école supérieure d informatique, électronique, automatique 1A Cycle de transition Année Mathématiques : exercices du chapitre 1

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1 école supérieure d informatique, électronique, automatique 1A Cycle de transition Année Mathématiques : exercices du chapitre 1 Exercice 1 Soit V une assertion toujours vraie, F une assertion toujours fausse et P une assertion quelconque. Simplifier au maximum chacune des assertions suivantes. P et F P ou V (P et V ) et F F (V ou P ) P V P F (P ou V ) F V ou F non(p et V ) Exercice 2 On désigne par P et Q deux assertions quelconques. 1. Compléter la table de vérité ci-après. P Q non P Q ou (non P ) P et Q (Q ou (non P )) et P En déduire que l assertion suivante est toujours vraie. [(Q ou (non P )) et P ] P et Q Exercice 3 Soit P et Q deux assertions quelconques. 1.a. Établir la table de vérité de l assertion (P Q) (P ou Q). 1.b. À quelle assertion plus simple l assertion précédente est-elle équivalente? 2. Mêmes questions avec l assertion (P Q) (P et Q). Exercice 4 1.a. Établir la table de vérité de chacune des quatre assertions suivantes, dans lesquelles P, Q et R désignent des propositions quelconques : (P et Q) R (P R) ou (Q R) (P ou Q) R (P R) et (Q R) 1.b. En déduire que certaines de ces assertions sont équivalentes ; indiquer lesquelles. 2. Retrouver les résultats de la question précédente en n utilisant que les propriétés des connecteurs logiques.

2 Exercice 5 On désigne par P, Q et R trois assertions quelconques. 1. Compléter la table de vérité ci-après. P Q R Q et R P (Q et R) P et Q et R non P En déduire que l assertion suivante est toujours vraie. [P (Q et R)] [(P et Q et R) ou (non P )] 3. Retrouver la réponse précédente en utilisant la définition du connecteur. Exercice 6 Montrer que chacune des assertions suivantes est vraie, quelles que soient les valeurs de vérité des assertions P et Q. Le choix de la méthode est laissé libre. (P ou (P et Q)) P [P et (P Q)] Q (P Q) (non Q non P ) Exercice 7 Quelles que soient les assertions P et Q, l assertion [(non P ) et Q] est notée P Q. 1.a. Dresser la table de vérité du connecteur logique ainsi défini. 1.b. Quelle est la table de vérité de non(p Q) pour toute assertion P et toute assertion Q? 2. On considère trois assertions P, Q et R quelconques. Dresser la table de vérité de chacune des assertions suivantes. (P Q) et R (P Q) ou R (P Q) R (P Q) R (P Q) R Exercice 8 Déterminer la valeur de vérité de chacune des assertions suivantes. n N, k N, n = 2k x N, y N, x y x Z, y Z, x y Z x [3, + [, x 2 5 x Z, 2x = 7 n N, n 1 x R, y R, xy = 1

