6 Des triangles rectangles aux relations trigonométriques

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1 6 Des triangles rectangles aux relations trigonométriques SAÉ 11 La conception d un plan Choisir l emplacement de chaque objet sur la carte. Voici une démarche qui permet de dessiner le plan demandé. Pour réaliser cette SAÉ, fournir aux élèves les mesures ci-dessous. Note : Une fiche de travail est disponible à la page 1 des fiches reproductibles de Vision 6. Calculer les dimensions de la maison. Largeur : 5 m Profondeur : 10 m Hauteur : bords du toit : 7 m ; sommet du toit : 8,84 m Calculer les dimensions du banc. Largeur : 1 m Longueur : 1,79 m Hauteur : 1,13 m Calculer les dimensions de l arbre. Hauteur : 3 m Diamètre : 1 m Calculer les dimensions du lampadaire. Hauteur : 4,05 m Diamètre : 0,91 m Légende qui définit la hauteur de chaque élément disposé sur le plan. [0, [ m [, 4[ m [4, 6[ m SAÉ 1 Une réglementation précise Voici une démarche qui pourra guider le directeur ou la directrice de l urbanisme dans sa décision d approuver ou de refuser la construction de la maison. 35,1 m 0 G A ,9 m 71,9 m C 145 B 75 71,9 m [6, 8[ m [8, 10[ m F 150 E Choisir un rapport qui permet de produire le plan à l échelle, par exemple 1 : Vision 6 Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 304, 945 D Résoudre le triangle ABG et calculer son aire. m GAB 90 m ABG 5,11 m BGA 64,89 m BG 35,1 74,9 8,7 m 35,1 74,9 Aire ABG 1314,5 m Résoudre le triangle BCG et calculer son aire. m GBC 360 5, ,89 010, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

2 m BCG 85,11 m BC 45,6 m 8,7 71,9 sin 35 Aire BCG 1705,69 m Résoudre le triangle CDG et calculer son aire. m GCD 19,89 m CGD m CDG 5,06 m DG 130,7 m 71,9 71,9 sin 19,89 Aire CDG 1983,6 m Résoudre le triangle DEG et calculer son aire. m GDE 30 m DEG 90 m EG 65,13 m m DE 11,8 m 65,13 11,8 Aire DEG 3673,98 m Résoudre le triangle EFG et calculer son aire. m GEF 10 m EGF 40 m GF 87,76 m m EF 34,66 m 87,76 65,13 sin 0 Aire EFG 977,46 m Représentation de la situation A 70 74,9 m B 75 5,11 59,89 35,1 m 64,89 8,7 m 47,6 m G 35 5,06 85,11 C ,14 m 19,89 61,1 m 65,14 m 71,9 m 6,55 m F E 34,66 m 11,8 m Calculer l aire totale du terrain. 1314,5 1705, ,6 3673,98 977, ,89 m Calculer la superficie maximale disponible sur ce terrain pour y construire une maison. 9654, ,54 m Superficie occupée par la maison : m 65,13 m 30 5,06 304,945 D Donc, le directeur ou la directrice de l urbanisme devrait approuver la construction de cette résidence car 144 m 148,54 m. révision 6 Réactivation 1 a. 0,0067 m CG m FG m BG b. 1) m KO m NO ) m JO c. 1) m P 117 ; m J 50 ; m I 13 ) OLN 65 3) LON 5 4) OKL 50 d. 1) m DE 6,05 cm ) m EF 5,8 cm m DF m LN Page 160 3) La mesure de la surface est de 44 1,65 cm ou 4,4 m. Mise à jour Page D, C, 3 B, 4 A. a) x ,3 b) y 4,5 c) z 1,04 d) a 7 ou a) x 3,5 cm b) x 1,5 cm c) x 4,6 cm d) x 4,96 cm Mise à jour (suite) Page D, A, 3 B, 4 C 5. Seule la reproduction est à l échelle. 6. a) La somme est toujours 360. b) La somme des angles intérieurs d un quadrilatère est 360. Les angles C et D sont isométriques et droits : ils valent donc 90 chacun. Il reste alors une somme de 180 pour les deux angles restants, qui sont donc supplémentaires. c) Oui, puisque la preuve repose sur des éléments neutres et non sur un cas particulier. Mise à jour (suite) Page La somme des angles intérieurs d un quadrilatère est 360. Les angles opposés d un parallélo gramme sont isométriques. Si l un des angles vaut x et l autre, y, on a x y 360, que l on peut simplifier à x y a) 1) 54 ) 144 b) 1) 79,55 ) 169,55 c) 1) 45 ) 135 d) 1) 3,7 ) 113,7 e) 1) 0 ) 90 f) 1) Impossible. ) , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision 6 Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 41

