EXERCICES SUR LES FONCTIONS CONTINUES

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1 EXERCICES SUR LES FONCTIONS CONTINUES. Dans chacun des cas suivants, préciser si la partie A de R proposée admet une borne supérieure, une borne inférieure, un plus grand, un plus petit élément, et les déterminer s il y a lieu. a) A = [, [ b) A = d) A = n [ n, ] n { n } n N e) A = {+ ( )n n } n N c) A = f) A = { n } n N { sin (3n+)π 6 } n N. Dans chacun des cas suivants, préciser si la partie A de R proposée admet une borne supérieure, une borne inférieure, un plus grand, un plus petit élément, et les déterminer s il y a lieu. a) A = [0, [ b) A = d) A = n N [ 0, ] n { n } n N e) A = {+ ( )n n } n N c) A = f) A = { 3 n { sin nπ 3 } n N } n N 3. Déterminer le nombre a pour que la fonction f définie sur R par { x+ si x 3 f(x) = x a si x > 3 soit continue sur R. 4. Déterminer les nombres a et b pour que la fonction f définie sur R par (x ) si x < f(x) = a si x = (x+b) si x > soit continue sur R. 5. Déterminer les nombres a et b pour que la fonction f définie sur R par x +x+b si x < f(x) = a si x = bx +x+5 si x > soit continue sur R. 6. Déterminer les nombres a et b pour que la fonction f définie sur R par (x+) si x < f(x) = a si x = x +b si x > soit continue sur R.

2 7. a) Etudier la continuité des fonctions définies sur R par f(x) = x E(x), g(x) = E(x)+ x E(x), où E(x) désigne la partie entière de x. b) De même, étudier la continuité des fonctions définies sur R par f(x) = (x E(x)), g(x) = E(x)+(x E(x)). 8. En quels points de R la fonction f définie par f(x) = (x )(E(x) ) est-elle continue? Représenter f sur l intervalle [, 4[. Sur cet intervalle, f admet-elle un maximum? un minimum? 9. En quels points de R + la fonction f définie par ( ) x E si x > 0 f(x) = x si x = 0 est-elle continue? Représenter f sur l intervalle ] /5, + [. 0. Trouver un prolongement par continuité à R tout entier des fonctions suivantes a) f définie sur R\{ } par f(x) = x3 +5x+6 x 3 + b) f définie sur R par f(x) = (+x)n x (n N). Montrer que les fonctions f suivantes admettent un prolongement par continuité. Exprimer le prolongement f de f sur R avec une formule unique. a) f définie sur R\{ } par f(x) = x3 5x x 3 +8 b) f définie sur R par f(x) = (+x)n n x (n N). Etudier si les fonctions ci-dessous définies sur R peuvent se prolonger par continuité en 0. a) f(x) = sin x, b) f(x) = xsin x, c) f(x) = x sin x. 3. Etudier si les fonctions ci-dessous définies sur R peuvent se prolonger par continuité en 0. a) f(x) = cos x, b) f(x) = xcos x, c) f(x) = x cos x.

3 4. Soit f(x) = x++ x+5 3 x +x. a) Déterminer l ensemble de définition D f de la fonction f. b) Etudier la continuité de f. c) Peut-on prolonger f par continuité? 5. En quels points la fonctions f définie par est-elle continue? f(x) = { 0 si x Z x si x / Z 6. Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x(e(x) E(x)). a) Tracer la courbe représentative de f dans l intervalle [, [. b) Déterminer les points de R où la fonction f est continue. 7. Soit la fonction f définie sur R par ( ) f(x) = x+ x E. a) Etudier la continuité de f. b) Représenter graphiquement f sur l intervalle [, ]. c) Montrer que la fonction f est paire et périodique de période. 8. Soit la fonction f définie sur ] π, π[\{0} par f(x) = sin3x sinx. sinx a) Par quelle valeur faut-il prolonger f en 0 pour obtenir une fonction continue sur ] π, π[? (On pourra exprimer f sous forme de polynôme en cosx). b) Déterminer de deux manières différentes les zéros de f dans cet intervalle, et en déduire la valeur exacte de cos π Soit la fonction f définie par a) Déterminer le domaine de définition de f. f(x) = (tan x ) sin5x sin3x sin3x sinx. b) Trouver le plus grand intervalle ] a, a[ possible, sur lequel f puisse se prolonger en une fonction continue F. (On définira F(x) pour tout x de l intervalle ] a, a[ trouvé). 3

4 0. Soit f définie sur [0, + [ par f(x) = x x 4 + x 5. a) Représenter la fonction f. Quels sont les extrema relatifs de f sur [0, + [? b) Montrer que pour tout x 0, f possède un maximum dans l intervalle [0, x]. On note g(x) ce maximum. Calculer g(x) et représenter g sur le même dessin que f.. Déterminer les ensembles suivants : A = {cosx x > π}, B = {x cosx x > 0}, C = {3sinx+4cosx x R}, D = {x 3 +x +x 3 x R}.. Déterminer les ensembles suivants : A = {cosx x > 0}, B = {x sinx x > 0}, C = {sinx+cosx x R}, D = {x 3 5x+7 x R}. 3. Déterminer l ensemble A = {sinx+cosx x R}. 4. Soit f une fonction numérique définie et continue sur un segment [a, b]. Montrer qu il existe c dans [a, b] tel que f(a)+3f(b) = 5f(c). 5. Soit f une fonction numérique définie et continue sur un segment [a, b], et [m, M ] un segment contenant f(a) et f(b). (Illustrer la situation par un dessin le plus général possible). Montrer que la courbe représentative de f coupe la droite joignant les points (a,m) et (b,m). 6. Soit f une fonction définie et continue sur [0, ] telle que f(0) = f(). Montrer que pour tout entier n de N, il existe α n dans [0, ] tel que f(α n ) = f(α n +/n). (Indication : introduire la fonction ϕ définie sur [0, /n] par ϕ(x) = f(x) f(x+/n) et calculer la somme ϕ(0)+ϕ(/n)+ +ϕ((n )/n)). 7. Un véhicule se rend en une heure d une ville A à une ville B distante de A de p kilomètres. Montrer qu il existe deux points du trajet distants de p/ kilomètres, où le véhicule passe à une demiheure d intervalle. (Introduire la fonction g définie sur [0, /] par g(t) = d(t + /) d(t) p/, où d(t) désigne la distance parcourue depuis A à l instant t). 8. Soit a et b deux nombres tels que 0 < a < b, et f une fonction continue sur [a, b] de courbe représentative C dans un repère orthonormé (O, ı, j ). On appelle A le point de C d abscisse a et B celui d abscisse b. On note α le coefficient directeur de la droite OA et β celui de OB. Montrer que pour tout nombre γ de ]α, β[, la droite d équation y = γx coupe la courbe C. (Illustrer la situation par un dessin le plus général possible). 9. Soit f et g deux applications continues sur [0, ] à valeurs dans [0, ], telles que f g = g f. On veut démontrer la propriété suivante : «il existe c dans [0, ] tel que f(c) = g(c)». 4

