Oscillations forcées

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1 Oscillatios forcés I 5 Microscop à forc atoiqu (Ctral PC ) ) Approch d l'origi d la forc atoiqu L'itractio tr dux atos o liés par u liaiso d covalc t distats d r put êtr décrit par u érgi pottill d Lard-Jos LJ () B A U r = 6 r r où A = J t B = J a) Rpréstr l'allur d la courb rpréstativ d la forc d'itractio F( r) foctio d la distac r, ctt forc état copté co positiv si répulsiv b) Détrir uériqut la distac itr atoiqu r à l'équilibr c) Précisr das qul cas la forc st attractiv ou répulsiv d) Précisr das qul cas la forc st u foctio croissat d la distac ) Calculr uériqut F(, 9 r ) t F(, r ) Cotr ) Mods statiqus : od à hautur costat t od assrvi L icroscop à forc atoiqu st costitué par u sod, foré par u poit très fi, fixé à u la très flxibl Ctt la fléchit foctio d la forc tr la poit t la surfac à xair L od d foctiot l plus dirct, dit od à hautur costat, cosist à déplacr la sod das u pla au dssus d l'échatillo (figur 5) O rgistr alors la valur d la forc d'itractio tr l'échatillo t la poit foctio ds coordoés xz, das c pla O utilis égalt u autr od d foctiot, dit od assrvi, das lqul la forc suré st aitu costat au cours du balayag, ajustat, chaqu poit xz, d sur, la positio vrtical d la sod Ctt positio vrtical st cotrôlé par u boucl d'assrvisst qui ipos u balayag à forc costat d l'échatillo a) Justifir la rpréstatio das la figur 6 d'u trajctoir d la poit parallèl à la surfac d l'échatillo b) Cs dux ods d foctiot prttt-ils d détrir la for d la surfac d l'échatillo si l'o igor la loi d'itractio tr la poit t l'échatillo? c) uls sot, slo vous, ls avatags rspctifs d cs dux ods? d) Cot put-o procédr pour accédr à la loi d'itractio? 3) Mod vibrat U altrativ aux ods statiqus décrits précédt st u étud du coportt d la sod régi d'oscillatios forcés Pour siplifir l'étud du ouvt d la poit lié à la la, o cosidérra qu c ouvt st idtiqu à clui d'u systè ass-rssort, l'élogatio d la ass corrspodat au fléchisst d la la portat la poit a) Soit u rssort d raidur, à l'xtréité ifériur duqul o accroch u ass O désig par x l allogt du rssort t par η l'écart par rapport à la positio d'équilibr Établir l'équatio différtill η si l'xtréité supériur st fix t ls frottts égligabls b) O ipos à l'xtréité supériur u ouvt oscillat d loi horair β() t = β sit A qull équatio différtill obéit η() t? c) Exprir l aplitud H ds oscillatios d la ass foctio d t d la pulsatio pour laqull ctt aplitud prést u sigularité d) Expéritalt, o trouv H = β pour = Motrr qu la for d la rlatio tr H t β st copatibl avc u frottt proportiol à la vitss d la ass Oscillatios forcés, pag

2 ) Précisr la valur du factur d qualité d l'oscillatur f) Outr la forc d frottt précédt t la forc d rappl élastiqu, la ass st souis à la forc Fy ( x) dépdat d la différc tr l absciss y idépdat du tps d la surfac à xplorr t l absciss x d la poit ; Fr () état la forc étudié à la qustio ), la ass st-ll souis à la forc Fy ( x) ou Fy ( x)? g) L absciss d la poit à l équilibr état, o ffctu u dévloppt liité à l'ordr d F au voisiag d x q puissacs succssivs d x xq x q ; otrr qu l'o obtit alors u oscillatur d pulsatio propr * = * / où * st u raidur ffctiv