Cours de mathématiques

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1 Cours de mathématiques Ó Ø Ó Ö ¾¼½ PSI Aurélien Monteillet

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3 Ce document contient les notes d un cours de mathématiques pour la classe de PSI. Les démonstrations non exigibles ou hors programme sont explicitement repérées comme telles dans les notes. Bonne lecture! Ce document est mis à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons (Attribution Pas d Utilisation Commerciale Partage dans les Mêmes Conditions 3.0 France) iii

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5 Sommaire 1 Suites numériques 1 I. Définitions et résultats fondamentaux II. Suites définies par récurrence III. Suites récurrentes linéaires d ordre Séries numériques 11 I. Définition et convergence d une série II. Séries de réels positifs III. Convergence absolue IV. La formule de Stirling V. Le théorème des séries alternées VI. Produit de deux séries Espaces vectoriels et applications linéaires 31 I. Espaces vectoriels II. Somme et somme directe de sous-espaces vectoriels III. Applications linéaires IV. Isomorphismes et automorphismes V. Rang et théorème du rang VI. Formes linéaires et hyperplans Matrices 63 I. Calcul matriciel II. Matrices, vecteurs et applications linéaires III. Image, noyau et rang d une matrice IV. La méthode de Gauss-Jordan V. Trace d une matrice et d un endomorphisme VI. Sous-espaces stables VII. Déterminant Espaces vectoriels normés. Convergence et continuité 107 I. Espaces vectoriels normés II. Suites d un espace vectoriel normé de dimension finie III. Vocabulaire de topologie IV. Fonctions entre espaces vectoriels normés : limite et continuité V. Propriétés des fonctions continues à valeurs réelles VI. Le cas des applications linéaires et multilinéaires Suites et séries de fonctions 129 I. Différents modes de convergence II. Limite et continuité des suites et séries de fonctions III. Intégration des suites et séries de fonctions IV. Dérivation des suites et séries de fonctions v

6 7 Dérivation et intégration des fonctions de R dans K 145 I. Théorème de Rolle et accroissements finis II. Dérivées d une bijection réciproque III. Intégration sur un segment des fonctions continues : quelques rappels IV. Intégrale sur un segment des fonctions continues par morceaux V. Méthodes de calculs d intégrales VI. Formules de Taylor Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 161 I. Éléments propres d un endomorphisme et d une matrice carrée II. Recherche des éléments propres, polynôme caractéristique III. Diagonalisabilité IV. Réduction et polynômes annulateurs V. Endomorphismes et matrices trigonalisables Espaces probabilisés 183 I. Ensembles dénombrables II. Espaces probabilisés III. Probabilités conditionnelles IV. Événements indépendants Intégrales généralisées 199 I. Convergence des intégrales généralisées II. Intégrales absolument convergentes, fonctions intégrables III. Méthodes de calcul des intégrales généralisées IV. Comparaison entre une série et une intégrale V. Espaces fonctionnels et fonctions intégrables Interversions pour les intégrales généralisées. Intégrales à paramètre 215 I. Les théorèmes d interversion pour les intégrales généralisées II. Intégrales à paramètre Espaces préhilbertiens, espaces euclidiens 225 I. Produit scalaire II. Orthogonalité III. Distance IV. Formes linéaires sur un espace euclidien Séries entières 243 I. Définition et convergence des séries entières II. Opérations sur les séries entières III. Régularité de la somme d une série entière IV. Développements en séries entières Variables aléatoires 257 I. Définitions, premières propriétés II. Loi d une variable aléatoire III. Familles de variables aléatoires IV. Espérance V. Séries génératrices des variables aléatoires à valeurs dans N VI. Variance Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens 289 I. Isométries vectorielles II. Endomorphismes symétriques III. Espaces euclidiens orientés de dimension 2 et vi

7 16 Fonctions vectorielles. Arcs paramétrés 307 I. Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles II. Dérivées d ordre supérieur III. Arcs paramétrés Équations différentielles 323 I. Résultats théoriques sur les systèmes différentiels II. Systèmes à coefficients constants sans second membre III. Équations scalaires d ordre IV. Équations scalaires d ordre Fonctions de plusieurs variables. Calcul et géométrie différentiels 341 I. Fonctions de classe C II. Problèmes d extrema III. Dérivées partielles d ordre IV. Résolution d équations aux dérivées partielles V. Courbes et surfaces Annexe 1 : Relations de comparaison 367 I. Le cas des suites II. Le cas des fonctions Annexe 2 : Intégrales de Wallis 373 vii

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9 Chapitre 1 Suites numériques I. Définitions et résultats fondamentaux Dans cette partie, on considère une suite (u n ) n N d éléments de K = R ou C, i.e., une application de N dans K. Toutes les définitions et tous les théorèmes que nous allons donner peuvent être adaptés au cas d une suite (u n ) n p définie à partir d un certain rang p. 1. Convergence d une suite Définition Soit l K. On dit que (u n ) converge vers l (ou que u n tend vers l) si On note ceci u n l. ε > 0, n 0 N; n n 0, u n l ε. On dit que (u n ) est convergente s il existe l K tel que u n l. Dans ce cas, l est unique, il est appelé limite de (u n ) et noté lim u n. Lorsque K = R, on dit que (u n ) a pour limite + (ou diverge vers +, ou que u n tend vers + ) si : A > 0, n 0 N; n n 0, u n A. On définit de façon analogue le fait que (u n ) a pour limite. On note ceci u n + (ou u n ). Sinon, on dit que (u n ) diverge. Démonstration de l unicité de la limite On suppose qu il existe l et l dans K qui sont tous deux limites de (u n ). Soit ε > 0 fixé; il existe n 1 et n 2 dans N tels que Alors, pour tout n n 0 = max{n 1,n 2 }, n n 1, u n l ε et n n 2, u n l ε. l l = l u n + u n l u n l + u n l 2ε. Le nombre positif l l est plus petit que toute constante strictement positive, il est donc nul, ce qui prouve que l = l. Remarque En adaptant cet argument, on montre bien sûr l unicité de la limite y compris dans le cas des limites infinies. 1

