[x] de degré deg f 0 < d tes que : f A f 0 φ α1 φ αm. Coroaire. Soit f un poynôme de K[x] de degré n, n < (m + 1)d, m 1, aors : i existe un entier s 0, i existe {α 1,..., α s } dans A, avec ω = α < 1 < α 2 < < α s < +, i existe des entiers r 1,..., r s, avec m r 1 > r 2 > > r s 0, tes que pour tout j, 1 j s, pour tout α avec α j α α j+1, nous avons : µ α (f) = µ αj (f) + r j γ α. En particuier pour tout poynôme f de K[x], de degré n < (m + 1)d, i existe α 0 dans A, un éément δ de Γ et un entier t, 0 t m te que pour tout α α 0, nous ayons µ α (f) = δ + tγ α. Le poynôme f appartient à ensembe Φ(A) si et seuement si entier t est strictement positif. Rappeons que si µ est une vauation de anneau K[x], nous disons que deux poynômes f et g sont µ-équivaents, et nous notons f g, si f et g ont même image µ dans agèbre graduée gr µ K[x], c est-à-dire si nous avons µ(f g) > µ(f) = µ(g). Et de même nous disons qu un poynôme g est µ-divisibe par un poynôme f, et nous notons f g, s i existe un poynôme h te que g soit µ-équivaent à hf. µ La proposition suivante permet de savoir à quees conditions deux poynômes φ 1 et φ 2 de K[x], qui sont poynômes-cés pour une vauation donnée µ de K[x], définissent a même vauation augmentée pour une vaeur γ fixée. Proposition 1.2. Soit µ une vauation de K[x], soient φ 1 et φ 2 deux poynômescés pour a vauation µ et soient γ 1 > µ(φ 1 ) et γ 2 > µ(φ 2 ) deux vaeurs dans un groupe totaement ordonné Γ contenant e groupe des ordres de µ. Aors es vauations augmentées µ 1 = [µ ; µ 1 (φ 1 ) = γ 1 ] et µ 2 = [µ ; µ 2 (φ 2 ) = γ 2 ] définies par ces poynômes et ces vaeurs sont égaes si et seuement si γ 1 = γ 2 et si es poynômes φ 1 et φ 2 ont même degré et vérifient µ(φ 2 φ 1 ) γ 1 = γ 2. Dans ce cas es poynômes φ 1 et φ 2 sont µ-équivaents. Démonstration. Supposons d abord que es deux vauations augmentées µ 1 et µ 2 soient égaes. Comme µ 2 (φ 1 ) = γ 1 est strictement pus grand que µ(φ 1 ), φ 1 est µ- divisibe par φ 2, d où inégaité deg φ 2 deg φ 1, et par symétrie nous en déduisons que φ 1 et φ 2 ont même degré d. Soit h = φ 2 φ 1, aors deg h < d, et nous avons SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2005

8 398 M. VAQUIÉ µ(h) = µ 1 (h) inf(γ 1, γ 2 ). De pus, de égaité φ 2 = φ 1 + h, nous déduisons γ 2 = µ 1 (φ 2 ) = inf(γ 1, µ(h)), d où inégaité γ 2 γ 1, et par symétrie égaité γ 1 = γ 2. Remarquons de pus que inégaité µ(h) γ 1 > µ(φ 1 ) entraîne que es poynômes φ 1 et φ 2 sont µ-équivaents. Supposons maintenant que es poynômes φ 1 et φ 2 sont de même degré d, soit h = φ 2 φ 1, d où deg h < d, et nous supposons µ(h) γ 1 = γ 2. Soit f un poynôme de K[x] de degré n et soit m(f) = m = [n/d] e degré du déveoppement de f seon es puissances de φ 1 (ou de φ 2 ), c est-à-dire te que nous ayons égaité f = f m φ m f 1φ 1 + f 0, avec deg f j < d pour tout j, et f m 0. Nous aons montrer par récurrence sur m(f) que pour tout f dans K[x], nous avons µ 1 (f) = µ 2 (f). Pour m = 0, c est-à-dire pour deg f < d, nous avons µ 1 (f) = µ 2 (f) = µ(f). Supposons que nous avons égaité µ 1 (g) = µ 2 (g) pour tout poynôme g avec m(g) < m et soit f avec m(f) = m. Nous pouvons aors écrire a division eucidienne de f par φ 1, f = pφ 1 +s, avec deg s < d et m(p) < m, et nous avons égaité µ 1 (f) = inf ( µ 1 (p)+γ 1, µ(s) ). Nous pouvons aussi écrire f = p(φ 2 h)+s = (p q)φ 2 +(s r), où ph = qφ 2 +r est a division eucidienne de ph par φ 2, et nous avons encore deg r < d et m(q) < m, et égaité µ 2 (ph) = inf ( µ 2 (q) + γ 2, µ(r) ). Nous trouvons aors µ(r) µ 2 (ph) = µ 2 (p) + µ(h) µ 1 (p) + γ 1, d où : µ(s r) inf ( µ(r), µ(s) ) inf ( µ 1 (p) + γ 1, µ(s) ) = µ 1 (f). De même, nous déduisons de µ 2 (q) + γ 2 µ 2 (ph) µ 1 (p) + γ 1 inégaité : µ 2 (p q) + γ 2 inf ( µ 2 (p) + γ 2, µ 2 (q) + γ 2 ) = µ1 (p) + γ 1 µ 1 (f). Par conséquent, nous avons : et par symétrie µ 2 (f) = µ 1 (f). µ 2 (f) = inf ( µ 2 (p q) + γ 2, µ(s r) ) µ 1 (f), Remarque 1.3. Soit φ 1 un poynôme de K[x] qui est un poynôme-cé pour a vauation µ, aors tout poynôme φ 2 unitaire, µ-équivaent à φ 1 et de même degré que φ 1 est encore un poynôme-cé pour µ. Mais es deux vauations augmentées µ 1 = [µ ; µ 1 (φ 1 ) = γ] et µ 2 = [µ ; µ 2 (φ 2 ) = γ] seront égaes si et seuement si nous choisissons une vaeur γ vérifiant µ(φ 2 φ 1 ) γ > µ(φ 1 ) = µ(φ 2 ). Nous avons un résutat anaogue pour es vauations augmentées imites. Proposition 1.4. Soit C = ( µ α une famie admissibe continue et soient ψ )α A et ψ deux poynômes-cés imites pour cette famie, aors es poynômes ψ et ψ sont µ α -équivaents pour tout α suffisamment grand. De pus es vauations augmentées imites µ 1 = [( ) µ α ; µ1 (ψ) = γ ] et µ 1 = [( ) µ α ; µ 1 (ψ) = γ ] définies respectivement par ψ et ψ et par es vaeurs γ et γ sont égaes si et seuement si γ = γ et si es poynômes ψ et ψ vérifient µ A (ψ ψ) γ > µ α (ψ) = µ α (ψ ). SÉMINAIRES & CONGRÈS 10