5 a) On pose h(x) = f(x) x. Montrer que h s annule en au moins un point s de [0, ]. En déduire que pour tout entier n 0, g n (s) = f(g n (s)), (où g n désigne, si n, la composée g g g, où g figure n fois, et g 0 = Id ). b) On pose u n = g n (s). Vérifier que f(u n ) = u n et g(u n ) = u n+. c) On suppose que la suite (u n ) est monotone. Montrer qu elle a alors une ite l. Que peut-on dire de f(l) et g(l)? d) On suppose que la suite (u n ) n est pas monotone. Montrer qu il existe des nombres u et v tels que le produit (f g)(u)(f g)(v) soit négatif. Conclure. 30. a) Montrer que pour tout entier n N, l équation tanx = x possède une solution unique notée u n dans l intervalle ]nπ π/, nπ+π/[. (Introduire la fonction f définie sur R\{π/+kπ k Z} par f(x) = tanx x). b) On pose v n = u n nπ. Calculer f(u n+ π). En déduire que la suite (v n ) n 0 est strictement croissante, puis qu elle converge et trouver sa ite. 3. Pour n, soit P n le polynôme de degré n tel que, au voisinage de 0, on ait ln(+x) = P n (x)+ (x n ). Etudier l existence des racines réelles de P n et montrer que si elles existent, elles sont situées dans l intervalle ], [. 3. Soit n, et f n définie sur R par f n (x) = x n +x n +x +x. a) Montrer que f n possède une racine u n et une seule dans R +. b) Montrer que la suite (u n ) n est une suite croissante de l intervalle ]0, /3[ et trouver sa ite. 33. Soit f une fonction de [0, + [ dans [0, + [, continue sur [0, + [, et admettant 0 pour ite en +. Montrer que f admet un maximum. 34. Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x n+ 8x n+ +7x n +36. a) On pose h(x) = f(x) f(x+) f(x ). Montrer qu il existe s dans l intervalle ], 7[, tel que h(s) = 0. b) En déduire qu il existe trois points A, B, C de la courbe représentative de f, d abscisses respectives a, b, c, vérifiant (i) B est le milieu de AC (ii) b a = 35. Soitf une application définie et continue sur un intervalle [a, b] et soit(c) sa courbe représentative. On suppose quef(a) = f(b) = m. Soitdun nombre réel de l intervalle ]a, b[ etd le point de coordonnées (d,m). 5

6 Montrer que toute droite passant par D coupe la courbe (C) en au moins un point. 36. Soit f une application continue et strictement décroissante sur l intervalle [ a, b] (a b) telle que f([a, b]) = [a, b]. (On pourra s aider d un dessin). a) Montrer qu il existe un point c et un seul de ]a, b[ tel que f(c) = c. b) Montrer qu il existe au moins un point d de ]a, b[ tel que f(d) = f (d), c) Montrer que si l ensemble des solutions de l équation est fini, le nombre de ses éléments est impair. f(x) = f (x) 37. Montrer que si f et g sont des fonctions croissantes sur l intervalle I, il en est de même de f +g. Montrer que si f et g sont des fonctions croissantes et positives sur l intervalle I, il en est de même de f g. Que se passe-t-il si f et g sont croissantes négatives? 38. Soit a, b, c, trois nombres réels, et f l application définie sur [, ] par f(x) = 4x 3 +ax +bx+c. a) Montrer que le maximum de f sur [, ] existe et est strictement positif. On le note M(a,b,c). b) On pose g(x) = 4x 3 3x, et l on suppose que M(a,b,c) <. Etudier le signe de f g en, /, /,. Et en déduire que f g s annule au moins trois fois. c) Montrer que M(a,b,c). 39. Soit f une application définie et continue de R dans R, et telle que, quels que soient x et y réels, f(x+y) = f(x)+f(y). a) Calculer f(0), puis montrer que pour tout x réel f( x) = f(x). b) Montrer que pour tout entier n et tout x réel, f(nx) = nf(x). c) Montrer que pour tout nombre rationnel q et tout nombre réel x, f(qx) = qf(x). d) Montrer que pour tout couple (λ,x) de nombres réels, f(λx) = λf(x). En déduire la nature de f. 6

7 40. Soit p un entier supérieur ou égal à, et soit f la fonction définie sur R par f(x) = x p. On pose, pour tout n N, x n = n+ n et y n = n. Montrer que pour tout entier n > 0, on a f(x n ) f(y n ). En déduire que f n est pas uniformément continue sur R. 4. Montrer que la somme de deux fonctions uniformément continues sur un intervalle I est uniformément continue sur I. A-t-on un résultat analogue pour le produit? 4. Soit p un entier strictement positif. En étudiant la fonction f définie sur [y, + [ par f(x) = (x y) /p x /p +y /p, montrer que, quels que soient x et y réels positifs x /p y /p x y /p. En déduire que la fonction x x /p est uniformément continue sur R +. Est-elle contractante sur R +? 7

8 Corrigé. a) D après les propriétés des intervalles, l ensemble A, admet comme borne supérieure, mais n admet pas de plus grand élément, et il admet comme borne inférieure, qui est aussi son plus petit élément. b) On a, pour tout entier n > 0, 0 < n. Donc est un majorant de A et appartient à A. C est la borne supérieure et le plus grand élément de A. D autre part 0 est un minorant de A et c est la ite de la suite (/n) n d éléments de A. Donc 0 est la borne inférieure de A, mais comme 0 n appartient pas à A, cet ensemble n a pas de plus petit élément. c) Même méthode que dans b), en partant de n <. Le nombre est la borne inférieure et le plus petit élément de A. Le nombre est la borne supérieure, mais A n a pas de plus grand élément. d) Si a appartient à A, il existe un entier n > 0 tel que a appartienne à l intervalle [/n, /n]. Donc () 0 < a n <. Le nombre 0 est un minorant de A et la ite de la suite (/n) n d éléments de A. C est donc la borne inférieure de A et elle n appartient pas à A. Donc A n admet pas de plus petit élément. Le nombre est un majorant de A et c est la ite de la suite ( /n) n d éléments de A. C est donc la borne supérieure de A, mais A n admet pas de plus grand élément. Remarque : on peut aussi montrer que A =]0, [. En effet, les inégalités (), montrent que A est inclus dans ]0, [. Inversement, si x appartient à l intervalle ]0, [, on a 0 < x <, et si l on prend n max(/x,/( x)) on en déduit n x n, et x appartient à [/n, /n] donc à A. Il en résulte que d où l égalité de ces deux ensembles. ]0, [ A, e) Si n = p est pair, on a et, puisque p, + ( )p p = + p, < + + =. p Si n = p+ est impair, on a + ( )p+ p+ = p+, 8