10 Théorème de la limite monotone Soit (u n ) une suite croissante majorée de nombres réels. Alors (u n ) converge et lim u n = sup {u n ; n N}. Toute suite croissante non majorée de nombres réels a pour limite +. Démonstration Soit (u n ) n N une suite croissante majorée et soit M = sup {u n ; n N}. Soit ε > 0 fixé. Par définition de la borne supérieure, il existe n 0 N tel que u n0 M ε (en effet, M ε < M, donc M ε n est pas un majorant de {u n ; n N}). Par croissance de (u n ), on a alors, pour tout n n 0, u n u n0 M ε. Sachant de plus que pour tout n, u n M M + ε, on a finalement, pour tout n n 0, u n M ε, donc u n M. Soit (u n ) n N une suite croissante non majorée et soit A > 0 fixé. Il existe n 0 N tel que u n0 A, et par croissance de u n, on a pour tout n n 0, u n u n0 A, ce qui montre que u n +. Remarques On a un résultat analogue pour une suite décroissante, selon qu elle est minorée ou non (avec une limite finie ou égale à ). Bien entendu, ce n est pas la seule possibilité qu a une suite pour converger : par exemple, la suite (( 1) n /n) n 1 converge vers 0 mais n est ni croissante, ni décroissante. Définition Soient (u n ) et (v n ) deux suites de réels. On dit que (u n ) et (v n ) sont adjacentes si (u n ) est croissante et (v n ) décroissante (ou le contraire), u n v n 0. Théorème Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite. Démonstration Quitte à échanger les rôles de (u n ) et (v n ), on peut supposer que (u n ) est croissante et (v n ) décroissante. Soit ε > 0 fixé et n 0 N tel que u n v n ε. Pour tout n n 0, on a en particulier u n v n + ε v 0 + ε par décroissance de (v n ). Donc (u n ) est majorée. Sachant de plus qu elle est croissante, elle converge d après le théorème de la limite monotone. Soit l sa limite. On montre de même que (v n ) converge et on note l sa limite. Alors en passant à la limite dans l inégalité u n v n ε valable pour n n 0, on obtient l l ε. Ceci étant vrai pour tout ε > 0, on a l = l, ce qui termine la démonstration. 2

11 2. Suites extraites Définition On appelle suite extraite de la suite (u n ) (ou sous-suite de (u n )) toute suite de la forme (v n ) = (u ϕ(n) ) où ϕ : N N est une application strictement croissante. Remarque Une suite extraite de (u n ) est une suite constituée de certains des termes de (u n ); les valeurs prises par ϕ représentent les indices choisis (qui apparaissent par ordre strictement croissant). Les propriétés de ϕ entraînent immédiatement (par récurrence) que ϕ(n) n pour tout n N. Exemple Les suites (u 2n ), (u 2n+1 ), (u n 2) sont extraites de (u n ). Propriété Si (u n ) converge, alors toute suite extraite de (u n ) converge, et admet la même limite. On a un résultat analogue si (u n ) a pour limite + ou. Démonstration On démontre le résultat dans le cas d une limite l K, les autres cas sont similaires. Soit ε > 0 fixé; il existe n 0 N tel que pour tout n n 0, u n l ε. Soit (u ϕ(n) ) une suite extraite de (u n ). Alors d après la remarque précédente, pour tout n n 0, ϕ(n) n n 0, et donc u ϕ(n) l ε, ce qui prouve le résultat. Remarque On emploie très souvent la contraposée de cette propriété : pour montrer qu une suite n a pas pour limite l, on en construit une suite extraite qui n a pas pour limite l; pour prouver qu une suite diverge, on construit deux suites extraites qui ont des limites différentes. Ainsi les suites (( 1) n ), (cos(nπ/2)) et (2 n( 1)n ) divergent. Inversement, on a le résultat suivant : Propriété Si les suites (u 2n ), (u 2n+1 ) convergent vers la même limite l, alors (u n ) converge vers l. On a un résultat analogue si (u 2n ), (u 2n+1 ) tendent vers +, ou vers. Démonstration À nouveau, on fait la preuve dans le cas d une limite l K. Soit ε > 0 fixé; il existe n 0 N et n 1 N tels que pour tout n n 0, u 2n l ε et pour tout n n 1, u 2n+1 l ε. Alors, pour tout p max{2n 0,2n 1 + 1}, u p l ε; en effet, soit p est pair, de la forme 2n avec n n 0, soit il est impair, de la forme 2n + 1 avec n n 1. On a donc montré que u n l. n Exemple On pose, pour n N ( 1) k, S n =. k k=1 Les suites (S 2n ) et (S 2n+1 ) sont adjacentes car n N, n N, n N, S 2n+2 S 2n = ( 1)2n+2 2n ( 1)2n+1 2n + 1 = 1 2n n + 1 < 0, S 2n+3 S 2n+1 = ( 1)2n+3 2n ( 1)2n+2 2n + 2 = 1 2n n + 3 > 0, S 2n+1 S 2n = ( 1)2n+1 2n + 1 et donc S 2n+1 S 2n 0. On en déduit que (S 2n ) et (S 2n+1 ) convergent vers la même limite l R, et donc, que (S n ) converge vers l. Ceci montre que la série harmonique alternée ( 1) k 1 est convergente. k k 1 3

12 II. Suites définies par récurrence Soit D un sous-ensemble de K, f : D K, a D et n 0 N. On définit la suite (u n ) n n0 par u n0 = a et pour tout entier n n 0, u n+1 = f(u n ). Définition de la suite : pour que l existence de u n entraîne l existence de u n+1, il suffit que u n D. En général, il suffira de vérifier que D est stable par f, c est-à-dire que f(d) D. Si a D, on admettra que cela entraîne que (u n ) n n0 est bien définie, de façon unique, et à termes dans D (l unicité se montre facilement par récurrence, mais l existence est plus délicate, elle est liée à la théorie des ensembles). On supposera dans la suite que (u n ) n n0 est bien définie avec u n D pour tout n n 0. Convergence : le plus souvent, la fonction f est continue sur D. Donc, si (u n ) converge vers l et si l D, alors en passant à la limite dans la relation u n+1 = f(u n ), on obtient f(l) = l. Les solutions de cette équation sont appelés les points fixes de f. Si l équation f(l) = l n a pas de solution dans D, alors, soit la suite (u n ) est divergente, soit u n tend vers un point du «bord» de D (y compris, éventuellement, ± ). On est donc amené à chercher les solutions de cette équation dans D et à vérifier si la suite (u n ) converge ou non vers un tel nombre l. Une fois les points fixes de f déterminés, la vérification de la convergence est facilitée dans les cas suivants : La fonction f est contractante sur D, c est-à-dire k [0,1[, (a,b) D 2, f(b) f(a) k b a. ( ) Lorsque K = R et D est un intervalle, le théorème des accroissements finis peut permettre de trouver une valeur de k s il en existe : si f est dérivable sur D et si f k sur D, alors f est k-contractante. Tout d abord, l inégalité ( ) assure l unicité d un éventuel point fixe de f dans D : si a et b sont deux points fixes de f dans D, alors d après ( ), on a b a = f(b) f(a) k b a. Sachant que k [0,1[, cela entraîne que a = b. Supposons que l soit un point fixe de f dans D. En remplaçant b par u n D et a par l D dans ( ), on en déduit que n n 0, u n+1 l k u n l. Par récurrence sur n, on montre alors que n n 0, u n l k n n 0 u n0 l. Pour n = n 0, la propriété est vraie car u n0 l k 0 u n0 l. Supposons la propriété vraie pour un certain entier naturel n. Alors d après l inégalité ( ), u n+1 l k u n l k k n n 0 u n0 l = k n+1 n 0 u n0 l. La propriété est donc vraie au rang n + 1, et par principe de récurrence, elle est vraie pour tout n n 0. On conclut que (u n ) converge vers l car k n tend vers 0. De plus, pour ǫ > 0 fixé, on peut trouver n tel que u n l < ǫ : il suffit que k n n 0 u n0 l < ǫ (pour être exploitable, cela supose de connaître au moins une majoration de u n0 l ). 4

