La fonction logarithme népérien

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1 La fonction logarithme népérien Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières La fonction logarithme népérien 2. Définition Courbe représentative Sens de variation Application Propriétés algébriques Étude de la fonction ln 4 2. Dérivée de la fonction ln Limites Courbe représentative Des ites importantes Dérivée de ln u, où u est une fonction Primitives de u u, où u est une fonction Table des figures Fonctions réciproques : ln et exp Courbe représentative de la fonction ln Liste des tableaux Tableau de variations de la fonction ln Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA

2 LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN La fonction logarithme népérien. Définition Courbe représentative Propriété : Pour tout x > 0, l équation e t = x (d inconnue t) admet une unique solution. Cette solution est appelée logarithme népérien de x et est notée ln x. La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R. De plus, t e t = 0 et t + e t = +. Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires : Pour tout x ]0 ; + [, il existe une unique solution à l équation e t = x. Exemples :. Comme e 0 =, ln = Comme e = e, ln e =. Définition : La fonction logarithme népérien est la fonction définie sur ]0 ; + [ qui, à tout x > 0 associe ln x, c est-à-dire l unique réel dont l exponentielle est x. Théorème : Pour tout x > 0 et tout y R : y = ln x x = e y Si y = ln x, alors, par définition, y est l unique réel dont l exponentielle est x, d où : e y = x. Réciproquement, si x = e y, ln x = ln (e y ), c est donc l unique réel dont l exponentielle est e y. Cet unique réel ne peut être que y. On a donc : ln x = y. Remarques :. En particulier, on a montré que : Pour tout x R, ln (e x ) = x. Pour tout x > 0, e ln x = x. 2. On dit que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont des fonctions réciproques. Leurs courbes sont alors symétriques par rapport à la droite d équation y = x (voir figure ). Exercices : 45 page 55 44, 46 page 55 2 [TransMath].2 Sens de variation Application Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; + [. Soient a et b deux réels strictement positifs, avec a < b. Comme a = e ln a et b = e ln b, on a : e ln a < e ln b et, par suite, ln a < ln b. La fonction logarithme népérien est donc strictement croissante sur ]0 ; + [.. Ensembles de définition. 2. Simplification d écriture. 2

3 LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN.2 Sens de variation Application Figure Fonctions réciproques : ln et exp Conséquences :. Pour tout a > 0 et tout b > 0 : ln a = ln b équivaut à a = b. ln a < ln b équivaut à a < b. 2. Pour tout x > 0 : ln x > 0 équivaut à x >. ln x < 0 équivaut à 0 <x <. ln x = 0 équivaut à x =. Remarque : La première partie de cette propriété permet de résoudre des équations ou inéquations comportant des logarithmes. La deuxième partie donne le signe de ln x. Exemples : Résolution d équations et d inéquations. Résoudre l équation ln (5 2x) = : Il faut que 5 2x > 0, c est-à-dire x < 5 2. Cette équation équivaut à ln (5 2x) = ln e. On en déduit que 5 2x = e, c est-à-dire x = 5 e Cette valeur est bien dans l intervalle ] ; 5 2[ donc S = { 5 e 2 2. Résoudre l inéquation ln (5 2x) < : Il faut que 5 2x > 0, c est-à-dire x < 5 2. Cette équation équivaut à ln (5 2x) < ln e. On en déduit que 5 2x < e, c est-à-dire x > 5 e Comme de plus on doit avoir x ] ; 5 2[, on a S = ] 5 e 2 ; 5 2[. 3. Résoudre l équation e x+2 = 5 : Cette équation équivaut à x + 2 = ln 5, c est-à-dire x = 2 + ln 5. On a donc S = { 2 + ln 5}. Exercices : 5, 7, 8 page 46 et 47, 48, 49, 50, 5, 52, 57, 58 page 55 3 [TransMath] 3. Équations et inéquations comportant logarithmes et/ou exponentielles. }