s'xpriat foctio d la raidur du rssort t d'u dérivé d Fr () h) Justifir pourquoi o dit qu' od vibrat, l icroscop à forc atoiqu st ssibl aux gradits d forc? i) U déplact du pic d résoac vrs ls basss fréqucs idiqu-t-il u forc attractiv ou répulsiv? II 4 Créatio d vagus (d après ptits is 3) Pour crér ds vagus das u pisci, o fait ffctur ds oscillatios vrticals à u gros corps d ass M irgé C corps d ass voluiqu ρ t d volu V st plogé das l'au d ass voluiqu A ρ au t suspdu à u rssort d raidur t d loguur à vid L, accroché u poit A (voir figur) Soit R l référtil trrstr supposé galilé h ) Ecrir la coditio d'équilibr du corps d ass M portat sur la loguur h das R O z églig la hautur du corps M ) O s'itérss au ouvt vrtical du corps t o ot z la cot d so ctr d gravité G suivat u ax vrtical orité vrs l bas, prat pour origi la positio d équilibr Ecrir l'équatio différtill détriat z foctio du tps t Dor la pulsatio propr d ct oscillatur O égligra ls frottts das ctt qustio 3) O tit copt désorais d'u forc d frottt visquux, coliéair à la vitss t d'itsité F = αv, xrcé par l'au sur l corps Dor la ouvll équatio différtill vérifié par z(t) E s plaçat das l cas d'u aortisst faibl, dor sas calcul l'allur du graph d z(t) pour ls coditios iitials suivats : à t =, z = z > t la vitss iitial st ull 4) A l'aid d'u pisto, o ipos à l'xtréité A du rssort, u ouvt vrtical siusoïdal slo z A (t) = Z A cos(t) ctré sur la positio d A précédt Exprir la tsio du rssort foctio d z, z A,, h t L Ecrir das l référtil R l'équatio différtill vérifié par z(t) 5) Calculr l'aplitud Z ds oscillatios du corps O utilisra la otatio coplx t o fra apparaîtr ls costats, τ = M/ α, = τ t la variabl x = / 6) Das c dispositif, l'itérêt du rssort st d prttr d'obtir ds oscillatios du corps d'aplitud Z supériur à cll Z A d l'xcitatio O vut qu Z > 3Z A A qull coditio approxiativ (o dad pas la coditio précis) sur xist-t-il ds valurs d pour lsqulls Z > 3Z A? 7) Si = 4, das qul itrvall doit s trouvr pour qu Z > 3Z A? III Sisograph sas aortisst, d après X 4 MP O cosidèr l référtil trrstr T co galilé U sisograph st costitué par u solid d ass accroché à u bâti lié au sol par u rssort d raidur t d loguur aturll Jusqu l istat, l sol st iobil t l systè st équilibr ) ull st la loguur du rssort? ) Après l istat, l sol s t ouvt ; à l istat t, so absciss das T copté positivt vrs l bas par rapport à sa positio avat l istat st X = X ( ) cost, où X t sot ds costats Motrr qu l déplact x du solid das T par rapport à sa positio avat l istat obéit à l équatio différtill x + x = a( c s t) o t xprir ls costats t a 3) Détrir x( t ) 4) Soit x t x ls abscisss axiu t iiu du solid au cours du tps das Motrr qu l ax i T plus souvt x = x x ax i + s t sous la for x = c X, où c st u factur uériqu qu l'o détrira Rpréstr schéatiqut x foctio d 5) Voyz vous ds cas, autr qu clui où =, où la for aocé d x st doutus? Oscillatios forcés, pag