3 Exercice 9 Quels que soient les réels x et y, on décide de noter A(x, y) l égalité x + y = 0 et de noter B(x, y) l inégalité y x > 0. Donner la valeur de vérité et écrire la négation de chacune des assertions suivantes. 1.a. x R, y R, A(x, y). 1.b. y R, x R, A(x, y). 1.c. x R, y R, A(x, y). 1.d. x R, y R, A(x, y). 2.a. x R, y R, B(x, y). 2.b. y R, x R, B(x, y). 2.c. x R, y R, B(x, y). 2.d. x R, y R, B(x, y). Exercice 10 On désigne par P et Q deux assertions quelconques. 1. On suppose que l assertion P Q est vraie. 1.a. Si P est vraie, quelle est la valeur de vérité de Q? 1.b. Si Q est fausse, quelle est la valeur de vérité de P? 1.c. Si Q est fausse, quelle est la valeur de vérité de P? 2. On suppose que l assertion P Q est fausse. Quelle est la valeur de vérité de P? la valeur de vérité de Q? Exercice 11 Soit E l ensemble des personnes présentes en ce moment dans la salle. Pour tout x de E, on note P (x) l assertion «La personne x possède son permis de conduire» et Q(x) l assertion «La personne x a plus de dix-huit ans». 1. Pour chacune des assertions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. x E, P (x) x E, P (x) x E, P (x) et Q(x) x E, P (x) ou Q(x) x E, P (x) x E, Q(x) x E, P (x) ou Q(x) x E, P (x) et Q(x) x E, non P (x) x E, non Q(x) x E, non Q(x) x E, non P (x) 2.a. Quelle est la valeur de vérité de l assertion x E, P (x) Q(x)? 2.b. Quelle est la valeur de vérité de l assertion x E, Q(x) P (x)? Exercice 12 On considère les assertions P, Q et R définies par : P : «tous les entiers relatifs sont pairs», Q : «il existe un nombre réel plus grand que tous les réels», R : «dès qu un entier est supérieur ou égal à 3, son carré est supérieur ou égal à 9». 1.a. Les assertions P, Q et R sont-elles vraies? 1.b. Donner la négation de chacune de ces assertions, en langage courant. 2.a. Écrire P, Q et R à l aide de quantificateurs. 2.b. En déduire l écriture mathématique de non P, non Q et non R.

4 Exercice 13 : interrogatoire de police Brown, Jones et Smith sont accusés de fraude fiscale. La police interroge chaque prévenu et recueille alors les affirmations suivantes, sous serment. Brown affirme : «Jones est coupable et Smith est innocent». Jones affirme : «Si Brown est coupable, alors Smith aussi». Smith affirme : «Je suis innocent mais au moins l un des deux autres est coupable». On désigne respectivement par B, J et S les assertions «Brown est innocent», «Jones est innocent» et «Smith est innocent». 1. Exprimer le témoignage de chacun des trois suspects dans le symbolisme logique et dresser les tables de vérité des assertions obtenues. 2. En supposant que tous sont innocents, qui aurait produit un faux serment? 3.a. En supposant que tous les témoignages sont vrais, qui est innocent et qui est coupable? 3.b. En supposant que les innocents disent la vérité et que les coupables mentent, qui est innocent et qui est coupable? 3.c. Commenter les réponses obtenues aux deux questions précédentes. Exercice 14 : test de Wason 1. On dispose de quatre cartes à deux faces : sur l une des faces figure une lettre, sur l autre face figure un nombre. Ces quatre cartes sont posées sur la table : 4 E 7 K Les cartes suivent la règle suivante : «s il y a une voyelle sur l une des faces de la carte, alors il y a un nombre pair sur l autre face». Indiquer la ou les cartes à retourner afin d être certain que la règle donnée est vraie. 2. Quatre personnes sont accoudées au comptoir d un bar : la première boit un whisky, la deuxième a quinze ans, la troisième a vingt-sept ans et la dernière boit une grenadine à l eau. Laquelle ou lesquelles de ces personnes doit-on interroger sur son âge ou sur le contenu de son verre pour s assurer que la règle «si une personne boit de l alcool, elle doit avoir plus de dix-huit ans» soit vérifiée? L abus d alcool est dangereux pour la santé, à consommer avec modération. Exercice 15 On note P l ensemble des professeurs qui enseignent à l ESIEA durant l année et E l ensemble des étudiants actuellement inscrits à l école. Pour tout e de E et pour tout p de P, on note C(e, p) le prédicat «l étudiant e connaît le professeur p». 1.a. Traduire par une phrase en langage courant l assertion A suivante : e E, p P, C(e, p). 1.b. Écrire symboliquement l assertion suivante, notée B : «il existe un élève qui connaît tous les professeurs». 2. Écrire symboliquement et traduire par une phrase en langage courant l assertion non A, puis l assertion non B.

