Devoir Surveillé n 2

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1 Devoir Surveillé n 2 Les candidat(e)s veilleront à exposer leurs réponses avec clarté et rigueur, rédiger avec soin dans un français correct et reporter dans la marge les numéros des questions traitées. Les résultats seront encadrés. Aucun document n est autorisé. Il est conseillé de prendre rapidement connaissance de la totalité du sujet avant de commencer. Le sujet est composé de 5 pages et de 4 exercices indépendants. I Propagation le long d une corde On s intéresse à la propagation d une perturbation le long d un câble de masse linéique µ = 10 2 kg.m 1. La corde est tendue au préalable avec une tension T. 1. D après les unités de µ, que représente cette grandeur? 2. En raisonnant sur les dimensions, créer une grandeur homogène à une vitesse, notée c, en fonction des variables T et µ. 3. Donner un autre grand type d onde qui peut se propager dans le vide en donnant les grandeurs physiques associées à ce type d onde. Citer quelques ordres de grandeur de fréquences pour ce type d onde. On donne la forme de l onde qui se propage le long de (Ox) à l instant t = 0 en fonction de x (courbe de gauche). On place un enregistreur au point A d abscisse x 0 sur l axe (Ox). Il trace la courbe représentée ci-dessous donnant s(x 0, t) en fonction du temps t mesuré en ms (courbe de droite). 4. Dans quel sens (vers les x croissants ou décroissants) l onde se propage-t-elle? 5. Déterminer numériquement la célérité de l onde. 6. Où se trouve l enregistreur? (déterminer x 0 ). II Cône de Mach 1. L air est composé en première approximation de 20% de dioxygène et de 80% de diazote. La masse molaire de l oxygène est 16 g.mol 1 et la masse molaire de l azote est 14 g.mol 1. Quelle est la masse molaire moyenne de l air? 2. La célérité du son dans un gaz parfait dépend de la température T, de la masse molaire M et de la constante R des gaz parfaits. Proposer, par analyse dimensionnelle, une relation donnant la vitesse du son dans le gaz. On écrira la célérité du son sous la forme c = T a M b R d où l on précisera la valeur numérique des trois exposants a, b et d (on utilisera la loi des gaz parfaits : PV = nrt avec n la quantité de matière). 3. En fait, dans la relation de la célérité du son, on doit multiplier la constante R par le coefficient numérique 1,4. Calculer la célérité du son en km.h 1 pour de l air à une température de 20 C. On rappelle que R = 8,31 J.K 1.mol Considérons un avion de chasse volant à la vitesse mach 2 dans un air à 20 C. Cela signifie qu il vole à deux fois à la vitesse du son. Quelle est sa vitesse en km/h. Lycée Jean Jaurès Montreuil 1

2 5. Ce même avion génère des ondes sonores. On va supposer que ces ondes sont émises de manière isotrope dans le référentiel de l avion et que l avion est ponctuel. Ainsi tout se passe comme si l on avait une source sonore ponctuelle. L air dans lequel se propage le son est immobile. Comment peut-on qualifier géométriquement (convergente ou divergente, sphériques ou planes) ces ondes? 6. L avion se déplace à la vitesse v le long de l axe des x. On prendra l origine des temps à l instant où l avion passe par x = 0. En quelle abscisse x τ se trouvait l avion à l instant τ? Quel est, à l instant t > 0, le rayon de la surface d onde sonore émise à l instant τ par l avion à l abscisse x τ. On exprimera ce rayon en fonction de τ,t et de la célérité du son c. 7. Le système possède une invariance par rotation autour de l axe (Ox), il est donc intéressant d utiliser les coordonnées cylindriques ρ, θ, x. En utilisant le résultat de la question 6, déduire l équation cartésienne de cette même surface d onde. On mettra l équation sous la forme ρ = f(x, t, τ) de cette même surface d onde. On admet qu une sphère en coordonnée cylindriques s écrit mathématiquement sous la forme (x a) 2 + ρ 2 = R(t) 2 avec a le centre du rayon et R(t) son rayon qui peut évoluer dans le temps. 8. Si la vitesse v de l avion est supérieure à la célérité c du son, l énergie sonore va s accumuler sur la surface enveloppe des surfaces d onde décrites ci-dessus (voir figure ci-dessous). On admettra que la surface enveloppe doit vérifier le système d équations suivant : f(x, t, τ) = ρ (1) f(x, t, τ) τ = 0 (2) À partit de l équation (2), exprimer τ en fonction de v, c, x, t. Injecter cette relation dans l équation (1) et montrer que, si v > c, alors l équation de la surface enveloppe est : ρ = ψ (vt x) où l on donnera ψ en fonction de v et c. 9. En déduire que, si v > c, l énergie sonore se concentre sur un cône de demi-angle au sommet β dont on exprimera le sinus en fonction de v et c. 10. Avec les valeurs numériques de la question 3, calculer numérique l angle β. 11. L avion vole à la vitesse v à une altitude h. Un observateur P est sur la surface de la terre. Donner la relation reliant l intervalle de temps t qui sépare les deux événements E 1 et E 2 suivants : E 1 : l avion passe au-dessus de la tête de P, E 2 : P entend le «bang» du mur du son. On exprimera l intervalle t en fonction de h, v et c. Lycée Jean Jaurès Montreuil 2

