Primitive et intégrale d une fonction continue

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1 Primitive et intégrle d une fonction continue O. Simon, Université de Rennes I 24 mi 2005 Avertissement : Ceci n est ps le contenu d une leçon de CAPES. Dns le progrmme 2002 de terminles S, on introduit l définition de l intégrle d une fonction continue à l ide des fonctions en esclier et non à l ide des primitives. Les deux définitions intégrle et primitive étnt posées indépendmment, on en déduit des reltions entre elles. L définition xiomtique de R peut être donnée de fçon équivlente vec l xiome des suites djcentes convergentes ou l xiome de l borne supérieure. Dns l définition de l intégrle u sens de Riemnn d une fonction continue sur un intervlle [, b] de R, cette propriété de R est essentielle. On peut utiliser l un ou l utre de ces xiomes : celui des suites djcentes convergentes. Ceci est suggéré et plus ou moins développé dns certins livres de Terminles S, progrmme 2002, [Trnsmth], [Déclic]. celui de l borne supérieure vec les sommes de Drboux. Ceci est trité dns les cours de licence et de clsses prép, [Monier], [Coste]. Pour une fonction quelconque, on sit dire si elle est intégrble u sens de Riemnn, vec une définition à l ide des sommes de Drboux. Dns le cs prticulier d une fonction continue, elle est toujours intégrble u sens de Riemnn et on peut donc définir son intégrle de Riemnn. Ici, on choisi de donner des éléments pour l démonstrtion du théorème dmis en terminles. Il est intéressnt de voir qu à prt l formultion, on y retrouve les mêmes rguments et les mêmes techniques que dns celle utilisnt l borne supérieure. Prérequis : Fonctions en esclier Théorème de Heine (uniforme continuité d une fonction continue sur un intervlle fermé borné) Théorème des vleurs intermédiires Intégrle des fonctions en esclier Pour démontrer les propriétés des fonctions en esclier, on souvent besoin du lemme suivnt. Lemme. Si f est une fonction en esclier définie à prtir d une subdivision x 0 = < x <... < x n = b et g une utre fonction en esclier définie à prtir d une subdivision y 0 = < y <... < y p = b, on peut les considérer définies sur une même subdivision, l subdivision réunion des deux précédentes z 0 = < z <... < z r = b vec r n + p, où z k = x i ou z k = y j. Définition.2 Soit f une fonction en esclier sur [, b] à vleurs dns R, définie pr une subdivision x 0 = < x <... < x n = b et telle que f(x) = c i pour tout x ]x i, x i [. On ppelle intégrle de f sur [, b] le nombre réel I(f) = c (x x 0 ) + c 2 (x 2 x ) c n (x n x n ), que l on note ussi de fçon plus précise f(t)dt.

2 2 c3 c5 c6 c x c2 x2 x3 c4 x4 x5 b.0 Interpréttion géométrique : le nombre c i (x i x i ) est égl à ± l ire du rectngle délimité pr l xe Ox, les droites verticles x = x i, x = x i et le grphe de l fonction y = f(x) sur ]x i, x i [. Donc, I(f) est l somme lgébrique des ires des rectngles comptées positivement s ils sont u-dessus de l xe Ox et négtivement s ils sont u-dessous. Propriétés : Pour toutes fonctions en esclier f, g définies sur [, b] vec < b, on les propriétés de l intégrle. Linérité : pour tous λ, µ R, on λf(t) + µg(t)dt = λ f(t)dt + µ 2. Reltion de Chsles : Si c R et f est une fonction en esclier, 3. Positivité : f(t)dt = c ) Si f 0 sur [, b], lors f(t)dt 0. b) Si f g sur [, b], lors f(t)dt g(t)dt c) On f(t)dt f(t) dt f(t)dt + c f(t)dt g(t)dt 2 Définition de l intégrle d une fonction continue Soit un intervlle fermé borné [, b] de R, vec < b. Proposition 2. Soit f une fonction continue sur [, b] à vleurs dns R.. Il existe deux suites (g n ) et (h n ) de fonctions en esclier telles que pour tout n, pout tout t [, b], g n (t) f(t) h n (t) les suites I(g n ) et I(h n ) sont convergentes et ont même limite l 2. Si (u n ) et (v n ) sont deux utres suites de fonctions en esclier ynt les deux propriétés du ), lors l limite commune de I(u n ) et I(v n ) est l même que celle de I(g n ) et I(h n ). Ainsi le nombre l est défini indépendmment des suites considérées. Définition 2.2 Soit f une fonction continue sur [, b] à vleurs dns R. On ppelle intégrle de f sur [, b] le nombre réel l défini pr l proposition ci-dessus et on note l = f(t)dt. Proposition 2.3 Si f est une fonction continue positive, l intégrle de f sur [, b] est l ire A(f) du domine délimité pr l xe Ox, les droites x =, x = b et le grphe de y = f(x). En effet, pour tout n, on I(g n ) A(f) I(h n ). Démonstrtion de l proposition 2. :