3 9. a) 565,5 km b) 760,75 km c) 49,5 km d) 535,5 km 10. a) Mesures des côtés du triangle : 5 unités, 3,75 unités et 6,5 unités. Mesures des côtés du triangle 3 : 6,5 unités, 4,69 unités et 7,81 unités. Mesures des côtés du triangle 4 : 7,81 unités, 5,86 unités et 9,77 unités. Mesures des côtés du triangle 5 : 9,77 unités, 7,3 unités et 1,1 unités. b) 0,41 c) L aire totale est environ de 88,68 unités carrées. section 6.1 Les rapports trigonométriques Problème Page 166 La longueur du trait de coupe est environ de 1,17 cm. Activité 1 Page 167 a. Oui, car deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA). b. Triangle ABC : 0,6 m ; triangle DEF : 1,15 m ; triangle GHI :,36 m. e. 1) Triangle ABC : 0,05 ; triangle DEF : 0,05 ; triangle GHI : 0,05. ) On obtient le même résultat. 3) Dans un triangle rectangle, c est le rapport entre la mesure du côté opposé à un angle et celle du côté adjacent à ce même angle. tan 3 0,05 4) La valeur du rapport entre la mesure du côté opposé à cet angle et celle de son côté adjacent. Technomath Page 169 a. 1) Respectivement 0,75, 0,4, 0,4 et 0,34. ) Oui. b. 1) Respectivement 0,66, 0,91, 0,91 et 0,94. ) Non. Le rapport diminue, au contraire. c. 1) Le rapport tend vers 1. ) Le rapport tend vers 0. Mise au point a) sin A 0,7 Page 171 b) cos B 0,50 c) tan C 1,45 d) tan D 1,87 e) cos E 0,71 f) sin F 0,59. a) H b) H c) D ou E. d) A e) G f) B 3. Note : La figure à partir de laquelle les élèves doivent travailler est la suivante : Activité 1 (suite) c. 1) Triangle ABC : 0,05 ; triangle DEF : 0,05 ; triangle GHI : 0,05. ) On obtient le même résultat. 3) Dans un triangle rectangle, c est le rapport entre la mesure du côté opposé à un angle et celle de l hypoténuse. sin 3 0,05 4) La valeur du rapport entre la mesure du côté opposé à cet angle et celle de l hypoténuse. d. 1) Triangle ABC : 0,998 ; triangle DEF : 0,999 ; triangle GHI : 0,999. ) On obtient le même résultat. Page 168 3) Dans un triangle rectangle, c est le rapport entre la mesure du côté adjacent à un angle et celle de l hypoténuse. cos 3 0,999 4) La valeur du rapport entre la mesure du côté adjacent à cet angle et celle de l hypoténuse. 4 Vision 6 Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 40 6,45 cm L 50 1,51 cm La largeur du logo est environ de 6,1 cm. 4. La longueur du câble est environ de 11,76 m. Page a) C 34 ; m AB,9 cm ; m BC 3,40 cm b) D 57 ; m DE 5,37 cm ; m DF,9 cm c) H 30 ; m GI,5 cm ; m IH 4,33 cm d) J 0 ; m JL 4,40 cm ; m JK 4,68 cm e) N 65 ; m MN 5,68 cm ; m MO 5,15 cm f) P 45 ; m PR 3,3 cm ; m PQ 4,67 cm 010, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