13 K = R et f(x) x est de signe constant sur D ; dans ce cas la suite (u n ) est monotone. Si f(x) x sur D, la suite (u n ) est croissante. Si f(x) x sur D, la suite (u n ) est décroissante. En effet, si f(x) x sur D, alors pour tout n n 0, u n+1 = f(u n ) u n, donc (u n ) est croissante. On procède de même si f(x) x sur D. K = R et la fonction f est croissante sur D ; dans ce cas la suite (u n ) est monotone. Si f(u n0 ) = u n0 +1 u n0, on montre par récurrence que la suite (u n ) est croissante. En effet la propriété «u n+1 u n» est vraie au rang n 0 et héréditaire car u n+1 u n entraîne, par croissance de f, que f(u n+1 ) f(u n ), c est-à-dire u n+2 u n+1. Si f(u n0 ) = u n0 +1 u n0, on montre de même que la suite (u n ) est décroissante. Dans les cas évoqués dans les deux derniers points, le problème est donc ramené à trouver un majorant ou un minorant (qui pourra être la limite l supposée) afin d appliquer le théorème de la limite monotone. K = R et la fonction f est décroissante sur D ; dans ce cas la fonction f f est croissante. On étudie alors les suites extraites (v n ) = (u 2n ) et (w n ) = (u 2n+1 ). Ce sont des suites récurrentes associées à la fonction croissante f f. Elles sont donc monotones d après le point précédent, et en fait, elles sont de monotonie contraire : par exemple si (u 2n ) est croissante, pour tout n tel que 2n n 0, u 2n+2 u 2n, donc par décroissance de f, u 2n+3 u 2n+1. Ainsi (u 2n+1 ) est décroissante. Pour que (u n ) converge, il faut et il suffit que (v n ) et (w n ) convergent vers la même limite, ce que l on peut essayer de montrer en utilisant le théorème de la limite monotone et en étudiant les points fixes de f f dans D. Si (v n ) et (w n ) convergent vers la même limite l, alors (u n ) converge vers l. Remarques Dans la pratique, pour que certaines des propriétés ci-dessus soient vraies (stabilité de D par f, comportement de f), on est souvent amené à choisir D en restreignant l ensemble de définition de f, quitte à étudier plusieurs cas, chacun correspondant à un choix différent de D. Pour guider ce choix et bien visualiser la situation, il est souvent judicieux de commencer par un graphique, sur lequel on représente les courbes d équation y = x et y = f(x). Mais bien sûr, un dessin ne constitue pas une démonstration. Cas particuliers : Suite arithmétique de raison b : n n 0, u n+1 = u n + b. On a alors, pour tout n n 0, u n = u n0 + (n n 0 )b. Si b = 0, la suite est constante, si b 0, la suite ne converge pas ( u n tend vers + ). Suite géométrique de raison a : n n 0, u n+1 = au n et u n0 0. On a alors, pour tout n n 0, u n = a n n 0 u n0. si a < 1, la suite converge vers 0. si a > 1, la suite ne converge pas ( u n tend vers + ). si a = 1, la suite diverge (u n = u n0 si n n 0 est pair, u n = u n0 sinon). si a = 1, la suite est constante. Suite arithmético-géométrique : n n 0, u n+1 = au n + b avec a 1. L unique point fixe de f : x ax + b est l = b. On se ramène à l étude d une suite 1 a géométrique définie par v n = u n l. En effet, pour tout n n 0, v n+1 = u n+1 l = (au n + b) (al + b) = a(u n l) = av n. On a donc, pour tout n n 0, v n = a n n 0 v n0 = a n n 0 (u n0 l), puis ( u n = l + a n n 0 (u n0 l) = u n0 b 1 a + an n 0 b 1 a ). 5

14 Exemple Étudions la suite définie par u 0 R et pour tout n N, u n+1 = 2u n u 2 n. Posons, pour tout x réel, f(x) = x(2 x); la situation peut être représentée sur le graphique ci-dessous, où l on a représenté le comportement de (u n ) pour deux choix de valeurs initiales u y = x y = f(x) u 3 u 2 u 1 u 0 u 0 u 1 1 u 2 2 La fonction f est définie sur R, en particulier, quel que soit u 0, la relation u n+1 = f(u n ) définit bien (u n ). De plus f est strictement croissante sur ],1] et strictement décroissante sur [1, + [. Premier cas : u 0 = 0, u 0 = 1 ou u 0 = 2. On remarque que f(0) = f(2) = 0. En particulier si u 0 = 0, alors u n = 0 pour tout n par une récurrence immédiate. Si u 0 = 2, alors u 1 = 0 puis u n = 0 pour tout n 1. Enfin on remarque que f(1) = 1 donc, si u 0 = 1, alors u n = 1 pour tout n N. Limites possibles : si (u n ) converge vers un certain réel l, alors d après la relation u n+1 = f(u n ) et par continuité de f, on a l = f(l), donc l l 2 = 0, i.e. l = 0 ou l = 1. Deuxième cas : u 0 I 0 = ],0[. L intervalle I 0 est stable par f car f est strictement croissante sur I 0 avec f(0) = 0. Par récurrence, on montre alors que u n I 0 pour tout n. Pour tout x I 0, f(x) x car x x 2 0. En particulier, pour tout n, u n+1 = f(u n ) u n, donc (u n ) est décroissante. Si elle convergeait, sa limite l devrait vérifier l u 0 < 0, ce qui contredit le fait que l = 0 ou 1. Donc u n d après le théorème de la limite monotone. Troisième cas : u 0 I 1 = ]0,1]. L intervalle I 1 est stable par f car f est strictement croissante sur I 1 avec f(0) = 0 et f(1) = 1. Pour tout x I 1, f(x) x car x x 2 = x(1 x) 0. On en déduit que (u n ) est à valeurs dans I 1 et qu elle est croissante. Elle est donc convergente, et sa limite l vérifie l I 1 par croissance de (u n ). Sachant que l = 0 ou l = 1, on a finalement l = 1 : (u n ) converge vers 1. Cas particulier du précédent : u 0 I 2 = [3/4,1]. La fonction f est continue et croissante sur ],1], donc f(i 2 ) = [f(3/4),f(1)] = [15/16,1] I 2. De plus f est dérivable sur R avec f (x) = 2(1 x) 1 2 pour tout x I 2. La fonction f est donc 1/2-contractante sur I 2. Si u 0 I 2, alors pour tout n N, u n I 2 car I 2 est stable par f, et u n+1 1 = f(u n ) f(1) 1 2 u n 1. 6