3 I a) F B 6 = A rprésté ci-cotr ; b) 3 7 r r Réposs r = ( B/ A) = 3, 55 ; c) répulsiv pour r < r t attractiv pour r r ; d) slo l itrprétatio d l éocé, r > r ou r r r, où r /6 > 6B < < ( ) /6 = =, 9r ; ) 7A F(,9 r ) =,56 N ; F(, r ) =, 89 N ; Fr () st pu liéair ; ) voir corrigé ; 3a) η = η ; 3b) η = ( η + β( t)) ; β 3c) H = ; 3d) la liéarité d H = β st copatibl / avc u frottt liéair ; 3) = ; 3f) Fy ( x ) ; 3g) * = F ( y xq ) ; 3i) attractiv II ) Mg ρauvg ( h L ) = ; ) Mz + z = ; = ; M 3) Mz + α z + z = ; voir ci-cot r ; 4) ( h L + z za ) ; ZA Mz + α z + z = ZA cos t ; 5) Z = ; 6) x ( x ) + > 3 ; 7), 864 < <, 9 g X III ) = + ; ) = ; a = ; 3) a a cos t a cos cos cos x t X t = + + = t c = ( ) + ; 4) ; 5) si / ratiol Oscillatios forcés, pag 3

4 I Microscop à forc atoiqu ) Approch d l origi d la forc atoiqu du B 6A a) La forc st F = = dr 3 7 r r Corrigé /6 b) A l équilibr, F = r = r = ( B/ A) = 3,55 c) La forc st répulsiv pour r < r t attractiv pour r > r 56B 4A d) Répos forll : F '( r) = 4 8 r + r < si 6B ( ) /6 r < r = =,9r = 3, 9 7A L iiu d Fr () a liu pour r = r La forc st foctio croissat d la distac si r > r Si o cosidèr qu la qustio st précisr das qul cas l odul d la forc st u foctio croissat d la distac, la répos st r < r < r ) F(,9 r ) = =,56 N (,9 ) (,9 ) 3 7 r r F(, r ) = =, 89 N (, r ) (, ) 3 7 r Au voisiag d la positio d équilibr Fr () st pu liéair, puisqu cs dux résultats sot pas l opposé l u d l autr E fait, l od vibrat tir parti d ctt o liéarité ) Mods statiqus : od à hautur costat t od assrvi a) La forc st u foctio d la distac tr la poit t la surfac Iposr u forc costat rvit à iposr u distac costat tr la poit t la surfac, si la surfac coprd qu ds atos sblabls b) L od à hautur costat ipos d coaîtr la loi d itractio tr la poit t l échatillo ; la forc tobat rapidt à zéro à grad distac, ls partis éloigés sot icous L od assrvi écssit pas ctt coaissac ; il suppos sult qu la loi d itractio soit la ê tout poit d la surfac ; toutfois, il y a u déforatio du au caractèr trasvrs d la forc là où la surfac st fortt iclié c) L déplact lors du od à hautur costat st plus facil à réalisr L od assrvi écssit u balayag plus lt t st plus difficil à réalisr, ais do dirctt la for d la surfac, si cll-ci st foré d atos sblabls d) Pour accédr à la loi d itractio, il faut déplacr vrticalt la poit, surr la forc foctio du déplact t tir copt évtullt qu la distac dépd d la flxio du support d la poit 3) Mod vibrat a) Soit x l allogt du rssort à u istat qulcoqu t l allogt du rssort à l équilibr Ecrivos pour l ouvt la loi fodatal d la dyaiqu t pour l équilibr la loi d la statiqu : x = x + g = x + g q Rtrachos br à br posat η = x x q : η = η b) x = ( x + β( t)) + g xq = + g Rtrachos br à br : η = ( η + β( t)) β β c) ( ) η = β d où H = η = = qui st ifii pour = = / x q Oscillatios forcés, pag 4

5 d) Si la forc d frottt st proportioll à la vitss d la ass suspdu, l équatio différtill gouvrat η st liéair t a u solutio siusoïdal corrspodat au régi prat dot l aplitud H st proportioll à l aplitud d l xcitatio Cci st copatibl avc la doé xpérital H = β β Si la forc d frottt st pas proportioll à la vitss, l aplitud d la répos st pas proportioll à cll d l xcitatio Supposos la forc d frottt proportioll à la puissac d la vitss, soit d la for f sig( η ) η ; l équatio différtill st η + η = β si t f η sig( η ) ; régi prat, l travail ds forcs o cosrvativs β si t f η sig( η ) sur u cycl doit êtr ul, doc l aplitud H ds β oscillatios à la résoac st tll