Chapitre I Introduction aux problèmes variationnels

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1 Chpitre I Introduction ux problèmes vritionnels I.1. Introduction. Le clcul des vritions concerne l recherche d extrems (minimums ou mximums), et peut être considéré comme une brnche de l optimistion. On rppeller u Chpitre 2 les principes de l recherche d extrems pour les fonctions d une ou plusieurs vribles réelles. Le clcul des vritions est une générlistion de ces principes. Soit Y un ensemble de fonctions y : [,b] R, et une ppliction J : Y R. On ppeler une telle ppliction une fonctionnelle. (Une fonctionnelle est simplement une fonction (u sens hbituel du terme) définie sur un ensemble de fonctions). On peut donner quelques exemples de fonctionnelles. (1) Si Y est un ensemble de fonctions convenble, l ppliction qui à une fonction y : [,b] R ssocie y(c) vec c [,b] est une fonctionnelle. (2) Sur l ensemble des fonctions intégrbles sur l intervlle [, b], l ppliction y(x)dx définit une fonctionnelle. (3) Sur l ensemble des courbes lisses, on peut ssocier à une courbe s longueur. Pr exemple pour un courbe γ : [,1] R 2, s longueur est donnée pr : 1 l(γ) = x (t) 2 +y (t) 2 dt (4) On considère tous les chemins possibles relint les points A et B du pln, et une prticule qui peut suivre un chemin. Si l prticule une vitesse v(x,y) u point (x,y), on peut ssocier à chque chemin, le temps de trjet de A à B. (5) Sur l ensemble des fonctions C 1 ([,b]), on peut définir (pr exemple) une fonctionnelle pr : y C 1 (y (x)) 2 ([,b]) dx y(x) On noter prfois l rgument d une fonctionnelle entre crochet pour le distinguer d une fonction usuelle. (6) Plus générlement, soit F : R 3 R une fonction continue, lors l expression : F(x,y(x),y (x))dx définit une fonctionnelle. Cet exemple englobe de très nombreux problèmes vritionnels que nous rencontrerons pr l suite. 1

2 2 Le clcul des vritions est l recherche de l existence et l détermintion de fonctions y qui soient telles que l vleur de J[y ] soit minimle ou mximle ou encore ce que nous ppelerons vleur sttionnire. L résolution de ce genre de problème nécessite des outils nouveux pr rpport u cs des fonctions de plusieurs vribles. Pour bien comprendre le nécessité de ces nouveux outils pour clculer les extremums de fonctionnelles, exminons une problème issu de l optique géométrique : I.2. Trjet de l lumière. I.2.1. dimension 1. On suppose que dns un milieu homogène d indice n, l lumière se déplce en ligne droite à l vitesse c n. On considère un chngement de milieu de n 1 en n 2 sur l droite x = l. On demnde de trouver le chemin le plus rpide pour ller du point (,) u point (L, H), c est-à-dire trouver quel doit être le point d incidence (l, h) qui minimise le temps de trjet. On peut ussi formuler cel comme trouver l fonction ffine pr morceux qui minimise le temps de trjet. Le temps de trjet de l lumière est l somme du temps de trjet dns le milieu n 1 et du temps de trjet dns le milieu n 2. On trouve donc : l2 +h T(h) = 2 (L l)2 +(H h) n n 2 c c C est un problème clssique de recherche de minimum d une fonction d une seule vrible réelle h. Pour résoudre ce problème, il suffit de chercher les vleurs de x pour lesquelles l dérivée s nnule. En effet, en un extremum l dérivée s nnule (on reviendr un peu plus loin sur l question). Execrice : Constter qu on retrouve l loi de Descrtes pour l refrction, c est-à-dire : n 1 sin(i 1 ) = n 2 sin(i 2 ) où i 1 et i 2 sont les ngles d incidence des ryons lumineux u point (l,h). I.2.2. dimension p. Imginons mintennt qu on p chngement d indices ux bcisses l 1 et l p. Le temps de trjet v lors dépendre des p ordonnées des points d incidence du ryon lumineux que l on noter h 1,...,h p. On pose l = h = et l p+1 = L et h p+1 = H. Le temps de trjet est l somme des p+1 temps de trjet dns chque milieu n i