5 Exercice 16 : barre de Sheffer On définit le connecteur logique suivant, appelé barre de Sheffer ou fonction NON-ET : si P et Q sont deux assertions, on désigne par P Q l assertion non (P et Q). 1. Dresser la table de vérité de la barre de Sheffer. 2. Montrer que les connecteurs logiques standards peuvent être éliminés au profit de la barre de Scheffer. En d autres termes, pour chacune des assertions suivantes, donner une assertion équivalente ne faisant intervenir que l opérateur. non P P ou Q P et Q P Q P Q 3. Comparer les résultats obtenus avec Exercice 17 On considère une application f définie sur R et à valeurs réelles. À l aide de quantificateurs, exprimer chacune des assertions suivantes. 1. La fonction f est constante. 4. La fonction f est nulle. 2. La fonction f s annule. 5. La fonction f est périodique. 3. La fonction f est paire. 6. Deux réels distincts ont une même image par f. Exercice 18 Une entreprise exploite des coupes constituées exclusivement de feuillus et de résineux. Elle désire simplifier le règlement que ses salariés doivent appliquer pour la coupe du bois. Actuellement, le règlement dit qu un arbre est à abattre lorsqu il vérifie l une au moins des conditions suivantes : c est un résineux au tronc droit mesurant plus de 20 m de hauteur, c est un feuillu de 50 ans ou plus, c est un arbre de moins de 50 ans qui mesure plus de 20 m de hauteur, c est un arbre tordu. On définit quatre assertions A, B, C et D de la façon suivante : A : «l arbre est un résineux», B : «l arbre a moins de 50 ans», C : «l arbre mesure plus de 20 m de hauteur», D : «l arbre est tordu». 1. Donner l assertion qui traduit le règlement actuel d abattage d un arbre. 2.a. Grâce à une bonne gestion des forêts exploitées par l entreprise, il n y a maintenant plus d arbres tordus. Montrer que le nouveau règlement d abattage se traduit par : (A et C) ou (non A et non B) ou (B et C). 2.b. Simplifier l assertion précédente à l aide d une table de vérité ou grâce aux propriétés des connecteurs logiques. 2.c. En déduire une nouvelle règle simple d abattage d un arbre en langage courant.

6 Exercice 19 Quels que soient les entiers a et b de Z, on rappelle que a divise b si, et seulement si, il existe un entier k de Z vérifiant b = ak. Par exemple, 12 divise 36 car on a 36 = 12 3 et 3 Z. Pour tout (a, b) de Z Z, on note P (a, b) le prédicat «a divise b». Que penser des affirmations suivantes? vrai 1. On a l assertion : n Z, P (n, n). faux 2. On a l implication : P (2, 7) = P (2, 3). 3. On a l assertion : a Z, P (a, 0). 4. On a : P (2, 3) et P (2, 4). 5. On a l assertion : a Z, P (a, a). 6. On a : P (2, 3) ou P (2, 4). 7. On a l assertion : a Z, b Z, P (a, b). 8. On a l équivalence : P (2, 4) P (2, 6). 9. On a l assertion : b Z, P (2, b) = P (4, b). 10. On a P (32, 16). 11. On a l assertion : a Z, P (a, 0). 12. On a l assertion : a Z, b Z, P (a, b). 13. On a P (5, 2015). 14. On a l assertion : a Z, b Z, P (a, b). 15. On a l implication : P (2, 4) = P (2, 3). 16. On a l assertion : a Z, b Z, P (a, b). 17. On a l assertion : b Z, P (6, b) = P (3, b).