3 . Existence des deux suites. On prend une subdivision dont le ps tend vers 0, pr exemple b 2 n, on x 0 =,..., x i = + i b 2 n,..., x 2 n = b Pour une fonction monotone, pr exemple décroissnte. hn (t) = f(x On définit les deux suites i ) sur [x i, x i [ et h n (b) = f(b) g n (t) = f(x i ) sur ]x i, x i ] et g n () = f(). 3 gn hn hn en rouge gn en vert On g n (t) f(t) h n (t) et.0 I(g n ) = b 2 n (f(x ) f(b)) I(h n ) = b 2 n (f() f(x 2 n )) On vérifie les propriétés suivntes : I(g n ) I(h n ) cr pour tout i, f(x i ) f(x i ) I(h n ) I(g n ) = b (f() f(b)), qui tend vers 0 qund n tend vers l infini. 2n les deux suites sont monotones : I(g n ) est croissnte et I(h n ) est décroissnte. En effet, soit y 0 = < y <... < y 2 n+ = b l subdivision de ps b 2 n+, lors on x 0 =, x = y 2,..., x i = y 2i,..., x 2 n = y 2 n+ = b et I(g n+ ) = b 2 n+ (f(y ) + f(y 2 ) + f(y 3 ) f(b)) = b 2 n ( 2 (f(y ) + f(y 2 )) (f(y 2 n+ ) + f(b))) comme f(y 2i ) f(y 2i ) = f(x i ), on 2 (f(y 2i ) + f(y 2i )) f(x i ) I(g n+ ) b 2 n (f(x ) f(b)) I(g n+ ) I(g n ) On démontre de même que I(h n ) est décroissnte. On peut conclure que les deux suites I(g n ) et I(h n ) sont djcentes et convergent vers un même nombre réel l. Pour une fonction continue quelconque sur [, b]. On définit les deux suites : hn (t) = M h n () = g n () = f() et pour t ]x i, x i ], i = supf(t), t [x i, x i ]} g n (t) = m i = inff(t), t [x i, x i ]} On g n (t) f(t) h n (t) et I(g n ) = b 2 n (m m 2 n) I(h n ) = b 2 n (M M 2 n) On vérifie les propriétés suivntes :