9 FAMILLE ADMISE ASSOCIÉE À UNE VALUATION DE K[x] 399 Démonstration. Si ψ et ψ sont deux poynômes-cés imites pour a famie C, nous pouvons écrire ψ = ψ + h avec deg h < deg ψ = deg ψ, en particuier i existe α 0 te que µ α (h) = µ α0 (h) pour tout α α 0. S i existait α α 0 avec µ α (h) = µ α (ψ) µ α (ψ ), aors pour β > α nous aurions µ β (h) < µ β (ψ) et µ β (h) < µ β (ψ ), ce qui est impossibe. Par conséquent nous avons µ α (h) > µ α (ψ) = µ α (ψ ), c est-à-dire ψ et ψ sont µ α -équivaents, pour tout α α 0. L équivaence entre égaité entre es vauations µ 1 = [( µ α ) ; µ1 (ψ) = γ ] et µ 1 = [( µ α ) ; µ 1 (ψ) = γ ] et es propriétes portant sur es vaeurs γ et γ et sur es poynômes-cés imites ψ et ψ se démontre comme pour a proposition Famie admise de vauations Nous considérons toujours un corps K muni d une vauation ν et soit L une extension monogène de K, c est-à-dire L = K(x) extension transcendante pure ou L = K(θ) = K[x]/(G) extension agébrique. Nous aons rappeer comment nous pouvons associer à toute vauation µ sur L qui proonge a vauation ν de K, une famie admissibe de vauations de K[x]. Nous remarquons que dans e cas d une extension transcendante L = K(x) toute vauation µ de L est déterminée par sa restriction, encore notée µ, à anneau des poynômes K[x], et que dans e cas d une extension agébrique L = K[x]/(G) toute vauation µ de L est déterminée par une unique pseudo-vauation µ de K[x] dont e soce P + = {f K[x] µ(f) = + } est idéa premier (G). Nous sommes ainsi dans es deux cas ramenés à étudier une vauation ou pseudo-vauation µ sur K[x] dont a restriction à K est a vauation ν. Nous notons Γ µ e groupe des vaeurs de a vauation ou de a pseudo-vauation µ, et Γ µ ensembe totaement ordonné défini par Γ µ = Γ µ {+ }. Remarquons aussi que a famie admissibe de vauations que nous aons définir à partir de a vauation µ de L dépend du générateur x ou θ de L sur K. Une famie admise A de vauations de K[x] associée à une vauation ou à une pseudo-vauation µ, est une famie admissibe (µ i ) i I indexée par un ensembe totaement ordonné I, où I possède un pus petit éément 1 et éventueement un pus grand éément ι, tee que pour tout i appartenant à I, sauf éventueement pour e pus grand éément ι de I quand i existe, µ i est une vauation de K[x], et µ ι est égae, quand ee existe, à a vauation ou à a pseudo-vauation µ. A cette famie de vauations (µ i ) i I sont associées une famie de poynômes de K[x], ( φ i, et une )i I famie de vaeurs dans ensembe Γ µ, ( γ i )i I, où seu γ ι peut éventueement prendre a vaeur +. Nous posons aussi 0 te que 0 < 1, c est-à-dire te que 0 < i pour tout i dans I, et nous notons µ 0 a vauation ν de K, ainsi pour tout poynôme φ 1 de degré 1 et pour toute vaeur γ 1, nous pouvons définir a vauation µ 1 = [µ 0 ; µ 1 (φ 1 ) = γ 1 ] sur K[x]. SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2005

10 400 M. VAQUIÉ Nous vouons que cette famie A vérifie es propriétés de «croissance» suivantes : croissance 1 : pour tout f dans K[x], a famie ( µ i (f) ) est croissante et i I majorée par µ(f), c est-à-dire i < j dans I, µ i (f) µ j (f) µ(f), et s i existe i < j dans I avec µ i (f) = µ j (f), aors i i nous avons µ i (f) = µ i (f) = µ(f). croissance 2 : a famie de poynômes ( φ i associée est à degrés croissants, )i I c est-à-dire i < j dans I, deg φ i deg φ j, et de pus pour tout f dans K[x] avec deg f < deg φ i nous avons µ i (f) = µ(f). Nous vouons que cette famie converge vers a vauation ou pseudo-vauation µ, c est-à-dire : convergence : pour tout f dans K[x] i existe une vauation µ i de a famie, ou éventueement une pseudo-vauation pour i = ι, tee que µ(f) = µ i (f). Et enfin nous vouons construire cette famie de vauations par récurrence, c est-àdire obtenir chaque vauation µ i de A soit comme vauation augmentée associée à une vauation précédente µ j, avec j < i dans I, soit comme vauation augmentée-imite associée à une famie continue de vauations (µ α ) de A, avec α < i pour tout α. Rappeons comment nous construisons cette famie (cf. [Va]). Supposons que nous avons trouvé a famie jusqu à ordre i, c est-à-dire que nous avons construit une famie de vauations ( µ j, avec i pus grand éément de J, )j J vérifiant es propriétés de croissance 1 et de croissance 2. Si a vauation µ i est égae à a vauation µ donnée, nous avons fini et a famie cherchée est a famie ( µ j )j J. Sinon, nous considérons