Probabilités TD1. Axiomes des probabilités.

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1 TD1. Axiomes des probabilités. 1. Une boîte contient 3 jetons, un rouge, un vert et un bleu. On considère l expérience consistant à tirer au hasard un jetons dans la boîte, à l y remetre puis à en tirer un second. Décrire l ensemble fondamental. Même question si le second jeton est tiré sans qu on ait remis le premier. 2. Soient A et B des événements tels que P (A) = 0.6, P (B) = 0.4 et P (AB) = 0.2. Trouver les probabilités de: A B; A c ; B c ; A c B A B c ; A c B c % d élèves d une école ne portent ni bague ni collier. 20% portent une bague et 30% ont un collier. Si un des élèves est choisi au hasard, quelle est la probabilité qu il porte une bague ou un collier? une bague et un collier? 4. Un client du rayon costumes d un magasin achètera un costume avec une probabilité 0, 22, une chemise avec une probabilité 0, 30 et une cravate avec une probabilité 0, 28. Le client achètera un costume et une chemise avec une probabilité 0, 11, un costume et une cravate avec une probabilité 0, 14 et une chemise et une cravate avec une probabilité 0, 10. Un client achètera les trois vêtements avec une probabilité 0, 06. Quelle est la probabilité qu un client achete aucun vêtement. 5. On joue au pile ou face jusqu à l obtention d un pile. Décrire l univers et calculer la probabilité pour que le premièr pile sort pendant un lancer impair. 1

2 TD2. Combinatoire. 1. On considère une urne contenant N boules numérotées 1, 2,..., N. Combien y-a-t il de résultats possibles lorsque: (a) on tire succèssivement n boules en les remettant à chaque fois (tirage avec remise). (b) on tire succèssivement n boules en les enlevant à chaque fois (tirage sans remise). (c) on tire en vrac n boules (tirage exhaustif). 2. Une boîte contient n jetons numérotés par 1,... n. On considère l expérience consistant à tirer au hasard un jeton dans la boîte, à l y remmetre puis à en tirer un second. Trouver les probabilités des événements suivants: Le premièr jeton tiré montre 1, et le deuxième 2. Les nombres des deux jetons sont deux entièrs conséqutifs. (Le premièr nombre est égale au deuxième moins 1.) Le deuxième nombre est plus grand que le premièr. 3. Répondre aux quéstions de l exercice précedente si le second jeton est tiré sans qu on ait remis le premier. 4. Un comité de 5 personnes doit être choisi parmis les 6 hommes et 9 femmes d un groupe. Si le choix est le résultat du hasard, quelle est la probabilité que le comité soit composé de 3 hommes et 2 femmes? 5. Si n personnes sont présentes dans une pièce, quelle est la probabilité que leurs anniversaires tombent sur les jours tous différents? Faire le calcul pour n = 23. Conclusion. 6. m télégrammes sont distribués au hasard suivant n voies de communication (n > m). Trouver la probabilité de l événement chaque voie transmet au plus un télégramme. 2

3 TD3. Probabilité conditionnelle. 1. On jette deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité qu au moins l un d entre eux montre 6, sachant que les deux résultats sont différents? 2. Le roi vient d une famille de deux enfants. Quelle est la probabilité qu il a une soeur? 3. 46% d électeurs se déclarent indépendants alors que 30% se déclarent libéraux et 24% conservateurs. Lors d une récente élection locale, 35% des indépendants, 62% des libéraux et 58% des conservateurs ont voté. Un électeur est choisi au hasard. Sachant qu il a voté lors de l éléction locale, quelle est la probabilité qu il soit a) indépendant; b) libéral; c) conservateur? d) Quelle proportion d élécteurs a participé à l éléction locale? 4. On dispose de 10 pièces telles que, pour la i-ème d entre elles la probabilité de montrer pile lorsequ on la lance est i/10, i = 1, 2,..., 10. On choisit une pièce au hasard et on la lance. Quelle est la probabilité d obtenit pile? Une pièce est tirée au hasard, lancée, elle donne pile. Quelle est la probabilité qu il s agisse de la cinquième pièce? 5. Deux urnes contiennent respectivement deux boules blanches plus une noire et une blanche plus cinq noires; On tire au hasard une boule dans l urne A et on la place dans B. On tire alors une boule dans B, elle est blanche. Quelle est la probabilité que la boule transferée ait aussi été blanche? 6. Un avion est porté disparu. On pense que l accident a pu arriver aussi bien dans n importe laquelle de trois régions données. Notons par 1 α i la probabilité qu on découvre l avion dans la région i s il y est effectivement. Les valeurs α i representent ainsi la probabilité de manquer l avion lors des recherches. Quelle est la proba que l avion se trouve dans la région i, i = 1, 2, 3, si les recherches dans la région 1 non rien donné. 3