15 On montre alors par récurrence sur n que u n n u 0 1 pour tout n N. On retrouve, par encadrement, le fait que dans ce cas, u n 1, car 1/2 n 0. Mais on a de plus une estimation de la vitesse de convergence. D ailleurs, dans le cas où u 0 I 0 = ]0,1], on a montré que (u n ) converge vers 1 en croissant. Il existe donc n 0 N tel que u n0 [3/4,1]. L estimation de la vitesse de convergence s applique à partir de n 0. Autres cas : si u 0 [1,2[, alors u 1 ]0,1] = I 1 et, à un décalage d indice près, on est dans la situation du troisième cas, donc u n 1. Si u 0 > 2, alors u 1 ],0[= I 0 et, à un décalage d indice près, on est dans la situation du deuxième cas, donc u n. III. Suites récurrentes linéaires d ordre 2 Les raisonnements de cette partie utilisent des notions d algèbre linéaire, vues en première année et qui seront rappelées en détails dans le chapitre Espaces vectoriels et applications linéaires. Soit (a,b) K 2. On cherche à déterminer l ensemble noté S a,b des suites d éléments de K, vérifiant la relation de récurrence linéaire d ordre 2 suivante : n N, u n+2 + au n+1 + bu n = 0. Première formulation : soit F : (u n ) n N (u n+2 +au n+1 +bu n ) n N. On vérifie très facilement que F L (K N ), et on cherche à déterminer l ensemble des solutions de l équation linéaire F(u) = 0 K N, i.e. S a,b = Ker(F). En particulier, S a,b est un sous-espace vectoriel de K N. Deuxième formulation : soit φ : { S a,b K 2 u = (u n ) (u 0,u 1 ) En imposant les conditions initiales u 0 = x et u 1 = y, le problème revient à déterminer l ensemble des éléments u de S a,b tels que φ(u) = (x,y). Théorème L application φ est un isomorphisme de S a,b sur K 2. En particulier, dim(s a,b ) = 2. Démonstration Tout d abord, φ est linéaire : soient u = (u n ) et v = (v n ) deux suites et λ un scalaire. Alors φ(λu + v) = (λu 0 + v 0,λu 1 + v 1 ) = λ(u 0,u 1 ) + (v 0,v 1 ) = λφ(u) + φ(v). La bijectivité de φ se traduit ainsi : pour tout (x,y) K 2, il existe une unique suite vérifiant la relation de récurrence d ordre 2, et dont les deux premiers termes sont respectivement x et y. Or, les relations { un+2 + au n+1 + bu n = 0 n N u 0 = x, u 1 = y définissent entièrement et de façon unique la suite (u n ) : φ est donc un isomorphisme. Reste à savoir comment déterminer explicitement une suite (u n ) de S a,b en fonction de ses deux premiers termes. Propriété Pour r K, la suite géométrique (r n ) n N appartient à S a,b si et seulement si r est une solution de l équation caractéristique associée : x 2 + ax + b = 0. (E) 7

16 Démonstration Si (r n ) n N appartient à S a,b, alors pour tout n N, r n+2 + ar n+1 + br n = 0. Avec n = 0, on obtient r 2 + ar + b = 0. Si r 2 + ar + b = 0, en multipliant cette égalité par r n, on obtient r n+2 + ar n+1 + br n = 0 pour tout n N, donc (r n ) n N appartient à S a,b. Théorème On suppose (a,b) (0,0). Si (E) admet deux racines distinctes r 1 et r 2 dans K, alors les suites ((r 1 ) n ) et ((r 2 ) n ) forment une base de S a,b. Pour tout (u n ) S a,b, il existe un unique couple (λ,µ) K 2 tel que, pour tout n N, u n = λ(r 1 ) n + µ(r 2 ) n. Si (E) admet une racine double r dans K, alors les suites (r n ) et (nr n ) forment une base de S a,b. Pour tout (u n ) S a,b, il existe un unique couple (λ,µ) K 2 tel que, pour tout n N, u n = λr n + µ nr n = (λ + µn)r n. Si K = R et si (E) admet deux racines complexes conjuguées distinctes z = ρe iθ et z, alors les suites (ρ n cos(nθ)) et (ρ n sin(nθ)) forment une base de S a,b. Pour tout (u n ) S a,b, il existe un unique couple (λ,µ) R 2 tel que, pour tout n N, u n = λρ n cos(nθ) + µ ρ n sin(nθ) = ρ n (λcos(nθ) + µ sin(nθ)). Démonstration On sait que ((r 1 ) n ) et ((r 2 ) n ) appartiennent à S a,b d après la propriété précédente. De plus, S a,b est de dimension 2. Il suffit donc de montrer que ((r 1 ) n ) et ((r 2 ) n ) sont indépendantes. Supposons qu il existe deux scalaires λ et µ tels que λ(r 1 ) n + µ(r 2 ) n = 0 pour tout n. On en déduit en particulier, pour n = 0 et n = 1, que (λ,µ) est solution du système linéaire { λ + µ = 0 λr 1 + µ r 2 = 0 Or, r 1 et r 2 étant distinctes, ce système est de rang 2, et son unique solution est (0,0). Donc λ = µ = 0. On procède de la même façon lorsque (E) possède une racine double r. Il suffit de remarquer que la suite (nr n ) appartient à S a,b car, pour tout n 0, (n + 2)r n+2 = (n + 2)r n [ (ar + b)] = a(n + 2)r n+1 b(n + 2)r n Or, r étant racine double du polynôme X 2 + ax + b, on a = a(n + 1)r n+1 bnr n (ar + 2b)r n. X 2 + ax + b = (X r) 2 = X 2 2rX + r 2. On en déduit que a = 2r et b = r 2, d où ar+2b = 0. Ainsi (nr n ) vérifie la relation de récurrence d ordre 2. La liberté de la famille se prouve comme dans le point précédent (elle est même plus simple, il suffit de remarquer que r 0 car (a,b) (0,0)). Enfin, lorsque K = R et (E) admet deux racines complexes conjuguées distinctes z = ρe iθ et z = ρe iθ, on sait d après le premier point que (z n ) et ( z n ) forment une base de S a,b vu comme C-espace vectoriel. Il suffit de remarquer que ρ n cos(nθ) = Re(z n ) = 1 2 (zn + z n ), 8