ensembe non vide suivant : Φ µ (µ i ) = {f K[x] µ i (f) < µ(f)}, nous appeons d(µ i ) e degré minima d un éément de Φ µ (µ i ), et nous définissons aussi ensembe suivant : Φ µ (µ i ) = {φ K[x] µ i (φ) < µ(φ), deg φ = d(µ i ) et φ unitaire}. Dans a suite, chaque fois que a vauation ou pseudo-vauation µ avec aquee nous comparons a vauation µ i est donnée de manière caire et qu i n y a aucun risque de confusion, nous noterons ces ensembes respectivement Φ(µ i ) et Φ(µ i ). Tout poynôme φ appartenant à Φ(µ i ) est un poynôme-cé pour a vauation µ i (cf. [McL1] Theorem 8.1, [Va] Théorème 1.15), et comme γ = µ(φ) vérifie γ > µ i (φ), nous pouvons définir a vauation augmentée µ = [µ i ; µ (φ) = γ]. En ajoutant cette vauation µ = µ i+1 à a famie, nous trouvons bien une nouvee famie de vauations de K[x] qui vérifie encore es propriétés de croisance 1 et de croissance 2 et qui est pus proche que a vauation µ i de a vauation µ. Mais en procédant ainsi nous risquons de trouver beaucoup trop de vauations dans a famie, c est-à-dire des vauations «inuties», et surtout nous risquons de ne jamais trouver une famie qui vérifie a propriété de convergence. Nous aons donc essayer de voir s i est possibe de choisir un SÉMINAIRES & CONGRÈS 10

11 FAMILLE ADMISE ASSOCIÉE À UNE VALUATION DE K[x] 401 poynôme dans Φ(µ i ) qui soit meieur que es autres. Pour cea nous devons considérer e sous-ensembe de Γ µ défini de a manière suivante : Λ(µ i ) = {µ(φ) φ Φ(µ i )}. Remarque 2.1. Soit φ un poynôme de Φ(µ i ) et soit µ a vauation augmentée définie par φ et γ = µ(φ), µ = [µ i ; µ (φ) = γ], aors si ψ est un poynôme unitaire de degré d(µ i ) = deg φ vérifiant µ(ψ) > µ (ψ), ψ appartient à Φ(µ i ) et vérifie µ(ψ) > µ(φ) = γ (cf. [Va] Proposition 1.16). Lemme 2.2. Soit φ un poynôme de Φ(µ i ), et nous supposons qu i existe un poynôme unitaire ψ de K[x] de degré d(µ i ) vérifiant µ(ψ) > µ(φ). Aors ψ appartient aussi à Φ(µ i ), et vérifie µ(ψ) > µ i (ψ) = µ i (φ), et de pus a vaeur µ(φ) appartient au groupe des vaeurs Γ µi de a vauation µ i. Démonstration. Nous pouvons écrire ψ = φ + h avec deg h < deg φ = d(µ i ), par conséquent nous avons égaité µ(φ) = µ(h) = µ i (h) et µ(φ) appartient à Γ µi. Nous en déduisons aussi inégaité stricte µ i (h) > µ i (φ), d où égaité µ i (ψ) = µ i (φ), et ψ appartient à Φ(µ i ). Nous rappeons e résutat suivant qui est une conséquence éémentaire des propriétés des vauations augmentées. Lemme 2.3. Soient µ et µ deux vauations de K[x] vérifiant µ(f) µ (f) pour tout f dans K[x], soient φ appartenant à Φ µ (µ) et µ 1 a vauation augmentée définie par e poynôme-cé φ et a vaeur γ = µ (φ), µ 1 = [µ ; µ 1 (φ) = γ]. Aors pour tout poynôme f de K[x] nous avons es équivaences : µ(f) < µ (f) µ(f) < µ 1 (f) φ f. µ Coroaire. Soient µ, µ et µ trois vauations de K[x] vérifiant µ(f) µ (f) et µ(f) µ (f) pour tout poynôme f de K[x], aors es propriétés suivantes sont équivaentes : i) Φ µ (µ) = Φ µ (µ), ii) Φ µ (µ) = Φ µ (µ), iii) φ Φ µ (µ) φ Φ µ (µ) φ µ φ, iv) φ Φ µ (µ) φ Φ µ (µ) tes que φ µ φ. Nous pouvons maintenant préciser comment nous construisons a famie admissibe A, et ainsi préciser aussi a forme de cette famie. La famie cherchée A = (µ i ) i I est une famie admissibe, c est-à-dire est obtenue comme réunion d une famie dénombrabe de sous-famies admissibes simpes, A = j J S(j), avec J = {1,...,N} ou J = N. Chaque famie admissibe simpe S (j), sauf éventueement a dernière si ensembe J est fini, est réunion d une partie discrète finie et d une partie continue, c est-à-dire nous pouvons écrire S (j) = SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2005

12 402 M. VAQUIÉ ( (j) µ 1,...,µ(j) n j ; (µ (j) ) ( (j) α ) α A (j) = (µ ) L (j); (µ (j) α ) α A (j)), où L (j) = {1,...,n j }. La dernière famie S (N), quand ee existe, est soit de a forme précédente, soit discrète de a forme S (N) = ( µ (N) ), avec L (N) fini ou infini. L (N) Définissons d abord a première famie admissibe simpe S (1) = S, sa partie discrète est construite par récurrence de a manière suivante. (Pour aéger es notations, nous aons écrire dans a suite µ i, φ i et γ i à a pace respectivement de µ (1) i, φ (1) i et γ (1) i ). Supposons que nous avons défini a vauation µ i comme vauation augmentée µ i = [µ i 1 ; µ i (φ i ) = γ i ], et que nous avons égaité µ i (f) = µ(f) pour tout poynôme f de K[x] avec deg f deg φ i. Nous considérons e sous-ensembe Λ(µ i ) de Γ µ défini précédemment, et nous avons deux cas à considérer. Si ensembe Λ(µ i ) a un pus grand éément γ i+1, nous choisissons φ i+1 dans Φ(µ i ) avec µ(φ i+1 ) = γ i+1, et nous construisons a vauation augmentée µ i+1 