Marc Chemillier Master M2 Atiam (Ircam),

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1 MMIM Modèles mthémtiques en informtique musicle Mrc Chemillier Mster M2 Atim (Ircm), Notions théoriques sur les lngges formels - Définitions générles o Mots, lngges o Monoïdes - Notion d utomte fini o Automte fini déterministe (AFD) o Automte fini non déterministe (AFN) 1. Définitions générles 1.1 Mots Un mot fini u est une suite de symoles. L longueur de u notée u est le nomre de symoles du mot. Le mot vide noté ε est le seul mot de longueur nulle. L ensemle des symoles noté Σ est ppelé lphet, et l ensemle des mots sur l lphet Σ est noté Σ *. Pour deux mots u = u 1 u n et v = v 1 v m, on définit l concténtion uv comme le mot otenu en mettnt les lettres de v à l suite de celles de u : uv = u 1 u n v 1 v m. Un mot u Σ * est fcteur du mot w Σ * s il existe v, v' Σ * tels que w = vuv'. Si v = ε, on dit que u est préfixe. Si v' = ε, on dit que u est suffixe. Exemple : est fcteur de, et est à l fois préfixe et suffixe, mis n est ps fcteur. Un mot fini u est périodique si u = x n pour n 2. Tout mot non périodique est dit primitif. 1

2 L idée fondmentle de ce cours est que l notion de mot permet de représenter le principe de succession d événements dns une séquence musicle, d où son intérêt pour l modélistion en informtique musicle. 1.2 Lngges Les sous-ensemles de Σ * sont ppelés des lngges (c est-à-dire des ensemles de mots, ou de séquences musicles dns le contexte de l informtique musicle). Opértions sur les lngges : opértions clssiques sur les ensemles : union, intersection, différence \, complémentire, opértions héritées de l concténtion : L concténtion de deux lngges est définie pr : L 1 L 2 = {uv, u L 1 et v L 2 }. Exemple : L 1 = {, }, L 2 = {c, c}, L 1 L 2 = {c, c, c}. L puissnce d un lngge L est définie inductivement : L 0 = {ε}, L n+1 = L n L. L étoile d un lngge L, notée L *, est : L * = {ε} L L 2 L n Ce lngge contient un nomre infini de mots, qui sont les répétitions indéfinies de mots de L. Exemple : L = {, }, L * est l ensemle de tous les mots tels que n est ps fcteur, et n est ps suffixe. On note églement L + le lngge : L + = L L 2 L n 1.3 Monoïdes Un monoïde est un ensemle muni d une opértion ssocitive, possédnt un élément neutre 1. 2

3 Un sous-monoïde est un sous-ensemle fermé pour l opértion et contennt l élément neutre. L ensemle Σ * des mots sur l lphet Σ est un monoïde pour l concténtion, dont l élément neutre est le mot vide ε. Ce monoïde est engendré pr l ensemle de ses lettres, c est-à-dire l lphet Σ. Soient deux mots u = u 1 u n et v = v 1 v m. L églité u = v équivut à l églité de toutes les lettres de u et v une à une, c est-à-dire u i = v i pour tout i n = m. Pour cette rison, on dit que Σ * est le monoïde lire sur Σ. Remrque : Cette notion de «lierté» est similire à celle des espces vectoriels lorsqu on dit qu une fmille de vecteurs est lire si l églité de deux cominisons linéires de ces vecteurs implique l églité de chcun de leurs coefficients. Un sous-monoïde de Σ * est-il toujours «lire» pr rpport à l ensemle qui l engendre? -> Non. Exemple : le sous-monoïde engendré pr C = {,, c, c} n est ps lire sur C : ()(c) = ()(c) On dit qu un sous-monoïde est lire s il existe un ensemle générteur pr rpport uquel il est lire. Exemple : le sous-monoïde engendré pr C = {, cd, cd} n est ps lire pr rpport à C cr ()(cd) = cd, mis il l est ps rpport à C' = {, cd}. Un code est une prtie C de Σ * qui engendre un sous-monoïde de Σ * lire pr rpport à C. Tout élément du sous-monoïde s écrit d une mnière unique comme suite d éléments de C. Cel signifie qu on peut «décoder» les éléments de C *. L ensemle Σ n des mots de longueur n est un code, en prticulier l lphet Σ est un code (longueur 1). Attention : Le code morse n est ps un code dns le sens ci-dessus. 3

4 On E =, T =, et N =, donc on N = TE. Le décodge en morse se fit grâce à l présence de séprteurs entre les lettres. Représenttion des rythmes pr des ttques (1) et des silences (0) : L ensemle C = 1{0} * des mots commençnt pr 1 suivi d une suite de 0 est un code. Quel est le sous-monoïde lire engendré pr C dns Σ * vec l lphet Σ = {0, 1}? = ensemle des mots soit vide, soit commençnt pr 1 Exemple : décodge de ? = (10000)(100)(1)(1)(10)(1) Remrque : cette représenttion ne prend ps en compte les syncopes Un morphisme de monoïde est une ppliction ϕ telle que ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) et ϕ(1) = 1. Toute ppliction d un lphet Σ dns un monoïde quelconque se prolonge dns Σ * en un unique morphisme de monoïdes. Il en résulte que pour définir un morphisme sur Σ *, il suffit de définir l imge de toutes ses lettres (de l même mnière dns un espce vectoriel, on définit un morphisme en donnnt l imge de tous les vecteurs de l se). Représenttion des rythmes pr des durées : L ppliction qui tout élément du code C = 1{0} * ssocie s longueur se prolonge en un isomorphisme de C * dns le monoïde lire sur l lphet (infini) N privé de 0 : ϕ( ) =

5 2. Notion d utomte fini 2.1 Définition des utomtes finis déterministes (AFD) Définition. Un utomte fini déterministe AFD sur un lphet Σ est l donnée d un n- uplet (Q, δ, i, F) où : Q est un ensemle fini d étts, δ est une fonction de trnsition de Q Σ dns Q, i est un étt prticulier de Q dit initil, F est une prtie de Q d étts dits finls. L utomte est dit complet lorsque l fonction δ est prtout définie sur Q Σ. Exemple : 1 2 Q = {1, 2}, i = 1, étt noté vec une petite flèche entrnte, F = {2}, étt noté vec deux cercles. δ : Q Σ Q (1, ) 2 (1, ) 1 (2, ) 1 Cet utomte est-il complet? -> non, cr δ(2, ) n est ps défini. Pour décrire un utomte, il est commode d utiliser une tle de trnsitions :

6 2.2 Lngge reconnu pr un AFD Le clcul de l utomte consiste à suivre des flèches, en prtnt de l étt initil et en s rrêtnt dns un étt finl. Le mot correspondnt à ce clcul est l suite des étiquettes des flèches. Définition. Le lngge reconnu (ou ccepté) pr un utomte AFD est l ensemle des mots qui correspondent à un clcul de l utomte prtnt d un étt initil et s rrêtnt dns un étt finl. Exemples : - distriuteur de cfé : les pièces introduites sont les symoles de l lphet, l étt terminl est tteint qund le montnt est supérieur u montnt demndé, - mécnisme contrôlnt le code d ccès d une porte : les chiffres tpés sont les symoles, l étt terminl est celui qui déclenche l ouverture, Les utomtes finis sont les modèles de mchine les plus simples : ils n ont ucun support de mémoire externe (comme l pile d un utomte à pile). Leur mémoire est donc finie (espce constnt), et correspond à leur nomre d étts. Pr exemple, dns l utomte ci-dessus, l étt 1 permet de se souvenir qu il fut lire un pour sortir. 2.3 Clôture pr complément des lngges reconnus pr AFD Propriété. Si L est un lngge reconnu pr AFD, lors son complémentire Σ * \L l est ussi. Exemple : L est l ensemle des mots comportnt une suite de suivie éventuellement d une suite de, soit L = { i j, i, j N}, Σ * \L = {w Σ *, est fcteur de w} 1 2 On complète l utomte : 6

7 1 2 3, Puis on intervertit les étts finls : 1 2 3, Construction : Si A = (Q, δ, i, F) est un AFD complet qui reconnît L, lors A = (Q, δ, i, Q\F) reconnît Σ * \L. 3. Générlistion ux utomtes finis non déterministes (AFN) 3.1 Définition des AFN, équivlence vec les AFD et lngges réguliers Définition. Un utomte fini non déterministe AFN sur un lphet Σ est l donnée d un n-uplet (Q, δ, I, F) où : Q est un ensemle fini d étts, δ est une fonction de trnsition de Q Σ dns P(Q), ensemle des prties de Q, I est une prtie de Q d étts dits initiux, F est une prtie de Q d étts dits finls. Un mot u est ccepté pr un AFN s il existe un chemin d étiquette u, prtnt de l un des étts initiux, et rrivnt à l un des étts finls. Un AFN est un utomte dns lequel d un étt peuvent prtir plusieurs flèches vec l même étiquette. Ainsi, les AFD pprissent comme des cs prticuliers d AFN vec pour chque étt une seule flèche pour chque étiquette : Crd(δ(q, )) 1 pour tous q Q, Σ. Il en résulte que tout lngge reconnu pr un AFD est reconnu pr un AFN. 7

8 Plus surprennt, on l réciproque, c est-à-dire que les AFD et les AFN reconnissent exctement les mêmes lngges. Théorème (Rin-Scott). Tout lngge reconnu pr un AFN peut être reconnu pr un AFD. L déterministion d un AFN est l construction de l AFD correspondnt. Elle se fit en prennt comme étts de l AFD les ensemles d étts de l AFN, c est-à-dire P(Q). Définition. On ppelle lngge régulier tout lngge de Σ* reconnu (ou ccepté) pr un utomte fini, qu il soit AFD ou AFN. 3.2 Clôture pr union des lngges reconnus pr AFN S il y équivlence des lngges reconnus pr AFD et AFN, quel est l intérêt des AFN? -> Ils peuvent fciliter certines constructions Construction d un AFN pour l union de deux lngges réguliers : Si A 1 = (Q 1, δ 1, I 1, F 1 ) et A 2 = (Q 2, δ 2, I 2, F 2 ) sont des AFN disjoints reconnissnt L 1 et L 2, lors A = (Q 1 Q 2, δ 1 δ 2, I 1 I 2, F 1 F 2 ) est un AFN reconnissnt L 1 L 2. Pourquoi l utomte union A n est ps un AFD? -> Il n ps un seul étt initil 3.3 Construction dʼun AFN pour lʼensemle Σ * x des mots se terminnt pr x L écorché d un mot x de longueur n est l AFD de n + 1 étts vec n flèches correspondnt ux lettres successives du mot. Pour reconnître Σ * x, il suffit d jouter une oucle sur l étt initil vec toutes les lettres de l lphet. Exemple : x = c,, c c > On otient un AFN : il y deux flèches vec prtnt de l étt initil. 8

9 Appliction à l recherche d un motif x dns un texte t : on déterminise l AFN pour otenir un AFD reconnissnt Σ * x on lit le texte t dns cet utomte. Que se psse-t-il si on rrive à l étt terminl? -> On trouvé le motif x dns le texte t. Algorithme de Morris & Prtt : clcul direct de l AFD pour Σ * x, sns psser pr l déterministion de l AFN. On utilise une fonction d échec définie sur les étts p de l écorché de x. Soit w le mot lu de l étt 0 à l étt p : f(p) = étt d rrivée du plus long suffixe propre de w qui est ussi préfixe de w (donc de x) Exemple : Fonction d échec pour l écorché de x = c : Étt p f(p) On joute de nouvelles trnsitions dns l écorché de x de l mnière suivnte : pour toute lettre telle que δ(p, ) non défini, on pose δ(p, ) = δ(f(p), ) si p 0, δ(0, ) = 0., c c c, c c Exemple : Rechercher le motif x = c dns le texte t = cc c c motif trouvé!!! Références 9

10 ouvrges et rticles générux Lothire M., Comintorics on Words, Encyclopedi of Mthemtics, Vol. 17, Addison- Wesley, 1983 (réédité Cmridge University Press, 1997) (ilio). Berstel Jen, Trnsductions nd context-free lnguges, Teuner, 1979 (ilio). Berstel Jen, Automtes et grmmires, Cours de Licence d informtique, Université de Mrne-l-vllée, (ilio). Chemillier M., Structure et méthode lgériques en informtique musicle, Thèse Université Pris 7, LITP,