COURS : LA SYMÉTRIE AXIALE

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1 HPTRE 7 OURS : L SYMÉTRE XLE Extrait du programme de la classe de Sixième : ONTENU Symétrie orthogonale par rapport à une droite (symétrie axiale) OMPÉTENES EXGLES -onstruire le symétrique d un point, d une droite, d un segment, d un cercle (que l axe de symétrie coupe ou non la figure). -onstruire ou compléter la figure symétrique d une figure donnée ou de figures possédant un axe de symétrie à l aide de la règle (graduée ou non), de l équerre, du compas, du rapporteur. 1 Figures symétriques éfinition : eux figures seront dites symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage le long de la droite F 1 F 2 Vocabulaire : La symétrie par rapport à une droite est appelée symétrie orthogonale ou symétrie axiale. La droite est appelée axe de la symétrie. La figure F 1 et la figure F 2 se superposent par pliage le long de la droite. Elles sont symétriques par rapport à la droite. On dit aussi que F 2 est la figure symétrique de F 1 dans la symétrie (orthogonale) d axe, ou encore que F 2 est l image de F 1 dans la symétrie (orthogonale) d axe. éfinition : Une droite est un axe de symétrie d une figure si les deux parties de la figure se superposent par pliage le long de cette droite. 6 ème Page 1/6 ours Symétrie

2 2 Symétrique d un point Naturellement, on dira qu un point et un point sont symétriques par rapport à une droite s ils se superposent par pliage le long de cette droite. Précisons cela : éfinition : On dit que le point est le symétrique du point par rapport à une droite lorsque la droite est la médiatrice du segment [ ]. onstruction du symétrique d un point par rapport à une droite avec l équerre et le compas : On trace la perpendiculaire à la droite passant par. vec le compas, on pointe au point d intersection de cette perpendiculaire et de l axe (sur le point ), on prend l écartement jusqu au point (distance de à la droite ) et on reporte de l autre côté de l axe sur la perpendiculaire. Le point d intersection est le symétrique de, on le note. ans le cas où le point à transformer est sur l axe, le point se transforme en luimême : le symétrique de est. onstruction du symétrique d un point par rapport à une droite avec le compas seul : On prend un écartement quelconque de compas mais assez grand pour que l arc de cercle tracé avec le compas pointé en rencontre en deux points. Ensuite on complète le tracé comme pour faire un losange : on garde l écartement en on trace deux arcs de cercle à partir des points formés. leur intersection est le symétrique de par rapport à 6 ème Page 2/6 ours Symétrie

3 onstruction du symétrique d un point par rapport à une droite avec le compas seul (2) : N N N M M M On prend deux points distincts quelconques M et N sur la droite. On prend le compas on trace le cercle de centre M passant par puis le cercle de centre N et passant par. es deux cercles se coupent bien entendu en et aussi en symétrique de par rapport à. 3 Symétrique de figures, propriétés de conservation 3.1 Segments Le symétrique d un segment par rapport à un axe est un segment de même longueur. Le symétrique du milieu d un segment est le milieu du segment symétrique. llustration : Si le segment n est pas sécant à l axe, il suffit de construire les symétriques des extrémités de ce segment. Si le segment est sécant à l axe, il suffit de construire les symétriques des extrémités de ce segment en prenant bien garde à "passer" de l autre côté de l axe pour chaque point. 3.2 roites Le symétrique d une droite par rapport à un axe est une droite. 6 ème Page 3/6 ours Symétrie

4 llustration : Si la droite est sécante à l axe, il suffit de construire le symétrique de deux points de la droite, ou alors d un point distinct de l intersection. Si la droite est parallèle à l axe, alors la droite symétrique le sera égaement. Si la droite est perpendiculaire à l axe, alors la droite et sa symétrique sont confondues. 3.3 ercle Le symétrique d un cercle est un cercle de même rayon et qui a pour centre le symétrique du centre du premier cercle. llustration : O O O O l suffit de construire le symétrique O du point O, centre du cercle, et de tracer le cercle de même rayon et de centre O. 3.4 utres propriétés eux figures symétriques ont la même aire et le même périmètre. eux angles symétriques ont même mesure. 4 onstruire le symétrique d une figure Pour construire le symétrique d une figure, on construit les symétriques de plusieurs de ses points et on utilise les propriétés de conservation. 6 ème Page 4/6 ours Symétrie

5 E E 5 Symétrie axiale et figures usuelles 5.1 Segments et angles La médiatrice d un segment est un axe de symétrie de ce segment. La bissectrice d un angle est l axe de symétrie de cet angle. llustration : La médiatrice d un segment est un axe de symétrie de ce segment. ( ) La bissectrice d un angle est l axe de symétrie de cet angle. 5.2 ercles Toutes les droites passant par le centre d un cercle sont des axes de symétries de ce cercle. llustration : 0 6 ème Page 5/6 ours Symétrie

6 5.3 xes de symétries des triangles et quadrilatères particuliers Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de sa base. et axe est aussi la bissectrice de son angle principal. ans un triangle isocèle, les angles à la base sont de même mesure. Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie : les médiatrice de ses côtés. es axes sont aussi les bissectrices de ses angles. ans un triangle équilatéral, les angles ont la même mesure (60 ). Un cerf-volant a un axe de symétrie : sa grande diagonale. ans un cerf-volant, les diagonales sont perpendiculaires. Un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales. ans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Un rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés. ans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu et elles ont la même longueur. Un carré a quatre axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés. ans un carré, les diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et ont la même longueur. 6 ème Page 6/6 ours Symétrie