3 3 T(h 1,...,h p ) = p T i (h i,h i+1 ) Avec T i (x,y) = (l i+1 l i ) 2 +(y x) 2 c n i est le temps de prcours dns le milieu n i. C est ici un problème clssique de recherche d un extremum d une fonction de plusieurs vribles. Ici on v chercher les points où le grdient s nnule. (Voir chpitre 2) I.2.3. dimension infinie. Imginons mintennt que l indice chnge de fçon continue entre et L, et que l indice est donné pr une fonction continue n(x). L lumière v suivre l courbe u(x) qui minimise le temps de trjet entre le point de déprt et le point d rrivée. Dns ce cs le temps de trjet est donné pr : l 1 T[u] = c n(u(x)) 1+(u (x)) 2 dx Le but est donc de trouver l fonction u telle que cette intégrle soit minimle. Ceci est un problème clssique de clcul des vritions. L ppliction T est une fonctionnelle qui prends en rgument une courbe continue qui lie les points (,) et (L,H). En reprennt les nottions précédentes on voit que l fontion F est : F(x,y,z) = n(y) 1+z 2 Nous verrons que le principe de résolution de ce problème est similire u cs de l dimension finie, c est à dire qu on v chercher les points (ici des fonctions) où une certine quntité s nnule. Cependnt, l éqution qui pprit n est plus une éqution dont les inconnues sont des vribles réelles, mis elle devient une éqution différentielle. I.3. Bestiire des problèmes vritionnels. On donne ici un perçu non exhustif des problèmes clssiques du clcul des vritions. Pour le moment, nous ne nous intéressons qu à l forme de ces différents problèmes et non à l fçon de les résoudre. I.3.1. Points u bord fixés. (1) Géodésiques On cherche l courbe ynt l plus courte longueur prmi les courbes relint le point (,A) u point (b,b) dns le pln. Ici on peut se restreindre à l ensemble des fonctions dérivbles sur [,b] telles que u() = A et u(b) = B. L longueur de l courbe définie pr une fonction y est donnée pr l formule. 1+(y (x)) 2 dx Le problème revient donc à trouver l (ou les) fonction(s) qui minimisent l fonctionnelle J. L expression de l longueur d une courbe en fonction de l vitesse est dépendnte de l métrique dns lquelle on se trouve. Dns le pln euclidien, l bcisse curviligne d une courbe γ(t) = (x(t),y(t)) est donnée pr ds 2 = dx 2 +dy 2.

4 4 Sur l sphère de ryon 1, on se plce en coordonnées sphériques vec les ngles (u, v). une courbe est lors donnée prles deux fonctions(u(t), v(t)). Son expression dns R 3 est donnée pr : γ(t) = (sin(u(t)) cos(v(t)), sin(u(t)) sin(v(t)), cos(u(t))) L longueur infinitésimle est lors ds 2 = du 2 + sin 2 (u)dv 2. L fonctionnelle à minimiser est donc L[γ] = 1 (u (t)) 2 +(v (t)) 2 sin 2 (u(t))dt. Ici l solution est une fonction de R dns R 2 qui minimise cette intégrle. On peut églement imginer une utre métrique qui n est ps l métrique euclidienne. Pr exemple dns le demi-pln supérieur muni de l métrique hyperbolique ds 2 = dx2 +dy 2 y 2. Dns ce cs l fonctionnelle devient : 1+(y (x)) 2 dx y(x) (2) Cténire On considère un cble flexible suspendu u sommet de deux mts distnt de d. Quelle v être l forme du cble u repos, c est à dire l position qui minimise l energie potentielle du cble. Si le cble suit une courbe y : [,d] R, l énergie potentielle pour un élément de longueur infinitésiml est mgy(s)ds, où s est l bcisse curviligne du cble, et y(s) représente l huteur du cble à s unité de longueur le long du cble. On donc l énergie potentielle E p [y] = L mgy(s)ds vec L l longueur du cble. Dns l formultion du problème L est inconnu, il fut donc trduire cette expression en coordonnées crtésiennes. On dns ce cs

