Université de Pau et des Pays de l Adour Département de Mathématiques Année Introduction aux probabilités

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4 Université de Pau et des Pays de l Adour Département de Mathématiques Année Introduction aux probabilités Série n 3 Exercice 1 Une urne contient neuf boules. Quatre de ces boules portent le numéro 0, trois portent le numéro 1 et deux le numéro 2. On tire au hasard deux boules simultanément. Tous les tirages sont supposés équiprobables. Soit X la variable aléatoire égale à la somme des numéros marqués sur ces boules. Déterminer la loi de X et représenter sa fonction de répartition. Exercice 2 On lance une fois un dé non pipé. 1) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de points du dé. Donner la loi de X et son espérance. 2) On suppose qu on reçoit 15 euros si on obtient 1, rien si on obtient 2, 3 ou 4, et 6 euros si on obtient 5 ou 6. Soit G la variable aléatoire au gain de ce jeu. Donner la loi de G et représenter sa fonction de répartition. Que vaut le gain moyen? 3) On suppose maintenant qu on reçoit 27 euros pour un 1 et rien sinon. Auquel des deux jeux préférez-vous jouer? Pourquoi? Exercice 3 On jette 2 dés. Soit X la variable aléatoire égale au plus petit des deux nombres obtenus, Y la variable aléatoire égale au plus grand des 2, et Z la différence, en valeur absolue, des points obtenus. 1) Déterminer la loi de X. Tracer sa fonction de répartition. 2) De même, donner les lois de Y et de Z. 3) Calculer l espérance et la variance de X, Y et Z. Exercice 4 (extrait examen septembre 2006) Un joueur de tennis effectue une mise en jeu. Pour cela il a droit à deux tentatives : un premier service, suivi, s il n est pas réussi, d un deuxième service. La probabilité que le premier service réussisse est 2/3. S il a échoué, la probabilité que le deuxième service réussisse est 4/5. Lorsque les deux services échouent il y a double faute, sinon la mise en jeu est réussie. 1) Déterminer la probabilité que, sur une remise en jeu, ce joueur fasse une double faute. En déduire la probabilité que la mise en jeu soit réussie. 2) Ce joueur effectue 10 mises en jeu successives (dont les résultats sont indépendants les uns des autres). Soit X la variable aléatoire réelle égale au nombre de mises en jeu réussies. (a) Quel est la loi de X? (b) Déterminer la probabilité que ce joueur réussisse au moins 9 mises en jeu. Calculer E(X). Exercice 5 Soit X une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ > 0. Vérifier que variable aléatoire intégrable. Calculer E[ 1 1+X ]. Calculer E[ 1 (1+X)(2+X) ] et en déduire E[ X 2+X ]. est une Exercice 6 On suppose que la probabilité de trouver une coquille sur une page d un livre donné est 0, 01. On suppose qu une page contient au plus une coquille. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de coquilles observées dans un livre de 100 pages. 1) Reconnaître la loi de X et calculer la probabilité pour que le livre contienne au plus une coquille.

5 2) On choisit d approcher la loi de X par une loi de Poisson Y dont on précisera le paramètre. Calculer P[Y 1]. Quelle conclusion peut-on en tirer? Calculer P[Y 3]. Exercice 7 (extrait examen juin 2006) Une urne contient 10 boules blanches et 5 noires. On effectue des tirages successifs avec remise. Soit X 1 la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués jusqu à l obtention de la première boule blanche. 1) Quelle est la loi de X 1? Donner la valeur de E(X 1 ). 2) Soit X 2 la variable aléatoire égale au nombre de tirage effectués jusqu à l obtention de la deuxième boule. Déterminer la loi de X 2 ainsi que E(X 2 ). 3) On pose Y = X 2 X 1. Déterminer la loi de Y. Exercice 8 Un agriculteur a entreposé dans un local humide 12 doses d un herbicide total et 8 doses d un fongicide. Après plusieurs mois de séjour, les étiquettes sont indifférentiables. Chaque dose a la même probabilité d être tirée. En vue d un traitement, l agriculteur prend 6 doses au hasard. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de doses d herbicide prises parmi 6 doses. Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.

