La maximisation du profit

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1 2 La maximisation du profit Le profit, au sens économique du terme, se définit comme la différence entre les recettes perçues et les coûts supportés par une firme. Il est important de bien comprendre que dans le calcul du profit, il est nécessaire de tenir compte de tous les coûts. Si un petit entrepreneur possède une épicerie et qu il travaille dans son magasin, son salaire en tant qu employé doit être inclus dans les coûts. Si un groupe d individus prête de l argent à une firme en échange de paiements mensuels, ces charges d intérêts doivent être comptées comme un coût de production. Tant les recettes que les coûts d une firme dépendent des actions entreprises par elle. Ces actions peuvent revêtir de nombreuses formes : des activités réelles de production, des achats de facteurs, des achats d annonces publicitaires sont des exemples d actions entreprises par une firme. A un niveau plutôt abstrait, nous pouvons imaginer qu une firme peut s engager dans un grand nombre d actions aussi diverses que celles que nous venons d énumérer. Nous pouvons exprimer les recettes sous la forme d une fonction dépendant du niveau de diverses actions, R(a 1,...,a n ), et les coûts comme une fonction des mêmes actions, C(a 1,...,a n ). Dans la plupart des analyses économiques du comportement de la firme, on pose comme hypothèse fondamentale que la firme maximise ses profits. Cela veut dire que la firme choisit les actions (a 1,...,a n )defaçon à maximiser R(a 1,...,a n ) C(a 1,...,a n ). Nous poserons cette hypothèse comportementale tout au long de notre analyse. Même au niveau de généralité auquel nous sommes pour l instant, nous pouvons établir deux principes de base de la maximisation du profit. Le premier découle d un simple calcul mathématique. Le problème de maximisation du profit qui se pose à

2 24 Ch. 2 La maximisation du profit la firme peut s écrire de la manière suivante : max R(a 1,...,a n ) C(a 1,...,a n ). a 1,...,a n Une simple application du calcul différentiel montre que l ensemble des actions optimales a =(a 1,..., a n) est caractérisé par les conditions suivantes : R(a ) a i = C(a ) a i i =1,...,n. Il convient de saisir intuitivement ces conditions : si la recette marginale était supérieure au coût marginal, il serait intéressant d accroître le niveau de l activité. Inversement, si la recette marginale était inférieure au coût marginal, il serait intéressant de diminuer le niveau de l activité. Cette condition fondamentale qui caractérise la maximisation du profit se prête à plusieurs interprétations concrètes. Parmi les diverses décisions qu elle doit prendre, la firme doit choisir son niveau de production. La condition fondamentale de la maximisation du profit nous indique que le niveau de l output devrait être choisi de telle manière que la production d une unité supplémentaire devrait procurer une recette marginale égale à son coût marginal de production. La firme doit également déterminer quelle quantité acquérir d un facteur donné, disons le travail. La condition fondamentale de la maximisation du profit indique que la firme devrait acquérir une quantité de travail telle que la recette marginale générée par l utilisation d une unité supplémentaire de travail soit égale au coût marginal d acquisition de cette unité. La deuxième condition fondamentale de la maximisation du profit est la condition d égalité des profits à long terme. Supposons que deux firmes possèdent les mêmes fonctions de recettes et de coûts. Il est clair alors qu à long terme les deux firmes ne peuvent pas réaliser des profits différents puisque chaque firme peut imiter les actions de l autre. Cette condition peut paraître d une très grande simplicité, mais ses implications sont d une importance étonnante. Pour appliquer ces conditions plus concrètement, nous devons décomposer les fonctions de recette et de coût en mettant davantage en évidence leurs éléments constitutifs. La recette se compose de deux parties : la quantité vendue des divers outputs multipliée par le prix de chacun d eux. Les coût sont également constitués de deux parties : la quantité utilisée de chaque input multipliée par le prix de chacun d eux. Le problème de la maximisation du profit de la firme se résume donc à déterminer les prix auxquels elle souhaite vendre ses produits et acheter ses facteurs ainsi que les quantités d outputs qu elle désire produire et les quantités de facteurs qu elle désire utiliser. Evidemment, elle ne peut pas fixer les prix et les quantités de manière unilatérale. En choisissant sa politique optimale, la firme est confrontée à deux sortes de contraintes : des contraintes techniques et des contraintes de marché. Les contraintes techniques sont tout simplement les contraintes liées à la faisabilité des plans de production. Nous avons examiné comment décrire les contraintes techniques au chapitre précédent. Les contraintes de marché sont les contraintes qui résultent des répercussions sur la firme des actions entreprises par d autres agents économiques. Par