9 et, puisque p 0, Il en résulte que pour tout entier n > 0, on a p+ <. + ( )n n Donc est un majorant de A. Comme il appartient à A c est la borne supérieure et le plus grand élément de A. De même est un minorant de A. Comme il appartient à A c est la borne inférieure et le plus petit élément de A.. f) L ensemble A est fini et contient quatre éléments { } 3 A = ±,±. Donc 3/ est le plus grand élément et le maximum de A, et 3/ est le plus petit élément et le minimum de A.. a) D après les propriétés des intervalles, l ensemble A, admet comme borne supérieure, mais n admet pas de plus grand élément, et il admet 0 comme borne inférieure, qui est aussi son plus petit élément. b) On a, pour tout entier n > 0, 0 < n. Donc / est un majorant de A et appartient à A. C est la borne supérieure et le plus grand élément de A. D autre part 0 est un minorant de A et c est la ite de la suite (/n) n d éléments de A. Donc 0 est la borne inférieure dea, mais comme0n appartient pas àa, cet ensemble n a pas de plus petit élément. c) Même méthode que dans b), en partant de 3 n < 3. Le nombre est la borne inférieure et le plus petit élément de A. Le nombre 3 est la borne supérieure, mais A n a pas de plus grand élément. d) Si a appartient à A, il existe un entier n > 0 tel que a appartienne à l intervalle [0, /n ]. Donc () 0 a n <. Le nombre 0 est un minorant de A et appartient à A, c est sa borne inférieure et son plus petit élément. Le nombre est un majorant de A et c est la ite de la suite ( /n ) n d éléments de A. C est donc la borne supérieure de A, mais A n admet pas de plus grand élément. Remarque : on peut aussi montrer que A = [0, [. En effet, les inégalités (), montrent que A est inclus dans [0, [. Inversement, si x appartient à l intervalle [0, [, on a 0 x <, 9

10 et si l on prend n / x on en déduit 0 x < n, et x appartient à [0, /n ] donc à A. Il en résulte que [0, [ A, d où l égalité de ces deux ensembles. e) Si n = p est pair, on a et, puisque p, Si n = p+ est impair, on a et, puisque p 0, Il en résulte que pour tout entier n > 0, on a + ( )p p = + p, < + p + = 5. + ( )p+ p+ = p+, p+ <. + ( )n n 5. Donc 5/ est un majorant de A. Comme il appartient à A c est la borne supérieure et le plus grand élément de A. De même est un minorant de A. Comme il appartient à A c est la borne inférieure et le plus petit élément de A. f) L ensemble A est fini. On a A = { 3,0, } 3. Donc 3/ est le plus grand élément et le maximum de A, et 3/ est le plus petit élément et le minimum de A. 3. Les restrictions de f aux intervalles ], 3] et ]3, + [ sont des fonctions polynômes, donc continues sur ces deux intervalles. La fonction f sera continue sur R si et seulement si elle est continue en 3, c est-à-dire, si et seulement si x 3 +f(x) = f(3), c est-à-dire La condition cherchée équivaut à l égalité c est-à-dire a =. x 3 +(x a) = f(3). 6 a = 5, 0

11 4. Les restrictions de f aux intervalles ], [ et ], + [ sont des fonctions polynômes, donc continues sur ces deux intervalles. La fonction f sera continue sur R si et seulement si elle est continue en, c est-à-dire, si et seulement si On a donc x +f(x) = f( ) = x f(x), x + f(x) = x + (x+b) = ( 4+b) et x f(x) = x (x ) = 9, La condition cherchée équivaut aux égalités ( 4+b) = a = 9. Les deux couples solutions sont donc (a = 9,b = 7) et (a = 9,b = ). 5. Les restrictions de f aux intervalles ], [ et ], + [ sont des fonctions polynômes, donc continues sur ces deux intervalles. La fonction f sera continue sur R si et seulement si elle est continue en, c est-à-dire, si et seulement si On a donc x +f(x) = f(x) = f(). x x + f(x) = x + (bx +x+5) = 4b+9 et x f(x) = x (x +x+b) = b+6. La condition cherchée équivaut aux égalités c est-à-dire (a,b) = (5, ). 4b+9 = b+6 = a, 6. Les restrictions de f aux intervalles ], [ et ], + [ sont des fonctions polynômes, donc continues sur ces deux intervalles. La fonction f sera continue sur R si et seulement si elle est continue en, c est-à-dire, si et seulement si x + f(x) = x f(x) = f(). On a x + f(x) = x + (x +b) = 4+b et La condition cherchée équivaut aux égalités x f(x) = x (x+) = 9. 4+b = 9 = a, c est-à-dire (a,b) = (9,5). 7. a) Soit n un nombre entier. Si x appartient à l intervalle [n, n+[ on a f(x) = x n. La fonction f est continue sur ]n, n+[, elle est continue à droite en n et f(n) = 0. Etudions la continuité à gauche au point n. Sur l intervalle [n, n[ on a f(x) = x n+.

12 Par suite x n f(x) = x n+ = 0 = f(n). x n La fonction f n est pas continue à gauche au point n donc n est pas continue en ce point. La fonction f est continue sur R\Z. Comme dans ce qui précède, la fonction g est continue sur l intervalle ]n, n+[ où n est entier. Sur l intervalle ]n, n+[ on a g(x) = n+ x n. De plus g est continue à droite en n et g(n) = n. Etudions la continuité à gauche au point n. Sur l intervalle [n, n[ on a g(x) = (n )+ x n+. Par suite x n g(x) = x n (n + x n+) = n = g(n). La fonction g est continue à gauche au point n donc est continue en ce point. Elle est continue sur R tout entier. b) Soit n un nombre entier. Si x appartient à l intervalle [n, n+[ on a f(x) = (x n). La fonction f est continue sur ]n, n+[, elle est continue à droite en n et f(n) = 0. Etudions la continuité à gauche au point n. Sur l intervalle [n, n[ on a Par suite f(x) = (x n+). x n f(x) = x n (x n+) = 0 = f(n). La fonction f n est pas continue à gauche au point n donc n est pas continue en ce point. La fonction f est continue sur R\Z. Comme dans ce qui précède la fonction g est continue sur tout intervalle ]n, n+[ où n est entier et on a sur cet intervalle g(x) = n+(x n). De plus g est continue à droite en n et g(n) = n. Etudions la continuité à gauche au point n. Sur l intervalle [n, n[ on a g(x) = (n )+(x n+). Par suite x n g(x) = x n (n +(x n+) ) = n = g(n). La fonction g est continue à gauche au point n donc est continue en ce point. Elle est continue sur R tout entier. 8. Soit n entier. Sur [n, n+[ on a f(x) = (x )(n ), et f est continue sur tout intervalle ]n, n+[ et à droite en tout point n entier. Par ailleurs, sur [n, n[, on a f(x) = (x )(n 3).