6 Université de Pau et des Pays de l Adour Année Département de Mathématiques Introduction aux probabilités - Feuille d exercices N 4 Exercice 1. Soit X une variable aléatoire normale N (0, 1).; 1. Calculer P [X 2] et P [ 1 < X < 0, 5]. 2. Calculer a tel que P [ X < a] = 0, 8 et b tel que P [X < b] = 0, 31. Exercice 2. Un gagnant de la loterie nationale se rend à la banque pour placer cet argent. Le banquier lui propose un placement dont le revenu suit une loi normale N (µ, σ) où µ = 10 millions d euros et σ = 4 millions d euros. 1. Quel est la probabilité d avoir un revenu de plus de 17 millions d euros? 2. Quel est la probabilité d avoir un revenu de moins de 7 millions d euros? 3. Quel est la probabilité d avoir un revenu compris entre 9 et 15 millions d euros? Exercice 3. Soit X une variable aléatoire absolument continue dont la densité f est définie par : x [0, 1], f (x) = Kx (1 x) x / [0, 1], f (x) = Déterminer K. 2. Calculer E (X) et Var (X) (si ces réels existent). Comparer avec l espérance mathématique et la variance d une variable de densité uniforme sue [0, 1]. Exercice 4. Soit X une variable aléatoire de loi définie par la densité f suivante : { cx f(x) = 2 exp( x/λ) si x > 0, 0 si x 0, où le paramètre λ > 0 est fixé. Déterminer la valeur de c en fonction de λ. Calculer l espérance mathématique de X. Rappeler la définition d une loi exponentielle de paramètre λ > 0, son espérance mathématique et sa variance. En déduire la valeur de c. Exercice 5. Soit X une variable aléatoire de loi N (0, 1). On pose Y = exp(x), déterminer la fonction de répartition et la densité de Y. Exercice 6. Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]. On note U = min(x, 1 X) et V = max(x, 1 X). Déterminer la fonction de répartition et la densité de Y = V/U. Cette variable admet-elle une espérance mathématique? Exercice 7. Soient X une variable aléatoire de loi N (0, 1) et Y uniformément distribuée sur { 1, 1}. On note Z = Y X. Montrer que Z admet la loi N (0, 1). Calculer la covariance de X et Z. Calculer P(X +Z = 0) et en déduire que les variables X et Z ne sont pas indépendantes. Exercice 8. Soient A un intervalle de R et 1 A la fonction définie sur R par 1 A (x) = 1 si x A et 1 A (x) = 0 si x / A.

7 a. Soit X une variable aléatoire réelle, déterminer la loi de la variable aléatoire 1 A (X). b. Considérons les nombres réels ε > 0 et µ R. Déduire de la question précédente que P( X µ > ε) = E ( 1 ]ε,+ [ ( X µ ) ). c. Comparer sur R les fonctions x 1 ]ε,+ [ ( x µ ) et x ( x µ ) 2 ε puis en déduire que si X admet la moyenne µ et une variance σ 2 alors P( X µ > ε) σ2 ε 2. d. Application : soit X normale centrée réduite. Donner des majorations de (i) P( X > 3), (ii) P(X > 4), (iii) P( X 2 > 5). Exercice 9. Le temps T (en mois) qui s écoule entre deux accidents à une certaine intersection suit une loi exponentielle d espérance mathématique 4. Quand un accident se produit, le nombre de personnes impliquées dans l accident suit une loi géométrique de moyenne 3. a. Calculer la probabilité qu un accident donné implique au moins 4 personnes étant donné que 2 sont impliquées. b. Soit A k l événement «le temps écoulé entre le (k 1) e et le k e accident est supérieur à un an» pour k 2. On suppose les événements A k indépendants. Quelle est la probabilité qu exactement 2 des événements A 2,..., A 21 se réalisent? Exercice 10. Soient X une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre 1/2 et Y, indépendante de X, de loi uniforme sur [1, 2]. Déterminer et tracer les fonctions de répartition de X + Y et Y X. Ces variables aléatoires admettent-elles des densités (si oui l expliciter)? Exercice 11. Une usine fabrique des résistances de deux types dont les valeurs en Ohms suivent respectivement les lois N (100, 3) et N (200, 4). Des circuits électriques sont alors fabriqués où deux résistances de chaque type sont montées en série. Un circuit est commercialisé s il offre une résistance de 300 ± 9, 8 Ohms. Un lot de 100 circuits a été fabriqué par l usine. Évaluer la probabilité que ce lot contienne au moins 5 circuits non commercialisables. Exercice 12. Soit Y une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ > 0 et ɛ une variable aléatoire discrète indépendante de Y telle que P(ε = 1) = P(ε = 1) = 1/2. Déterminer la loi de Z = εy, son espérance mathématique et sa variance. Cette loi est appelée loi exponentielle symétrique. Exercice 13. Soient U 1 et U 2 deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0, 1]. Déterminer la loi de U = (U 1 + U 2 ) mod 1. Aide : utiliser le fait que (U 1, U 2 ) définit les coordonnées d un point choisi uniformément dans [0, 1] [0, 1]. Exercice 14. Soit X 1, X 2 des v.a. indépendantes de loi N (0, 1). 1. Donner la densité de probabilité de X Donner la densité de probabilité de X X2 2.