3 III La physique du piano Lorsque l instrumentiste frappe une touche du clavier, celle-ci actionne un mécanisme, qui actionne à son tour un marteau, qui vient frapper une corde. Sauf avis contraire, on supposera que la corde peut être supposée sans raideur. La corde de masse linéique µ est tendue avec la tension T 0. Au repos, la corde est rectiligne et parallèle à l axe horizontal (Ox). On étudie les mouvements de la corde autour de sa position d équilibre. On note y(x, t) le déplacement du point de la corde à l abscisse x à l instant t. L axe (Oy) est l axe vertical ascendant. La célérité de l onde s exprime sous la forme T0 c = µ III.1 Informations 1. On peut lire dans une documentation technique que «une corde de piano est tendue à 85 kg». Pouvez-vous en déduire un ordre de grandeur de la tension T 0 d une corde? 2. Pour une corde en acier donnant la note «La 4», le diamètre de la corde est de 1,1 mm. La masse volumique de l acier valant 7, kg.m 3, calculer la célérité c des ondes transversales sur la corde. III.2 Modes propres d une corde de piano sans raideur La corde est fixée à ses deux extrémités, x = 0 et x = L, ce qui impose les conditions aux limités : y(0, t) = y(l, t) = Qu appelle-t-on on stationnaire, modes propres et fréquences propres de la corde? Exprimer les fréquences propres f n de la corde en fonction de c et L. Donner l expression de la solution y n (x, t) correspondant au mode propre numéro n en partant d une onde de la forme III.3 y(x, t) = y 0 cos(ωt + φ) cos(kx + ψ) Dessiner l aspect de la corde à plusieurs instants bien choisis pour n = 1, n = 2 et n = 3. Conséquences sur la conception des cordes d un piano La hauteur du son produit par une corde est fixée par la fréquence f de son mode fondamental n = 1. Les 88 notes d un piano moderne s échelonnent du «La 0» (fréquence fondamentale f = 28 Hz) au «Do 8» (fréquence fondamentale f = 4,2 khz). 4. Rappeler la relation liant la longueur L d une corde à la fréquence de son fondamental f. 5. On rappelle que pour la fréquence fondamentale f = 262 Hz, on a une longueur de corde L = 65 cm. Quelles sont les valeurs extrêmes des longueurs de corde prévues dans l extrême grave et dans l extrême aigu? 6. Les longueurs calculées ci-dessus sont excessives dans le grave (problèmes d encombrement et de fragilisation de la structure à cette échelle) : en pratique, la longueur d une piano à queue de concert moderne n excuse pas 3 m (la longueur la plus courante étant autour de 2,75 m). La longueur des cordes obéit assez bien à la loi étudiée à la question 4 pour les notes au-delà du «Do 4». Pour les notes plus graves, on utilise des cordes filées : il s agit de cordes d acier, autour desquelles on a enroulé un fil de cuivre. La longueur de corde variant peu dans ce domaine du clavier, expliquer l intérêt de ce procédé. Pourrait-on envisager de jouer sur la tension T 0 des cordes? 7. On donne la masse volumique du cuivre ρ(cu) = 9, kg.m 3. En assimilant l enroulement de cuivre à une couche homogène d épaisseur 1 mm recouvrant le cœur d acier de diamètre 1,6 mm, et pour la tension T 0 = 850 N, calculer la longueur de la corde du «La 0» (note la plus grave du piano, de fréquence fondamentale f = 28 Hz). III.4 Prise en compte de la raideur : dispersion et inharmonicité En réalité, à cause de l élasticité du matériau constituant une corde, il faut prendre en compte sa raideur. Cela est particulièrement vrai pour les cordes de grand diamètre. Il nous faut donc raffiner le modèle adopté. L élasticité est directement lié au module d Young E et au rayon de la corde r. On considère ici une corde en acier de masse volumique ρ(acier)= 7, kg.m 3 et de module d Young E = 190 GPa. On montre que y(x, t) vérifie cette équation Lycée Jean Jaurès Montreuil 3