4 6. a) cos A sin B b) sin B cos B c) tan A tan B 7. a) m AC 7,83 cm b) m BC 5,03 cm c) m BD 3,86 cm d) m CD 3,4 cm 8. a) Les mesures des côtés homologues de triangles semblables sont proportionnelles. b) L angle D et l angle A sont des angles homologues, donc leurs mesures sont égales. Il s agit donc de la même valeur à calculer. Page a) Le volume est environ de 90,74 cm 3. b) Le volume est environ de 8,37 m 3. c) Le volume est environ de 51,46 cm 3. d) Le volume est environ de 3,48 cm a) 1) La distance qui sépare Vénus du Soleil est environ de km. ) La distance qui sépare Vénus de la Terre est de km. b) La distance qui sépare la Terre du centre de Vénus est de ,09 km. s t sin S r s cos S r t s t 11. a) Fausse, car sin T t t ; cos T s s et t s. r s cos T r s s s b) Vraie, car tan S t ; cos S t t et t t. r s t s t s s t s c) Fausse, car r r r ; tan S t et r t. r d) Vraie, car sin R r 1. e) Vraie, car l hypoténuse est la plus grande mesure dans n importe quel triangle. Page a) La distance parcourue est environ de 6,4 m. b) La distance parcourue est environ de 6,93 m. c) La distance parcourue est environ de 17,4 m. d) La distance parcourue est environ de 49,18 m. 13. a) La distance horizontale est environ de 7, m. b) La distance verticale est environ de 1,88 m. 14. a) À 10,94 cm du plafond. b) À 13,96 cm du plafond. c) À 91,37 cm du plafond. Page La statue Mercure chevauchant Pégase s est enfoncée d environ 18,4 cm, alors que la statue Berger flûteur s est enfoncée d environ 7,17 cm. s r 16. a) La circonférence est environ de ,18 km. b) La longueur du segment est environ de 8199,57 km. Page Oui, le géologue a raison, car les hauteurs sont décroissantes. La hauteur de la chute lors de la prise de mesure 1 : 60,00 m ; la hauteur de la chute lors de la prise de mesure : 59,989 m ; la hauteur de la chute lors de la prise de mesure 3 : 59,469 m. 18. a) La distance est environ de 8,14 m. b) La distance est environ de 6,48 m. c) La distance est environ de 1,73 m. Page À 18 h 30, la distance qui sépare les deux avions est environ de 3184,6 km. 0. La distance qui sépare le Soleil de l étoile 61 Cygni est environ de 1, km. section 6. La recherche de mesures manquantes Problème Page 178 Les données ne sont pas valables, puisque les mesures des angles du triangle formé par les trois satellites étaient environ de 58,87, de 60,56 et de 60,56 : la mesure d un des angles est inférieure à 59. Activité 1 Page 179 a. 1) Le sinus de l angle de déviation de la balle vaut environ 0,0453. ) La mesure de l angle de déviation de la balle est comprise entre 1 et 1,5. 3) Oui, puisque la mesure de l angle est inférieure à,5. b. 1) Arcsin permet de calculer la mesure de l angle correspondant à un rapport sinus donné. ) La mesure de l angle est de , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision 6 Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 43

5 Activité 1 (suite) Page 180 c. 1) Le cosinus de l angle de déviation de la balle vaut environ 0, ) La mesure de l angle de déviation de la balle est comprise entre 1 et 1,5. 3) Oui, puisque la mesure de l angle est inférieure à,5. d. 1) Arccos permet de calculer la mesure de l angle correspondant à un rapport cosinus donné. ) La mesure de l angle est de 60. e. 1) La tangente de l angle de déviation de la balle vaut environ 0, ) La mesure de l angle de déviation de la balle est comprise entre,5 et 3. 