13 En un tel point n et f(n) = x n +f(x) = +(x )(n ) = (n )(n ), x n x n f(x) = x n + (x )(n 3) = (n )(n 3). Si n, ces deux ites sont distinctes et f n est pas continue en n. Par contre si n = on a et f est continue en. f(n) = x n +f(x) = f(x) = 0, On a le dessin suivant, qui montre que f atteint son maximum sur [, 4[ en. Ce maximum vaut 6. Par contre f n admet pas de minimum, car la valeur n est pas atteinte. x n y 6 3 O 3 4 x 9. Soit n un entier strictement positif. Dire que E(/x) = n, signifie que c est-à-dire que Sur l intervalle on a alors n x < n+, n+ < x n. ] I n = n+, ] n f(x) = nx et f est continue sur I n. En particulier f est continue à gauche en /n et f(/n) =. Dire que E(/x) = 0, signifie que 0 x <, c est-à-dire que x est strictement plus grand que. 3

14 Sur l intervalle I 0 =], + [ on a alors f(x) = 0 et f est continue sur I 0. Etudions la continuité aux points de la forme /n, où n est entier. (i) n =. Dans ce cas et la fonction n est pas continue en. x + f(x) = x + 0 = 0 = f(), (ii) n >. Si x s approche de /n par valeurs supérieurs, il se trouve dans I n, et donc ( ) n x /n +f(x) = x /n +(n )x = = f, n n et la fonction n est pas continue en /n. Pour terminer il reste à étudier ce qui se passe en 0 +. En partant de l encadrement ( ) x < E x x, et en multipliant par x, on obtient x < f(x), et il résulte du théorème d encadrement que f(x) tend vers = f(0) lorsque x tend vers 0. La fonction est donc continue en zéro. La fonction f est continue sur R + \{/n n N }, et on a le desin suivant. y O x 0. a) Le numérateur et le dénominateur de f s annulent pour x =. On peut donc simplifier par x+. Pour x, on a donc f(x) = x x+6 x x+. 4

15 La fonction de droite a pour ite 8/3 en. Il en résulte que f se prolonge par continuité en. Le prolongement f est défini par f(x) = Mais on peut écrire également, pour tout x réel, x 3 +5x+6 x 3 + si x 8/3 si x = f(x) = x x+6 x x+. b) On peut mettre x en facteur au numérateur en utilisant l identité On obtient donc u n v n = (u v)(u n +u n v + +uv n +v n ). (+x) n = x((+x) n +(+x) n + +(+x)+), et f admet n pour ite en zéro. Il en résulte que f se prolonge par continuité en. Le prolongement f est défini par f(x) = Mais on peut écrire également, pour tout x réel, (+x) n x si x 0 n si x = 0 f(x) = (+x) n +(+x) n + +(+x)+. Remarque : on aurait pu utiliser également la formule du binôme de Newton pour simplifier f. On a en effet n ( ) n (+x) n = x k, k et donc f(x) = n k= k= ( ) n x k. k... a) Le numérateur et le dénominateur de f s annulent pour x =. On peut donc simplifier par x+. Pour x, on a donc f(x) = x x x x+4. La fonction de droite a pour ite 7/ en. Il en résulte que f se prolonge par continuité en. Le prolongement f est défini par f(x) = Mais on peut écrire également, pour tout x réel, x 3 5x x 3 +8 si x 7/ si x = f(x) = x x x x+4. 5.

16 b) On peut mettre x en facteur au numérateur en utilisant l identité On a donc u n v n = (u v)(u n +u n v + +uv n +v n ). (+x) n n = x((+x) n +(+x) n + + n (+x)+ n ), etf admetn n pour ite en zéro. Il en résulte quef se prolonge par continuité en. Le prolongement f est défini par Mais on peut écrire également, pour tout x réel, (+x) n n si x 0 f(x) = x n n si x = 0 f(x) = (+x) n +(+x) n + + n (+x)+ n. Remarque : on aurait pu utiliser également la formule du binôme de Newton pour simplifier f. On a en effet n ( ) n (+x) n n = n k x k, k et donc f(x) = n k= k= ( ) n n k x k. k.. a) Posons La suite (x n ) converge vers zéro et x n = π +nπ. f(x n ) =. La suite (f(x n )) converge vers. Par ailleurs, si l on pose la suite (y n ) converge vers zéro et y n = π +nπ, f(y n ) = 0, La suite (f(y n )) converge vers 0. La fonction f ne peut pas avoir de ite en zéro. Elle ne peut se prolonger par continuité en ce point. b) La fonction f admet une ite nulle en 0, comme produit d une fonction bornée, par une fonction admettant une ite nulle en zéro, et la fonction se prolonge par continuité. On a f(x) = { f(x) si x 0 0 si x = 0. c) Posons La suite (x n ) converge vers zéro, mais x n = π +nπ. f(x n ) = π +nπ, 6

17 et la suite (f(x n )) admet + comme ite. La fonction f ne peut pas avoir de ite finie en zéro. Elle ne peut se prolonger par continuité en ce point. 3. a) Posons La suite (x n ) converge vers zéro, et x n = nπ. f(x n ) =. La suite (f(x n )) converge vers. Par ailleurs, si l on pose la suite (y n ) converge vers zéro, et y n = π +nπ, f(y n ) =. La suite (f(y n )) converge vers. La fonction f ne peut pas avoir de ite en zéro. Elle ne peut se prolonger par continuité en ce point. b) La fonction f admet une ite nulle en 0, comme produit d une fonction bornée, par une fonction admettant une ite nulle en zéro, et la fonction se prolonge par continuité. On a f(x) = { f(x) si x 0 0 si x = 0. c) Posons La suite (x n ) converge vers zéro. Mais x n = nπ. f(x n ) = nπ, et la suite (f(x n )) admet + comme ite. La fonction f ne peut pas avoir de ite finie en zéro. Elle ne peut se prolonger par continuité en ce point. 4. a) Le dénominateur 3 x +x vaut 3 x+x = 3+x si x 3 et s annule pour x = 3. Il vaut x 3+x = 3x 3 si x 3 et ne s annule pas. On a donc D f = R\{ 3}. b) La fonction x x étant continue sur R, il en résulte que f est continue su D f comme composées, sommes et quotients de fonctions continues. c) Explicitons la fonction f suivant les valeurs de x. On obtient 4 3+x si x 5 f(x) = si x ] 5, 3[ ] 3, 3[ x+6 3x 3 si x 3 7