3 2.1 La maximisation du profit 25 exemple, les consommateurs qui achètent un output à la firme peuvent souhaiter ne payer qu un certain prix pour une quantité déterminée d output. De même, les fournisseurs de la firme peuvent n accepter que certains prix pour les inputs qu ils lui livrent. Lorsque la firme détermine ses actions optimales, elle doit prendre en compte ces deux types de contraintes. Il est cependant commode au début d étudier ces deux contraintes séparément. C est pour cette raison que les firmes dans les sections qui suivent, adopteront le comportement de marché que nous considérons le plus simple, à savoir le comportement de «price-taking». Chaque firme sera supposée prendre les prix comme donnés, comme des variables exogènes au problème de la maximisation du profit. Par conséquent, la firme ne se préoccupera que de la détermination des quantités des inputs et des outputs qui maximisent son profit. Une firme de ce genre est souvent qualifiée de firme concurrentielle. Nous discuterons plus tard de la raison d être de cette terminologie. Nous pouvons néanmoins évoquer brièvement ici le type de situation dans laquelle un comportement «price-taking» est un modèle approprié. Supposons un ensemble de consommateurs bien informés qui achètent un bien homogène produit par un grand nombre de firmes. Dans cette situation, il semble assez évident que toutes les firmes sont amenées à vendre leur produit au même prix; toute firme pratiquant pour son produit un prix supérieur à celui qui a cours sur le marché perdrait immédiatement tous ses clients. Dès lors, quand elle détermine sa politique optimale, chaque firme doit prendre le prix du marché comme donné. Dans ce chapitre, nous étudierons les choix optimaux des plans de production, pour une structure donnée des prix du marché. 2.1 La maximisation du profit Considérons le problème d une firme qui prend les prix comme donnés, tant pour ses inputs que pour ses outputs. Notons p un vecteur de prix des inputs et des outputs de la firme 1.Leproblème de maximisation du profit de la firme peut s exprimer de la manière suivante : π(p) = max py de telle manière que y Y. Puisque les outputs sont mesurés comme des nombres positifs et les inputs comme des nombres négatifs, la fonction d objectif de ce problème correspond aux profits : les recettes moins les coûts. La fonction π(p) qui nous donne les profits maximums en fonction des prix, s appelle fonction de profit de la firme. Il existe plusieurs variantes très utiles de la fonction de profit. Par exemple, si nous considérons un problème de maximisation à court terme, nous pouvons définir la fonction de profit à court terme, connue aussi sous le nom de fonction de profit restreinte : 1 En général nous exprimerons les prix sous forme de vecteurs-lignes et les quantités sous forme de vecteurscolonnes.

4 26 Ch. 2 La maximisation du profit π(p, z) =max py de telle manière que y Y (z). Si la firme produit un seul output, la fonction de profit peut s écrire π(p, w) =max pf(x) wx où p (scalaire) est maintenant le prix de l output et w est le vecteur de prix des facteurs. Les inputs sont mesurés par le vecteur (non négatif) x =(x 1,...,x n ). Dans ce cas, nous pouvons aussi définir une variante de la fonction de profit, la fonction de coût : c(w,y)= min wx de telle manière que x V (y). A court terme, nous pouvons désirer considérer la fonction de coût restreinte ou fonction de coût à court terme : c(w,y,z) = min wx de telle manière que (y, x) Y (z). La fonction de coût indique le coût de production minimum d un niveau d output y lorsque les prix des facteurs sont w. Puisque dans ce problème, seuls les prix des facteurs sont exogènes, la fonction de coût peut être utilisée pour décrire le comportement des firmes qui prennent les prix des facteurs comme donnés mais pas ceux des outputs. Cette observation nous sera d une grande utilité lorsque nous étudierons le monopole. Nous pouvons caractériser le comportement de maximisation du profit à l aide du calcul différentiel. Par exemple, les conditions du premier ordre pour la maximisation du profit d une firme monoproduit sont les suivantes : p f(x ) x i = w i i =1,,n. Ces conditions indiquent simplement que la valeur du produit marginal de chaque facteur doit être égale à son prix. A l aide de la notation vectorielle, nous pouvons aussi écrire ces conditions comme suit : Ici, Df(x )= pdf(x )=w. ( f(x ) ),, f(x ) x 1 x n est le gradient de f c est-à-dire, le vecteur des dérivées partielles de f par rapport à chacun de ses arguments. Les conditions du premier ordre établissent que «le produit marginal en valeur de chaque facteur doit être égale à son prix». Il ne s agit là que d un cas particulier

