Maximisation et Minimisation sous contrainte. Rappels sur la méthode d optimisation du Lagrangien

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1 Université Paris Ouest Nanterre La Défense Licence 3 Mention Economie U.F.R SEGMI Premier semestre Dynamique économique: analyse des fluctuations Cours de Valérie Mignon Maximisation et Minimisation sous contrainte Rappels sur la méthode d optimisation du Lagrangien Le multiplicateur de Lagrange Le multiplicateur de Lagrange est une méthode permettant de trouver les points stationnaires (maximum, minimum...) d une fonction dérivable d une ou plusieurs variables, sous contraintes. Visuellement, la méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de trouver un optimum, sur la figure ci-dessous le point le plus élevé possible, tout en satisfaisant une contrainte, sur la figure un point de la ligne rouge. Le théorème clé se conçoit aisément dans un exemple de dimension 2. Le point recherché est celui où la courbe rouge ni ne monte ni ne descend. Formellement, on note comme suit l écriture du Lagrangien : L(x, λ) = ϕ(x) + λψ(x) avec x les variables de contrôle figurant dans la fonction à maximiser ou de minimiser, ϕ(x) est la fonction à optimiser, λ le multiplicateur de Lagrange et ψ(x) la contrainte du programme d optimisation. 1

2 Le comportement du producteur Pour caractériser le comportement du producteur, l analyse microéconomique suppose que l objectif principal de ce dernier consiste à rendre son profit maximal. Le profit étant définit comme la différence entre le chiffre d affaire et les coûts, il s écrit mathématiquement : Π(K, L) = pq(k, L) } } wl rk f } } Chiffre d affaire Coûts avec p le prix du bien ou service produit, pq(k, L) le chiffre d affaire, et wl rk f les coûts et plus exactement wl le coût du travail, rk le coût du capital et f la rémunération de l ensemble des facteurs fixes de l entreprise. Rappel : Fonction de production : relation technique qui indique à partir de la quantité de facteurs mis en oeuvre par le producteur et la quantité maximale de produit qu il peut obtenir. Le comportement du producteur peut alors être appréhendé de façon différentes selon qu il rencontre ou non une contrainte sur la quantité à produire ou sur le coût qu il peut supporter. (a) Le producteur contrait par son marché Supposons que le producteur connaît le niveau maximum de production qu il peut écouler sur le marché, il est donc contraint par les quantités et connaît à l avance le montant de sa recette pq(k, L). Dans ce cas la max du profit implique la minimisation des coûts. Donc le problème du producteur se réduit à la recherche de l utilisation optimale des facteurs de façon à minimiser ses coûts de production. Le problème s exprime mathématiquement sous la forme d une minimisation de coûts sous la contrainte d un niveau de production Q. Le programme s écrit alors : MinC(K, L) = wl + rk + f s.c Q(K, L) = Q La fonction de Lagrange correspondant à ce programme est : L(K, L, λ) = wl + rk + f λ(q(k, L) Q) Les conditions du premier ordre, qui correspondent à l annulation des dérivées premières sont données par : L(K, L, λ)/ K = 0 r λq k = 0 λr/q k L(K, L, λ)/ L = 0 w λq K = 0 λr/q L L(K, L, λ)/ λ = 0 Q(K, L) Q = 0 2

3 Soit r/w = Q K /Q L Avec Q K et Q L respectivement la productivité marginale du capital et du travail. Les deux premières équations du système des CPO permettent de définir la condition d optimalité du producteur. (b) Le producteur contraint par son budget Le producteur peut se trouver dans une configuration alternative où il connaît son budget maximum. Les coûts ne pouvant excéder cette somme, le coût maximal de la production est connu et le recherche du profit le plus élevé possible passe par la maximisation de la recette. Le producteur va donc chercher la combinaison productive (K,L) qui maximise la volume de production tout en respectant la contrainte de coût. Le programme s écrit : Le Lagrangien est alors : Max Q(K, L) s.c C = wl + rk + f L(K, L, λ) = Q(K, L) + λ( C rk wl f) D où d après les CPO : L(K, L, λ)/ K = 0 Q K λr = 0 λ = r/q K L(K, L, λ)/ L = 0 Q L λw = 0 λ = w/q L L(K, L, λ)/ λ = 0 C rk wl f = 0 Soit r/w = Q K /Q L Interprétation des conditions d optimalité : La résolution des deux problèmes posés par le producteur permet d établir qu au point optimal, la rapport des prix des facteurs doit être égal au rapport des productivités marginales. Cette égalité s explique simplement : la productivité marginale d un facteur rapporté à son prix correspond à la production supplémentaire obtenue en consacrant une unité de compte à l achat d un facteur. Par conséquent, si cette égalité n était pas vérifiée, reporter la dépense de cette unité de compte d un facteur à l autre permettrait de produire plus, ce qui signifierait que la combinaison initiale n était pas optimale. 3

