POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

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1 POLY-PREPAS ANNEE 2009/200 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 6 : PRIMITIVES ET INTEGRATION - COURS + ENONCE EXERCICE - 39

2 . Tableau des primitives usuelles : Fonction f(x) Primitives F(x) 0 Cte cte k k.x + cte x ½ x² + cte u.u ½ u² + cte x² u.u² x Remarque, pour, se ramener à + + =. + ² ² + ln

3 +. + sin x cos cos x sin + u.cos u sin u + cte ² ( + ) tan x +cte ² ( + ) tan u +cte Point-méthode pour déterminer les primitives d une fonction : Reconnaître la forme : u.u? ²? u.e? etc Ajuster le coefficient : voir exemples ci-dessous Forme. Ex : () = (2 +3).(²+3 5) f est de la forme u.u, avec = ² +3 5 =2+3 on reconnaît donc exactement et directement : : () = u.u dont les primitives sont F(x) = + + d où : F(x) = + = + = (²+3 5) + Ex 2 : () =. (² +3 5) f est de la forme u.u, avec = ²+3 5 =2+3= ( ) 4

4 ici il faut donc ajuster le coefficient ; on a alors : () =.u.u dont les primitives sont F(x) =. + + d où : F(x) =. (² +3 5) + Forme. Ex : () = ² f est de la forme, avec = ²+4+ = 2 +4 on reconnaît donc exactement et directement : () = dont les primitives sont F(x) = + d où : F(x) = ²+4++ Ex 2 : () = 3 6 ²+4+ f est de la forme, avec = +4+ = = 2( 2)= 2 ( 6) 3 ici il faut donc ajuster le coefficient ; on a alors : () =. dont les primitives sont F(x) =. + d où : F(x) =. ²+4++ Forme. : Ex : () =. 42

5 f est de la forme., avec = = on reconnaît donc exactement et directement : () = u.e, dont les primitives sont de la forme F(x) = e + cte d où : F(x) = e cte Ex 2 : () = 5. f est de la forme., avec = = ici il faut donc ajuster le coefficient ; on a alors :() = u.e = 0u.e dont les primitives sont de la forme F(x) = 0e + cte d où : F(x) = 0. e cte Þ Le même genre de procédé (reconnaître la forme puis ajuster le coefficient) sera appliqué à toutes les formes rencontrées. 2. Calcul d une primitive unique de f : f admet une infinité de primitives sur un intervalle I. Les primitives de f sont définies à une constante près. Toutes les primitives de f sont donc distinctes, leur courbe représentative n ont aucun point d intersection les unes avec les autres. Une condition sur une primitive définira donc une unique primitive sur I. Exemple : soit f définie su]0; + [r par () = ² a) Déterminer l ensemble des primitives de f sur ]0; + [ () = +3 5+, R b) Déterminer la primitive F de f sur ]0; + [ qui prend la valeur en. () = () = +3 5+= 3+ = 3 + =2 ù ]0; + [ : () =

6 3. Intégrales et primitives : a) Théorème : soit f une fonction continue sur un intervalle I, et si a est un réel de I, alors la fonction F définie sur I par () = () est l unique primitive de f sur I s annulant en a b) Calcul de l intégrale : soit f une fonction continue sur un intervalle I, et soient a et b deux réels de I ; alors : () = [()] = () () Exemple : 3. ² = ² ) = ² ² = ( ) 4. Aires et Intégrales : a) Intégrale d une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] L intégrale de a à b de la fonction f, notée () est l aire du domaine délimitée par la courbe représentative de f, l axe des abscisses, et les droites d équation x = a et x = b = + () 44

7 b) Intégrale d une fonction continue et négative sur un intervalle [a ; b] : l aire du domaine délimitée par la courbe représentative de f, l axe des abscisses, et les droites d équation x = a et x = b est égale à l opposée de l intégrale de a à b de la fonction f : = () c) Intégrale d une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle [a ; b] Pour une fonction continue et changeant de signe sur [a ; b], il est convenu que l intégrale de a à b de f est la somme algébrique des domaines définis à partir des intervalles sur lesquels f(x) garde un signe constant = + + = + () () + () 45

8 d) Aire d une portion de plan comprise entre deux courbes si, pour tout [; ], () (), = ( )() 5. Propriétés de l intégrale : linéarité : ( + )() () = () = () + () exemple : (3²+5+ 4) =3 ² relation de Chasles : () + () = () 46

9 Positivité : si, pour tout [; ], () 0, () 0 (de même, si, pour tout [; ], () 0, () 0) ex : pour tout [ 5;5], ²+3+7 0, 5 5 ² Ordre et intégrale : si, pour tout [; ], () (), () () ex : pour tout [0;], ², 0 ² 0 47

10 Enoncé des exercices sur les Primitives et Intégrales exercice : Calculer les primitives des fonctions suivantes : a) () = b) () =2 c) h() = 0 cos 2 d) () =3( 4 ) e) () = + f) () = ( ) g) () = exercice 2 : Soit f définie sur ]0; + [ () = ². montrer qu il existe deux réels a et b tels que () = + 2. en déduire la primitive F de f sur ]0; + [ telle que () =0 exercice 3 : Calculer les intégrales suivantes : a) = 48

11 b) = sin(3) c) = d) = ² e) = /. () ² exercice 4 : Soit f définie () =. Etudier brièvement f : domaine de définition, limites, dérivée et étude du signe de f ainsi que des variations de f ; dresser un tableau de variations 2. En déduire le signe de f selon les valeurs de x 3. En justifiant, calculer (en unités d aire) l aire du domaine plan situé sous la courbe représentative de f, l axe des abscisses, et les droites d équation x = 0 et x = 4. En justifiant de même, calculer (en unités d aire) l aire du domaine plan situé sous la courbe représentative de f, l axe des abscisses, et les droites d équation x = 3 et x = 5 exercice 5 : é () = 2² ² a) Etudier brièvement f : domaine de définition, limites et asymptotes, dérivée et étude du signe de f ainsi que des variations de f ; dresser un tableau de variations b) Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout on ait : () = c) En précisant le signe de f sur [ 2 ; 3 ], calculer l aire (en unités d aire) du domaine plan situé sous la courbe représentative de f, l axe des abscisses, et les droites d équation x = 2 et x = 3 ; que vaut cette aire dans un repère d) Donner la valeur de cette aire en cm² si l on travaille dans un repère : =2; =3 49