8 Université de Pau et des Pays de l Adour Année Département de Mathématiques Introduction aux probabilités - Feuille d exercices N 5 Exercice 1. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant toutes les deux la loi de Bernoulli de paramètre p ]0, 1[. Soient U = X Y et V = X + Y. Calculer Cov (U, V ). Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes? Conclusion? Exercice 2. On considère une pièce telle que la probabilité d obtenir pile vaut p ]0, 1[. Un individu joue avec cette pièce de la façon suivante : il lance tout d abord la pièce jusqu à ce qu il obtienne un premier pile. Si ce premier pile a été obtenu au lancer numéro n, il lance ensuite sa pièce n fois. On note N le nombre de lancers nécéssaires à l obtention du premier pile et X le nombre de piles obtenus lors de la deuxième série de lancers. 1. Déterminer la loi du couple (N, X). 2. Déterminer la loi de X. 3. Montrer que X a même loi qu un produit de deux variables aléatoires indépendantes, l une suivant une loi de Bernoulli, l autre suvant une loi géométrique. 4. Calculer l espérance et la variance de X. Exercice 3. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires de densité f (X,Y ) (x, y) = 1 π 3 e 2 3 (x2 xy+y 2 ) sur R 2. Déterminer les lois marginales du couple (X, Y ), la covariance de X et Y, ainsi que la loi de X + Y. Exercice Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi exponentielle de paramètre λ. Déterminer la loi de X + Y l aide d un produit de convolution. Plus généralement, déterminer la loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant la loi exponentielle de paramètre λ. 2. Soit donc (X i ) i 1 une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre λ. On définit la variable aléatoire entière N par : si X 1 > 1 alors N = 0, si i k=1 X k 1 < i+1 k=1 X k alors N = i. Montrer que N suit la loi de Poisson de paramètre λ. Exercice 5. Une montre subit des écarts quotidiens (positifs ou négatifs) que l on suppose indépendants d un jour à l autre et qui suivent tous la même loi de moyenne nulle et de variance 16 secondes. En supposant la montre bien réglée au départ, déterminer la probabilité que l écart sur une année (365 jours) soit inférieure à deux minutes. Déterminer un minorant de cette probabilité à l aide de l inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Conclusion?

9 Exercice 6. Soit (X n ) n N une suite de variables aléatoires telles que Im(X n ) = { 1 n, 1 n } et P(X n = 1 n ) = P(X n = 1 n ) = Montrer que X n converge en loi vers Montrer que X n converge en probabilité vers 0. Exercice 7. Soit (X n ) n N une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées telles que E(X 1 ) et Var(X 1 ) existent. Pour tout n 2, on définit Y n = 1 n n k=1 X k et Z n = 1 n 1 Montrer que Z n converge en probabilité vers Var(X 1 ). n (X k Y n ) 2. k=1