4 d 2 y µ 0 dt 2 T d 2 y 0 dx 2 + E π r4 4 d 4 y dx 4 = 0 où d 2 y/dt 2 (respectivement d 2 y/dx 2 ) représente la dérivée seconde de y(x, t) par rapport à t (respectivement par rapport à x). De même, d 4 y/dx 4 représente la dérivée quatrième de y(x, t) par rapport à x. 8. On s intéresse à l influence de la raideur sur les fréquences propres de la corde. On se place donc dans un mode propre de vibration et on suppose y(x, t) = y 0 cos(kx + φ) cos(ωt). (a) En remplaçant dans l équation y(x, t) par cette fonction, établir la relation ω(k) d un tel mode. (b) Montrer que les fréquences propres de la corde tendue entre ses extrémités fixées en x = 0 et x = L s écrivent f n = n c 1 + B n 2 2L où n est un entier naturel non nul, c la célérité des ondes sur la corde sans raideur et B une constante qu on exprimera en fonction de E, T 0, r et L. Pouvez-vous en déduire un des avantages présentés par un piano à queue par rapport à un piano droit? (c) Tracer sur un même graphique les courbes représentatives de f n en fonction de n pour une corde sans raideur et pour la même corde avec raideur. Commenter. (d) Calculer numérique B (on prendra L = 0,65 m, r = 0,55 mm, T 0 = 850 N et E = 190 GPa). En déduire l expression approchée de l inharmonicité de raideur i n, définie par le rapport i n = f n f 0 n f 0 n avec f 0 n la fréquence propre du mode n pour une corde sans raideur. On pourra utiliser la relation (1 + x) α 1 + αx si x 1 (e) À partir de quel rang n la fréquence propre f n de la corde avec raideur est-elle plus élevée d un demi-ton que celle de la corde idéale, f 0 n? Donnée : deux notes séparées d un demi-ton ont des fréquences fondamentales qui sont dans un rapport 2 1/12. IV Vélocimétrie On s intéresse à la réflexion d une onde sur une cloison rigide, au voisinage de laquelle la vitesse du fluide suivant x s annule. Pour déterminer la vitesse de la cloison rigide, on envoie une onde incidente et on mesure les propriétés de l onde réfléchi (voir figure ci-dessous). On supposera donc que la vitesse du fluide s écrit v(x, t) = v i (x, t) + v r (x, t) = V i cos(ω i t k i x) + V r cos(ω r t + k r x + ϕ) Les grandeurs V i et k i sont supposées connues, tandis que les grandeurs V r, k r et ϕ sont à déterminer. Au niveau de la cloison, la vitesse du fluide est nulle (condition aux limites). 1. La cloison est dans un premier temps immobile, placée en x = 0. Déterminer ω r, k r, ϕ et V r pour que la condition aux limites soit satisfaite. 2. La cloison de déplace maintenant en direction de l expérimentateur O à vitesse constante u = u e x. Sa position est donc x c (t) = u t. On néglige les effets de l écoulement macroscopique de fluide engendré par le déplacement du fluide autour de la cloison, pour ne considérer que les ondes incidente et réfléchie se propageant comme si le fluide environnant était au repos. (a) Déterminer ω r, k r, ϕ et V r pour que la condition aux limites soit satisfaite. Lycée Jean Jaurès Montreuil 4

5 (b) En déduire que les pulsations des ondes sonores incidente et réfléchie sont différentes. Exprimer la pulsation ω r de l onde réfléchie en fonction de celle ω i de l onde incidente, de la vitesse u de déplacement de la cloison et de la célérité c des ondes acoustiques. 3. (a) Donner la fréquence de l onde sonore réfléchie f r en fonction de celle de l onde incidente f i, de u et de c. (b) Montrer que ce résultat coïncide avec celui que l on obtiendrait en combinant les résultats des questions I.2 et I.4, c est-à-dire en supposant que le signal émis par la source est perçu par un observateur en mouvement (la cloison) puis réélis par celui-ci en direction de la source. 4. Application numérique. Calculer la fréquence f r et la variation de fréquence f r f i pour les valeurs suivantes des paramètres de la question précédente : u = 10 cm.s 1, f i = Hz, c = 340 m.s 1. Lycée Jean Jaurès Montreuil 5