4 7. Dans une certaine ville, 36% des familles possèdent un chien et 22% de celles qui ont un chien possèdent aussi un chat. De plus, 30% des familles ont un chat. Quelle est la probabilité qu une famille séléctionnée au hasard possède un chien et un chat? Quelle est la proba conditionnelle qu une famille choisie au hasard possède un chien sachant qu elle a un chat? 8. Une compagnie d assurances repartit les gens en trois classes: personnes à bas risque, risque moyen et haut risque. Ses statistiques indiquent que la probabilité pour que les gens soient impliqués dans un accident sur une période d un an est respectivement 0, 05; 0, 15; 0, 30. On estime que 20% de la population est à bas risque, 50% est à risque moyen et 30% est à haut risque. Quelle proportion des gens ont un accident ou plus au cours d une année donnée? Si l assuré A n a pas eu d accident en 2001, quelle est la probabilité qu il fasse partie de la classe à bas risque? 4

5 TD4. Indépendance. Epreuves indépendantes. 1. On réalise une séquence de n épreuves indépendantes. Chaque épreuve donne soit un succès, soit un échec avec probabilités p et 1 p respectivement. Quelle est la probabilité pour: 1) qu il survienne au moins un succès parmi les n épreuves; 2) qu il survienne exactement k succès parmi les n épreuves 3) que toutes les épreuves donnent les succès. 4) Application numérique: n = 3 et p = 1/2. 2. Un système comprenant n composantes est appelé système en parallèle s il fonctionne dès qu au moins l un de ces composants fonctionne. Dans le cas d un tel système, si son i-ème composant fonctionne indépendamment de tous les autres et avec une probabilité p i, i = 1, 2,..., n, quelle est la probabilité de son fonctionnement? 3. On lance une pièce de monnaie jusqu à ce que pile sort pour la première fois. La pièce montre pile avec la probabilité p et face avec la probabilité q = 1 p. Construire le modèle probabiliste de cet expérience. 4. Une séquence d épreuves indépendantes consiste à jeter plusieurs fois une paire de dés réguliers. On appelle le résultat la somme des chiffre apparents. Quelle est la probabilité qu on voit sortir un résultat 5 avant qu un 7 n apparaisse? 5. On lance un dé jusqu à ce qu on obtienne 6. Sachant qu on n a pas obtenu 6 au premièr lancer, quelle est la probabilité qu il faudra effectuer au moins 3 lancers? Quelle est la probabilité qi il faudra un nombre pair de lancers? 5

6 TD5. V.a. Esperance. 1. Soit a > 0 et X une v.a. à valeurs dans {1, 2,..., 5}, telle que, pour tout entier k dans cet ensemble P (X = k) = 1 6a (k a)2. Vérifier que, pour a = 5, X suit bien une loi de probabilité. Calculer l espérance et la variance de X. 2. Quatre bus transportant 148 élèves de la même école arrivent à un stade de football. Les bus transportent repectivement 40, 33, 25 et 50 élèves. Un des étudiants est choisi au hasard. Soit X le nombre d étudiants qui était dans le bus de cet élève. Un des quatre chauffeurs de bus est également choisi au hasard. Soit Y le nombre d élèves dans son bus. a) Entre EX et EY, de laquelle diriez vous qu elle est la plus grande? Pourquoi? b) Calculer EX et EY. 3. Un gardien de nuit a 10 clés, dont une seul marche pour ouvrir la porte. Il emploie 2 méthodes: A Méthode rationnelle; à jeun, il retire le cles déjà essayées. B Ivre; chaque clé peut être essayée plusieurs fois. Soit X le nombre de clés essayées avant d ouvrir, y compris la bonne, dans le cas A et Y dans le cas B. a) Déterminer la loi de X et celle de Y. b) Calculer EX et EY. c) On sait que le gardien est ivre un jour sur 3. Un jour, après avoir essayé 8 clés, le gardien n a toujours pas ouvert la porte. Calculer la probabilité pour qu il soit ivre. 6

