Problèmes de dynamique du point, avec énergie

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1 Polèmes de dynamique du point, aec énegie I 5 Dans le plan hoiontal ( Oy) d'un éféentiel galiléen, un moile modélisé pa un point matéiel P de masse m est asteint à se déplace su le cecle de cente O et de ayon (figue ) 'équation hoaie du mouement est : s = AP = ln( + ω t ) où ω est une constante positie, A est le point du cecle situé su le demi-ae positif O et t [, + [ est le temps Calcule la itesse de P à la date t en fonction de la seule aiale s et des constantes du polème En déduie la itesse initiale = ( t = ) Calcule en fonction de s et des seuls paamètes et les composantes tangentielle a T et nomale a N du ecteu accéléation de P pa appot à epimées dans la ase de Fenet 4 Indique si le mouement est unifomément décéléé, unifomément accéléé, accéléé ou décéléé 5 'hodogaphe du mouement de pôle O est l'ensemle des points N tels que ON = ( P / ) si P ( / ) est le ecteu itesse de P pa appot à Soient et θ les coodonnées polaies de N Détemine l'équation polaie de l'hodogaphe 6 Dessine l'hodogaphe 7 Donne l'epession en fonction de de F = F, si F est la ésultante des foces appliquées à P 8 Calcule en adian l'angle α = ( FP, ( / )) 9 Calcule en fonction de s et des paamètes m, et le taail W de F pendant l'intealle de temps [, t] En déduie le taail total W T de F au cous du mouement pendant l'intealle de temps [, + [ O II 5 A la fête foaine g = 9,8 m s Dans un stand de fête foaine, on peut teste sa foce en agissant C su un chaiot (M) de masse m = 5 kg moile su des ails AC situés dans un plan etical a patie A de ces ails est ectiligne et J hoiontale et a pou longueu A =,5 m ; la patie C est un ac (M) de cecle de ayon = m tangent en à A (M) est initialement A I h immoile en A Un joueu eece su (M) une foce de composante paallèle au ails F constante et lâche (M) quand il paient en e chaiot monte jusqu en J, situé h =,5 m au dessus de A, s y aête et epat en aièe A On suppose (M) moile sans fottement ) Calcule la itesse de (M) en ) Calcule F ) Soit I le point de l ac C d altitude au dessus de A égale à h =,5 m Calcule l angle θ = (O,OI) 4) Calcule la itesse aec laquelle le chaiot passe à l alle en I 5) Quelle foce les ails eecent-ils su (M) au passage en I (diection et sens à indique pa un dessin, module à calcule) 6) Eplique pouquoi le chaiot, une fois aié en J, n y este pas immoile 7) Monte que sa itesse en un point quelconque de l ac J est en module la même à l alle et au etou 8) Compae la duée des tajets J et J 9) Compae la duée des tajets A et A En éalité, il y a fottement ente (M) et les ails et (M) s aête au etou en On suppose le module F f de la foce de fottement constant tout le long du tajet AJ ) Calcule F f et F ) Compae les aleus pises pa la itesse en un point quelconque de l ac J à l alle et au etou ) Compae la duée des tajets J et J h

2 C Un aute joueu eece su le chaiot une foce plus faile, si ien que le chaiot s aête en K, situé h =,5 mète au dessus du nieau de A et y este Compae la foce motice à la position J de la patie et à la position K de la patie C et justifie la difféence des compotements du chaiot III 9 A Un moile de masse M et de itesse V se meut dans un ga au epos de masse olumique ρ fomé de molécules de masse m et de concentation n (appot du nome de molécules au olume) On S considèe qu il se poduit une suite de chocs pafaitement mous ente le moile et les molécules du V ga ; aant le choc, chaque molécule est au epos ; apès le choc, la itesse elatie de la molécule pa appot au moile est nulle Ultéieuement, les molécules adsoées pa le moile sont désoées ; on admetta qu elles le sont aec une itesse elatie négligeale, de sote que cette désoption ne poduit qu un effet négligeale ) Monte qu un choc fait aie la quantité de mouement du moile de p = m' V ) Soit S le maîte-couple du moile, c est à die l aie de sa pojection su le plan pependiculaie à V Monte que le nome de molécules heutant le moile pendant le temps dt est dn = nsvdt Ce nome dépend-il de la fome du moile? ) En déduie que la foce eecée pa le ga su le moile est F = ρ k SV si le sens positif est celui de la itesse du moile et k une constante à détemine Dépend-elle de la fome du moile? 