4 Le comportement du consommateur Le consommateur, s il est est rationnel veut maximiser son utilité sous la contrainte d un budget limité afin de déterminer les quantités x 1 de bien 1 et x 2 de bien 2 qu il va demander. On suppose que l utilité de l agent ne dépend que des quantités de bien, ici x 1 et x 2. La contrainte de budget est donnée par : avec R le revenu et p 1 x 1 + p 2 x 2 les dépenses. R = p 1 x 1 + p 2 x 2 Le programme de maximisation s écrit comme suit : Max U(x1, x 2 ) s.c R = p 1 x 1 + p 2 x 2 Nous avons précédemment résolu les programmes d optimisation avec le Lagrangien, nous allons maintenant montrer qu il est possible de raisonner autrement et de procéder à la méthode dite de substitution pour résoudre ce programme. (a) Méthode de substitution C est une méthode qui consiste à transformer le programme de maximisation d une fonction à deux variables sous contrainte en un programme de maximisation d une fonction à une variable sous contrainte. La première étape consiste à exprimer une des variables en fonction de l autre (par exemple x 2 en fonction de x 1 ) à partir de la contrainte : R = p 1 x 1 + p 2 x 2 x 2 = R p 2 p 1 p 2 x 1 Il faut ensuite le reporter dans la fonction d utilité qui devient donc une fonction d une seule variable (ici x 1 ). U(x 1, x 2 ) = U[x 1, x 2 (x 1 )] = U ( x 1, R p ) 1 x 1 p 2 p 2 On calcul ensuite les CPO pour trouver la valeur de x 1 : du/dx 1 = p 1 /p 2 A l optimum du consommateur le rapport des utilités marginales doit être égales au rapport des prix. La condition d optimalité permet alors de trouver la valeur optimale x 1 de x 1. La valeur optimale x 2 de x 2 s écrit alors : x 2 = R p 2 p 1 p 2 x 1 Prenons un exemple concret dans le cas du consommateur 4

5 Soit la fonction d utilité suivante du consommateur :U = 2x α 1 xβ 2 avec p 1 et p 2 respectivement le prix des biens 1 et 2. R le revenu. Déterminons les fonctions de demande optimales du consommateur : On a le programme de maximisation suivant : Max U Ecriture du Lagrangien : s.cr = p 1 x 1 + p 2 x 2 L(x 1, x 2, λ) = 2x α 1 x β 2 + λ(r p 1x 1 + p 2 x 2 ) Les CPO sont données par : L(x 1, x 2, λ)/ x 1 = 0 2αx α 1 xβ 2 λp 1 = 0 λ = 2αx α 1 1 x β 2 /p 1 L(x 1, x 2, λ)/ x 2 = 0 2βx β 1 2x α 1 λp 2 = 0 λ = 2βx β 1 2 x α 1 /p 2 L(K, L, λ)/ λ = 0 R p 1 x 1 + p 2 x 2 = 0 On a alors : Exprimons x 2 en fonction de x 1 : λ = 2αx α 1 1 x β 2 /p 1 λ = 2βx β 1 2 x α 1 /p 2 x 2 = β x 1 p 1 α p 2 Si l on remplace cette expression dans la contrainte nous trouverons la demande optimale de bien 1, x 1 : x αr 1 = (α + β)p 1 Cette expression dans celle de x 2 précédente nous donne la demande optimale de bien 2 pour le consommateur, soit : x βr 2 = (α + β)p 2 A noter que l on arrive exactement au même résultat si l on procède par la méthode substitution décrite précédemment. 5