10 Université de Pau et des Pays de l'adour Faculté des Sciences et Techniques Département de Mathématiques Avenue de l'université Pau Tél : Partiel 16 Novembre 2006 Diplôme : Licence 2ème année U.E : Introduction aux Probabilités Durée : 1 heure 30 minutes Documents non autorisés Calculatrice UPPA autorisée Exercice 1 Dans la production d'une pièce mécanique, il peut apparaître un défaut. Le processus de production est trop complexe pour prévoir l'apparition de ce défaut. Il faut donc faire un contrôle de production pour estimer le nombre de pièces défectueuses et être sûr de remplir les engagements pris vis à vis de la clientèle. Supposons que l'on a produit N pièces dont m (m N) sont défectueuses. On tire au sort n (n N) pièces dans cette production. 1. Dans cette question, on modélise l'expérience en ne tenant pas compte de l'ordre. a. Dénir l'univers correspondant. b. Soit A k l'évènement {le nombre de pièces tirées défectueuses est égal à k} (où 0 k m). Calculer P(A k ). 2. Dans cette question, on modélise l'expérience en tenant compte de l'ordre. a. Dénir l'univers correspondant. b. Soit B k l'évènement {le nombre de pièces tirées défectueuses est égal à k} (où 0 k m). Calculer P(B k ). 3. Comparer P(A k ) et P(B k ). Conclure. Exercice 2 Un étudiant se rend tous les jours (enn presque) à l'université, distante de 5 km de son domicile. Il fait le trajet à vélo à une vitesse moyenne de 30 km/h. Mais sur son parcours il rencontre 4 feux de signalisation, non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu'il soit vert est égale à 2 3, et la probabilité qu'il soit orange ou rouge est égale à 1 3. A toutes ns utiles, on rappelle que tout véhicule doit s'arrêter lorsqu'un feu est orange... Bien entendu, un feu vert ne ralentit pas l'étudiant alors qu'on estime qu'un feu orange ou rouge lui fait perdre une minute. On note X le temps (exprimé en minutes) mis par l'étudiant pour se rendre à l'université et Y le temps perdu par l'étudiant à cause des feux de signalisation. 1. a. Quelle est la loi de la variable aléatoire Y? b. Donner les valeurs de E(Y ) et Var(Y ). 2. a. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire X. Tracer la courbe représentative de cette fonction. b. On suppose que l'étudiant part de chez lui 12 mn avant le début des cours. Calculer la probabilité pour qu'il arrive en retard. 1

11 Exercice 3 Une urne contient a boules rouges et b boules blanches (a 1 et b 1). À chaque tirage on choisit une boule au hasard dans l'urne. La boule est ensuite remise dans l'urne et on ajoute 1 boule de la même couleur. On note R n l'évènement {tirer une boule rouge au n e tirage} et B n l'évènement {tirer une boule blanche au n e tirage} (n 1). On considère les variables aléatoires X n dénies par X n = 1 si R n est réalisé et X n = 0 si B n est réalisé. 1. Quelle est la loi de X 1? Calculer son espérance mathématique. 2. Calculer P(R 2 R 1 ) et P(R 2 B 1 ) et en déduire la loi de X On pose S n = X X n pour n 1. a. Dénir l'ensemble S n des valeurs que peut prendre S n. Si S n = k, quel est le contenu de l'urne juste après le n e tirage? En déduire P(R n+1 A k ) où A k est l'évènement [S n = k]. b. Montrer que P(R n+1 ) = n k=0 a + k a + b + n P(A k). c. Remarquant que P(R n+1 ) = P(X n+1 = 1) et P(A k ) = P(S n = k), en déduire que 4. On considère l'hypothèse de récurrence suivante. P (X n+1 = 1) = a + E(S n) a + b + n. P n : les variables aléatoires X 1,..., X n ont la même loi que X 1. a. Si P n est vraie calculer E(S n ). b. Montrer que P n est vraie pour tout n 1. 2

12 Corrigé succinct du Contrôle continu du 16/11/2006 Diplôme : Licence 2ème année U.E : Introduction aux Probabilités Exercice 1 1. Dans cette question, on modélise l'expérience en ne tenant pas compte de l'ordre. a. Ω 1 = {combinaisons de n éléments parmi N} b. Equiprobabilité sur Ω 1. P(A k ) = Ck mc n k N m CN n, si k n P(A k ) = 0, si k > n. 2. Dans cette question, on modélise l'expérience en tenant compte de l'ordre. a. Ω 2 = {arrangements de n éléments parmi N} b. Equiprobabilité sur Ω 2. P(B k ) = Ck na k ma n k N m A n, si k n (où Cn k compte les possibilités d'emplacement pour les pièces N défectueuses dans le n-uplet). P(B k ) = 0, si k > n. 3. P(A k ) = P(B k ). Exercice 2 1. a. Y B(4; 1/3). b. E(Y ) = 4/3 et Var(Y ) = 8/9. 2. a. X = 10 + Y. Donc F X (x) = F Y (x 10), i.e. x < 10 F X (x) = 0 10 x < 11 F X (x) = 16/ x < 12 F X (x) = 48/ x < 13 F X (x) = 72/ x < 14 F X (x) = 80/ x 14 F X (x) = 1. b. P(X > 12) = 1 F X (12) = 1/ Exercice 3 1. X 1 suit la loi de Bernoulli de paramètre ( a a+b ). E(X 1 ) = a a+b. a a+b P(R 2 R 1 ) = a+1 a+b+1 et P(R 2 B 1 ) = X 2 suit la loi de Bernoulli de paramètre ( a E(X 2 ) = a a+b. a+b ). 1