18 En particulier, comme f est constante sur ] 5, 3[ ] 3, 3[ elle admet une ite en 3 qui vaut, et f se prolonge par continuité. On a 4 si x 5 3+x f(x) = si x ] 5, 3[. x+6 3x 3 si x 3 5. Si n est entier, la fonction f est continue sur l intervalle ]n, n+[ puisque f(x) = x sur cet intervalle. Etudions la continuité en n. On a et x n f(x) = x = n, x n x n + f(x) = x n + x = n, mais f(n) = 0, donc f est continue en n si et seulement si n = 0. La fonction f est continue sur R\Z. 6. Dire que E(x) = n où n est un entier, signifie que n x < n+, c est-à-dire que n x < n+. On étudie donc la fonction sur les intervalles [p, p+/[ et [p+/, p+[ où p est entier. Sur ces deux intervalles qui sont inclus dans [p, p+[ la partie entière de x vaut p. Si x appartient à [p, p+/[, le nombre x est compris entre p et p+ et donc E(x) = p, f(x) = x(p p) = 0. Si x appartient à [p+/, p+[, le nombre x est compris entre p+ et p+ et E(x) = p+, donc On a le dessin suivant. f(x) = x(p+ p) = x. 8

19 y x b) La fonction f est continue sur les intervalles ]p, p+/[ et ]p+/, p+[ et elle est continue à droite aux points p et p+/ pour tout entier p. Il reste à étudier la continuité à gauche en ces points. A gauche de p+/, on a f(x) = 0, et à droite f(x) = x, donc La fonction n est pas continue en ce point. x (p+/) f(x) = 0 p+ = f A gauche de p, on a f(x) = x, et à droite f(x) = 0, donc ( p+ ). x p f(x) = p et x p + f(x) = f(p) = 0. La fonction est continue en p si et seulement si p = 0. Donc f est continue sur R\{n/ n Z } 7. a) Si n est entier, on a si et seulement si soit Sur l intervalle [n, n+[, on aura donc ( ) x+ E = n n x+ < n+, n x n+. f(x) = x n, La fonction est continue sur ]n, n+[, et continue à droite en n. Il reste à voir la continuité à gauche aux points impairs Sur l intervalle [ n +, n + 3[, on aura f(x) = x n, donc x (n+) +f(x) = x (n+) + x n =. 9

20 Par ailleurs, x (n+) f(x) = f(n+) =. La fonction f est donc continue en n+. Finalement elle est continue sur R tout entier. b) On a le dessin suivant. y x c) La fonction est -périodique. En effet f(x+) = = ( ) x+3 x+ E ( x+ +) x+ E. Mais, puisque pour tout entier n et tout réel x on obtient E(x+n) = E(x)+n, ( ) f(x+) = x+ (E +) x+ = f(x). Pour la parité, on remarque que si x appartient à [, [, alors (x + )/ appartient à [ 0, [, et donc f(x) = x. Par ailleurs à cause de la périodicité f( ) = f( +) = f(). Donc la restriction de f à l intervalle [, ] est paire. Alors comme elle est -périodique, la fonction f est paire sur R. 8. a) On obtient facilement donc, pour x non nul, sinx = sinxcosx et sin3x = sinx(4cos x ), f(x) = 4cos x cosx. La ite en zéro de cette fonction vaut donc, et il suffit de prolonger la fonction par la valeur en zéro pour avoir une fonction continue sur ] π, π[. b) On résout l équation de deux manières. 0

21 (i) En cherchant les solutions de l équation sin3x = sinx, on obtient une première famille de solutions 3x = π x+kπ, où k est entier,c est-à-dire x = π 5 +kπ 5, ce qui donne dans ] π, π[ les quatre solutions Par contre, l équation π 5, π 5 ne donne pas de solution non nulle dans ] π, π[., 3π 5 3x = x+kπ,, 3π 5. (ii) En posant cosx = X, et en cherchant les racines du trinôme On obtient P(X) = 4X X. X = et X = 5 4 Mais comme X est positif ainsi que cos(π/5) = cos( π/5), alors que X et cos(3π/5) = cos( 3π/5) sont négatifs. Il en, résulte que cos π 5 = et cos 3π 5 = a) Pour que la fonction soit définie, il faut que tanx existe, c est-à-dire x π/ + kπ, où k Z, mais il faut aussi que le dénominateur ne s annule pas. Or l égalité sin3x = sinx a lieu, ou bien si 3x = x+kπ, soit x = kπ, ou bien si 3x = π x+kπ, soit x = π/4+kπ/. Donc D f = R\({π/+kπ k Z} {kπ k Z} {π/4+kπ/ k Z}). Les points les plus proches de zéro en lesquels f n est pas définie sont donc On remarquera aussi que la fonction est paire. b) Transformons f(x). On utilise la formule π/, π/4, 0, π/4, π/. On a Par ailleurs sinp sinq = sin p q cos p+q sin5x sin3x = sinxcos4x et sin3x sinx = sinxcosx. tan x = sin x cos x cos x. = cosx cos x,

22 Finalement, si x appartient à D f, On a alors ainsi que x 0 x 0 x π/4 x π/4 et de même en π/4 par parité. Enfin et de même en π/ par parité. f(x) = cos4x cos x. ( f(x) = x 0 cos4x ) cos =, x x 0 ( f(x) = cos4x ) x π/4 cos =, x x π/4 x (π/) f(x) = x (π/) ( cos4x ) cos =, x La fonction se prolonge donc en une fonction continue sur ] π/, π/[ et, sur cet intervalle, F(x) = cos4x cos x. 0. a) Pour exprimer la fonction f sans utiliser les valeurs absolues, on peut former le tableau suivant : 4 5 x x x x x x 4 x 4 x 4 4 x 4 x x 5 5 x 5 x 5 x x 5 f(x) x x 7 x x 3 b) Les maxima relatifs sont f(0) =, f(4) = 3, et les minima relatifs sont f() = 0, et f(5) =. c) La fonction f étant continue sur l intervalle [0, x], elle possède un maximum dans cet intervalle. En étudiant les variations ou la courbe représentative de f, on constate facilement que (i) Lorsque x est compris entre 0 et, la fonction f atteint son maximum sur l intervalle [0, x] au point 0, donc g(x) =. (ii) Lorsque x est compris entre et 4, la fonction f atteint son maximum sur l intervalle [0, x] au point x, Donc g(x) = f(x) = x. (iii) Lorsque x est compris entre 4 et 6, la fonction f atteint son maximum sur l intervalle [0, x] au point 4, Donc g(x) = 4. (iv) Lorsque x est plus grand que 6, la fonction f atteint son maximum sur l intervalle [ 0, x] au point x, Donc g(x) = f(x) = x 3. On a alors les courbes suivantes, où la courbe représentative de g en trait plein a été légérement décalée sur le dessin pour la comparer à celle de f en pointillés.