par µ i+1 = [µ i ; µ i+1 (φ i+1 ) = γ i+1 ]. Aors nous avons trouvé une nouvee vauation de a famie discrète et e poynômecé φ i+1 vérifie deg φ i+1 = d(µ i ) > deg φ i = d(µ i 1 ). I reste à vérifier que pour tout poynôme f de K[x] avec deg f deg φ i+1, nous avons µ i+1 (f) = µ(f), c est évident pour f de degré d < deg φ i+1 = d(µ i ) et pour f de degré d = deg φ i+1 c est une conséquence du choix de γ i+1 et de a remarque 2.1. Remarquons enfin que e poynôme φ i+1 ainsi obtenu vérifie par construction deg φ i+1 = d(µ i ) et que nous avons d(µ i ) < d(µ i+1 ). Si ensembe Λ(µ i ) n a pas de pus grand éément, aors nous choisissons un éément φ i+1 de Φ(µ i ) et nous définissons encore a vauation augmentée µ i+1 par µ i+1 = [µ i ; µ i+1 (φ i+1 ) = γ i+1 ], où γ i+1 = µ(φ i+1 ), et nous avons encore deg φ i+1 > deg φ i. La vauation µ i+1 est aors a dernière vauation de a partie discrète de a famie S (1). Pour commencer a récurrence, nous considérons a vauation µ 1 définie par µ 1 (f) = inf(ν(a j ) + jγ 1, 0 j m) pour tout poynôme f = a m x m + + a 1 x + a 0 dans K[x], c est-à-dire a vauation notée µ 1 = [µ 0 ; µ 1 (φ 1 ) = γ 1 ], avec µ 0 = ν, φ 1 = x et γ 1 = µ(φ 1). Nous définissons comme précédemment entier d(µ 1 ), et si nous avons d(µ 1 ) > 1, aors nous posons φ 1 = φ 1 = x, γ 1 = γ 1 = µ(x) et a première vauation µ 1 de a famie admissibe S (1) est a vauation µ 1 = [µ 0 ; µ 1 (φ 1 ) = γ 1 ]. Si nous avons égaité d(µ 1 ) = 1, aors i faut considérer ensembe Λ(µ 1 ), si cet ensembe a un pus grand éément γ 1, nous choisissons φ 1 dans Φ(µ 1) vérifiant µ(φ 1 ) = γ 1. Nous avons aors φ 1 qui vérifie deg φ 1 = 1, et a vauation augmentée µ 1 = [µ 1 ; µ 1 (φ 1 ) = γ 1 ], qui est aussi égae à a vauation [µ 0 ; µ 1 (φ 1 ) = γ 1 ], est a première SÉMINAIRES & CONGRÈS 10

13 FAMILLE ADMISE ASSOCIÉE À UNE VALUATION DE K[x] 403 vauation de a famie admissibe S (1). De pus, comme précédemment, nous vérifions que nous avons d(µ 1 ) > 1. Si nous avons d(µ 1 ) = 1 et si ensembe Λ(µ 1 ) n a pas de pus grand éément, aors nous posons encore φ 1 = φ 1 = x, γ 1 = γ 1 = µ(x) et a partie discrète de a famie admissibe S (1) ne contient que a vauation µ 1 = [µ 0 ; µ 1 (φ 1 ) = γ 1 ]. Remarque 2.4. Nous cherchons e pus grand éément γ i+1 de Λ(µ i ) dans Γ µ. Si ce pus grand éément est éga à +, aors nous sommes dans e cas d une pseudovauation µ et e poynôme unitaire φ i+1 de pus bas degré vérifiant µ(φ i+1 ) = + est e générateur unitaire G du soce P +, c est-à-dire e poynôme irréductibe unitaire te que extension agébrique L soit égae à K[x]/(G), et a pseudo-vauation µ est a pseudo-vauation µ i+1 = [µ i ; µ i+1 (G) = + ]. Nous avons ainsi obtenu une famie admissibe discrète finie (µ i ) 1 i n de vauations augmentées, avec n 1, associée à a famie de poynômes-cés ( φ i )1 i n, vérifiant 1 = deg φ 1 < deg φ 2 < < deg φ n. I y a aors trois cas à considérer. Soit nous pouvons continuer a même construction indéfiniment, c est-à-dire que pour tout entier i, ensembe Λ(µ i ) possède un pus grand éément dans ensembe Γ µ. Nous construisons ainsi une suite infinie de vauations augmentées, c est-à-dire que a famie admissibe simpe S (1) est une famie discrète infinie, S (1) = ( µ i )i L (1) avec L (1) = N. Comme a suite ( deg φ i )i L (1) est strictement croissante, pour tout poynôme f de K[x] i existe un indice i te que µ i (f) = µ(f), et a famie admise cherchée A est égae à S (1). Dans ce cas pour tout i, γ i appartient au groupe des vaeurs Γ µ, et µ est une vauation. Soit i existe un entier n te que ensembe Φ(µ n ) soit vide, c est-à-dire te que a vauation µ n soit égae à a vauation ou à a pseudo-vauation µ. Dans ce cas a famie admissibe simpe S (1) est discrète finie, S (1) = {µ 1,...,µ n } et a famie admise cherchée A est encore égae à S (1). Soit i existe un entier n te que ensembe Λ(µ n 1 ) n a pas de pus grand éément, c est e cas que nous aons étudier maintenant. Choisissons comme précédemment un éément queconque φ n de Φ(µ n 1 ), avec µ(φ n ) = γ n, et nous considérons e sous-ensembe Λ de Λ(µ n 1 ) défini par Λ = { γ Γ µ γ = µ(φ) avec φ Φ(µ n 1 ) et γ > γ n }. Nous indexons ensembe Λ par un ensembe totaement ordonné A (1), c est-à-dire nous posons Λ = {γ α α A (1) }, avec α < β si et seuement si γ α < γ β, et pour tout α dans A (1), nous choisissons un poynôme φ α dans Φ(µ n 1 ) te que µ(φ α ) = γ α. Nous définissons a vauation augmentée µ α par µ α = [µ n ; µ α (φ α ) = γ α ]. Nous pouvons aussi remarquer que pour tout β < α, φ α est un poynôme-cé pour a vauation µ β et nous avons encore µ α = [µ β ; µ α (φ α ) = γ α ] (cf. [Va] paragraphe SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2005