5 ds = 1+y (x)dx ce qui nous donne : E p [y] = d mgy(x) 1+y (x)dx Le problème est donc équivlent à trouver le minimum de l fonctionnelle donnée pr : d F(x,y(x),y (x))dx vec F(x,y,z) = y 1+z 2. On cherche les solutions prmi les fonctions telles que y() = y et y(d) = y 1, c est pourquoi on ppelle ce genre de problème conditions u bord fixées. I.3.2. Problèmes isopérimétriques. (1) Probleme de Didon : Didon étit une reine de Crthge qui débrqu sur une côte d Afrique du nord. Elle demnde sile u chef locl qui ne lui concède que ce que pourrit couvrir l peu d un boeuf. Astucieuse, elle découpe l peu en si fines lnières qu elle obtient, bout à bout, une longueur fntstique : près de 4 km. Elle encercle lors un grnd domine délimité pr l mer d un côté qui deviendr l ville de Byrs. Le problème uquel été confronté l reine Didon est de trouver l forme de l courbe qui délimite son territoire (l peu de boeuf) de telle sorte que l ire du territoire soit mximle, schnt que l longueur de l courbe est fixée (ici 4km pr exemple). Modélisons le problème pr le dessin suivnt : 5 L courbe est déterminée pr l fonction f(x). L longueur de l courbe est donnée pr l[f] = 1+(f (x)) 2 dx = L Et l ire de l courbe est donnée pr A[f] = f(x)dx

6 6 Le problème est donc de mximiser l fonctionnelle A schnt que l fonction stisfit l[f] = L. C est un exemple d éqution vec contrintes. (2) Problèmes isopérimétriques : Plus générlement, si on deux fonctionnelles de l forme : I[y] = G(x,y(x),y (x))dx et G(x,y(x),y (x))dx On cherche à mximiser l fonctionnelle J vec l contrinte qu une solution y doit stisfire l éqution I[y ] = L. On ppelle ces contrintes, isopérimétriques. I.3.3. Formultion Hmiltonienne de l mécnique. On considère ici le mouvement d une prticule dns R 3 donné pr r(t) = (x(t),y(t),z(t)). L énergie cinétique de l prticule est donnée pr T(r) = 1 2 m ṙ(t) 2 Et le point mtériel est soumis à une force F = V(t,x,y,z). C est à dire que l énergie potentielle est donnée pr V. Le Lgrngien de l prticule est l fonction donnée pr Soit lors l fonctionnelle L = T V t1 J[r] = L(t,r(t),ṙ(t))dt t Cette fonctionnelle est ppelée l intégrle d ction ou encore l ction. Le principe de Hmilton, ussi ppelé principe de moindre ction nous dit que le mouvement d une prticule soumise à l force F, entre le point r(t ) et r(t 1 ) est telle que l fonctionnelle J est sttionnire. Sttionnire veut dire que l vrition s nnule en ce point, mis que ce point n,est ps nécessirement un extremum. I.3.4. Points ux bord vribles. (1) Cténire vec un seul côté ttché On reprend le problème du cténire vec un cble de longueur L qui est ttché d un coté u sommet d un mt, et de l utre est libre de se déplcer le long de l xe x = d. Le but est toujours de minimiser l énergie potentielle E p [y] = d mgy(x) 1+y (x)dx Mis sur l espce des fonctions y : [,d] R telles que y() = y. Le degré de liberté supplémentire est compensé pr le fit que le cble une longueur fixée L, c est à dire que : d l[y] = 1+y (x)dx = L Ici encore, c est une contrinte de type isopérimétrique.

7 (2) Récolte optimle On considère un problème de recherche de strtégie de pêche pour mximiser le profit. Soit P(t) le nombre totl de poisson à un instnt t. L croissnce de l popultion du poisson stisfit une éqution différentielle du type : P = f(t,p) Dns les modèles les plus simples, f est simplement une fonction linéire en y. L popultion de déprt est P() = P. On suppose qu on pêche les poissons à un rythme de w(t) poissons pr unité de temps. L éqution gouvernnt l popultion de poissons est mintennt : P = f(t,p) w(t) Le coût de de l pêche est fonction du temps (selon l sison pr exemple), de l popultion de poisson (moins il y de poissons, et plus c est difficile) et églement du tux uquel on veut pécher les poissons (ller vite coute plus cher). Soit donc le cout c(t,p,w). Le poisson est vendu à un prix p(t). Le profit totl sur l période de temps T est donc donné pr : G(y,w) = T (p(t) c(t, y, w))w(t)dt On ici un problème vritionnel où on recherche un couple de fonctions vec contrintes (donné pr l éqution différentielle) vec une condition initile, mis ps de condition finle. 7