23 y 3 O 4 6 x. Les ensembles proposés sont les images d un intervalle par une fonction continue. Ce sont donc des intervalles. Il reste à trouver leurs bornes. Ensemble A Pour tout x > 0, on a cosx. Par ailleurs cos3π = et cosπ =. Donc A contient et. Il en résulte que A = [, ]. Ensemble B Si x n = nπ, on a x n = x n cosx n, et x n appartient à B. Comme la suite (x n ) admet pour ite +, l ensemble B n est pas majoré. Si y n = (n + )π, on a yn = y n cosy n, et yn appartient à B. Comme la suite ( y n ) admet pour ite, l ensemble B n est pas minoré. Il en résulte que B = R. Ensemble C On peut écrire ( 3 3sinx+4cosx = 5 5 sinx+ 4 ) 5 cosx, et si θ désigne l angle dont le sinus vaut /5 et le cosinus 3/5, on a 3sinx+4cosx = 5 sin(x+θ). Alors par un raisonnement analogue à celui fait pour A, on obtient C = [ 5, 5]. 3

24 Ensemble D La fonction polynôme x x 3 +x +x 3 admet + comme ite en +, et en. Donc D = R.. Les ensembles proposés sont les images d un intervalle par une fonction continue. Ce sont donc des intervalles. Il reste à trouver leurs bornes. Ensemble A Pour tout x > 0, on a cosx. Par ailleurs cosπ = et cosπ =. Donc A contient et. Il en résulte que A = [, ]. Ensemble B Si x n = π/+nπ, on a x n = x n sinx n, et x n appartient à B. Comme la suite (x n ) admet pour ite +, l ensemble B n est pas majoré. Si y n = 3π/+nπ, on a y n = y nsiny n, et y n appartient à B. Comme la suite ( y n) admet pour ite, l ensemble B n est pas minoré. Il en résulte que B = R. Ensemble C On peut écrire sinx+cosx = ( 5 5 sinx+ ) cosx, 5 et si θ désigne l angle dont le sinus vaut / 5 et le cosinus / 5, on a sinx+cosx = 5sin(x+θ). Alors par un raisonnement analogue à celui fait pour A, on obtient C = [ 5, 5]. Ensemble D La fonction polynôme x x 3 5x+7 admet + comme ite en +, et en. Donc D = R. 4

25 3. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = sinx + cosx. On cherche A = f(r). Comme f est continue, l ensemble A est un intervalle. On remarque que pour tout x réel, on a sinx+cosx = ( sin x+ π ). 4 et donc f(x). Il en résulte que f(r) [, ]. Mais f(π/4) = et f(5π/4) =. On en déduit que A = [, ]. 4. Rappelons que si α et β sont deux nombres positifs tels que α + β =, le nombre αu + βv appartient à l intervalle fermé dont les bornes sont U et V. (Le nombre αu +βv est le barycentre de U et V affectés des coefficients α et β). En particulier le nombre x = 5 f(a)+ 3 5 f(b), appartient à l intervalle fermé de bornes f(a) et f(b). D après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c dans [a, b] tel que x = f(c). 5. La droite D joignant les points de coordonnées (a,m) et (b,m) a pour équation y = M m b a (x a)+m. On pose ( ) M m g(x) = f(x) b a (x a)+m. La fonction g est continue sur [a, b]. De plus g(a) = f(a) m 0 et g(b) = f(b) M 0. Il résulte du théorème des valeurs intermédiaires qu il existe c dans [a, b], tel que g(c) = 0, soit f(c) = M m b a (c a)+m. La courbe coupe la droite D en au moins un point d abscisse c. y M m a c b x 5

26 6. La fonction ϕ est continue sur [ 0, /n]. D autre part ϕ(0)+ϕ(/n)+ +ϕ((n )/n)) = (f(0) f(/n))+(f(/n) f(/n))+ +(f((n )/n) f()) = f(0) f() = 0. Comme la somme est nulle, il existe nécessairement au moins un terme positif et un autre négatif. Alors il résulte du théorème des valeurs intermédiaire que ϕ s annule dans [0, /n] en un certain point α n. On a donc pour ce point f(α n ) = f(α n +/n). 7. La fonction d est continue sur l intervalle [0, ], et l on a d(0) = 0 et d() = p. Alors, la fonction g est continue sur l intervalle [0, /], et l on a ( ) g(0) = d p ( ) ( ) et g = d() d p = p ( ) d Il en résulte que le produit g(0)g(/) est négatif. Donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un nombre c dans l intervalle [0, /], tel que g(c) = 0. Alors ( d c+ ) d(c) = p, et les points du parcours atteints aux temps c et c+/ sont bien distants de p/ km.. 8. Soit M(x) le point de C d abscisse x. Le coefficient directeur de la droite OM(x) vaut f(x)/x. La fonction g définie sur [ a, b] par g(x) = f(x) x est continue sur [a, b], et l on a g(a) = α et g(b) = β. Donc, si γ appartient à ]α, β[, il existe c dans [a, b] tel que g(c) = γ, c est-à-dire f(c) = γc. Cela signifie que la droite d équation y = γx coupe la courbe C au point d abscisse c. y B A O a c b x 6

27 9. a) Puisque f(x) appartient à l intervalle [0, ] pour tout x de cet intervalle, on a h(0) = f(0) 0 et h() = f() 0. Il résulte du théorème des valeurs intermédiaires que h s annule dans cet intervalle en un point s, et donc f(s) = s. Démontrons par récurrence, que pour tout entier n 0, on a g n (s) = f(g n (s)). La propriété est vraie pour n = 0. Supposons la vraie à l ordre n. Alors g n+ (s) = g(g n (s)) = g(f(g n (s)) = g f(g n (s)) = f g(g n (s)) = f(g n+ (s)). Elle est donc vraie à l ordre n+, donc quel que soit n. b) Si l on définit une suite (u n ) n 0 et posant on a donc, immédiatement u n = g n (s), u n = f(u n ) et u n+ = g n+ (s) = g(g n (s)) = g(u n ). c) Si la suite (u n ) est monotone, elle converge dans [0, ] vers une ite l, et, par passage à la ite, on obtient, puisque f et g sont continues : et donc f(l) = l et g(l) = l, f(l) = g(l). d) Si la suite n est pas monotone, elle n est pas décroissante, et il existe un entier p tel que u p < u p+. La suite n est pas non plus croissante, donc il existe un entier q tel que u q > u q+. Mais, si l on considère la fonction φ définie sur [0, ] par on a alors et φ = f g, φ(u p ) = f(u p ) g(u p ) = u p u p+ < 0, φ(u q ) = f(u q ) g(u q ) = u q u q+ > 0. Il résulte du théorème des valeurs intermédiaires qu il existe l dans [0, ] tel que φ(l) soit nul. On obtient bien f(l) = g(l). 30. a) La fonction f est continue sur chaque intervalle ] nπ π/, nπ + π/[. Comme on a = et x (nπ π/) + x (nπ+π/) = +, 7