13 3. a. S n = {0,..., n}. Si S n = k, l'urne contient (a + b + n) boules dont (a + k) rouges et (b + n k) blanches. Donc P(R n+1 A k ) = b. c. a+k a+b+n. P(R n+1 ) = n P(R n+1 A k )P(A k ) = k=0 P (X n+1 = 1) = P(R n+1 ) = n k=0 n k=0 a + k a + b + n P(A k) a + k a + b + n P(A k). = a + n k=0 kp(a k) = a + E(S n) a + b + n a + b + n. 4. a. Si P n est vraie, E(S n ) = E(X X n ) = ne(x 1 ) = n a a+b. b. Par récurrence. On sait que P 1 est vraie. Montrons que P n P n+1 : On montre aussi que P(X n+1 = 0) = paramètre ( a a+b )). P(X n+1 = 1) = a + E(S n) a + b + n = a + n a a+b a + b + n a(a + b + n) = (a + b)(a + b + n) = a a + b b a+b. Ainsi X n+1 a même loi que X 1 (la loi de Bernoulli de 2

14 Université de Pau et des Pays de l'adour Faculté des Sciences et Techniques Département de Mathématiques Avenue de l'université Pau Tél : Examen Janvier 2007 Diplôme : Licence 2ème année U.E : Introduction aux Probabilités Durée : 2 heures Documents non autorisés Calculatrice UPPA autorisée Exercice 1 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires discrètes dont la distribution de probabilité conjointe est donnée par le tableau suivant : Y \X a 2a a 1 3a/2 3a b a. A quelles conditions sur a et b ce tableau dénit-il bien une distribution de probabilité conjointe pour (X, Y )? (Dans la suite, on supposera cette condition satisfaite). b. On pose : Z = X + 2Y et T = max(x, Y ). Déterminer, en fonction de a seulement, les lois de X, Z et T. c. Calculer les espérances des X, Y et Z. d. Calculer E(X 2 ) et Var(X). e. Calculer Cov (X, Y ). f. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 2 Soit f la fonction dénie sur R par f(x) = (x + 1)1 [ 1,0] (x) + (1 x)1 ]0,1] (x). 1. Montrer que f est une densité de probabilité. 2. Soit X une variable aléatoire réelle admettant f pour densité de probabilité. Déterminer la fonction de répartition F de X. Tracer sur un même graphe f et F. 3. Calculer E(X) et Var(X). Pouvait-on prévoir sans calcul la valeur de E(X)? 4. A quelle(s) condition(s) sur a a-t-on 5. Déterminer P( X a) pour tout a R. P( X a) 1 6a 2? 6. Soit Y variable aléatoire uniforme sur [ 1, 1] indépendante de X. Calculer 7. Soit Z = min(x, Y ). Quelle est la loi de Z? P((X, Y ) [ 1 2, 1 2 ] [ 1 2, 1 2 ]).

15 Exercice 3 On s'intéresse dans cet exercice à une mine dont la production mensuelle est toujours comprise entre 0 et 30 tonnes. Cette production est en fait modélisée par une variable aléatoire Y dont la loi admet la densité f Y (x) = α( x x)1 [0,30] (x). 1. a. Déterminer α pour que f Y ait les propriétés d'une densité de probabilité. b. Déterminer la fonction de répartition de Y. c. Calculer, si ces réels existent, E(Y ) et Var(Y ). 2. On note X n la production du n-ième mois. On suppose de plus que les (X n ) n N sont i.i.d de même loi que la variable aléatoire Y. On s'intéresse dans cette question à la variable aléatoire X n = 1 n n i=1 X i qui représente la moyenne empirique sur n mois. a. Etudier la convergence en probabilité de la moyenne empirique X n. b. Etudier la convergence en loi de n ( Xn En déduire une valeur approchée de la probabilité que la moyenne empirique sur 3 ans soit comprise entre 12 et 18 tonnes. ).