17 et donc (ρ n cos(nθ)) appartient à S a,b comme combinaison linéaire de (z n ) et ( z n ). De même, ρ n sin(nθ) = Im(z n ) = 1 2i (zn z n ), et donc (ρ n sin(nθ)) appartient à S a,b comme combinaison linéaire (dans C, même si cette suite est réelle) de (z n ) et ( z n ). La liberté de la famille se prouve à nouveau comme dans le premier point, en remarquant que ρ 0 et sin(θ) 0 car z est complexe non réel. Méthode Pour déterminer explicitement λ et µ, qui sont les coordonnées de (u n ) sur la base que l on vient d expliciter (selon les cas), on procède en considérant les deux premiers termes. Par exemple, dans le premier cas, pour trouver λ et µ tels que u n = λ(r 1 ) n + µ(r 2 ) n pour tout n N, on résout le système { λ + µ = u0 correspondant à n = 0 et n = 1. λr 1 + µ r 2 = u 1 Dans le second cas, on résout le système { λ = u0 et dans le troisième, { λr + µ r = u 1 λ = u 0 λρcos(θ) + µ ρsin(θ) = u 1. Dans tous les cas, le système à résoudre est de rang 2. Exemple Déterminons explicitement la suite (u n ) définie par u 0 = 0, u 1 = 1 et pour tout n N, u n+2 = u n+1 + u n. L équation caractéristique associée à cette suite suite récurrente linéaire d ordre 2 est qui possède deux racines distinctes, r 1 = X 2 = X + 1 et r 2 = On sait donc qu il existe (λ,µ) R 2 tel que pour tout n N, u n = λ(r 1 ) n + µ(r 2 ) n. Les conditions initiales donnent { { λ + µ = 0 λ + µ = 0 λr 1 + µr 2 = 1 λr 1 λr 2 = 1 λ + µ = 0 1 λ = r 1 r 2 λ = 1 5 µ = 1 5 Finalement, pour tout n N, ( u n = ) n ( ) n 5. 2 La suite (u n ) est appelée suite de Fibonacci. Le réel r 1 = est le nombre d or. 9

18 10

19 Chapitre 2 Séries numériques Dans ce chapitre, K désigne R ou C et (u n ) une suite d éléments de K. I. Définition et convergence d une série 1. Notion de série Définition Soit (u n ) une suite d éléments de K. Notons, pour tout entier naturel p, p S p = u n. On appelle série de terme général u n la suite (S p ) p N. Elle est notée u n, u n ou n. n 0 n Nu Le scalaire S p est appelée somme partielle d ordre p de cette série. n=0 Remarques Bien sûr, on s autorise aussi à considérer des suites (u n ) définies à partir d un certain rang n 0. Dans ce cas, on note n n 0 u n la série correspondante. On peut aussi poser u n = 0 pour n < n 0 afin de définir n 0 u n. Pour simplifier les notations, on écrira la plupart des résultats pour une série n 0 u n. On parle de séries numériques pour les distinguer des séries de fonctions, des séries entières, que nous étudierons également. Définition Somme d une série convergente La série n 0 u n est convergente (i.e., la suite (S p ) possède une limite dans K) si et seulement s il existe S K tel que Dans ce cas, cette limite S est notée p n=0 u n + n=0 S. p + Dans le cas contraire, la série est dite divergente. u n. Elle est appelée somme de la série. Remarque On notera bien la distinction entre les objets n 0u n et Le premier existe toujours et désigne une suite, le second existe si et seulement si la série converge, et désigne alors un élément de K. + n=0 u n. 11

20 Propriété/Définition Soit n 0 u n une série et m un entier naturel. Alors la série n m+1 u n est de même nature (convergente ou divergente) que n 0 u n. Si elle converge, sa somme R m = est appelé reste d ordre m de la série. + n=m+1 u n Démonstration Pour tout p m + 1, p u n n=0 p n=m+1 u n = ne dépend pas de p. La suite n 0 u n n m+1 u n est donc stationnaire. En particulier, les séries n 0 u n et n m+1 u n sont de même nature. Propriété Si n 0 u n converge, la suite (R m ) converge vers 0. m n=0 u n Démonstration En notant S p les sommes partielles de la série, on a en passant à la limite lorsque p + dans l égalité de la démonstration précédente, + n=0 et ce pour tout m N. Or, par définition, S m u n = S m + R m, + u n. Le résultat suit par différence. m + n=0 La propriété suivante montre que si nécessaire, l étude des séries de nombres complexes se ramène à l étude des séries de réels : Propriété Une série n 0 u n de nombres complexes converge si et seulement si les séries Re(u n ) et n 0 Im(u n ) (séries des parties réelles et imaginaires de u n ) convergent. Dans ce cas, + n=0 u n = + n=0 n 0 Re(u n ) + i + n=0 Im(u n ). Démonstration Pour tout p N, p u n = n=0 p (Re(u n ) + i Im(u n )) = n=0 p Re(u n ) + i n=0 p Im(u n ). Or, d après une propriété connue sur les suites, ( p n=0 u n) a une limite dans K si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire ont une limite finie (dans R), ce qui équivaut d après l égalité ci-dessus à la convergence des séries n 0 Re(u n) et n 0 Im(u n). En cas de convergence, on a l égalité souhaitée en passant à la limite dans l égalité ci-dessus. n=0 12

21 2. Premiers exemples Série géométrique Soit z un nombre complexe. On appelle série géométrique de raison z la série n 0z n. On sait que pour tout entier naturel p, p 1 z p+1 S p = z n si z 1 = 1 z n=0 p + 1 si z = 1. Ainsi, (S p ) est convergente si et seulement si : z 1 et (z p ) converge. Ceci équivaut à : z < 1. En effet, si z < 1, alors z 1 et (z p ) converge. Réciproquement, si z 1 et si (z p ) converge, alors z 1 (car (z p ) diverge si z > 1). Supposons que z = 1; sachant de plus que (z p ) converge, sa limite l vérifie l 0; en remarquant que z p+1 /z p = z pour tout p N, et en passant à la limite dans cette relation, on obtient z = 1, ce qui est exclu. Donc z < 1. En cas de convergence, on a + z n = 1 1 z. n=0 Si z est un nombre complexe tel que z < 1, alors le reste d ordre m de la série géométrique de raison z est Série harmonique R m = On appelle série harmonique la série k 1 + n=m+1 1 k. La série harmonique est divergente : en notant H n = H 2n H n = 2n k=1 1 n k 1 k = k=1 z n = zm+1 1 z. 2n k=n+1 n k=1 1 k 1 k 1 2n pour tout n 1, on a 2n k=n+1 1 = 1 2. Si la série harmonique convergeait, on aurait H 2n H n 0, ce que contredit l inégalité précédente. Série harmonique alternée On appelle série harmonique alternée la série ( 1) k 1. k k 1 La série harmonique alternée converge et sa somme est ln(2). En effet, on remarque que pour tout n 1, n ( 1) k 1 n 1 ( 1 n ) = ( 1) k 1 t k 1 dt = ( t) k 1 dt. k k=1 k=1 k=1 0 On reconnaît la somme des premiers termes d une série géométrique de raison t 1 : ( 1 n ) 1 ( 1) k 1 t k 1 1 ( t) n dt = dt = t t dt ( t) n t dt. Or, t dt = ln(2) et 1 0 ( t) n 1 + t dt k=1 t n dt = 1 n