7 Exercice 20 Soit a et b dans R. Démontrer : si a + b est irrationnel, alors a est irrationnel ou b est irrationnel. On pourra raisonner par contraposition. Exercice 21 1.a. L assertion x E, y E, xy = 1 est-elle vraie dans le cas où E = N? Justifier. 1.b. Même question pour l assertion suivante : x E, y E, xy = Reprendre les questions précédentes avec E = Q puis avec E = R. Exercice 22 Soit f et g deux applications de R dans R. Déterminer la valeur de vérité de chacune des assertions suivantes. Justifier. 1. ( x R, f(x)g(x) = 0) ( x R, f(x) = 0) ou ( x R, g(x) = 0). 2. ( x R, f(x)g(x) = 0) ( x R, f(x) = 0) ou ( x R, g(x) = 0). 3. ( x R, f 2 (x) + g 2 (x) = 0) ( x R, f(x) = 0) et ( x R, g(x) = 0). 4. ( x R, f 2 (x) + g 2 (x) = 0) ( x R, f(x) = 0) et ( x R, g(x) = 0). Exercice 23 On considère deux réels x et y non nuls. Démontrer : si x est un rationnel et y est irrationnel, alors xy est irrationnel. On pourra raisonner par l absurde. Exercice 24 Démontrer chacune des propositions suivantes en précisant le type de raisonnement utilisé. x R \ { 2}, x + 1 x x [0, + [, x / Q = x / Q x R, x < 1 = m ]0, + [, x + m < 1 Exercice 25 On considère une application f de R dans R. 1.a. Traduire dans le langage courant l assertion : ( x R, f( x) = f(x)) = f(0) = 0. 1.b. L assertion est-elle vraie? Justifier. 2. Énoncer la réciproque de l assertion. Est-elle vraie? Justifier. Exercice 26 Montrer que les appartenances suivantes sont vraies pour tout n de N. n(n + 1) 2 N n(n 2 + 2) 3 N

8 Exercice 27 Soit a et b deux entiers relatifs. 1. Montrer que si b est non nul, alors a + b 2 est un irrationnel. 2.a. Montrer que si a + b 2 est nul, alors a et b sont également nuls. 2.b. En déduire que si un réel s écrit sous la forme a + b 2, alors cette écriture est unique. Exercice 28 : des lapins et des carottes On considère une ferme avec un potager et un clapier. On suppose que les carottes ont été récoltées puis données aux lapins. On note C l ensemble des carottes récoltées et L l ensemble des lapins du clapier. Posons P (l, c) le prédicat «le lapin l a croqué la carotte c». Relier les assertions à leurs significations. l L, c C, P (l, c) l L, c C, P (l, c) c C, l L, P (l, c) l L, c C, P (l, c) l L, c C, P (l, c) c C, l L, P (l, c) Une carotte a été croquée par un lapin. Une carotte a été croquée par tous les lapins. Chaque lapin a croqué une carotte. Chaque carotte a été croquée par tous les lapins. Chaque carotte a été croquée par un lapin. Un lapin a croqué toutes les carottes. Exercice 29 Montrer que les égalités suivantes sont vraies pour tout n de N. n k = k=0 n(n + 1) 2 n k 2 = k=0 n(n + 1)(2n + 1) 6 n ( n(n + 1) k 3 = 2 k=0 ) 2 Exercice 30 Soit (u n ) n N la suite définie par u 0 = 1 et u n+1 = 2 + u n pour tout entier naturel n. 1. Démontrer que la double inégalité 0 < u n < 2 est vraie pour tout entier naturel n. 2. Déterminer le sens de variation de (u n ) n N. 3. La suite (u n ) n N est-elle convergente? divergente? Justifier. Exercice 31 Pour tout n de N, on note P(n) le prédicat «10 n 1 est un multiple de 9» et l on note Q(n) le prédicat «10 n + 1 est un multiple de 9». 1.a. Montrer : n N, P(n) = P(n + 1). 1.b. Montrer : n N, Q(n) = Q(n + 1). 2.a. La proposition P(n) est-elle vraie pour tout entier naturel n? 2.b. La proposition Q(n) est-elle vraie pour tout entier naturel n?