4) Cette loi de foce est éifiée dans le cas d un satellite feiné pa la haute atmosphèe teeste Pa conte, dans les conditions usuelles de pession, sous a, aec des itesses et des dimensions du moile pas top petites, la foce est donnée pa F = C ρsv, où C est un coefficient, appelé coefficient de taînée, indépendant de ρ, S et V, mais dépendant de la fome du moile et du caactèe ugueu ou lisse de sa suface Eplique en quoi les hypothèses qui sont la ase du modèle eposé pécédemment sont mieu adaptées au mouement d un satellite dans la haute atmosphèe qu au mouement d une automoile ou d un aion dans les conditions usuelles Un éhicule spatial de masse m, de maîte-couple S et de coefficient de taînée C = eient su Tee aec une itesse faisant un angle α aec la eticale Duant la taesée de l atmosphèe, on néglige son poids deant la ésistance de l ai et on néglige aussi la couue de la suface teeste a masse olumique ρ de l ai dépend de l altitude selon ρ = ρ e /h où ρ =, kgm et h = 67 m ) A quelle condition qualitatie su α est-il aisonnale de néglige la couue de la suface teeste? ) Quelle est la tajectoie du éhicule spatial? ) Ecie le théoème de l énegie cinétique pou une petite aiation d altitude d En déduie la loi donnant la itesse en fonction de l altitude 4) Epime l accéléation en fonction de l altitude m cos α 5) A quelle altitude l accéléation est-elle maimale? Discute selon la aleu de Shρ C Une ille d acie de masse olumique µ = 78 kgm, de ayon =, m et de coefficient de taînée C =,45 se meut eticalement dans l ai de masse olumique ρ =, kgm a pesanteu est : g = 9,8 ms ) Il eiste une itesse paticulièe w, dite itesse limite, telle que si on lance la ille es le as à cette itesse, la itesse de la ille este constante ; calcule w Que se passe-t-il selon que la itesse de la ille est inféieue ou supéieue à w? ) A pésent, on lâche la ille aec une itesse nulle à l instant a) Epime l instant t en fonction de la itesse et de w et g ) Epime la hauteu de chute en fonction de, w et g On donne : d a a + d = ln et a ln a a = + (a, constantes) + a a c) Que deient quand t tend es l infini? d) AN : = w/ ; calcule t, et Commente ce denie ésultat gt A (M) O K C h Polème de dynamique, aec énegie, page

3 IV e ti es la une selon Jules Vene (mines de Douai 976) es omans de Jules Vene"De la Tee à la une" et "Autou de la une" acontent l'enoi d'un ous es la une Il est lancé pa un canon etical A la sotie du canon, la itesse de l'ous est = 6,5 kms, mais l'atmosphèe le feine et amène sa itesse à = kms Ce polème se popose de discute des données utilisées pa Jules Vene A 8 e théoème de l'énegie cinétique Un moile de masse m se déplace su une doite sous l'action d'une foce F ; son ascisse est, sa itesse V, toutes ces gandeus étant comptées algéiquement dans le même sens Démonte le théoème de l'énegie cinétique, celui-ci d m = Fd étant énoncé sous la fome : 5 a itesse de lancement Dans les paties et C, l'on néglige le feinage dû à l atmosphèe ) Soit G la constante de la gaitation, M la masse d un aste sphéique fie de cente O, = OP la distance à son cente d un point matéiel P de masse m moile su une doite passant pa O à l etéieu de l aste