3) Non, puisque la mesure de l angle est supérieure à,5. f. 1) Arctan permet de calculer la mesure de l angle correspondant à un rapport tangente donné. ) La mesure de l angle est de 45. g. 1) Triangle 1 : m A 30 ; triangle : m A 30 ; triangle 3 : m A 30. ) Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 30 est égale à la moitié de celle de l hypoténuse. Technomath Page 181 a. Ce sont tous des triangles Dans chaque triangle, le plus petit des côtés mesure la moitié de l hypoténuse. b. 1) Écran 3 Écran 4 Écran 5 Écran 6 ) Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 30 est égale à la moitié de celle de l hypoténuse. c. 1) Plusieurs réponses possibles. ) Il n y a qu une seule mesure d angle dont le sinus vaut 0,5, soit 30. d. Plusieurs réponses possibles. Mise au point 6. Page b), d) et f).. a) m A 44,96 b) m A 60,68 c) m A 30,58 d) m A 59,9 44 0,5 0,5 0,5 0,5 0,87 0,87 0,87 0,86 0,87 0,87 0,87 0,86 0,5 0,5 0,5 0,5 Vision 6 Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 3. a) m A 48,89 ; m C 41,11 ; m AB 6,11 cm b) m E 60 ; m F 30 ; m DF 17,3 cm c) m H 40,0 ; m G 49,98 ; m HI 3,8 cm d) m L 66 ; m KL 13,36 mm ; m JL 3,84 mm e) m O 30 ; m MN 4,5 cm ; m MO 7,79 cm f) m Q 76,66 ; m R 13,34 ; m PR 7,98 cm Mise au point 6. (suite) Page a) 4,07 b) 11,54 c) 30 d) 60,46 e) 70,1 f) 7,13 g) 44,77 h) 74,93 i) 40,36 j) 7,65 k) 34,99 l) a) m A 30 b) m A 45 c) m A 45 d) m A 60 e) m A 60 f) m A a) 79,61 b) 48,89 c) 64,94 d) 47,9 7. Mesure Mesure du côté du côté Mesure de Mesure de Mesure de adjacent opposé l hypoténuse l angle A l angle B à l angle A à l angle A (cm) ( ) ( ) (cm) (cm) Triangle 1 1 3, ,95 0,05 Triangle 51, Triangle 3 11,4 15,5 19,4 53,67 36,33 Triangle 4 45,76 6,4 5, Triangle 5 0,0 0,40 0, Triangle 6 34, ,5 53,13 36,87 8. L inclinaison des rayons du soleil est environ de 51, La distance qui sépare le navire de l église est environ de 1761,96 m. Mise au point 6. (suite) Page m A 45 ; m B 1,47 ; m C 10,96 ; m D 71, L angle d élévation de ce faisceau lumineux est environ de 41, La longueur totale des armatures de ce barrage est environ de 3649,89 m. 010, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

6 13. a) Pour le touriste A, l angle d élévation est environ de 85,18, alors que, pour le touriste B, il est environ de 84,3. b) Les mesures des trois angles sont respectivement de 90, environ 31,89 et environ 58,11. section 6.3 Le calcul de l aire d un triangle quelconque Mise au point 6. (suite) Page Les rampes A et B respectent cette norme de construction. 15. a) L écart est environ de 0,74 m. b) L écart est environ de 9, La longueur de la corde du pendule est environ de 18,34 cm. Mise au point 6. (suite) Page a) La distance qui sépare les deux avions est environ de 14,97 km. b) Avion A : 18,88. Avion B : 30. c) L altitude de l avion A sera d environ 1300,97 m. 18. a) La hauteur du point A sera d environ 6,8 m. b) La hauteur du point A sera d environ 0,4 m. c) La hauteur du point A sera d environ 1, m. d) La hauteur du point A sera d environ,9 m. Mise au point 6. (suite) Page a) 71,67 b) 70,53 c) 54,56 d) 65,15 0. a) La largeur du fleuve est environ de 3 km. b) La mesure de l angle de dépression est environ de 0,38. c) Les mesures des angles de dépression seraient environ de 33,0 et environ de 14,57. Mise au point 6. (suite) Page a) La mesure de l angle est environ de 57,08. b) La mesure de l angle est environ de 39,77. c) Les trois angles mesurent respectivement environ 65,84, 57,08 et 57,08.. a) La mesure de l angle est environ de 7,1. b) La mesure de l angle est environ de 7,1. c) Érathostène avait calculé une circonférence d environ ,76 km. Problème Page 190 L aire de ce territoire est environ de 01,17 km. Activité 1 Page 191 b h h a. 1) ) a b h b. S : formule de l aire d un triangle. h sin C a : définition de la relation sinus. h a sin C : expression équivalente. b a sin C S : substitution. ab sin C S : expression équivalente. 