CHAPITRE 2 APPLICATION AU CHOIX DE PORTEFEUILLE FINANCIER

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1 CHAPITRE 2 APPLICATION AU CHOIX DE PORTEFEUILLE FINANCIER

2 OBJECTIF Décision d'investissement? Comment un individu décide-t-il d'allouer sa richesse entre différents actifs (maison, actions, obligations, voiture, etc ) et dettes (crédit à la consommation, emprunt étudiant, crédit immobilier )? Il n'y a pas une stratégie unique, chaque individu ayant des préférences ; en revanche, il existe des principes généraux: Toute stratégie d'investissement repose sur un arbitrage entre la rentabilité et le risque. On parle de couple risque-rentabilité.

3 DANS CE COURS Choix de portefeuille financier Comment un investisseur choisit-il d'allouer sa richesse entre plusieurs titres financiers? Quels sont les éléments qui vont influer sur ce choix? Existe-t-il une stratégie d'investissement optimale identique pour tous? Un portefeuille financier = une combinaison d actifs

4 ACTIF FINANCIER Actif financier = Produit, titre, qui procure à son détenteur 1 flux de revenu (rendement) + ou certain selon la nature du produit: Obligation = titre dette qui procure un rendement en général certain (taux d intérêt) Action = titre de propriété qui procure un rendement aléatoire (dividende)...et beaucoup d autres.

5 ACTIF FINANCIER On peut ainsi distinguer: Placements sans risque = rendement en général limité mais certain. Placements risqués = rendement (espéré) plus élevé mais aléatoire.

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7 RENTABILITÉ & RISQUE Ce qui intéresse l investisseur, c est d avoir une idée du taux de rendement & risque futur de son placement! Les taux de rendement peuvent être considérés comme des variables aléatoires auxquelles sont rattachées des distributions de probabilité. On suppose en général qu elles suivent une Loi Normale. (implication du Théorème Central Limite: la distribution des probas de VA iid tend vers la loi normale). Bien évidemment, on s est empressé de voir si cette hypothèse était vérifiée empiriquement (Fama 1976).

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9 Le cadre d'analyse «Espérance-Variance» Mesure de la rentabilité des titres financiers : À partir de données historiques sur les rendements d'un titre, on peut calculer le taux de rendement moyen Mesure de la volatilité des rendements: Les taux de rendement peuvent prendre des valeurs très différentes, + ou éloignées de la moyenne. Mesure de l «écart à la moyenne» = écart-type. Lorsque l on s intéresse à plus d un actif, la notion de variance ne suffit plus, il faut pouvoir apprécier la façon dont un titre évolue avec le reste des actifs du marché = coefficient de corrélation

10 Malgré tout... Le cadre d analyse «espérance-variance» reste d une pertinence redoutable car il permet de formaliser la prise de décision. Il permet a) de formaliser et d intégrer les attentes et les contraintes d un investisseur b) de disposer de mesures des risques et de la performance d'un portefeuille c) d incarner certaines stratégies réelle d investissement d) d exploiter l information disponible de manière cohérente e) de mettre rapidement à jour les «positions» pour tenir compte des informations nouvelles. (cf doc Frank Moraux -Chapitre1Synthex.pdf)

11 PLAN Nous allons mener l analyse en 3 temps: Section 1: Comment constituer un portefeuille composé uniquement d 1 actif sans risque et d 1 actif risqué Section 2: Comment constituer un pf avec plusieurs actifs risqués (mais pas d actif sans risque)? Section 3: Le cas général = 1 actif sans risque + plusieurs actifs risqués.

12 S1-1 actif risqué + 1 actif sans risque Nous allons dans un premier temps considérer qu il n existe que 2 types de placements possibles: 1 actif risqué dont le rendement est aléatoire ( noté ) 1 actif sans risque dont le rendement (noté i ) est certain. ~ x

13 1.1 Cadre théorique Un pf est composé des deux titres dans les proportions α : % investi dans AR et (1-α) : % investi dans ASR ASR AR Rend.espéré Ecart-type Portefeuille : P = α AR + (1 α ) ASR

14 1.2 Illustration ASR AR Rend.espéré 6% 12% Ecart-type 0% 20% Par exemple, le pf A composé à 40% d'actif risqué:

15 1.2. Illustration Il y a une infinité de «combinaisons» possibles: il est possible de construire une infinité de portefeuilles différents, composés des 2 actifs dans des proportions. α=0% (B) α=10% (C) α=20% (D) α=40% (A) α=80% (E) α=100% (F) E(r P ) 6% 6,6% 7,2% 8,4% 10,8% 12% σ P 0% 2% 4% 8% 16% 20% Rentabilité espérée et risque se combinent linéairement

16 1.3 La droite risque-rentabilité E( r P ) r~ x i σ~ x

17 1.4. Le ratio de Sharpe Est la pente de la Droite Risque-Rentabilité: Dans notre exemple

18 1.5. Choix de portefeuille optimal? Investisseur A/R: A niveau de risque donné, il cherchera à maximiser l'espérance de rentabilité de son pf A rendement donné, il cherchera à minimiser le risque du pf.

19 1.5. Choix de pf optimal: le modèle de Markowitz Critère de choix = forme simple de Markowitz. L investisseur ne tient compte que de l espérance de rendement du portefeuille et de son risque: 2 V ( P) = E( r P ) kσ P Avec k = coefficient d'aversion face au risque, k >0. Un agent dont les préférences peuvent être représentées par ce critère de choix va donc choisir α solution de : maxv ( P) = E( r P ) kσ α 2 P

20 1.5. Résolution du programme maxv ( P) α = i + α ~ ( ) ( ) 2 2 E x i kα σ~ x

21 Illustration (suite) Mr Alami, a des préférences de type Markowitz: 2 E( r P ) 2σ ( r P ) ASR AR Rend.espéré 6% 12% Ecart-type 0% 20% Proportion d'actif risqué optimale? Portefeuille optimal?

22 S2-2 actifs risqués + 0 actif sans risque Nous supposons à présent que l investisseur n a le choix qu entre 2 actifs risqués ( il n y a pas de placement sans risque possible). Cela va nous permettre de mettre en avant le principe de diversification d un portefeuille. Nous supposons que ces 2 actifs peuvent être corrélés.

23 CORRELATION

24 2.1. Illustration Actif 1 (BEL) Actif 2 (Schneider) Rend.espéré 4% 13% Ecart-type 10% 17% Question: Un investisseur A/R a-t-il intérêt à tout investir dans un seul actif risqué, ou bien dans les 2?

25 2.2. Le principe de diversification Rendement et Risque d un portefeuille Dans le cas où il n y a que deux actifs, un portefeuille P sera composé des actifs 1 et 2, dans des proportions α 1 et α 2 (%). Chaque actif offre un taux de rendement aléatoire r 1 et r 2, et le risque propre à ces actifs est mesuré par leur variance ou écart-type σ 1 et σ 2. Espérance de rentabilité d un portefeuille? Risque?

26 2.2. Le principe de diversification Comme 1 ρ 1 σ P α 1 σ 1 +α 2 σ 2

27 Illustration (suite) ρ= 0,3. Supposons par exemple que les actions Bel et Schneider sont corrélées positivement et que ρ= 0,3. α 2 E (r P ) σ P 0 4% 10% 0,125 5,1% 9,6% 0,25 6,3% 9,7% Quelques pfs en fonction de la proportion d'actif 2 α 2 (Schneider) dans le pf 0,33 7% 10% 0,50 8,5% 11,1% 0,75 10,8% 13,7% 1 13% 17%

28 Corrélation & réduction de la volatilité du pf

29 2.3 Risque de marché et risque spécifique Il n est pas possible d éliminer totalement le risque par la diversification car la corrélation entre les actifs n est jamais parfaitement négative. Risque non diversifiable = risque de marché ( risque systématique) Risque diversifiable = risque propre à l actif ( risque spécifique).