Calcule la foce suie pa P dans le champ de l aste Un aste sphéique cée à l etéieu la même foce que si toute sa masse était concentée en son cente ) Epime la constante G en fonction de l'accéléation de la pesanteu su la suface teeste g, de la masse de la Tee M, et du ayon teeste ) Quelle est la elation ente la itesse de lancement d'un pojectile depuis la suface teeste, et sa itesse à l'infini 4) En déduie la itesse minimale de lancement d'un ous depuis la Tee pou qu'il échappe à l'attaction teeste C Vitesse de l'ous en un point quelconque ) a Tee et la une sont immoiles dans un éféentiel galiléen ; l'ous de masse m se déplace suiant la doite joignant leus centes Epime en fonction de la distance d du cente de la Tee au cente de la une, de la distance de l'ous au cente de la Tee, du appot M / M des masses de la une et de la Tee, de g, de m et de : a) la foce appliquée à l'ous ) la quantité ( ), où est la itesse à la distance et la itesse de lancement ) (question difficile) a fomule otenue est celle donnée pa Jules Vene Quelles citiques peut-on adesse au modèle utilisé et en quoi la fomule otenue est-elle fausse? D a question des poudes 'ous est lancé de la Tee pa un canon etical de section S Jules Vene semle estime qu'une quantité illimitée de poude pemet d'oteni une itesse illimitée Pou monte qu'il n'en est ien, considéons le modèle naïf suiant a) A un instant donné, la masse olumique ρ des ga issus de l eplosion est unifome ente le fond du canon et l ous situé à une hauteu au dessus du fond Epime ρ en fonction de la masse de la poude m, de S et de ) Calcule la masse dm des ga situés à une distance du fond du canon compise ente et + d c) Calcule leu itesse en supposant que, la itesse de l'ous dans le canon étant, la itesse des ga aie linéaiement ente en as du canon et pès de l'ous d) En déduie l énegie cinétique de cette tanche de ga e) Monte que l'énegie cinétique totale des ga et de l'ous est E = ( m + m /), où m est la masse de l'ous et m celle de la poude ) Cette énegie cinétique est tiée de l'énegie chimique d'une poude Quelle est la fonction de m, m et qui pend la même aleu pou dies canons utilisant la même poude aec le même endement? ) Un canon cité pa Jules Vene, la Columiad odman, utilise m = 7 kg de poude pou lance un oulet de masse m = 5 kg à la itesse = 7 ms Si le canon de Jules VENE était compaale, epime la itesse aec laquelle il lanceait l'ous sous l'action d'une quantité de poude illimitée E - Feinage de l'ous pa l'atmosphèe a foce F de feinage de l'ous pa l'atmosphèe aut F = C Sρ V, où est un coefficient numéique sans dimension caactéisant l'aéodynamisme de la fome de l'ous, ρ la masse olumique de l'ai, dépend de l'altitude, la itesse de l'ous et S l aie de la pojection de l'ous su un plan pependiculaie à sa itesse ) En estimant l épaisseu de l atmosphèe à km, éalue numéiquement l ode de gandeu de l accéléation de l ous pendant cette taesée En déduie si le poids de l'ous est négligeale deant la ésistance de l'ai ) elie à l'aide du théoème de l'énegie cinétique la aiation d de la itesse à la aiation d de l'altitude? Sépae l'équation en deu memes, l'un fonction de et d, l'aute fonction de ρ( ) et d C Polème de dynamique, aec énegie, page