22 Séries téléscopiques On appelle série télescopique une série de la forme n+1 u n ). n 0(u L expression des sommes partielles de cette série est très simple, car pour tout entier naturel p, p p p p+1 p (u n+1 u n ) = u n+1 u n = u n u n = u p+1 u 0. n=0 n=0 n=0 n=1 n=0 On en déduit le résultat suivant : Propriété La série n 0(u n+1 u n ) converge si et seulement si la suite (u n ) converge. Exemple Pour p 1, La série n 1 1 n(n + 1) p n=1 1 p ( 1 n(n + 1) = n 1 ) = 1 1 n + 1 p + 1. n=1 est donc convergente, et sa somme est Une condition nécessaire mais non suffisante de convergence Propriété Soit n 0u n une série convergente. Alors u n tend vers 0 lorsque n +. Démonstration En notant S n = n u k, on a, pour tout entier n 1, k=0 u n = S n S n 1. Par hypothèse, (S n ) converge, et donc (S n 1 ) converge également, vers la même limite. Par différence, u n 0. Attention! Il ne faut surtout pas confondre cette proposition avec sa réciproque qui est fausse : ce n est pas parce que le terme général d une série tend vers 0 que cette série converge : l exemple de la série harmonique le montre bien. Remarque On utilise souvent la contraposée de ce résultat : si u n ne tend pas vers 0, alors la série n 0 u n est divergente. On parle alors de divergence grossière. Remarques Par définition, étudier une série n 0 u n revient à étudier la suite (S p ) de ses sommes partielles. On pourrait donc croire que le travail est déjà fait. Pourtant, sauf cas très favorables, on ne peut pas simplifier l expression des sommes partielles S p. Nous allons voir qu en fait, on passe très rarement par l étude directe de la suite des sommes partielles pour étudier une série. On va donc plutôt développer des critères portant sur le terme général u n. Inversement, la démonstration précédente introduit une méthode intéressante pour étudier une suite (u n ) à partir de la série n 0 u n. En effet, on a vu que pour n 1, u n = S n S n 1. L étude de (S n ) donne donc des informations sur (u n ). 14

23 4. Opérations sur les séries Propriété Soient n 0 u n et n 0 v n deux séries convergentes, et λ K. Alors la série (λu n + v n ) n 0 converge et + (λu n + v n ) = λ + u n + + n=0 n=0 n=0 v n. Démonstration Pour p N, on a p (λu n + v n ) = λ n=0 p u n + n=0 p n=0 v n λ + u n + p + n=0 + v n par définition de la convergence des deux séries n 0 u n et n 0 v n et par combinaison linéaire de limites. Ceci signifie exactement que la série n 0 (λu n + v n ) converge ainsi que la formule annoncée. Corollaire L ensemble des séries convergentes d éléments de K est un K-espace vectoriel. n=0 Très souvent, les hypothèses des théorèmes sur les séries seront vérifiées à partir d un certain rang. Cela n empêchera pas leur application, grâce à la propriété suivante : Propriété Soit (u n ) et (v n ) deux suites dont seulement un nombre fini de termes diffèrent. Alors les deux séries n 0 u n et n 0 v n sont de même nature. Attention! En revanche, elles n ont pas nécessairement même somme. II. Séries de réels positifs 1. Critère de convergence, théorèmes de comparaison Propriété Soit n 0 u n une série à termes réels positifs. Alors, pour que cette série converge, il faut et il suffit que la suite de ses sommes partielles soit majorée. Dans ce cas, on a + n=0 u n = sup p 0 p u n. n=0 Démonstration La suite des sommes partielles (S p ) est croissante. Le résultat vient donc du théorème de la limite monotone : si (S p ) est majorée, alors la série converge vers sa borne supérieure, sinon elle diverge vers +. 15

24 Théorème Soient n 0 u n et n 0 v n deux séries à termes réels positifs, et soit n 0 N. Si pour tout n n 0, u n v n et si v n converge, alors u n converge et n 0 n u n v n. n=n 0 n=n 0 Si pour tout n n 0, u n v n et si u n diverge, alors n diverge. n 0 n 0v Si u n v n, alors les séries n 0 u n et n 0 v n sont de même nature. Rappel Pour des suites (u n ) et (v n ) à termes positifs telles que v n 0 à partir d un certain rang N, la condition u n v n signifie que u n v n 1, i.e., ε > 0, n 1 N, n 1 N; n n 1, (1 ε)v n u n (1 + ε)v n. Démonstration du théorème De l hypothèse, on déduit que pour tout p n 0, p p 0 u n v n. n=n 0 n=n 0 Si n 0 v n converge, n n 0 v n converge, donc la suite de ses sommes partielles est majorée d après la propriété précédente. Il en est donc de même pour n n 0 u n. D après la propriété précédente, n n 0 u n converge, et donc n 0 u n converge. De plus, en passant à la limite dans l inégalité précédente, on obtient u n v n. n=n 0 n=n 0 Le deuxième point est tout simplement la contraposée du premier. Si u n v n, alors il existe n 1 N tel que pour tout n n 1, 1 2 v n u n 3 2 v n. Les deux premiers points, et le fait que l on ne modifie pas la nature d une série par multiplication par un scalaire non nul, permettent de conclure. Exemples Montrons que la série n 1 1 converge. Pour tout n 2, n2 0 1 n 2 1 n(n 1). Or, nous avons prouvé plus haut (à un décalage d indices près), que la série n 2 On en déduit le résultat par comparaison de séries à termes positifs. De même, la série n 1 1 n(n 1) converge. 1 n diverge par comparaison avec la série harmonique : pour tout n 1, 0 1 n 1 n. Or on a montré plus haut que la série harmonique diverge. On en déduit le résultat par comparaison de séries à termes positifs. 16

25 La série n 1nsin ( ) 1 n 2 diverge : en effet ( ) 1 n sin n 2 1 n > 0. Par comparaison avec la série harmonique, divergente et à termes positifs, on en déduit le résultat. Remarques On peut bien sûr remplacer l hypothèse «à termes positifs» par l hypothèse «à termes négatifs» (si on le fait, ce doit être pour les deux séries). En revanche, l hypothèse de même signe constant est essentielle. Par exemple, pour n 1, 1 n 1 n 2, et la série n 1 1 n 2 converge. Bien sûr, pourtant, la série 1 n diverge. n 1 Le théorème précédent montre bien l utilité de connaître la nature de quelques séries de référence auxquelles on pourra essayer de comparer les séries que l on étudiera. Nous connaissons déjà la nature de la série géométrique, des séries de termes généraux 1/n, 1/n 2, 1/ n. En fait, ces trois derniers exemples se généralisent : Théorème/Définition : Séries de Riemann Une série de Riemann est une série de la forme 1 où α R. nα n 1 On a le critère suivant de convergence des séries de Riemann : n 1 1 converge si et seulement si α > 1. nα Démonstration Si α 1, alors pour tout n 1, 0 1 n 1 n α, donc la série n 1 1/nα diverge par comparaison avec la série harmonique. Si α > 1, on remarque que pour tout n 2, et pour tout t [n 1,n], 1 n α 1 t α, et donc, après intégration sur [n 1,n], intervalle de longueur 1, on a 1 n α n n 1 1 t α dt. En sommant ces inégalités pour n entre 2 et p 2, et en ajoutant le terme manquant correspondant à n = 1, on obtient, d après la relation de Chasles, p n=1 1 p n α [ 1 t α dt = (1 α)t α 1 ] p 1 = ( 1 1 ) α 1 p α α 1 car α 1 > 0. La suite des sommes partielles de la série n 1 1/nα, qui est à termes positifs, est majorée. On en déduit que la série n 1 1/nα converge lorsque α > 1. 17