4 I(g n ) I(h n ) cr, pour tout i, m i M i I(h n ) I(g n ) = b 2 n ((M m ) (M 2 n m 2 n)). Pour obtenir que l limite est nulle lorsque n tend vers l infini, il est nécessire d utiliser le théorème de Heine, qui donne l uniforme continuité de f sur [, b]. On peut détiller, on trduit l uniforme continuité pr : pour ε > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x, x [, b], si x x < η lors f(x) f(x ) ε. Pour ε > 0, il existe N tel que b 2 N < η et lors pour tout i =,...,2N, M i m i ε. Ainsi, pour ε > 0, il existe N tel que, pour tout n N, 0 I(h n ) I(g n ) b 2 n 2n ε = (b )ε. Donc, I(h n ) I(g n ) tend vers 0 qund n tend vers l infini. les deux suites sont monotones : I(g n ) est croissnte et I(h n ) est décroissnte. En effet, soit y 0 = < y <... < y 2 n+ = b l subdivision de ps b, on lors les 2n+ définitions : hn+ (t) = M j h n+ () = g n+ () = f() et pour t ]y j, y j ], = supf(t), t [y j, y j ]} g n+ (t) = m j = inff(t), t [y j, y j ]} Alors on x 0 =, x = y 2, x i = y 2i, x 2 n = y 2 n+ et I(g n+ ) = b 2 n+ (m + m m 2 n+) = b 2 n ( 2 (m + m 2 ) (m 2 n+ + m 2 n+)) comme m 2i m i et m 2i m i on 2 (m 2i + m 2i ) m i, insi I(g n+ ) b 2 n (m m 2 n) I(g n+ ) I(g n ) On démontre de même que I(h n ) est décroissnte. On peut conclure que les deux suites I(g n ) et I(h n ) sont djcentes et convergent vers un même nombre réel l. 2. Limite indépendnte des suites : Soient (u n ) et (v n ) deux suites vérifint les conditions du (), telles que I(u n ) et I(v n ) convergent vers une même limite l. Pour n N, soient g n et h n les fonctions définies u () sur l subdivision x 0,..., x 2 n et si les fonctions u n et v n sont définies sur une subdivision y 0, y,..., y q, on considère l subdivision réunion des deux précédentes, z,...,z r vec r 2 n +q, et les deux fonctions en esclier sur cette subdivision : s n () = t n () = f() et pour t ]z i, z i ], sn (t) = m i = inff(t), t [z i, z i ]} t n (t) = M i = supf(t), t [z i, z i ]} Pour une même fonction f, plus il y de points dns l subdivision, plus les minim sont grnds et plus les mxim sont petits sur des intervlles emboîtés. Ainsi, ces fonctions vérifient : g n (t) s n (t) f(t) t n (t) h n (t) u n (t) s n (t) f(t) t n (t) v n (t) On, d près l positivité de l intégrle des fonctions en esclier : I(g n ) I(s n ) I(t n ) I(h n ) I(u n ) I(s n ) I(t n ) I(v n ) En pssnt à l limite, on obtient l = lim n I(s n ) = lim n I(t n ) et l = lim n I(s n ) = lim n I(t n ) donc l = l. 4

5 3 Propriétés de l intégrle 5 Les propriétés de. linérité, 2. l reltion de Chsles 3. positivité, vlbles pour les fonctions en esclier, se démontrent isément pour toute fonction continue, pr pssge à l limite. Pour démontrer ces propriétés, il fut considérer les suites de fonctions en esclier définissnt l intégrle des fonctions continues sur [, b]. L technique est de montrer, pr exemple pour l dditivité, que en montrnt que pour tout ε > 0, on ε (f(t) + g(t))dt (f(t) + g(t))dt f(t)dt f(t)dt g(t)dt = 0 g(t)dt = 0 ε Ceci s obtient en considérnt les fonctions en esclier, g n, h n, φ n, ψ n telles que g n f h n φ n g ψ n lors g n + φ n f + g h n + ψ n vec I(h n ) (g n ) ε 2 et I(ψ n) I(/phi n ) ε. On obtient 2 I(g n ) I(f) I(h n ) I(φ n ) I(g) I(ψ n ) et I(g n + φ n ) I(f + g) I(h n + ψ n ) insi I(g n + φ n ) I(h n ) I(ψ n ) I(f + g) I(f) I(g) I(h n + ψ n ) I(g n ) I(φ n ) Comme l intégrle est dditive sur les fonctions en escliers, I(g n + φ n ) = I(g n ) + I(φ n ) et I(h n + ψ n ) = I(h n ) + I(ψ n ) et donc ε I(f + g) I(f) I(g) ε Proposition 3. Soit C([, b]) l espce vectoriel des fonctions continues sur [, b], l ppliction φ : C([, b]) 2 R définie pr φ(f, g) = f(t)g(t)dt est un produit sclire. Ceci résulte des trois propriétés précédentes. Proposition 3.2 (Théorème de l moyenne) Soit f une fonction continue sur [, b] à vleurs dns R. b Il existe c [, b] tel que f(t)dt = f(c). b Démonstrtion : Soient M et m les bornes de f sur [, b], lors m(b ) f(t)dt M(b ) et donc m b f(t)dt M D près le théorème des vleurs intermédiires, f([, b]) = [m, M], donc il existe c [, b] tel que b f(t)dt = f(c). b