4 ) Considéons une colonne d ai eticale de section S hoiontale et allant du sol ( = ) à haute altitude ( =+ ) a) Monte que sa masse est M = S ρ ( ) d + ) En éciant son équilie sous l action des foces de pession et du poids, monte que + ρ d = p / g, 5 où p = Pa est la pession atmosphéique au sol (la pession est le appot de la foce à la suface su laquelle elle s eece) et g = ms l accéléation de la pesanteu c) En déduie une epession de C en fonction de la itesse de dépat, de la itesse apès taesée de l'atmosphèe et des autes données du polème éponses s s I ) = ωep( ) ; ) = ω ; ) at = ep ( ) ; an = ep ( s ) π ; 4) décéléé ; 5) = ep( ( θ )) ; 6) spiale logaithmique qui pat en haut de pou aouti en as à m π ; 7) F = ; 8) α = ; 4 s 9) W = m ep( ) ; ) WT = m II mgh A ) = g h = 7m/s ; ) F = = 5 N ; ) θ = 8,96 (,55 ad) ; A 4) I = g ( h h ) = 4,95m/s ; 5) = 55,N ; 8) égales ; 9) t A = s ; ta =,5s ) F mgh f = = 6,9N ; F = m gh 87 N J + = J A ; ) itesse au etou plus faile ; ) duée du etou plus gande C Foce motice en K :mg sin θ = 5, N, qui ne peut aince le fottement (6,9 N) ; foce motice en J :,4 N III d ρsh ) α non top poche de π / ; ) une doite ; ) m d = ρ S = ep( ep cos cos ( )) ; α m α h ( ) ρ 4) S ep ρ a h ep m cos α = ; 5) deu cas : si m h mcos h ρ Sh α, = ; sinon ρsh m = h ln m cos α mg C ) w = = 86,9 ms ; a) w ln w + w t = ; ) = ln ; c) w ; C ρs g w g w w 4 d) t = ln = 4, 87 s, = ln = m et g g gt =, 954 oisin de GMm = m m GMm g GM IV ) F = ; ) G ; ) = ; 4) min = = g = km/s ; M M C ) a) F m g M m = + ; ) M ( d ) ( ) = g + ( ) ; D a) ρ = ; M d d S md m d ) dm = ; c) = ; d) de c = ; e) E c = m / m/ m ; ) ( + ) ; S 6 m d CS ) = + = 7m/s; E ) a = = 8 ms ; ) = ρ() d ; m h m mg c) C = ln ps Polème de dynamique, aec énegie, page 4

5 I ) ds ω = = = ωep( s ) dt + ωt ) = ω Coigé d ds s ) s at ep ep = = = dt dt s an = = ep 4) Comme a T <, le mouement est décéléé ; comme at aie, il n est pas unifomément décéléé π 5) Comme la tajectoie est un cecle, s = ( θ ) D où π = ep( ( θ )) 6) hodogaphe est la spiale logaithmique dessinée à gauche qui pat en haut de pou aouti en as à m 7) F = ma F = m an + at = π 8) α = 4 s 9) W = m m = m ep( ) ) WT = m II A ) Appliquons le théoème de l énegie cinétique pou l alle, ente et J : m = mgh = gh = 7m/s ) Appliquons le théoème de l énegie cinétique pou l alle, ente A et : mgh m = F A F = = 5N A h ) cos θ = =, 875 θ = 8,96 (,55 ad) 4) Appliquons le théoème de l énegie cinétique pou l alle, ente I et J : mi = mg ( h h ) I = g ( h h ) = 4,95m/s 5) Pojetons la loi fondamentale de la dynamique + mg = ma su la nomale à la m 5 4,95 tajectoie : cos I I = mg θ + = 5 9, 8, = 55,N mg 6) Comme en J la foce totale + mg a une composante tangentielle non nulle, le moile n est pas en équilie en J 7) Soit M un point quelconque de l ac J e théoème de l énegie cinétique appliqué ente les deu passages du moile pa M monte que l énegie cinétique est la même los de ces deu passages, ca la éaction ne taaille pas et le taail du poids est nul Donc la itesse a même module à l alle et au etou 8) es duées de l alle et du etou sont égales, ca égales à d ascisse cuiligne s 9) Comme la foce est constante à l alle, l accéléation est constante : F ma A,5 A = ta ta = = s ; ta = = =,5s m F 7 ds a N a, où la itesse est la même en chaque point N θ T a T Polème de dynamique, aec énegie, page 5

6 ) Appliquons le théoème de l énegie cinétique au etou ente J et, puis pou le tajet complet : h = mgh F cos,75,7 ad 4, 4 f J α = = α = = J = α = 7, m mgh Ff = = 6,9N J ( = FA Ff A+ J) F = mgh 5 9,8,5 + = + 87N J = A 7,, 5 ) Appliquons le théoème de l énegie cinétique ente les deu passages pa un point P de l ac J e taail du poids est nul et celui du fottement est négatif, donc la itesse a diminué : la itesse au etou est plus faile qu à l alle ) Chaque petite patie de J est pacouue en un temps plus long au etou qu à l alle, puisque la itesse est plus ds faile Donc la duée du etou est plus gande que celle de l alle C h cos θ = =, 95 a foce motice en K est mg sin θ = 5 9, 8, 95 = 5, N, qui ne peut aince le fottement Il faudait une foce supéieue à 6,9 N pou mette en mouement le moile e même calcul pou l aêt en J donne une foce motice