7 TD6. Loi binomiale. IUP On ralise n preuve de Bernoulli de probabilit de succes p. Soit S n la somme de succs sur n preuves. Trouver la loi de S n. 2. On tire une boule d une urne en contenant 3 blanches et 3 noires. On la replace aprs tirage, pour recommencer indfiniment cette squence d preuves. Quelle est la probabilit de trouver exactement deux boules blanches parmi les quatre premires boules tires? 3. Un examen est administr sous forme d un questionnaire de 5 questions 3 choix multiple chacune. Quelle est la probabilit qu un tudiant obtienne 4 bonnes rponses ou plus en devinant? 4. Les moteurs d un avion ont une probabilit 1 p de dfaillance en cours de vol, et ce indpendamment les uns des autres. Un avion a besoin d une majorit de ses moteurs pour terminer le vol. Pour quelle valeurs de p un avion 5 moteurs est-il prferable un trimoteur? 5. Un tudiant se prpare passer un examen oral important. Il se proccupe de la question de savoir si il sera en forme ou non. Son opinion est que si il est en forme, chacun de ces examinateurs le jugera suffisant avec une proba de 0, 8 et indpendamment des autres examinateurs. Dans le cas contraire, cette proba tombe 0, 4. L tudiant est promu si une majorit de ces examinateurs le juge suffisant. Par ailleur, il pense avoir deux fois plus de chanes d être en mforme qu en forme. A-t-il plus d intrêt demander un control par 3 ou 5 examinateurs? 6. Au moins 9 des 12 jurs runis doivent estimer l accus coupable pour rendre le jugement excutoire. Supposons que la probabilit pour un jur d stimer un coupable innocent est 0, 2 tandis qu elle est de 0, 1 de commettre l erreur contraire. Les jurs dcident en toute indpendance et 65% des accuss sont coupables. Trouver la probabilit que le jury rende une sentence correcte.quelle pourcentage des accuss sera condamn? 7. Soit S n B(n, p). Calculer ES n, V ars n et E 1 1+S n 7

8 TD7. Loi de Poisson. Loi Géométrique. 1. On suppose que 10% des puces produites par une usine de matériel d ordinateur sont défectueuses. Si l on commande 100 puces, quelle est la loi du nombre de puces déffectueuses? 2. L espérance du nombre d erreurs typographiques sur une page d un certain magasine est 0, 2. Quelle est la probabilité que la prochaine page lue contienne a) 0 erreurs? b) 2 ou plus d erreurs? 3. Le nombre de rhumes attrapés par un individu en espace d un an est une v.a. de Poisson de paramètre λ = 5. Admettons qu un remède miracle ait été lancé sur le marché et qu il abaisse le paramètre λ à 3 pour 75% de la population. Pour les 25% qui restent le remède n a pas d effet. Un individu essae ce médicament pendant un an et attrape deux rhumes. Quelle est la probabilité que le remède ait un effet sur lui? 4. Soit X une v.a. géométrique de paramètre p. Montrer que P (X = n + k X > n) = P (X = k). Donner un argument intuitif en faveur de cette équation en se basant sur le modèle général auquel s appliquent le v.a. géometriques. 5. Calculer l espérance de la loi géometrique. On lance un dé jusqu à ce qu on obtienne un chiffre pair. Quelle est l esperance du nombre de tirages nécéssaires? 6. Une urne contient 4 boules blanches et 4 noires. On tire 4 boules au hasard. Si deux sont blanches et deux sont noires on s arrête. Sinon on remet le boules dans l urne et recommence le tirage, jusqu à obtenir deux blanches et deux noires. Quelle est la probabilité qu il faille exactement n tirages avant de s arrêter? Quelle est la proba qu il faille un nombre pair de tirages? 7. Calculer EX et V arx pour les lois de Poisson et Géometrique. 8