5 2.1 La maximisation du profit 27 de la règle d optimisation que nous avons énoncée précédemment, à savoir que la recette marginale de chaque action doit être égale à son coût marginal. Cette condition du premier ordre peut aussi être représentée graphiquement. Considérons l ensemble des possibilités de production présenté à la figure 2.1. Dans ce cas à deux dimensions, les profits sont donnés par Π = py wx. Les ensembles d isoprofit correspondant à cette fonction pour des prix p et w fixés sont des droites qui peuvent être exprimées sous la forme : y = Π/p +(w/p)x. La pente de la droite d isoprofit mesure ici le salaire exprimé en unités d output et son ordonnée à l origine mesure les profits exprimés en unités d output. OUTPUT =py wx Pente = w/p y = f (x) /p Figure 2.1 INPUT La maximisation du profit. La quantité d input qui maximise le profit correspond au point où la pente de la droite d isoprofit est égale à la pente de la fonction de production. Une firme qui maximise son profit désire trouver un point dans l ensemble de production qui est associé au niveau de profit maximum. Il s agit d un point situé sur la droite d isoprofit dont l ordonnée à l origine est la plus élevée. En examinant la figure 2.1, nous pouvons voir qu un tel point optimal peut être caractérisé par la condition de tangence df (x ) = w dx p De ce cas à deux dimensions, nous pouvons aisément déterminer la condition du deuxième ordre nécessaire pour que le profit soit maximisé : la dérivée seconde de la fonction de production par rapport à la quantité de facteur doit être négative ou nulle : d 2 f(x ) dx 2 0. Géométriquement, ceci signifie qu au point où les profits sont maximisés, la fonction de production doit être située en dessous de la tangente en x, c est-àdire que la fonction de production doit être «localement concave». Notons qu il est souvent utile de supposer que la dérivée seconde est strictement négative. Dans le cas à n dimensions, nous avons une condition du deuxième ordre semblable : pour que les profits soient maximisés, la matrice des dérivées secondes

6 28 Ch. 2 La maximisation du profit de la fonction de production doit être semi-définie négative au point optimal. En d autres termes, le Hessien (ou matrice Hessienne) ( D 2 f(x 2 f(x ) ) )= x i x j doit satisfaire à la condition suivante : hd 2 f(x )h t 0, pour tous les vecteurs h. (L indice t indique que la matrice est transposée). Notons que quand il n y a qu un seul input, le Hessien est un scalaire et cette condition se réduit à la condition du deuxième ordre examinée précédemment. Géométriquement, l exigence que la matrice Hessienne soit semi-définie négative signifie que la fonction de production doit être localement concave au voisinage du choix optimal, c est-à-dire que la fonction de production doit être située en dessous l hyperplan qui lui est tangent. Dans de nombreuses applications, nous n envisagerons que le cas d un maximum strict de sorte qu il suffit de vérifier si la matrice Hessienne est définie négative ou non. Au chapitre 26, page 480, nous montrons qu une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice Hessienne soit définie négative est que ses mineurs principaux de tête alternent en signe. Comme nous allons le voir par la suite, cette condition algébrique est parfois utile pour vérifier les conditions du deuxième ordre. 2.2 Les difficultés Pour chaque vecteur de prix (p, w), il y aura en général un choix optimal, x, pour les facteurs. La fonction qui nous indique les quantités optimales d inputs en fonction des prix porte le nom de fonction de demande de facteur de la firme. Cette fonction est notée par x(p, w). De même, la fonction y(p, w) =f(x(p, w)) porte le nom de fonction d offre de la firme. Nous supposerons souvent que ces fonctions sont bien définies et dotées de toutes les propriétés souhaitables, mais il est intéressant d examiner les problèmes que l on peut rencontrer si ce n est pas le cas. Tout d abord, il se peut qu on ne puisse exprimer la technologie sous la forme d une fonction de production différentiable de sorte que les dérivées définies précédemment ne soient pas utilisables. La technologie Leontief constitue un bon exemple de ce type de problème. Deuxièmement, les conditions mathématiques dégagées précédemment n ont un sens que lorsque les variables de décision peuvent varier au voisinage du choix optimal. Dans beaucoup de problèmes économiques, les variables sont par nature non négatives. Si certaines de ces variables prennent la valeur zéro à l optimum, les conditions mathématiques examinées précédemment ne sont pas applicables. Ces conditions ne sont valables que pour des solutions intérieures, c est-à-dire pour lesquelles on utilise une quantité non nulle de chaque facteur. Il est facile d établir les modifications que l on doit apporter à ces conditions pour traiter les solutions frontières. Sipar exemple nous imposons à x d être non négatif dans le problème de maximisation du profit, les conditions du premier ordre adéquates sont les suivantes : p f(x) x i w i 0 si x i =0