de,4 N, ce qui eplique que le moile ne este pas en J III A ) Soit V la itesse commune au éhicule et à la molécule apès l asoption de cette denièe MV a quantité de mouement est conseée pa le choc : MV + = ( M + m ) V V = M + m Ensuite, la molécule est désoée, c est-à-die quitte la suface du éhicule spatial ; la contiution de la désoption à la aiation de la quantité de mouement est plus faile, ca la itesse elatie à laquelle est émise la molécule est ien inféieue à V ; la quantité de mouement a aié en définitie essentiellement de MV Mm V p = MV MV = M V = M + m, soit p m V ca m M M + m ) Pendant dt, le éhicule pacout Vdt et alaie le olume VdtdS = SVdt θ K e nome de chocs est égal au nome des molécules situées dans ce olume, soit nsvdt Ce nome ne dépend pas de la fome du moile dp dn p nsvdt ( m V ) ) F = = = = nm SVV O nm = ρ D où F = ρsvv, de la fome de la dt dt dt fomule poposée, aec k =, soit C = Cette foce ne dépend pas de la fome du moile 4) Il y a deu difféences ente le mouement d un éhicule spatial dans la haute atmosphèe et les mouements usuels Dans la haute atmosphèe, les molécules sont tès écatées et se meuent indépendamment les unes des autes, confomément au modèle poposé Au conditions de pession usuelle, les molécules inteagissent et ont un compotement collectif pa appot au moile, ce qui leu pemet de ne pas le heute et fait que le coefficient de taînée C est ien inféieu et éentuellement dépend de la ugosité de la suface es calculs des questions et ne sont alales que dans le éféentiel où la molécule est immoile En aison de l agitation themique, ce éféentiel est difféent pou chaque molécule et la itesse à considée est la itesse elatie du éhicule pa appot à la molécule En patique, les itesses d agitation des molécules sont de l ode de, 5 km s, tandis que celle du éhicule est de l ode de 8kms : le éhicule spatial se meut à une itesse tès supéieue à la itesse d agitation themique des molécules, la aiation de itesse est gande los de l asoption d une molécule et petite los de la désoption et le calcul poposé est appoimatiement alale, ien qu en toute igueu il suppose les molécules immoiles aant le choc et de itesse oisine du éhicule apès le choc ) Comme l épaisseu de l atmosphèe est tès petite pa appot au ayon teeste (la pession est diisée pa à l altitude de l Eeest), on peut néglige la couue de la suface teeste si α n est pas top poche de π/ ) Comme on néglige le poids, la foce totale est paallèle à la itesse et la tajectoie du éhicule spatial est une doite cas où il faut teni compte de la couue teeste Polème de dynamique, aec énegie, page 6

7 Dans la éalité, α est oisin de 9 et il faut au contaie teni compte de la otondité de la Tee et du poids, ce qui end le polème plus compliqué On peut peut-ête espée que ces deu effets s annulent, ca ils jouent en sens contaie En oute C dépend de la densité de l atmosphèe et n est pas une constante ) d d md = d ( m ) = F d = ρ S ds = ρ S = ρ ep cos ( ) S α h cosα d ρs = ep cos ( ) d m α h d ρ S = ep( ) d mcos α h ρsh ln = ep ( ) mcos α h ρsh = ep( ep mcos ( α h) ) 4) En module, F ρ S ρ S ep ρ a = = = h ep( ) m m m h mcos α h 5) Comme la fonction ep ( ) est décoissante, a est maimum en aleu asolue quand ρsh y( ) = + ep h mcos ( α h) dy ρ = S ep d h m cos α h dy ρs mcosα > ep ep < D où deu cas : h mcos α h h ρ Sh d > si m cos α Si, dy ρ Sh d est minimum Discutons le signe de sa déiée est toujous positif, y( ) est minimum pou = et l accéléation est maimum pou = m cos α ρ Si < Sh, posons m = hln ρsh m cos α dy > d si > m, y( ) est minimum pou = m et l accéléation est maimum pou = m emaque : si le satellite est une oule de ayon et de masse olumique µ= kgm, alos 4 mcos α π µ cos α µ cos α cos α cos α = = = =, donc le second cas est plus féquent, sutout ρ Sh ρπ h ρ h, 67 mètes si α est oisin de 9 C ) a itesse est constante si la foce totale est nulle, soit si 4π mg µ g 8µ g 8, 78 9, 8 mg C ρ S = = w = = = = = 86,9 ms C ρs C ρπ Cρ,45, Si la itesse de la ille est inféieue à w, la ille accélèe Si la itesse de la ille est supéieue à w, la ille décélèe a) Comme la foce de feinage est popotionnelle à et est égale à mg quand = w, elle est égale à mg w d m = mg dt t d / w wdu w + u w w + t = dt = ln ln = = = g( u ) g u g w g où l on a utilisé le changement de aiale u = / w du = d/ w / w Polème de dynamique, aec énegie, page 7

8 ) D apès le théoème de l énegie cinétique, d( m ) = mg d d / w wdu w / w w = d [ ln u] ln = = = = gu g g g où l on a utilisé le changement de aiale u = / w du = d / w c) Quand t tend es l infini, w w 86,9 w 4 86,9 4 d) Quand = w/, t = ln = ln = 4, 87 s, = ln = ln = m et g 9,8 g 9,8 4ln( 4/) ) = =, 954 gt ( ln ) Ce denie appot est oisin de, ca la foce de feinage est nettement plus petite que le poids dans l intealle considéé IV A d d d( m ) = md = m d = m d = mad = Fd dt dt GMm ) F = ) e poids est dû à l attaction teeste ; dans la mesue où la Tee est sphéique, on peut calcule son attaction en GMm g concentant la masse de la Tee en son cente ; d où : mg = G = M ) a foce de gaitation déie de l énegie potentielle Ep GMm GMm = Fd = d = GMm a conseation de l énegie donne : m = m GMm GM 4) Comme m, m min = g = km/s C GMm GM m ) a) a foce suie pa l ous ésulte de l attaction de la Tee et de celle de la une ; comptons ( d ) algéiquement cette foce su l ae où l ascisse est : GMm GM m M F = + = mg + ( d ) M ( d ) ) a foce déie de l énegie potentielle : = M M = + = + d( d ) M E p Fd mg d mg = mg + M d M ( d ) M d a aiation de l énegie cinétique massique est égale à l opposé de la aiation de l énegie potentielle massique : M M ( ) = g + = g + M d ( ) M d d ) En éalité, le éféentiel lié au centes de la Tee et de la une n est pas galiléen (sinon, la une tomeait su la Tee), il toune autou du cente de masse de la Tee et de la une, d où deu conséquences : l ous ne peut suie la doite joignant les centes de la Tee et de la une, à cause de la foce de Coiolis ; il faut ajoute un teme à l énegie, dû au taail de la foce centifuge En oute, d n est pas constant, mais aie de 56 à 66 ayons teestes D m a) ρ = S md ) dm = ρ Sd = Polème de dynamique, aec énegie, page 8

9 c) = m d) Ec = dm = d = m 6 e) Ec = m + m 6 ) énegie chimique est popotionnelle à la masse de poude ; le endement est le appot de l énegie cinétique à l énegie chimique ; donc pou tous les canons de même endement, le appot de l énegie cinétique à la masse de poude est le même Tous ces canons ont même aleu de (/ + m/ m ) m 5 ) / = (/ + m/ m ) = + = 7 + = 7m/s m 7 E ) Soit h l épaisseu de l atmosphèe et a l ode de gandeu de l accéléation pendant sa taesée ; d apès le théoème de l énegie cinétique : 65 mah = m m a = = = 8 ms g = ms, donc on peut h 4 néglige le poids pendant la taesée de l atmosphèe d CS ) d( m ) = C ρ () S d () d = m ρ a) a masse d une tanche d épaisseu d est ρ Sd, donc m = ( ) ρ Sd ) Cette colonne est soumise à son poids mg et au foces de pession Au dessus de la colonne, il y a le ide, qui cée une foce de pession nulle En dessous, il y a la pession p qui cée une foce de pession ps Enfin, les pessions su les faces eticales de la colonne s équilient Donc l équilie de la colonne eut die que le poids compense la foce de pession su la ase de la colonne, soit mg = p S, d où la fomule demandée c) po d m mg = ( d ) ln ln g ρ = = = C S p S de l atmosphèe C + où la itesse finale est la itesse apès taesée Polème de dynamique, aec énegie, page 9