26 Exemple La série n 0 n8 e n converge : la suite de terme général n 2 n 8 e n = n 10 e n tend vers 0 par croissances comparées puissance/exponentielle. Donc pour n assez grand, 0 n 8 e n 1 n 2. Par comparaison de séries à termes positifs, on en déduit le résultat, car la série de Riemann 1 n2, d exposant 2 > 1, converge. n 1 On peut souvent montrer par cet argument la convergence de séries dont le terme général converge assez vite vers 0. L idée de la démonstration du théorème précédent (dans le cas où α > 1) est généralisable : considérons une fonction f : [0, + [ R + continue et décroissante. Si n N, on a pour tout t [n 1,n], f(n) f(t), et donc, après intégration sur [n 1,n], De la même façon, pour tout n N, f(n) n+1 n n n 1 f(t)dt. f(t)dt f(n). Ceci est illustré sur le graphique suivant, l aire sous la courbe de f entre les points d abscisses n 1 et n étant minorée par l aire du rectangle de base 1 et de hauteur f(n), et l aire sous la courbe de f entre les points d abscisses n et n+1 étant majorée par l aire de ce même rectangle. C f f(n) n 1 n n + 1 En additionnant la première inégalité pour n entre 1 et p 1 puis en ajoutant f(0), et en additionnant la seconde pour n entre 0 et p, on obtient p+1 0 f(t)dt p f(n) f(0) + n=0 p 0 f(t)dt. On peut donc, grâce à la méthode des rectangles, encadrer les sommes partielles de la série n 0 f(n). Si l on sait calculer les intégrales de f, ou au moins décrire leur comportement, ceci peut permettre de décrire le comportement asymptotique des sommes partielles p n=0 f(n) lorsque p +. Remarque On adapte facilement cet encadrement : Lorsque f est définie sur [n 0, + [, comme dans la démonstration du critère de convergence des séries de Riemann avec n 0 = 1. Lorsque f est croissante. 18

27 Exemples La série harmonique correspond au choix de la fonction inverse qui est continue, décroissante et positive sur [1, + [; en mettant en oeuvre la méthode précédente, on obtient, pour tout p 1, p p t dt 1 p n f(1) t dt, n=1 c est-à-dire, ln(p + 1) p n=1 1 n 1 + ln(p). On retrouve la divergence de la série harmonique, mais bien plus précisément, car par encadrement, on obtient que p n=1 1 n ln(p). p + En effet, 1 + ln(p) ln(p) et p + ( ln(p + 1) = ln(p) + ln ) p = ln(p) + o(1) p + ln(p). p + En sommant différemment les inégalités obtenues par la méthode des rectangles, on peut obtenir d autres résultats intéressants. Par exemple, dans le cas des séries de Riemann convergentes, c està-dire lorsque f : t 1/t α avec α > 1 (f est continue, décroissante et positive sur [1, + [), on a pour tout n 2, n+1 n f(t)dt f(n) n n 1 f(t)dt. En sommant ces inégalités entre m + 1 avec m 1 et p m + 1, on obtient donc c est-à-dire p+1 m+1 f(t)dt p n=m+1 f(n) p m f(t)dt, 1 α 1 ( ) 1 (m + 1) α 1 1 (p + 1) α 1 p n=m+1 1 n α 1 α 1 ( 1 m α 1 1 ) p α 1. Lorsque p tend vers +, tous les termes ont une limite finie et on obtient 1 α (m + 1) α 1 n=m+1 1 n α 1 α 1 1 m α 1, ce qui entraîne que + n=m+1 1 n α m + 1 α 1 1 m α 1. On obtient donc un équivalent des restes d ordre m de la série n 1 1 lorsque m +. nα 19

28 2. La règle de d Alembert Théorème Règle (ou critère) de d Alembert Soit n 0u n une série à termes réels strictement positifs. On suppose que possède une limite l 0 (éventuellement infinie). ( un+1 u n ) Si l [0,1[, alors n 0u n converge. Si l > 1 ou si l = +, alors n 0 u n diverge grossièrement. Si l = 1, on ne peut pas conclure. Démonstration On suppose que ( un+1 u n ) a une limite l [0,1[. En appliquant la définition de la limite avec ε = 1 l 2, on en déduit qu il existe n 0 N tel que pour tout n n 0, 0 u n+1 u n l + ε = 1 + l 2 En notant k = 1 + l 2, on a k [0,1[ et pour n n 0, Montrons alors par récurrence que pour tout n n 0, < 1. 0 u n+1 u n k. (1) 0 u n u n 0 k n 0 kn. Pour n = n 0, le résultat est vrai car il se lit 0 u n0 u n0. Si le résultat est vrai au rang n, alors d après (1), 0 u n+1 ku n k u n 0 k n kn = u n 0 0 k n kn+1 ; 0 le résultat est donc vrai au rang n + 1 et d après le principe de récurrence, il est vrai pour tout n n 0. La série de terme général k n converge car c est la série géométrique de raison k [0,1[, donc la série u n0 k n kn converge. Par comparaison de séries à termes positifs, la série 0 n 0 u n n n 0 converge. On procède de la même façon dans le cas où l > 1. On obtient l existence de k > 1 tel que pour tout n assez grand, u n+1 u n k. On en déduit que k n = O(u n ). Or, sachant que k > 1, k n + lorsque n + et il en est donc de même pour u n. En particulier, n 0 u n diverge grossièrement. Remarques Lorsqu elle s applique, la règle de d Alembert permet de conclure à des convergences, ou des divergences grossières, c est-à-dire, des comportements particuliers. Souvent, la limite du quotient, si elle existe, est égale à 1, et on ne peut pas conclure par cet argument. Par exemple, il ne s applique pas aux séries n, 1/n 2. Souvent aussi, cette limite n existe pas et la règle ne s applique pas. En revanche, la règle de d Alembert est très efficace pour traiter des séries qui «ressemblent» à des séries géométriques. 20