28 il résulte du théorème des valeurs intermédiaires qu il existe u n dans ]nπ π/, nπ+π/[ tel que f(u n ) soit nul. D autre part, si x nπ, on a f (x) = tan x > 0, et la fonction f est strictement croissante sur ]nπ π/, nπ +π/[. Donc l équation f(x) = 0 a une solution et une seule dans cet intervalle. b) On a f(u n+ π) = tan(u n+ π) u n+ +π = tan(u n+ ) u n+ +π = π > 0 = f(u n ). Les nombres u n+ π et u n appartiennent à l intervalle ]nπ π/, nπ +π/[ et, puisque f est strictement croissante sur cet intervalle, on en déduit que alors La suite (v n ) est strictement croissante. On a d où u n+ π > u n v n+ = u n+ (n+)π > u n nπ = v n. 0 = f(u n ) = f(v n +nπ) = tan(v n +nπ) v n nπ = tanv n v n nπ, tanv n = v n +nπ, et puisque v n appartient à l intervalle ] π/, π/[, on en déduit que la suite (v n ) est majorée : elle est donc convergente et possède une ite l. On en déduit aussi que v n = arctan(v n +nπ). Comme la suite (v n +nπ) admet + pour ite, la suite (arctan(v n +nπ)) converge vers π/, et donc (v n ) converge vers π/. 3. Le développement ité de la fonction x ln(+x) donne immédiatement donc P n (x) = x+ x + +( )nxn n, P n (x) = +x+ +( )n x n. On obtient la somme des termes d une suite géométrique de raison x, ce qui donne ( x) n si x P n (x) = x+. n si x = Si n = p est pair, on a, pour x, P n (x) = xp x+ = (x )(+x + +x p ) = (x )(+x + +x p ). x+ Alors P n est du signe de x et s annule uniquement en. La fonction P n décroît sur ], ] et croît sur [, [. Son minimum est atteint en et l on a ( P n () = ) ( n ) + n n > 0. 8

29 Il en résulte que P n n a pas de racine réelle. Si n = p+ est impair, on a, pour x, P n(x) = xp+ + x+ Or la fonction x x p+ + est strictement croissante et varie sur R de à +. Elle s annule uniquement en et cette racine est simple. Il en résulte que P n ne s annule pas. Elle est toujours strictement négative et la fonction P n est strictement décroissante. Comme. P n(x) = et x + P n(x) = +, x il résulte du théorème des valeurs intermédiaires et de la décroissance stricte que P n s annule en un point et un seul, donc P n a une seule racine réelle α. D une part d autre part, P n () = Or, quel que soit l entier p, on a ( ) ( n ) > 0, n ( ) ( ) P n () = ( )+ 3 n n n. n p p p+ p+ = p ( p ) = p ( p) p+ p(p+) 0, donc P n () < 0, et il résulte du théorème des valeurs intermédiaires que P n s annule dans ], [, et donc que α appartient à cet intervalle. 3. a) On a f n(x) = nx n +(n )x n +x+, et donc f n est strictement positive sur ]0, + [. La fonction f est strictement croissante. De plus f n (0) = et f n(x) = +, n + et il résulte du théorème des valeurs intermédiaires que f n s annule en au moins un point u n, et de la décroissance stricte que ce point est unique. b) On a également ( ) f n 3 et donc u n appartient à l intervalle ]0, /3[. Ce nombre u n vérifie alors donc ( ) = 9 > 0, f n (u n ) = u n n +un n +u n +u n = 0, f n+ (u n ) = u n+ n +u n n +u n +u n = u n+ n un n = un n (u n ) < 0. Il en résulte que u n+ appartient à l intervalle ]u n, /3[. La suite (u n ) est croissante et majorée, donc elle converge. Soit l sa ite. Elle appartient à l intervalle ]0, /3] donc à ]0, [, et l on a, pour tout entier n, l égalité, u n +u n = u n n un n = e nlnun e (n )lnun. 9

30 Les suites (nlnu n ) et ((n )lnu n ) admettent pour ite. Alors, en passant à la ite dans l égalité précédente, on trouve l +l = 0. Cette équation possède une seule solution positive qui vaut 5 l =. 33. Le résultat est évident si f est identiquement nulle. Dans le cas contraire, soit a tel que f(a) > 0. Comme f admet pour ite 0 en +, il existe A, tel que, pour tout x A, on ait f(x) < f(a). Posons b = max(a, A). Sur l intervalle [ 0, b] la fonction f est continue. Elle atteint son maximum en un point, donc il existe c dans [0, b], tel que, pour tout x de [0, b], En particulier, puisque a appartient à [ 0, b], Mais, si x b, on a encore donc f(c) est le maximum de f sur [0, + [. f(x) f(c). f(a) f(c). f(x) < f(a) f(c), 34. a) Remarquons que On a alors et car 7 > 5 et 8 n > 6 n. On a donc h()h(7) < 0. f(x) = x n (x )(x 7)+36. h() = f() f() f(0) = 5 n > 0, h(7) = f(7) f(8) f(6) = 5 6 n 7 8 n < 0, Comme la fonction h est un polynôme, donc est continue sur [, 7], le théorème des valeurs intermédiaires s applique : il existe s dans ], 7[ tel que h(s) = 0. b) Posons a = s, b = s et c = s+. On a et, puisque h(s) est nul, b = a+c f(b) = f(s) = f(s )+f(s+) On a donc bien b a =, et B est le milieu de AC., = f(a)+f(c). 35. Si la droite est verticale, elle coupe la courbe au point de coordonnées (d, f(d)). Sinon elle a pour équation f(x) = λ(x d)+m. 30

31 On définit une fonction g sur [a, b] en posant g(x) = f(x) (λ(x d)+m). C est une fonction continue comme somme de fonctions continues. De plus g(a) = m (λ(a d)+m) = λ(a d), et g(b) = m (λ(b d)+m) = λ(b d). Donc, puisque d se trouve dans ] a, b[, g(a)g(b) = λ (d a)(d b) 0. Il résulte du théorème des valeurs intermédiaires qu il existe c dans [a, b] tel que g(c) = 0, soit f(c) = λ(c d)+m. La courbe coupe la droite au point de coordonnées (c,f(c)). y m D a d c b x 36. a) Soit g définie sur [a, b] par g(x) = f(x) x. C est une fonction continue comme somme de fonctions continues. On a alors g(a) = f(a) a = b a et g(b) = f(b) b = a b, donc g(a)g(b) = (b a) < 0. Il résulte du théorème des valeurs intermédiaires, qu il existe c dans ]a, b[ tel que g(c) = 0, c est-à-dire tel que f(c) = c. 3