4 .3 Propriétés algébriques 2 ÉTUDE DE LA FONCTION LN.3 Propriétés algébriques du logarithme népérien Théorème : Propriété fondamentale Pour tous réels a > 0 et b > 0, on a : ln (ab) = ln a + ln b e ln(ab) = ab et e ln a+ln b = e ln a e ln b = ab. On a donc e ln(ab) = e ln a+ln b et, donc, ln ab = ln a + ln b. Théorème 2 : Soient a, b deux réels strictement positifs et n un entier relatif.. ln ( a) = ln a 2. ln ( a b ) = ln a ln b 3. ln (a n ) = n ln a 4. ln a = 2 ln a. D après le théorème : ln ( a a) = ln a + ln a. De plus, ln ( a a) = ln = 0 donc ln a + ln a = 0 d où ln a = ln a. 2. D après le théorème : ln a b = ln ( ) a b = ln a + ln b = ln a ln b. 3. Le résultat se montre aisément par récurrence pour n 0. Pour n < [ 0, il suffit d utiliser le résultat du 2. pour conclure. 4. ln ( a) 2] = ln a et, d après 3.,ln ln a = 2 ln a. [ ( a) 2] = 2 ln a. On obtient donc 2 ln a = ln a, soit Remarque : Ce théorème est souvent utilisé pour simplifier des expressions ou pour résoudre des équations ou inéquations (voir exercices). La partie 3. du théorème 2 peut aussi être utilisée pour des suites géométriques. Exercice : Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = et de raison q = 4 5. A partir de quel indice n a-t-on u n 0 3? On a u n = u 0 q n = ( 4 n. ( 5) On doit donc résoudre l inéquation 4 n 5) 0 3. Comme tous les nombres sont strictement positifs, cette équation est équivalente à ln ( 4 n 5) ln 0 3, c est-àdire : n ln ln 0. Comme de plus 4 5 <, ln 4 3 ln 0 5 < 0 donc on obtient n. ln ln 0 A la calculatrice, on trouve que 30, 96 donc, le plus petit indice est n = 3. ln 4 5 Exercices :, 2, 3,,4 page 43 et 53 page , 56 page , 6, 7 page , 2 page 47 ; 3 page 50 et 54 page , 79, 80 page 59 8 [TransMath] 2 Étude de la fonction ln 2. Dérivée de la fonction ln Propriété (admise) : La fonction ln est continue sur ]0 ; + [. 4. Simplification d expressions. 5. Résolutions d équations et d inéquations. 6. Positions relatives de courbes. 7. Application aux suites géométriques. 8. Fonction ln et suites. 4

5 2 ÉTUDE DE LA FONCTION LN 2.2 Limites Courbe représentative Théorème : La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + [ et, pour tout x > 0 : ln (x) = x Soit a > 0 et x > 0. ln x ln a Le taux d accroissement de la fonction ln en a est t (x) = x a. On pose X = ln x et b = ln a. On a : x = e ln x = e X et a = e ln a = e b. Par suite, t (x) = e X b X e. Il faut maintenant déterminer b x a t (x). Comme la fonction ln est continue en a : x a X = x a ln x = ln a = b. De plus, comme la fonction exponentielle est dérivable en b, on a : e X e b X b X b = exp (b) = e b = a et, par suite : x a t (x) = a. La fonction ln est donc dérivable en a et ln (a) = a. Exercices : 65 page 56 et 67 page page 57 0, 2 page 45 ; 32 page 50 et 90 page 63 77, 78 page 59 et 02 page 65 2 page 200 ; 5 page 202 ; 6 page 27 ; 2, 26 page 204 ; 29 page 205 ; 85 page 28 ; 07 page 22 ; 3 page 22 3 [TransMath] 2.2 Limites Courbe représentative Propriété : x + ln x = + et ln x = x 0 + Il s agit de montrer que, pour tout M > 0, il existe x 0 > 0 tel que, si x > x 0, ln x > M. Or ln x > M x > e M donc, en posant x 0 = e M, on obtient le résultat voulu. Par suite, x + ln x = +. Pour la ite en 0 +, on pose X = x. On a alors (voir.3) : ln x = ln x = ln X Or, x 0 + X = + et X + ln X = donc x 0 + ln x =. On peut tirer de ces résultats le tableau de variations de la fonction ln (voir tableau ) et sa courbe représentative (voir figure 2). Exercices : 59 page page 56 ; 66, 68 page 57 et 93 page page 45 et 88 page page [TransMath] 9. Étude de fonctions. 0. Détermination de fonctions.. Tangentes. 2. Fonction ln et suites. 3. Primitives, intégrales. 4. Calcul de ites. 5. Étude de fonctions. 6. Fonction ln et suites. 7. Type BAC. 5