29 Il n existe pas de réciproque à la règle de d Alembert : si une série n 0 u n à termes positifs converge, on ne peut pas en déduire quoi que ce soit sur le comportement du quotient u n+1 /u n, qui peut même ne pas être défini! Il est indispensable de passer à la limite dans la règle de d Alembert : si u n > 0 pour tout n, le fait que le quotient u n+1 /u n appartienne à [0,1[, ou à ]1, + ], pour tout n, ne permet aucune conclusion quant à la convergence ou divergence de la série n 0 u n. Exemple Soit x un réel positif. Montrons que la série n 0nx n converge si et seulement si x [0,1[. Si x = 0 le résultat est évident. Sinon, pour tout n, (n + 1)x n+1 nx n = n + 1 n x x. n + Par conséquent, d après la règle de d Alembert, si x < 1, la série converge, si x > 1, elle diverge. Si x = 1, on ne peut pas conclure par la règle de d Alembert mais on obtient la série n qui diverge grossièrement. 3. Développement décimal d un nombre réel On a l habitude, au point de ne plus y penser, d écrire nos nombres en base 10. Pourtant, notre système de numération est le fruit de plusieurs millénaires de maturation depuis l apparition des premiers systèmes de numérations additifs (égyptien, romain et grec par exemple), qui consistaient à représenter un nombre entier par juxtaposition de symboles représentant chacun une quantité fixée (1, 10, 50,...), la valeur du nombre représenté étant la somme des valeurs des différents symboles. Sont ensuite apparus des systèmes de numération dans lesquels la valeur d un symbole dépend de sa place dans l écriture : ils sont dits systèmes de numération de position. Les sytèmes chinois, babylonien et bien sûr les systèmes de base b en sont des exemples. Et ce n est qu autour du 4 e siècle de notre ère que le zéro, venu d Inde, efface les ambiguïtés dues aux espaces dans l écriture d un nombre, pour prendre, peu à peu, un véritable caractère opératoire. D ailleurs, la base 10 n est pas plus naturelle que d autres qui ont été et sont encore largement utilisées dans de nombreuses civilisations : la base 12 et la base 60 ont l avantage d offrir de plus nombreux diviseurs que la base 10; on se sert encore de la première pour compter les oeufs par exemple, de la seconde pour l heure. La base 2 enfin a pris toute son importance avec le développement de l informatique, évidemment (c est Leibniz qui en avait entrevu l importance). La notion de série permet de définir l écriture en base b des nombres réels ; donnons l exemple de l écriture décimale des réels de [0,1[. Propriété/Définition Soit (a n ) n 1 une suite d entiers naturels compris entre 0 et 9. Alors la série n 1 a n 10 n converge. En notant x sa somme, on a x [0,1], et on dit que cette série est un développement décimal (ou en base 10) de x. Démonstration Les a n étant compris entre 0 et 9 pour tout n 1, on a l encadrement 0 a n 10 n 9 10 n. Par comparaison avec une série géométrique de raison 0,1 et de premier terme 9 (dont la somme est 1, voir la remarque suivante), on en déduit la convergence de la série et le fait que x [0,1]. 21

30 Remarque Contrairement à ce qu on pourrait croire, un tel développement n est pas unique : posons + 9 x = 10 n = 0, Alors x = 9 + n=1 n= n = = 1 = 1, Pour éviter ce phénomène, on définit les développements décimaux propres : Définition Avec les notations précédentes, on dit que n 1 a n/10 n est un développement décimal propre de x si la suite (a n ) ne devient pas constante égale à 9. On a alors le résultat suivant : Théorème Tout réel x [0,1[ possède un unique développement décimal propre. Démonstration de l existence d un développement décimal (démonstration non exigible) Fixons x [0,1[. Dans ce qui suit, la notation a désigne la partie entière d un réel a. Pour tout n N, on pose A n = 10n x 10 n, en remarquant que A 0 = x = 0, et pour tout n 1, on pose a n = 10 n (A n A n 1 ), de sorte que A n soit la troncature de x à n décimales, et a n la n-ième décimale du développement de x. Pour tout n 1, on a 0 a n 9. En effet, d où On en déduit que 1 10 n = 10 n x 1 < 10 n x 10 n x, x 1 10 n < A n x. (2) ( x 1 ) ( 10 n x < A n A n 1 < x x 1 ) 10 n 1 = 1 10 n 1 et finalement l inégalité 0 a n 9 pour tout n 1. D après la propriété précédente, la série n 1 a n/10 n converge. En fait, on remarque que la série n 1 a n/10 n est télescopique, et pour tout p 1, p Or, d après l inégalité (2), A p a n p 10 n = n=1 n=1 (A n A n 1 ) = A p A 0 = A p. x, d où le résultat. p + Remarque On peut montrer qu un réel x [0,1[ est rationnel si et seulement si son développement décimal propre est périodique à partir d un certain rang. 22

31 III. Convergence absolue 1. Définition et lien avec la convergence La partie précédente montre que les séries à termes positifs jouent un rôle particulier et que l on dispose pour ces séries de critères de convergence. Il serait donc intéressant de pouvoir s y ramener. Pour cela, la démarche la plus naturelle est de considérer la série n 0 u n. Définition On dit que la série n 0 u n est absolument convergente si la série n 0 u n converge. Théorème Si n 0 u n est absolument convergente, alors elle est convergente. Dans ce cas, on a l inégalité triangulaire + + u n u n. n=0 n=0 Démonstration Les séries n 0 Re(u n) et n 0 Im(u n) sont absolument convergentes par comparaison, car pour tout n 0, Re(u n ) Re(u n ) 2 + Im(u n ) 2 = u n et de même Im(u n ) u n. Si l on montre que les séries n 0 Re(u n) et n 0 Im(u n) convergent, alors d après une propriété donnée plus haut, on saura que n 0 u n converge. Posons α n = Re(u n ) (ainsi n 0 α n converge) et Pour tout n N, α + n = max{0,α n } = 1 2 ( α n + α n ), α n = max{0, α n } = 1 2 ( α n α n ). 0 α + n α n, 0 α n α n. Par comparaison de séries à termes positifs, n 0 α+ n et n 0 α n convergent. On remarque enfin que l on a α n = α + n α n, et donc, par différence, n 0 α n converge. On procède de même avec la partie imaginaire. On a alors, pour tout p N, p u n n=0 d où, en passant à la limite, l inégalité souhaitée. Exemples p u n, La série géométrique n 0 zn est absolument convergente si et seulement si n 0 z n converge, ce qui équivaut à : z < 1. On remarque que dans ce cas, la convergence équivaut à la convergence absolue, mais c est un cas très particulier. La série ( 1) n est absolument convergente. n(n + 1) n 1 Attention! La réciproque du théorème ci-dessus est fausse, comme le montrent les exemples des séries harmonique et harmonique alternée : ( 1) n 1 converge mais ( 1) n 1 n n = 1 n diverge. n 1 n 1 n 1 Si la série ne converge pas absolument, on ne peut pas en déduire qu elle ne converge pas. n=0 23