32 Mais on a également τ g (x,y) = g(x) g(y) x y = f(x) f(y) x y = τ f (x,y). Puisque f est décroissante, le taux de variation τ f (x,y) est négatif, et par suite τ g (x,y) est strictement négatif. Il en résulte que g est strictement décroissante et continue. Elle est donc injective et il existe au plus un point c tel que g(c) = 0. L équation f(x) = x possède donc une solution et une seule. b) Par définition, f(x) = y si et seulement si f (y) = x. En particulier, si x = c, on a f(c) = c donc f (c) = c. Finalement f(c) = f (c). Le point d = c convient donc. c) Notons E l ensemble des solutions de l équation f(x) = f (x) situées dans ]a, b[. Soit d un élément de E tel que d < f(d ). On a donc f(d ) = f (d ). Posons d = f(d ). donc d = f(d ) = f (d ), d = f(d ) = f (d ), et il en résulte que d appartient aussi à E. Par ailleurs, puisque d < d, on en déduit que d = f(d ) > f(d ). L application f envoie, de manière injective, l ensemble des points x de E tels que x < f(x) dans l ensemble des points x de E tels que x > f(x). En inversant les inégalités dans la démonstration, elle envoit aussi l ensemble des points x de E tels que x > f(x) dans l ensemble des points x de E tels que x < f(x). Il y a donc autant d éléments dans les deux ensembles. En ajoutant l unique point c tel que f(c) = c, il y a donc un nombre impair de points dans E. Ce qui précède s explique par la symétrie des graphes de f et de f par rapport à la première bissectrice. b a d c = d d b 3

33 37. Si f et g sont croissantes sur I, on a, quels que soient x et y dans I vérifiant x y les inégalités f(x) f(y) et g(x) g(y). En additionnant ces inégalités, on obtient (f +g)(x) = f(x)+g(x) f(y)+g(y) = (f +g)(y), et f +g est croissante. Si f et g sont positives, on obtient en multipliant les inégalités (f g)(x) = f(x) g(x) f(y) g(y) = (f g)(y), et f g est croissante. Si f et g sont négatives, on a f(x) f(y) 0 et g(x) g(y) 0, et, en multipliant les inégalités, (f g)(x) = ( f(x)) ( g(x)) ( f(y)) ( g(y)) = (f g)(y), donc f g est décroissante. 38. a) La fonction f est continue sur [, ]. Elle y atteint donc son maximum. Ce maximum est positif. S il était nul, on aurait f(x) = 0 pour tout x de [, ], et le polynôme f aurait une infinité de racines. Il serait donc nul, et tous ses coefficients seraient nuls, ce qui n est pas le cas. b) Si M(a, b, c) <, on a donc, pour tout x de [, ] l encadrement < f(x) <. Par ailleurs Il en résulte que ( g() = g ) ( ) = et g( ) = g =. ( (f g)() = f() < 0 et (f g) ) ( = f ) < 0, ainsi que (f g)( ) = f( )+ > 0 et (f g) ( ) = f ( ) + > 0. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction f g dans les intervalles ], /[, ] /, /[ et ] /, [, on en déduit que le polynôme f g possède trois racines distinctes. c) Mais (f g)(x) = ax +(b+3)x+c, est de degré au plus, et a au plus deux racines réelles s il est non nul. La seule possibilité est donc que f = g. Mais dans ce cas M(a,b,c) = M(0, 3,0) g() =, et l on obtient une contradiction. Il en résulte que l hypothèse M(a,b,c) < est fausse. Alors, quels que soient a, b et c, M(a,b,c). 33

34 39. a) En prenant x = y = 0 dans la relation vérifiée par f, on obtient f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0) = f(0). donc f(0) est nul. Puis en prenant y = x 0 = f(0) = f(x x) = f(x)+f( x), d où f( x) = f(x). b) Soit x un réel fixé. Une démonstration par récurrence, montre que, pour tout tout entier positif n, f(nx) = nf(x). C est vrai si n =. Si l on suppose la propriété vraie à l ordre n on a alors f((n+)x) = f(nx+x) = f(nx)+f(x) = nf(x)+f(x) = (n+)f(x), et la propriété est vraie à l ordre n+ donc quel que soit n positif. Si maintenant n est négatif, alors ( n) est positif, et f(nx) = f( nx) = ( n)f(x) = nf(x). La propriété est donc vraie pour tout entier relatif n. c) Alors si q est un entier non nul, qf ( ) n q x = f(nx) = nf(x), donc Finalement, pour tout nombre rationnel r, f ( ) n q x = n q f(x). f(rx) = rf(x). Maintenant, si λ est réel, il est ite d une suite (r n ) n 0 de nombres rationnels. On a donc pour tout n positif, la relation f(r n x) = r n f(x), et comme f est continue, f(r n x) tend vers f(λx). Par passage à la ite, on trouve En particulier, on a pour tout x réel f(λx) = λf(x). f(x) = xf(). L application f est donc une application linéaire. Et réciproquement, toute application linéaire de R dans lui même vérifie, pour tout couple (x,y) la relation f(x+y) = f(x)+f(y). 34

35 40. On a, par la formule du binôme, f(x n ) f(y n ) = ( n+ n) p n p = p k=0 ( ) p n k p. k Cette somme de nombres positifs est supérieure en particulier au terme obtenu pour k = p, donc Mais p et n. Donc f(x n ) f(y n ) pn p. f(x n ) f(y n ). Si f était uniformément continue sur R, et si l on prend ε =, il existerait α > 0, tel que, quels que soient x et y réels, on ait x y < α et f(x) f(y) <. Mais si l on prend n > /α, on voit que x n y n = n < α et f(x n) f(y n ). On a donc une contradiction, et la fonction f n est pas uniformément continue sur R. 4. Soit ε > 0. Il existe α > 0, tel que, si x et y sont dans I tels que x y < α, on ait f(x) f(y) < ε. De même il existe α > 0, tel que, si x et y sont dans I tels que x y < α, on ait g(x) g(y) < ε. Alors, si x et y sont dans I tels que x y < min(α,α ), on a (f +g)(x) (f +g)(y) f(x) f(y) + g(x) g(y) < ε + ε = ε. Donc f +g est uniformément continue sur I. Il n en est pas de même pour le produit. Si l on prend f(x) = g(x) = x. Les fonctions f et g sont uniformément continues sur R, mais fg ne l est pas d après l exercice précédent. 4. Remarquons tous d abord que, si p =, on a égalité. Supposons donc p et étudions la fonction f définie sur [y, + [ par f(x) = (x y) /p x /p +y /p. En dérivant, on obtient, Mais f (x) = p ((x y) p x p ). p = < 0, p p et la fonction qui à t associe t p est décroissante. Donc, puisque 0 x y x, on en déduit que (x y) p x p, 35

36 et donc f (x) est positive. Il en résulte que f est croissante sur [y, + [ et comme f(y) = 0, on en déduit que f(x) est positive. Alors, si x y, x /p y /p x y /p. Si y x, on permute les rôles de x et de y dans l inégalité précédente, et on obtient le même résultat. Soit ε > 0, si l on a alors x y < α = ε p, x /p y /p ε, et la fonction x x /p est uniformément continue sur R +. Si cette fonction était contractante, il existerait k 0 tel que, quels que soient x et y positifs, En particulier, en prenant y = 0, et on en déduirait x /p y /p k x y. x /p kx, x k p x p, donc k p xp. et finalement, si p, x k, p/(p ) ce qui n est pas vrai quel que soit x réel positif. Par ailleurs si p =, on obtient k. La fonction n est donc pas contractante sur R +. 36

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