6 2.2 Limites Courbe représentative 2 ÉTUDE DE LA FONCTION LN x 0 e + ln (x) + + e + + ln (x) 0 Table Tableau de variations de la fonction ln Figure 2 Courbe représentative de la fonction ln 6

7 2 ÉTUDE DE LA FONCTION LN 2.3 Des ites importantes 2.3 Des ites importantes Théorème : ln x x + x = 0+ et x ln x = 0 x 0 + On pose X = ln x. On a alors x = e X et ln x x = e X. X De plus, x + X = x + ln x = + et e X X + X = + donc x + ln x x = 0+. On pose ensuite X = x. On a alors x = X et x ln x = X ln ( ) X = ln X X. De plus, x 0 + X = x 0 + x = + et X + ln X X = 0+ donc x 0 + x ln x = 0. Remarque : On peut montrer de même que, pour tout n 2, x + ln x x n = 0. Théorème 2 : x ln x ln ( + x) = et = x x 0 x ln x ln x ln x = x ; c est donc le taux d accroissement de la fonction ln en. Or, la fonction ln est dérivable en donc : ln x x x = ln () = = Le deuxième résultat se trouve facilement à l aide du changement de variable X = + x. Exercices : 60, 6 page page , 23 page page 45 2 [TransMath] 2.4 Dérivée de ln u, où u est une fonction Propriété : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction f définie sur I par f (x) = ln [u (x)] est dérivable sur I et : Remarques : f (x) = u (x) u (x). C est une application directe du théorème de dérivation des fonctions composées. 2. En particulier, comme u (x) est strictement positive, f est du même signe que u. 3. On trouve des résultats analogues sur les ites en utilisant le théorème de ite de fonctions composées. Exercices : 25, 26 page page , 75 page 58 et 92 page , 94 page , 98 page 64 et 0 page page [TransMath] 8. Calcul de ites. 9. Dérivabilité d une fonction. 20. Fonction ln et suites. 2. Une autre démonstration de la ite de ln x x. 22. Étude de fonctions. 23. Détermination de fonction. 24. Vrai/Faux. 25. Type BAC. 26. Fonction ln et suites. 27. Suites et intégrales. 7

8 2.5 Primitives de u u, où u est une fonction RÉFÉRENCES 2.5 Primitives de u, où u est une fonction u Propriété : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors une primitive de la fonction f définie sur I par f (x) = u (x) u(x) est : F (x) = ln (u (x)) Remarque : Attention à ne pas oublier l hypothèse u > 0! Exemple : f (x) = x x 2 sur I = ] ; + [ f semble de la forme u u avec u (x) = x2 et u (x) = 2x. De plus, sur ] ; + [, u (x) > 0. On a donc : f (x) = 2 2x x 2 Une primitive de f sur I est donc : F (x) = 2 ln ( x 2 ) = ln x 2 Exercices : 0 page 20 et 76 page page 204 ; 83 page 28 ; 87, 88 page 29 ; 34 page , 43 page [TransMath] Références [TransMath] TransMATH Term S, programme 202 (Nathan) 2, 3, 4, 5, 7, Détermination de primitives. 29. Calcul d intégrales. 30. Plus difficiles. 8

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