Activité 2. Cheminer dans un graphe (chaînes, cycles, etc..)

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1 TERMINALE ES Spécialité Mathématiques La théorie des graphes Activité Cheminer dans un graphe (chaînes, cycles, etc..). Vocabulaire Un graphe est dit simple s il est sans boucle (une boucle est une arête qui a même origine et extrémité) et si deux sommets sont reliés par au plus une arête. Exemples de graphes qui ne sont pas simples.. Un exemple avec un graphe simple Le graphe suivant représente villes A, B, C, D, E, F d un pays et les arêtes représentent des liaisons aériennes existantes. Pour aller de E à A il y a plusieurs chemins (on dira chaînes en langage des graphes). C B Par exemple : la chaîne (E, B, A) est de longueur car il y a deux arêtes. Donner une chaîne de longueur reliant E à A, puis une chaîne reliant E à A de longueur supérieure à. D E F A Déterminer deux chaînes reliant D et A et indiquer la longueur de chacune.. Un exemple avec un graphe qui n est pas simple F F F F F F Dans ce cas on ne peut pas décrire une chaîne par une suite de sommets puisqu il peut y avoir ambiguïté sur l arête choisie. On est donc obligé d indiquer l arête choisie en décrivant une chaîne par une succession de sommets et d arêtes Par exemple la chaîne ( ; F ; ; F ; ) est différente de ( ; F7 ; ; F ; ). F7 Graphes activité /

2 Vocabulaire Dans un graphe simple, on appelle chaîne une suite de sommets ( s ; s ; ; sn ) telle que deux sommets consécutifs soient adjacents. Dans un graphe quelconque, une chaîne est une suite ( s ; a ; s ; a ; s ; ; a n ; s n ) débutant et finissant par un sommet, alternant sommets et arêtes. Les sommets encadrant une arête sont ses extrémités. La longueur d une chaîne est le nombre d arêtes de la chaîne. On appelle distance entre deux sommets la plus petite longueur de toutes les chaînes qui relient ces sommets. On appelle diamètre d un graphe la plus grande des distances entre deux points quelconques du graphe. Exercice Considérons le graphe ci-contre. A. Existe-t-il une chaîne de longueur entre les sommets A et B? En existe-t-il une de longueur? De longueur? De longueur?. Quelle est la distance entre les sommets A et D? Entre les sommets A et E? Entre les sommets B et C? F B C. Quel est le diamètre de ce graphe? E D Exercice Déterminer le diamètre des graphes ci-dessous.. La notion de chaîne eulérienne. Le problème des ponts de Königsberg Les habitants de Königsberg (actuellement Kaliningrad, région de la Russie frontalière de la Pologne et de la Lituanie) aimaient se promener le dimanche. La ville de Königsberg comprenait sept ponts, disposés selon le schéma ci-dessous. Le souhait des habitants de Königsberg était de faire un trajet passant une fois et une seule par chaque pont. Comment faire? Dessiner un graphe ayant pour sommets les quatre quartiers a, b, et d, une arête représentant un pont. En raisonnant un peu, il est possible répondre au problème posé. Graphes activité / c

3 Peut- on dessi ner s ans l ever le crayon et en ne passant qu'une s eul e fois s ur c haque ar^ete l es graphes ci des sous? Vocabulaire On appelle chaîne eulérienne une chaîne qui contient, une fois et une seule, chaque arête du graphe. Un cycle eulérien est une chaîne eulérienne dont les extrémités sont confondues. Peut-on dessiner sans lever le crayon et en ne passant qu'une seule fois sur chaque arête les graphes ci dessous? Existe-t-il un cycle eulérien dans chacun de ces graphes?. Théorème d Euler Le problème est de déterminer si un graphe possède ou non une chaîne eulérienne ou bien un cycle eulérien. a) Pour cela on introduit la notion de graphe connexe Vocabulaire Un graphe est connexe si et seulement si chaque paire de sommets peut être relié par une chaîne. Les graphes suivants sont-ils connexes? b) Quelques questions Un graphe peut-il avoir un seul sommet de degré impair? Un graphe connexe ayant plus de deux sommets de degré impair peut-il posséder une chaîne eulérienne? Soit un graphe connexe admettant une chaîne eulérienne d extrémités a et b que l on supposera distincts. Que dire du degré des sommets autres que a et b? Que dire des degrés de a et b? Soit un graphe connexe admettant un cycle eulérien d extrémité a. Que dire du degré des sommets autres que a? Que dire du degré de a? Graphes activité /

4 c) Un théorème d Euler (la condition nécessaire a été démontrée ; on admettra la réciproque) Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne qui n est pas un cycle si et seulement si il possède exactement deux sommets de degré impair. Les sommets de degré impairs sont donc les extrémités de la chaîne eulérienne. d) Soit un graphe connexe n ayant que des sommets de degré pair. Montrer qu il existe un cycle eulérien. (indication : on peut enlever une arête) d où la conséquence importante : Un grh Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair. Exercice Reprendre le problème des ponts de Königsberg avec les ponts de Paris. Si on supprime le pont n 0 (Pont St Louis), le pro blème reste-t-il possible? Rive droite Ile de la cité 7 0 Ile St Louis 8 9 Rive gauche Exercice Cinq pays, figurés par les rectangles P, P, P, P, P sont représentés, sur la figure, avec leurs frontières. Est-il possible de partir de l un des pays et d y revenir en franchissant chaque frontière une fois et une seule? Est-il possible de voyager en franchissant chaque frontière représentée sur la figure une fois et une seule? P P P P P Graphes activité /

5 Exercice : Problème de déneigement Voici le plan d une station de ski avec les rues à déneiger. Un seul passage suffit à déneiger une rue. ) Peut-on déneiger la station en parcourant les r ues une fois et une seule? ) Il faut 0 minutes pour déneiger une rue et m inutes pour la parcourir si elle est déneigée. Le chasse-neige est stationné en et doit y retourner une fois le travail fait. Déterminer le temps minimum de déneigement de l ensemble et proposer un parcours correspondant. Exercice On reprend le problème avec une autre station. Il faut 0 minutes pour déneiger une rue et minutes pour la parcourir si elle est déneigée. 7 8 ) Dans cette question, il n y a pas de conditions pour le stationnement du chasse-neige. a) Peut-on déneiger la station en parcourant les rues une fois et une seule? b) Proposer un parcours qui minimise le temps de travail. ) On décide de construire un garage en et on im pose que le chasse-neige y stationne quand il n est pas utilisé. Proposer un parcours qui minimise le temps de travail. Graphes activité /