6 4 Définition d une primitive 6 Définition 4. Soient f et F deux fonctions définies sur [, b] à vleurs dns R. On dit que F est une primitive de f sur ], b[ si F est dérivble et si F = f sur ], b[. Proposition 4.2 Soient f et F deux fonctions définies sur [, b] à vleurs dns R, telles que F soit une primitive de f, lors l ensemble des primitives de f sur ], b[ est l ensemble des fonctions définies pour chque k R et pour tout x ], b[ pr G(x) = F(x) + k Si x 0 ], b[ et y 0 R, il existe une unique fonction G telle que G soit une primitive de f et G(x 0 ) = y 0. 5 Lien entre primitive et intégrle d une fonction continue Proposition 5. (Existence) Soit f une fonction continue sur ], b[ à vleurs dns R. l fonction F définie, pour x ], b[, pr est l primitive de f telle que F() = 0. F(x) = x f(t)dt Démonstrtion : On F() = 0. On montre que F est dérivble en tout point x 0 de ], b[. F(x) F(x 0 ) = ( x x0 f(t)dt f(t)dt) = x x 0 f(t)dt D près le théorème de l moyenne, il existe c x ]x, x 0 [ (]x 0, x[ selon l ordre de x et x 0 ) tel que Comme f est continue en x 0, on F(x) F(x 0 ) = f(c x ) F(x) F(x 0 ) lim = lim f(c x ) = f(x 0 ) x x 0 x x 0 Corollire 5.2 Toute fonction continue sur [, b] dmet une infinité de primitives. 6 Applictions. Clcul prtique d une intégrle Proposition 6. Soient f et F deux fonctions définies sur [, b] à vleurs dns R, telles que F soit une primitive de f. Alors. f(t)dt = F(b) F() 2. Clcul d ires plnes dont les contours sont définis pr des grphes de fonctions continues. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur [, b] telles que g f. Soient Alors l ire de E est Exemples E = M(x, y) x b et 0 y f(x)} F = M(x, y) x b et g(x) y f(x)} f(t)dt et l ire de F est 3. Clcul de limite de suites de l forme n n k= (f(t) g(t))dt f( k ) (sommes de Riemnn). n

7 u n = u n = n k= n k= u n = n n, lors lim n + k u n = n n + k n 2, lors lim + k2 k= n u n = k, lors lim n u n = x dx = 2 dx = ln(2) x + x + x 2 dx = π ln(2) xdx = Clcul de volumes : soient < b et un solide K de R 3 limité pr les plns z = et z = b et tel que l ire de l section de cote z est une fonction continue S(z). Soit z 0 ], b[ et V (z 0 ) le volume du solide entre les plns z = et z = z 0, montrer que V (z 0 ) = S(z 0 ). En déduire que le volume du solide est Clculer le volume d un cône de ryon R et de huteur h. S(z)dz. 5. Inéglités de Schwrz : soient f et g deux fonctions continues sur [, b], lors 7 Remrques ( f(t) g(t)dt) 2 f(t) 2 dt g(t) 2 dt Soit f définie sur un intervlle [, b] telle que F(x) = x f(t)dt soit définie pour tout x [, b]. F est-elle une fonction dérivble? Oui, si f est une fonction continue Non en générl, contre-exemple : soit f définie sur [, 2] pr F(x) = 0 sur [0, ] On obtient F(x) = x sur [, 2] l fonction F n est ps dérivble en x 0 =. f(t) = 0 sur [0, [ f(t) = sur [, 2] 7 Références [Trnsmth] Trnsmth, progrmme 2002, terminle S obligtoire, Nthn [Déclic] mths, Terminle S enseignement obligtoire et de spécilité, Hchette livre 2002 [Coste] DEUG Sciences mention MASS-MIAS, Mthémtiques 2, Notes de cours d nlyse, Michel Coste 997. Université de Rennes [Dixmier] Cours de mthémtiques, [Monier] Anlyse, ere nnée MPSI,PCSI,PTSI. Jen-Mrie Monier. Dunod, 999.