qu β st d l ordr d f ( H ) : H st d l ordr d f Cci icit à psr qu l cas du frottt solid ( = ) pos problè, l aplitud ds oscillatios augtat idéfiit au cours du tps ) Divisos l xprssio d la loi fodatal d la dyaiqu par : η( + i + ) = β Co la résoac st aiguë, ll a liu pour voisi d t H = η ( = ) = β = f) La forc st Fy ( x), où F st la foctio obtu ) g) x x = ( x + β( t)) + g F( y x) = x + g F( y x ) q q Rtrachos br à br posat η = x x q : x η = ( η + β( t)) + F( y xq ) F( y x) Pour ls ptits ls oscillatios : η Fy ( xq ) Fy ( x) ( x xq ) F ( y xq ) D où η = * η β( t), où * * = F ( y xq ) La pulsatio d résoac st = h) Si o déplac la poit, la fréquc vari si la forc vari avc la positio doc s il y a u gradit d forc i) U déplact du pic d résoac vrs ls basss fréqucs idiqu qu * < F ( y x q ) >, c qui a 3 /6 liu, vu l graphiqu d Fr () trouvé ), quad r > r où r = ( 7) r =,9r st la distac pour laqull Fr () st iiu La forc st alors attractiv C résultat traduit l fait qu si r st ifériur à r, la forc tr la poit t la surfac st u forc d rappl t augt la raidur ffctiv, tadis qu si r st supériur à td à écartr la poit d sa positio d équilibr t doc à diiur la raidur ffctiv r, la forc tr la poit t la surfac st u forc qui II Créatio d vagus ) La so ds forcs st ull, soit Mg ρauvg ( h L ) = ) D après la loi fodatal d la dyaiqu, Mz = Mg ρau Vg ( h L + z ) E tat copt d la rlatio trouvé à la qustio, ou rarquat qu co z st la positio d équilibr ls trs costats doivt s siplifir, Mz + z =, qui st l équatio d u oscillatur haroiqu d pulsatio = M 3) Mz + α z + z = L graph d z( t ) st rprésté ci-cotr : 4) La tsio du rssort st ( h L + z za ) D après la loi fodatal d la dyaiqu, Mz = Mg ρ Vg ( h L + z z ) αz, d où au Mz + α z + z = Z cos t A A Oscillatios forcés, pag 5

6 5) E utilisat i z = Z t z = i z z = ( i) z, l équatio do it it A A A + ( x ) + τ Z Z Z z = = z = Z = M + iα i x x x 6) Si Z > ZA, ( x ) + f ( x) ( x ) < 3 = + < 9 Co la résoac st iportat, l iiu d f ( x ) a liu au voisiag d x =, doc st voisi d f ( ) = / ; la coditio st approxiativt > 3 7) Il faut résoudr ( x ) x + = dot ls racis sot,864 t,9, d où, 864 < <, III ) L solid st équilibr sous l actio du poids t d la tsio du rssort : g g = ( ) = + ) L allogt du rssort st + x X La loi fodatal d la dyaiqu das l référtil T : x = g ( + x X ) x + x = X X qui st d la for dadé, si = t a = 3) Solutio gééral d x + x = : x = Acos t + Bsi t a Solutio particulièr d x + x = a : x = ( ) + = a axp it acos t Solutio particulièr d x x x axp( i t) x cos t : + = x = x = D où la solutio gééral : x a acos t = A cos t + Bsi t + + Ls coditios iitials sot : a a a x( ) = A + + = A = ( ) dx a si t ( ) = = Asi t + B cost B dt = t = D où la solutio : cos cos cos cos x a a t a t X t t ( ) = + + = + 4) Ls foctios cos t t cos t sot borés par t Si / st pas x ratiol, cs bors sot attits à ds istats d autat plus rapprochés qu o cosidèr u plus grad duré ; ls bors d x (qui sot pas ffctivt attits ; fft, si lls était attits siultaét / srait ratiol) sot + doc : xi X + = t xi = X + X + x = X c = 5) Si / ratiol, l plus souvt ls bors ds foctios cos t t cos t sot pas approchés siultaét t x st gééral plus ptit Si =, X = x = t x = Oscillatios forcés, pag 6