14 404 M. VAQUIÉ 1.3). La partie continue de a famie admissibe simpe S (1) est aors a famie des vauations ( µ α )α A (1). De manière simiaire à ce que nous venons de faire, nous considérons e sousensembe Φ(A (1) ) de K[x] défini par : Φ(A (1) ) = { f K[x] µ α (f) < µ(f) α A (1)}. Remarque 2.5. Cet ensembe dépend en fait uniquement de a famie continue ( µα ) α A (1) (cf. [Va] Proposition 1.23) et peut être aussi défini par : Φ(A (1) ) = { f K[x] µ α (f) < µ β (f) α < β A (1)}. Si cet ensembe Φ(A (1) ) est vide, aors a famie admise cherchée A est a famie admissibe simpe S (1) = ( µ 1,..., µ n ; (µ α ) α A (1)), en effet pour tout poynôme f de K[x], i existe une vauation µ i de a famie S (1) tee que µ i (f) = µ(f), en particuier nous voyons que cea ne peut arriver que dans e cas où µ est une vauation, et a vauation µ est notée µ A (1). Si a famie admissibe simpe S = S (1) ne détermine pas e proongement µ, c està-dire si ensembe Φ(A (1) ) est non vide, nous aons construire une deuxième famie admissibe simpe S (2). Soit d (2) = d(a (1) ) e degré minima d un poynôme de Φ(A (1) ) et comme précédemment nous définissons un nouveau sous-ensembe Φ(A (1) ) de K[x] par : Φ(A (1) ) = { φ K[x] µ α (φ) < µ β (φ) α < β A (1), deg φ = d (2) et φ unitaire }. Tout poynôme φ appartenant à Φ(A) est un poynôme-cé imite pour a famie continue admissibe C = ( µ α )α A (1) et vérifie µ α (φ) < µ(φ) = γ pour tout α, nous pouvons aors définir a vauation augmentée imite µ = [( µ α )α A (1) ; µ (φ) = γ ]. Nous définissons encore e sous-ensembe Λ(A (1) ) de Γ µ par Λ(A (1) ) = { µ(φ) φ Φ(A (1) ) }, et comme précédemment nous devons différencier es cas suivant si Λ(A (1) ) a ou n a pas de pus grand éément dans Γ µ. Si Λ(A (1) ) a un pus grand éément γ (2) 1, nous choisissons un poynôme φ(2) 1 dans Φ(A (1) ) avec µ(φ (2) 1 ) = γ(2) 1, et a première vauation µ(2) 1 de a partie discrète de a famie simpe S (2) est a vauation augmentée imite µ (2) 1 = [( ) µ α ; µ (2) α A (1) 1 (φ(2) 1 ) = ] γ(2) 1. Nous pouvons avoir γ (2) 1 = +, dans ce cas µ est une pseudo-vauation et nous choisissons φ (2) 1 = G, où G est e générateur unitaire du soce P + de µ, et a vauation augmentée imite µ (2) 1 est une pseudo-vauation égae à µ. La famie admissibe cherchée A est obtenue comme réunion de a famie simpe S (1) et de a famie simpe S (2) constituée de unique pseudo-vauation µ (2) 1. SÉMINAIRES & CONGRÈS 10

15 FAMILLE ADMISE ASSOCIÉE À UNE VALUATION DE K[x] 405 Si nous avons γ (2) 1 < +, aors nous pouvons procéder comme pour a famie simpe S (1), en particuier a partie discrète de a famie admissibe simpe S (2) contient au moins une autre vauation, et a famie simpe S (2) est constituée de cette partie discrète et éventueement d une partie continue ( µ (2) ) α. α A (2) Si Λ(A (1) ) n a pas de pus grand éément, nous choisissons une vaeur queconque γ (2) 1 dans Λ(A (1) ) et un poynôme φ (2) 1 de Φ(A (1) ) avec µ(φ (2) 1 ) = γ(2) 1, et comme précédemment nous définissons a première vauation µ (2) 1 de a partie discrète de S (2) comme a vauation augmentée imite µ (2) 1 = [( ) µ α ; µ (2) α A (1) 1 (φ(2) 1 ) = ] γ(2) 1. Aors a partie discrète de S (2) est réduite à a seue vauation µ (2) 1 et dans ce cas a famie simpe S (2) comprend aussi une partie continue ( µ (2) ) α définie à partir des α A (2) vauations associées aux vaeurs γ α dans Λ(A (1) ) avec γ α > γ (2) 1 et aux poynômes φ α de Φ(A (1) ) vérifiant µ(φ α ) = γ α. Nous construisons par récurrence une famie admissibe de vauations constituée par a réunion de t famies admissibes simpes A = S (1) S (t), pour tout j, 1 j t 1, a famie S (j) est de a forme ( (µ (j) ) L (j); (µ (j) α ) α A (j)), avec L (j) fini, et es poynômes-cés ou poynômes-cés imites associées vérifient : ( ) 1 = deg φ (1) 1 < < deg φ (1) n 1 = deg φ (1) α < deg φ (2) 1 < < deg φ n (t 1) t 1 = deg φ α (t 1) < deg φ (t) 1 < Le processus s arrête si a famie simpe S (t) est une famie discrète infinie, c està-dire S (t) = ( µ (t) ) avec L (t) infini, ou si a famie simpe S (t) est une famie L (t) discrète finie, S (t) = ( µ (t) 1,.. ).,µ(t) (t) n t, dont e dernier éément µ n t est éga à a vauation ou à a pseudo vauation µ, ou enfin si a famie simpe S (t) est une famie discrète infinie, S (t) = ( (µ (t) ) L (t); (µ (t) α ) α A (t)), tee que pour tout f dans K[x] i existe α dans A (t) avec µ (t) α (f) = µ(f), c est-à-dire si µ = µ A (t). Sinon, nous pouvons trouver un poynôme-cé imite pour a famie ( µ (t) ) α, α A (t) et définir une nouvee famie simpe S (t+1). La famie admissibe cherchée A est ainsi obtenue, soit comme réunion d un nombre fini de famies simpes si e processus s arrête pour un entier N, soit comme réunion infinie de famies simpes, et dans ce cas nous déduisons des inégaités ( ) sur es degrés des poynômes-cés que pour tout poynôme f de K[x] i existe une vauation µ (j) de a famie A tee que µ (j) (f) = µ(f). Définition. Nous appeons a famie admissibe A ainsi obtenue a famie admise associée à a vauation ou à a pseudo-vauation µ, et nous a notons A(µ). SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2005

16 406 M. VAQUIÉ Remarque 2.6. La vauation ou a pseudo-vauation µ appartient à a famie A(µ) = (µ i ) i I si a famie admise A(µ) est compète, dans ce cas nous avons µ = µ ι où ι est e pus grand éément de I. C est e cas si a famie A(µ) est réunion d un nombre fini de famies simpes avec a dernière famie S (N) discrète finie, en particuier si µ est une pseudo-vauation. Remarque 2.7. Nous pouvons préciser a condition de croissance 2. Soit S (j) = ( µ (j) 1,..., µ(j) n j ; (µ (j) α ) α A (j)) une famie admissibe simpe, avec a famie de poynômes-cés associée ( φ (j) 1,..., φ(j) n j ; (φ (j) α ) α A (j)), aors : pour 1 n j 1, pour tout poynôme f de K[x] avec deg f deg φ (j), nous avons égaité µ (j) (f) = µ(f), pour b = n j ou b = α A (j), i existe un poynôme (unitaire) φ dans K[x] de degré d = deg φ (j) n j = deg φ (j) α, avec inégaité stricte µ (j) (φ) < µ(φ). Nous avons construit une famie admissibe A à partir de a vauation ou pseudovauation µ, mais cette famie n est pas vraiment unique. Pour pouvoir comparer es différentes famies que nous pouvons obtenir, nous avons besoin des définitions suivantes. Définition. Soit A un ensembe totaement ordonné sans éément maxima, aors une partie B A est dite cofinae dans A si ee vérifie : α A β B te que α β. Soit C = ( µ α un famie admissibe continue de vauations de K[x] et soit B )α A une partie cofinae de A, aors a famie continue B = ( µ α obtenue par restriction )α B est apeée une sous-famie cofinae de C. Remarque 2.8. Si nous supposons que a famie C = ( µ α est exhaustive, c està-dire que ensembe des vaeurs {γ α α A} est un intervae du groupe des va- )α A eurs Γ, aors pour que a sous-famie cofinae ( µ α soit ee aussi exhaustive i )α B faut que B soit un intervae cofina de A, c est-à-dire vérifie : β B, α A, α β = α B. Nous définissons aors une reation d équivaence entre deux famies admissibes simpes continues de vauations de K[x] de a manière suivante. Définition. Soient C = ( ) µ α α A et C = ( µ α deux famies admissibes )α A simpes continues de vauations de K[x], nous disons que C et C sont asymptotiquement équivaentes ou coïncident asymptotiquement s i existe deux sous-famies cofinaes B et B respectivement de C et C qui sont isomorphes. C est équivaent à dire qu i existe des parties cofinaes B et B repectivement dans A et A, et un isomorphisme d ensembes ordonnés ϕ de B dans B te que pour tout β dans B es vauations µ β et µ ϕ(β) soient égaes. b SÉMINAIRES & CONGRÈS 10

17 FAMILLE ADMISE ASSOCIÉE À UNE VALUATION DE K[x] 407 Nous pouvons définir maintenant des reations d équivaences pour es famies admissibes simpes, puis pour es famies admissibes de vauations de K[x]. Définition. Deux famies admissibes simpes S et S de vauations de K[x], constituées respectivement des sous-famies discrètes D et D et des sous-famies continues C et C, sont dites équivaentes dans es cas suivants : si es sous-famies continues sont vides, c est en particuier e cas si es sousfamies discrètes sont infinies, quand S = S ; si es sous-famies continues sont non vides, quand es famies discrètes D = (µ i ) 1 i n et D = ( ) µ i coïncident jusqu à avant-dernière vauation, c est-àdire quand n = n et µ i = µ i pour tout i, 1 i n 1, et quand es sous-famies 1 i n continues C et C coïncident asymptotiquement. Définition. Deux famies admissibes A et A de vauations de K[x], respectivement réunion des famies admissibes simpes S (j), j J, et S (j), j J, sont équivaentes si J = J et si pour tout j J es famies admissibes simpes S (j) et S (j) sont équivaentes. Proposition 2.9. Soit µ un proongement de a vauation ν de K à une extension monogène L de K, aors si A et A sont deux famies admises associées à µ, es famies admissibes A et A sont équivaentes. Démonstration. Nous pouvons remarquer que a vauation augmentée µ i+1 définie à partir de a vauation µ i dépend essentieement de a vaeur γ i+1, et non du poynôme-cé φ i+1. Pus précisément, si φ i+1 et φ i+1 sont deux poynômes appartenant à Φ(µ i ) vérifiant égaité µ(φ i+1 ) = µ(φ i+1 ) = γ, nous avons inégaité µ i (φ i+1 φ i+1 ) = µ(φ i+1 φ i+1 ) inf( µ(φ i+1 ), µ(φ i+1 )) = γ. Nous déduisons aors de a proposition 1.2 que es vauations augmentées µ i+1 = [µ i ; µ i+1 (φ i+1 ) = γ] et µ i+1 = [µ i ; µ i+1 (φ i+1 ) = γ] sont égaes. Supposons que nous avons deux sous-famies admissibes simpes S (j) et S (j) respectivement de A et A dont es premières vauations µ (j) 1 et µ (j) 1 sont égaes. Aors nous déduisons par récurrence de ce qui précède que es sous-famies discrètes D (j) = ( µ (j) i )1 i n et D (j) = ( µ (j)) i coïncident jusqu à avant-dernière vauation. Supposons que es poynômes-cés φ (j) 1 i n n et φ (j) n que nous avons choisis vérifient µ(φ (j) n ) = γ (j) n γ (j) n = µ(φ (j) n ), aors ensembe Λ(µ (j) n ) = {γ α α A } est incus dans ensembe Λ(µ (j) n ) = {γ α α A }, et nous pouvons considérer ensembe A comme e sous-ensembe de A formé des indices α avec α > α 0 où α 0 est défini par γ α 0 = γ (j) n, et nous avons γ α = γ α pour tout α dans A. Les vauations µ (j) α et sont encore égaes pour α dans A, par conséquent a famie continue C (j) est µ (j) α SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2005

18 408 M. VAQUIÉ une sous-famie cofinae de a famie continue C (j), et es deux sous-famies continues C (j) et C (j) coïncident asymptotiquement. Nous en déduisons que es famies admissibes simpes S (j) et S (j) sont équivaentes. I reste à vérifier que si es sous-famies admissibes simpes S (j) et S (j) sont équivaentes, es deux premières vauations µ (j+1) 1 et µ (j+1) 1 des sous-famies S (j+1) et S (j+1) sont égaes. Par construction es vauations µ (j+1) 1 et µ (j+1) 1 sont des vauations augmentées imites associées à des famies continues C (j) et C (j) qui coïncident asymptotiquement, par conséquent eur égaité est une conséquence de a proposition 1.4 et du fait que pour définir a vauation augmentée imite associée à une famie continue ( µ α )α A i suffit de considérer es vauations µ α pour α aussi grand que on veut. Remarque Le choix de γ i comme éément maxima de ensembe Λ(µ i 1 ), quand cet éément existe, c est-à-dire dans a partie discrète de a famie simpe, nous impose de manière unique a vauation µ i à partir de a vauation précédente µ i 1. Si nous avions fait un autre choix nous aurions fait apparaître des vauations augmentées suppémentaires, qui ne sont pas nécessaires (cf. [McL1] Lemma 15.1, [Va] Coroaire à a Proposition 1.8). Par contre nous ne pouvons pas choisir de manière unique a dernière vauation de a partie discrète, que nous pouvons considérer aussi comme a première vauation de a partie continue, mais cea n a aucune importance car c est ce qui se passe «à infini» qui est important. De même, dans a construction que nous avons faite, nous avons toujours choisi des famies simpes dont a partie continue est exhaustive, mais cea n est pas nécessaire pour définir a vauation augmentée imite, et ainsi déterminer a famie admise. Mais si nous vouons avoir une version agréabe du théorème de factorisation nous avons besoin de supposer que a partie continue est exhaustive. Par conséquent, même si nous ne pouvons pas parer en généra de a famie admise associée à une vauation ou pseudo-vauation µ, c est uniquement possibe quand a famie admise est réduite à une famie admissibe simpe discrète, nous pouvons définir de manière unique une casse d équivaence de famies admissibes. Par abus de terminoogie, nous continuerons quand même, quand cea ne présentera aucun risque de confusion, de parer de a famie admise A(µ) associée à µ. De même nous continuerons à parer de a famie des poynômes-cés ( φ i et de a famie des )i I vaeurs ( γ i )i I associées à a famie admise A(µ) = (µ i) i I. En particuier si nous définissons des propriétés ou associons des invariants à une famie admissibe A qui ne dépendent que de a casse d équivaence de a famie, nous pourrons définir ces propriétés ou ces invariants pour a famie admise A(µ). Nous pourrons aors définir ces propriétés ou ces invariants pour a vauation ou pseudovauation µ sur K[x], mais i se peut que ces propriétés ou ces invariants dépendent SÉMINAIRES & CONGRÈS 10

19 FAMILLE ADMISE ASSOCIÉE À UNE VALUATION DE K[x] 409 du générateur x choisi et ne soient pas iés intrinsèquement au proongement de ν à extension L de K. Parmi ces propriétés nous avons déjà vu a propriété d être compète ou ouverte pour a famie admise A(µ). En effet cette propriété ne dépend que de a casse d équivaence de a famie admissibe. Soit A une famie admissibe de vauations de K[x], et nous supposons que nous pouvons écrire comme réunion des famies simpes S (j), A = S (j), j J où chaque famie simpe S (j) est ee-même de a forme S (j) = ( (µ (j) ) L (j); (µ (j) α ) α A (j)). Nous pouvons aors définir es nombres suivants. Définition. L ordre N = orda de a famie A est e nombre de famies admissibes simpes S (j) composant a famie A. Le degré d = deg A de a famie A est e degré maxima d un poynôme φ i appartenant à a famie des poynômes-cés associée à A. La ongueur λ = g A de a famie A est a réunion des ongueurs des parties discrètes des famies admissibes simpes S (j). Les nombres N, d et λ appartiennent tous à N {+ }. L ordre N est éga au cardina de ensembe J si ceui-ci est fini ; e degré d et a ongueur λ sont finis si et seuement si a famie A est d ordre fini N et si a dernière famie admissibe simpe S (N) n est pas discrète infine, dans ce cas e degré est éga à deg φ n (N) N, e degré du dernier poynôme de a partie discrète de S (N), et a ongueur est égae à n 1 + +n N, où n j est a ongueur de a partie discrète de S (j). Si A et A sont deux famies admissibes équivaentes, ees ont même ordre N, même degré d et même ongueur λ. Par conséquent nous pouvons parer de ordre, du degré et de a ongueur de a famie admise A(µ) associée à une vauation µ. Nous pouvons définir ainsi ordre, e degré et a ongueur de a vauation ou pseudovauation µ, ces nombres ne dépendent pas uniquement de a vauation µ sur extension L de K, mais aussi du générateur x choisi. L ordre N mesure d une certaine manière a compexité de a famie admise associée à une vauation µ, c est-à-dire e nombre de fois où nous ne pouvons pas nous contenter de faire une récurrence simpe pour construire a famie A(µ), et où i est nécessaire d introduire des vauations augmentées imites. En particuier dans e cas des vauations discrètes de rang un, ce qui était e cas étudié origineement par MacLane (cf. [McL1] et [McL2]), nous pouvons nous passer de cette dernière notion. Pus précisément nous avons e résutat suivant. SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2005

20 410 M. VAQUIÉ Proposition Si a vauation ν de K est discrète de rang un, aors a famie admise associée à tout proongement µ de ν à extension L de K est d ordre N 2. Si L est extension transcendante L = K(x), ordre est toujours éga à 1, et a famie admise A(µ) est une famie admissibe simpe. Si L est une extension agébrique, c est-à-dire dans e cas où µ est une pseudovauation de K[x], ordre peut éventueement prendre a vaeur 2, dans ce cas a famie admise A(µ) est de a forme A(µ) = S (1) S (2) et a deuxième famie simpe est réduite à un seu terme, S (2) = {µ (2) 1 } avec µ(2) 1 = µ. Démonstration. Nous construisons a partie discrète de a première famie simpe S (1) = ( ) µ 1,...,µ i par récurrence, et nous remarquons d abord que si a vaeur γi n appartient pas à Γ µi 1 Z Q, aors e processus de construction ne peut continuer et nous avons µ = µ i. Supposons que nous avons µ i µ, aors γ i appartient à Γ ν Z Q, par conséquent e groupe des ordres Γ µi est discret de rang un. Nous considérons ensembe Λ(µ i ), s i possède un pus grand éément nous pouvons continuer e processus de récurrence qui nous donne une famie admissibe discrète. Supposons que cet ensembe n a pas de pus grand éément, aors nous déduisons du emme 2.2 que c est un sous-ensembe de ensembe discret Γ µi, par conséquent qu i n est pas borné. Nous choisissons une suite infinie strictement croissante ( γ ) i+1 dans Λ(µ i), et pour tout i + 1 nous choisissons un poynôme φ dans Φ(µ i ) vérifiant µ(φ ) = γ et nous construisons a vauation augmentée µ = [µ i ; µ (φ ) = γ ]. Aors pour tout poynôme f de K[x], a suite µ (f)est une suite croissante dans Γ µi. Si µ est une vauation, cette suite devient stationnaire à un certain cran, par conséquent a famie de vauation ( µ j est a )j 1 famie admise associée à a vauation µ. Si µ est une pseudo-vauation, un poynôme f vérifie µ (f) < µ(f) si et seuement si µ(f) = +, par conséquent e poynôme unitaire G qui engendre e soce de a pseudo-vauation est e poynôme-cé imite de a famie simpe continue ( ) µ i+1 et a famie admise associée à a pseudo-vauation µ est constituée de a réunion de a partie admissibe simpe S (1) = ( µ j )j 1 et de a famie S(2) constituée seuement de (µ). Rappeons que agèbre graduée gr µ R associée à une vauation sur un anneau R est définie par gr µ R = γ Γµ P γ /P + γ, où P γ et P + γ sont définis respectivement par P γ = {x R µ(x) γ} et P + γ = {x R µ(x) > γ}. A tout éément x de R nous pouvons associer sa forme initiae H µ (x) dans gr µ R, qui est un éément homogène de degré γ = µ(x). Aors agèbre graduée gr µ K[x] associée à a vauation, ou pseudo-vauation, µ sur K[x] est une agèbre sur agèbre gradué gr ν K, et a ongueur λ de a famie SÉMINAIRES & CONGRÈS 10

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