16 Annexe Loi normale : fonction de répartition Pour une valeur u 0, la table ci-dessous renvoie la valeur F (u) de la fonction de répartition F de la loi normale centrée réduite au point u. u Table pour les grandes valeurs de u : u F (u) u F (u) u F (u) u F (u)

17 Université de Pau et des Pays de l'adour Faculté des Sciences et Techniques Département de Mathématiques Avenue de l'université Pau Tél : Examen -2ème session- Juin 2007 Diplôme : Licence 2ème année U.E : Introduction aux Probabilités Durée : 2 heures Documents non autorisés Calculatrice UPPA autorisée Exercice 1 Dans une usine on produit des résistances dont la valeur en Ohms suit une loi normale de moyenne 100 et de variance 0,26. On considère qu'une résistance est commercialisable si sa valeur est de 100 Ohms à 1% près. 1. Quelle est la probabilité p qu'une résistance soit commercialisable? 2. Soit X la variable aléatoire qui vaut 1 si la résistance est commercialisable et 0 sinon. Quelle est la loi de X? sa moyenne? sa variance? 3. Les résistances sont fabriquées indépendamment les unes des autres par lots de taille n. Soit S n le nombre de résistances commercialisables dans un lot de taille n. Quelle est la loi de S n? sa moyenne? sa variance? 4. (Question de cours) Soit Y une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres n et p. Donner, pour n grand, une approximation de P(Y x) en fonction de n, p et F la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. 5. En utilisant l'approximation évoquée dans la question précédente (on supposera que n est susament grand), quelle est la taille minimale des lots qui assure qu'au moins 99% des lots contiennent plus de 90% de résistances commercialisables? Exercice 2 Soient b, r N et c N. Une urne contient b boules blanches et r boules rouges. On eectue des tirages successifs de la manière suivante : une boule étant tirée, on la remet dans l'urne avec en plus c boules de la même couleur. On note X n la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule obtenue au nième tirage est rouge, la valeur 0 si elle est blanche. On posera p = r b + r, q = b b + r. 1. Déterminer la loi du couple (X 1, X 2 ). En déduire la loi de X 2 et la comparer à la loi de X Déterminer la loi de la variable aléatoire S 2 = X 1 + X Déterminer la loi de X 3 sachant S 2 = k pour k {0, 1, 2}.

18 4. Montrer, à l'aide du résultat de la question précédente, que la loi de X 3 est la même que celle de X Soit la variable aléatoire S n = X X n. Exprimer la loi de X n+1 en fonction de E(S n ). (On pourra calculer P(X n+1 = 1) à l'aide de la formule des probabilités totales.) 6. On considère l'hypothèse de récurrence suivante. a. Si P n est vraie calculer E(S n ). P n : les variables aléatoires X 1,..., X n ont la même loi que X 1. b. Montrer que P n est vraie pour tout n 1, c'est à dire que toutes les variables X n ont même loi que X 1. Exercice 3 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre Calculer la fonction de répartition de X. 2. En déduire la densité de probabilité de la variable aléatoire X. 3. On rappelle que si deux variables aléatoires indépendantes X 1 et X 2 admettent respectivement les densités de probabilité f X1 et f X2 (par rapport à la mesure de Lebesgue) alors la variable aléatoire X 1 + X 2 admet la densité de probabilité dénie par f X1 +X 2 (x) = + f X 1 (x y)f X2 (y)dy. En utilisant ce résultat, montrer que la variable aléatoire Z = Y X admet la densité de probabilité f Z (x) = 1 2 e x, x R. (on pourra distinguer les cas x > 0 et x 0) 4. Déterminer (si possible quasiment sans calcul) E(Z) et Var(Z).

19 Annexe Loi normale : fonction de répartition Pour une valeur u 0, la table ci-dessous renvoie la valeur F (u) de la fonction de répartition F de la loi normale centrée réduite au point u. u Table pour les grandes valeurs de u : u F (u) u F (u) u F (u) u F (u)