30 2.4. La frontière des portefeuilles efficients Illustration α 2 E (r P ) σ P Certains portefeuilles proposent des rendements différents pour le même niveau de risque. 0 4% 10% 0,125 5,1% 9,6% 0,25 6,3% 9,7% 0,33 7% 10% 0,50 8,5% 11,1% 0,75 10,8% 13,7% 1 13% 17%

31 2.4. La frontière des portefeuilles efficients

32 2.4. La frontière des portefeuilles efficients RMQ On peut montrer algébriquement que la frontière de l'ensemble des portefeuilles est une branche d'hyperbole d'équation : a = pente de la branche asymptotique (constante), et dont la valeur dépend des caractéristiques des rentabilités des titres existant, leurs moyennes, variances, covariances) et E(r Pmin ) sont les caractéristiques du portefeuille de variance minimale. σ 2 min σ P 2 =σ Pmin 2 + ( E (r P) E (r Pmin )) 2 a 32

33 2.5. La composition optimale d un portefeuille Parmi tous les portefeuilles appartenant à la frontière efficiente, l investisseur choisira celui qui lui procure l espérance d utilité maximale. Ainsi le raisonnement se fait en 2 étapes: 1) Indépendamment des préférences de l'agent, il faut d abord déterminer la frontière des portefeuilles efficients : c est donc la même pour tous les investisseurs! 2) Puis, compte tenu des préférences de l'agent (et donc de son degré + ou élevé d aversion pour le risque ), déterminer celui qui est préféré par l investisseur.

34 2.6. Exemple Un investisseur dispose de w0 = 20 (millions d ) à placer entre 2 actifs risqués. Sa fonction d utilité est donnée par u( w) = 100 w 400 w 2 Compte tenu des actifs qui composent le portefeuille, on a pu calculer l ensemble des portefeuilles efficients: ce sont ceux qui présentent une espérance de rendement et un risque tels que: σ 2 9E 2 ( r ) E( r ) + P = P P 0,0425.

35 S3- Généralisation: 1 actif sans risque + 2 actifs risqués. Nous pouvons à présent généraliser l analyse à plusieurs actifs risqués + un actif sans risque ( Sharpe (1964) & Lintner (1965) ) Le raisonnement se complique un peu. 35

36 3.1 Principe Une manière de présenter ce choix de portefeuille consiste à se le représenter en deux étapes : 1- on détermine d abord la part du portefeuille que l on désire investir en actif sans risque et celle qui sera investie dans un portefeuille d'actifs risqués P. 2- puis on détermine le portefeuille d actifs risqués P* que l on désire obtenir. THEOREME DE SEPARATION A DEUX FONDS 36

37 3.2 Rendement et risque du portefeuille «global» Avec 2 actifs risqués + 1 actif sans risque, l'espérance de rendement d'un portefeuille est : Et l'écart-type: 37

38 1- Détermination du portefeuille d actifs risqués optimal P*. De façon à maximiser l'espérance de rendement du portefeuille, à niveau de risque constant, il faut déterminer le portefeuille P qui permet de construire la DRR dont la pente est la plus élevée possible, compte tenu de la contrainte de réalisation du portefeuille (celui-ci doit appartenir à la FPE, i.e l'ensemble des portefeuilles d'actifs risqués réalisables & efficaces). 38

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40 2- Portefeuille global et préférences Les préférences de l'investisseur ne déterminent que le pourcentage qui sera investi dans l'actif sans risque vs le portefeuille d'actifs risqués. Des investisseurs présentant une forte aversion/risque investiront peu dans le portefeuille de marché Des investisseurs présentant une faible aversion/risque investiront une part importante dans le portefeuille de marché 40

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42 CONCLUSION Ce «théorème de séparation en deux fonds» dû à (Markowitz et Tobin 1958) est très important en pratique car il est à l origine, et justifie, l existence des fonds mutuels (SICAV et FCP) : Deux fonds quelconques mais bien gérés (dont l un est investi intégralement dans des actifs sans risque et l autre dans des actifs risqués très bien diversifiés) suffisent à satisfaire les exigences de tous les investisseurs ayant le même horizon d investissement 42

43 CONCLUSION Ces derniers se contentent de les combiner selon des poids qui dépendent de leurs richesses et aversion face risque. L économie réalisée en pratique par les investisseurs sur leurs coûts de transaction (frais d achat et de ventes de titres) et d information peut ainsi être considérable (il suffit d acheter des parts de deux fonds mutuels bien choisis). Cette économie permet de rationaliser le rôle de l industrie de la gestion déléguée de portefeuille 43

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