9 TD8. Couples. Indépendance. Variance d une somme. Inégalité de Tchebychev. 1. A l oral d un concour, un candidat doit composer sur 3 sujets tirés au sort parmi 8, dont 3 sujets d économie, 2 sujets de droit et 3 sujets de gestion. Soit X le nombre de sujets d économie sortis et Y le nombre de sujets de droit sortis. a) Donner la loi du couple (X, Y ). b) Donner les lois marginales de X et Y. 2. Dans un couple le mari ne supporte pas les chats et la femme déteste les chiens. Le mari n élève pas plus d un chien et la femme pas plus d un chat. La probabilité pour que le mari possède un chien est de 0, 2. La probabilité pour que la femme possède un chat est de 0, 1 sachant que le mari n a pas de chien et de 0, 5 sachant le contraire. On note X le nombre de chiens et Y le nombre de chats du couple. a) Donner la loi de (X, Y ). b) Donner la loi de Y. c) Soit Z le nombre d animaux du couple. Calculer EZ et V arz. 3. On réalise n + m épreuves de Bernoulle de probabilité de succès p. Soit X le nombre de succès sur n premières épreuves et Y le nombre de sucsès sur m dernières épreuves. Expliquer porqoi X et Y sont indépendantes. Donner leurs lois. Donner la loi de leur somme. 4. On admèt que le nombre de clients d un bureau de poste en espace d un jour est une v.a. poissonienne de paramètre λ. On note par p la probabilité qu une personne entrant dans le bureau de poste soit un homme. Montrer que, dans ce cas, le nombre des hommes et celui des femmes parmi les clients quotidiens sont les v.a. poissoniennes de paramètres respectifs λp et λ(1 p) et qu elles sont independantes. 5. Si X, Y et Z sont indépendantes, de l espérance 0 et de variance 1, calculer E(2X + Y + Z), V ar(2x + Y Z). 6. Representer une v.a. binomiale S n B(n, p) comme une somme de 9

10 n v.a. de Bernoulli indépendantes. Calculer ES n et V ars n utilisant cette representation. 7. On lance une pièce de monnaie 100 fois. Estimer la probabilité d avoir moins de 20 ou plus de 80 piles. 10

11 IUP Loi normale. 1. Soit X une variable aléatoire normale de paramètres m = 3 et σ 2 = 9. Calculer à l aide des tables: (2 < X < 5); (X > 0); ( X 3 > 6). 2. La variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres m = 20 et σ 2 = 25.. Déterminer le nombre réel a tel que: (X a) = 0, 99; (X a) = 0, 01; (X a) = 0, 05; (X a) = 0, 90; (20 a X 20 + a) = 0, X suit la loi normale N ( ;, ). Calculer m pour que (X 2, 2) = 0, X suit la loi normale N (, σ). Calculer σ pour que (X 2, 2) = 0, L entreprise CMC fabrique des écrans vidéo pour micro-ordinateur. Une étude statistique a permis d établir que la demande, au Japon, pour son modèle ZW était distribuée selon la loi normale avec une moyenne de 2000 unités par mois et un écart-type de 300 unités. Si l entreprise a en stock, pour le mois qui débute, 2300 unités, calculer la probabilité qu elle ne puisse suffire à la demande. L entreprise veut s assurer qu elle ne sera pas en pénurie de stock plus de 5% du temps. Quelle doit être le nombre d unités stockées mesuelement pour respecter cette condition? 11

12 Au Canada, la demande est encore supposée distribuée selon la loi normale avec le même écart-type de 300 unités. La rupture de stock, pour un stock de 2000 unités, a lieu un mois sur douze. Calculer la demande moyenne m du nombre d unités par mois. 6. On a estimé que 1400 usagers cherchent, le vendredi soir, à prendre le TGV Paris-Nantes de 19h.30. Les portes du train ouvrent une demiheure avant le départ. Parmi les usagers, 50 arrivent avant l ouverture des portes et 70 arrivent trop tard. En admettant que la distribution des temps d arrivée et gaussienne, utiliser les tables pour obtenir la moyenne et l ecart-typa de cette loi. Déterminer l heure à laquelle les portes du train doivent être ouverte pour qu il n y ait pas plus de 20 usagers qui attendent sur le quai? Calculer le nombre de voyageurs ayant manqué le train si celui-ci a un retard de 5 minutes? 7. On lance 10 dés équilibrés. On cherche la probabilité pour que la somme de 10 résultats soit comprise entre 30 et Une assurance a automobilistes assurés. L espérance annuelle d indemnité demandées par un assuré est 240 euros et son équart-type est 800 euros. Approximer la probabilité que les indémnités annuelles totales dépassent 2, 7 millions d euros. 9. Un certain composant joue un role critique dans un système électrique et doit être remplacé immédiatement à chaque panne. Si la durée de vie moyenne de ce type de composant est de 100 heures et que son équart-type est de 30 heures, combien de ces composants doit-on avoir en stock pour que la probabilité que le système marche continuellement les 2000 prochains heures soit au moins de 0, 95? 12