1 S ab sin C : expression équivalente. 1 1 c. 1) S bc sin A ) S ac sin B d. 1) 7,66 cm ) 7,64 cm e. 1) 9,4 cm ) 9,4 cm f. 1) Oui, mais il faut déterminer la hauteur du triangle au préalable, à l aide de la trigonométrie. ) 7,3 cm g. Il n est pas nécessaire de connaître la mesure de la hauteur pour calculer l aire du triangle. Technomath a. 1) 5 unités et 4 unités. ) La mesure de l angle est de 40. b. 1) 1,49 cm ) 10,95 cm 3) 9,94 cm Mise au point 6.3 Page a) 11,98 cm b) 9,46 cm c) 4,73 cm d) 11,04 cm e) 7,47 cm f) 5,39 cm Page 19. a) 1) L égalité est vraie. ) L égalité est fausse. 3) L égalité est vraie. b) 1) Le sinus d un angle et celui de son supplément sont égaux. ) Le cosinus d un angle et celui de son supplément sont de signes contraires. 3) La tangente d un angle et celle de son supplément sont de signes contraires. 010, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision 6 Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 45

7 Mise au point 6.3 (suite) Page La distance est environ de 49,6 m L aire de ce triangle est environ 6,56 unités. m BC m BD m AB Aire du ABC (cm) (cm) (cm) (cm ) a) 6 3,18 4,45 13,04 Mise au point 6.3 (suite) Page 199 b) c) 5 7,5,65 3,97 4,76 4,38 10,86 16,3 17. a) Le Triangle d or occupe environ 0,5 % de la superficie de la ville de Paris. b) La mesure de l angle est environ de 61, a) 3,38 cm b) 3,7 cm c) 7,76 cm d) 19, e) 6,73 f) 4,58 cm 5. a) L égalité est fausse. b) L égalité est fausse. c) L égalité est fausse. 18. a) 11,6 m b) 8,16 m c) 6,64 m d) 15,4 m e) 8,5 m 6 Rubriques particulières Mise au point 6.3 (suite) Page a) 337,43 cm b) 15,84 cm c) 14,43 cm d) 8,97 cm 7. a) 6,75 cm b) 45,11 cm c) 3,14 cm 8. La mesure de l angle A est environ de 11,8. 9. a) 61,8 m b) 43,81 m Mise au point 6.3 (suite) Page a) Le volume minimal du cube de glace est environ de 3,89 m 3. b) La mesure de l angle est environ de 33,69. c) Le sculpteur doit enlever au minimum 1,6 m 3 de glace. 11. Elle court à environ,1 m/s. 1. a) 5 cm b) 10,7 cm 13. a) 49,99 cm b) 68,09 cm Mise au point 6.3 (suite) Page Note : Les élèves devraient lire l énoncé suivant : Deux campeurs se déplacent dans une forêt à l aide d une boussole et d un compte-pas. À partir d un point A, ils marchent 1000 pas en direction sud-est, bifurquent en direction sud-sud-ouest, puis marchent 500 pas jusqu à un point C. Ils bifurquent de nouveau pour retourner à leur point de départ. La mesure de l angle alors formé, soit celui situé entre les segments BC et CA, est de 35. Si chaque pas équivaut à 60 cm, calculez : a) La distance totale est environ de 3,05 km. b) La superficie est environ de 0,5 km. Chronique du passé Page a) m ADB 1,80 b) m ADE 89,1 c) m AD km. Mesure de l angle Longueur de Mesure de l angle Sinus de l angle au centre AOB ( ) la corde AB (dm) au centre AOC ( ) m AC AOC m AO 0 0, , , , , , , , , , , ,5 70 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Vision 6 Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 010, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

8 3. Les mathématiciens arabes ont pu construire une table de sinus en déterminant, pour chaque angle donné, la mesure de la moitié de la corde qui était associée au double de la mesure de cet angle dans la table des cordes d Hipparque. Le monde du travail Page Les dimensions de la pièce rectangulaire 1 sont environ de 9,36 cm sur 11,44 cm.. Le volume de la pièce est environ de 3769,91 cm a) Selon le sens dans lequel on place la feuille d aluminium, il est possible de découper 4 ou 5 triangles rectangles. b) La masse de cette feuille d aluminium rectangulaire est environ de 0,1 kg. Vue d ensemble Page a) 5,94 cm b) 6,87 cm c) 3,9 cm d) 53,9 e) 55,78 f) 17,06. a) 3,48 cm b) 9,84 cm c) 6,05 cm d) 6,93 cm e) 6,4 cm f) 6, cm 3. a) La mesure de la surface éclairée est environ de 1784,77 m 3. b) La mesure de l espace éclairé est environ de ,48 m 3. Page a) b) c) d) 5. a) 77,77 cm 3 b) 10,6 cm 3 c) 149,94 cm 3 d) 36,76 cm 3 6. a) 3, cm b) 35,3 c) 1,95 cm d),39 cm e) 5,8 cm f) 3,69 cm Page La distance entre le point d entrée et le point de sortie est environ de 8,78 m. 8. La longueur de l ombre est environ de 18,41 m. 9. La vitesse maximale de cet avion est environ de 396,75 m/s (Mach 1,3) ou 148,3 km/h. Page a) 1) 11, m ) 34,9 m b) 1) 19,03 m ) 795,07 m 11. L itinéraire B est le moins coûteux. (Il en coûte environ 180,30 $ pour l itinéraire B et environ 1,05 $ pour l itinéraire A.) 1. Le trajet, qui est environ de 11,6 km, par rapport au trajet 1, qui est environ de 13,54 km. Page La distance entre cette personne et le coin B de ce temple est environ de 35,0 m. 14. a),6 m b) 1,48 m c) 3,4 m d) 4, a) L angle d élévation de la rampe est environ de 3,58. b) Le volume de cette construction est environ de 17,8 m 3. c) La surface à couvrir est environ de 8,86 m. Page a) Une distance d environ 401,1 m sépare cette personne du haut de la chute. b) La mesure de l angle est environ de 7, a) La mesure du plus petit côté de l immeuble est environ de 6,11 m. b) Les angles mesurent respectivement environ 90, 3,54 et 66, La mesure de l angle d élévation est environ de 43,68. Page a) Téléphérique de l aiguille du Midi 1 er tronçon e tronçon Longueur (m) Dénivellation verticale (m) Altitude de départ (m) Altitude d arrivée (m) b) 1) La mesure de l angle d élévation du 1 er tronçon est environ de 30,06. ) La mesure de l angle d élévation du e tronçon est environ de 30,85. c) La longueur de ce câble est environ de 5419,87 m. 010, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision 6 Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 47

9 0. a) La hauteur de ce monument est environ de 16,75 m. b) Le touriste B se trouve à 73,18 m du monument. c) La mesure de l angle d élévation pour le touriste A est environ de 11,58 alors que pour le touriste B, elle est environ de 31,59. Page a) La hauteur du moai est environ de 9,88 m. b) La hauteur du chapeau du moai est environ de,1 m. Banque de problèmes Page 1 4. Le point A est situé à environ 4,09 m du sol. 5. Il y a un écart d environ,67 m entre l aire de la région A et l aire de la région B. Banque de problèmes (suite) Page Le volume de cette pyramide était de ,4 m Le point E se situe à 96,74 cm environ du sol.. a) Le sommet de la tête de l entraîneur se trouve à environ 4,85 m au-dessus du niveau de l eau. b) La distance d est environ de,3 m. 3. L altitude du point B est environ de 103,3 m. 48 Vision 6 Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 010, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée