Cours Thème VII.3 et 4 SYSTÈMES ASSERVIS ANALOGIQUES ET ECHANTILLONNÉS

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1 Cours hème VII.3 e 4 SYSÈMES ASSERVIS ANALOGIQUES E ECHANILLONNÉS I- RAPPELS SUR LES SYSÈMES - Définiions Un sysème es un ensemble de rocessus hysique-chimiques en évoluion. Des acions sur le sysème (enrées) son effecuées dans le bu d'obenir des objecifs donnés (sories). Les signaux relaifs à un sysème son de deux yes : Signaux d'enrées : ils son indéendans du sysème e euven êre commandables (consignes) ou non commandables (erurbaions). Signaux de sories : ils son déendans du sysème e du signal d'enrée. Pour évaluer les objecifs, ces signaux doiven êre observables ar uilisaion de caeurs. Le schéma ci-dessous illusre un sysème à une enrée de commande, une sorie e une enrée de erurbaion : Enrée ( erurbaion ) La consigne : C'es une grandeur d'origine héorique qui eu se résener sous deux formes : Signal analogique : ar exemle la ension de sorie d'un oeniomère. Informaion : conenu d'une variable informaique, ar exemle la variable osiion dans le cas d'une commande de osiion angulaire d'une anenne. Le bloc de commande : C'es l'organe ermean de raduire la consigne en une grandeur de commande comaible avec le sysème. C'es ar exemle, un amlificaeur suiveur de uissance our la commande de viesse d'un moeur à couran coninu. La commande : C'es la grandeur susceible de changer l'éa du sysème e en ariculier l'éa de la sorie. II- SYSÈMES EN BOUCLE OUVERE - Définiion Un sysème es en boucle ouvere lorsqu'on n'a aucune informaion sur la sorie. - Exemle Prenons l'exemle du réglage de la eméraure d'un four en agissan sur le débi du combusible assuran la roducion de chaleur ( schéma ci-dessous ) : Enrée ( commande ) SYSÈME Pourvu que ça marche Je n'ai aucune informaion sur la sorie. Je suis aveugle! Perurbaion ( ouverure ore du four ) - Elaboraion de la commande Le schéma ci-dessous illusre l'organisaion de la commande : Enrée ( erurbaion ) Oéraeur ( C ) de débi du combusible (débi) Sysème (four) ( 8 C) BLOC DE COMMANDE ( Amlificaeur, régulaeur ) Enrée (commande) SYSÈME S IRIS Physique Aliquée ( Chrisian BISSIERES ) Page sur 9 Cours : Sysèmes asservis

2 3- Inconvéniens de la boucle ouvere Correcion imossible : N'ayan aucune informaion sur la sorie, l'oéraeur ne eu élaborer aucune sraégie d'ajusemen our obenir la sorie désirée. Je comare la consigne ( C) à la mesure (8 C) e j'ajuse en conséquence (+ C) jusqu'à avoir C dans le four. Perurbaion ( ouverure ore du four ) Sensibilié aux erurbaion : En admean que la sorie soi conforme à la consigne; une erurbaion eu, à un momen donné, affecer la sorie. L'oéraeur "aveugle" ne ourra corriger cee siuaion. 4- Cas où la commande en boucle ouvere es ossible ( C ) Erreur ( + C ) de débi du combusible (débi ) Sysème (four) ( 8 C) La commande en boucle ouvere es ou de même rès uilisée dans des cas simles de sysèmes sables avec une moindre exigence sur la sorie. En voici quelques exemles : Moeurs élecriques : Lorsqu'on uilise un moeur our enraîner une charge, la commande es une source de ension e l'ensemble "moeur + charge" ourne, le lus souven à viesse consane. ( 8 C ) - Schéma général Schéma "emorel" Oéraeur Caeur de eméraure Four domesique : La commande d'un four domesique (non équié d'un hermosa) se fai ar un séleceur roaif e la eméraure aein une valeur sable. 3 Sysème d'arrosage : Pour un réseau d'arroseurs, l'ouverure simle de la vanne rinciale erme d'avoir un débi sable des arroseurs. e() x() Erreur ) Régulaeur u() Caeur Sysème s() III- GÉNÉRALIÉS SUR LES SYSÈMES ASSERVIS - Princie des sysèmes asservis Rerenons l'exemle de la commande en eméraure d'un four. Nous allons donner une informaion sulémenaire à l'oéraeur. Il s'agi de lui indiquer la eméraure du four. L'oéraeur comare la eméraure désirée (consigne) avec la eméraure réelle (mesure) our évaluer l'écar (erreur) e ajuser en conséquence (commande). Schéma "isomorhe" L'éude d'un sysème asservi es grandemen simlifiée si on uilise les ransmiances isomorhes our chaque consiuan. Les signaux auron donc subi une ransformaion de Lalace. E() ) U() S() C() G() Le schéma suivan rerésene le sysème asservi : X() K() S IRIS Physique Aliquée ( Chrisian BISSIERES ) Page sur 9 Cours : Sysèmes asservis

3 3- Exression des ransmiances Chaîne direce Si on ne rend as en come la chaîne de mesure (chaîne de reour), le schéma se rédui à celui de la figure ci-dessous : E() )E() U() S() C() G() 4- Cas ariculier du reour uniaire Définiion Un sysème es à reour uniaire si le caeur n'es as rerésené. Dans ce cas, la sorie S() à la même grandeur que la consigne E(). Le schéma se rédui à celui rerésené ci-dessous K(): E() ) S() C() G() On aelle ransmiance de la chaîne direce, la grandeur E() )E() U() S() CD () C()G() Boucle ouvere Si on ien come de la chaîne de mesure mais sans branchemen au comaraeur, on obien le schéma rerésené ci-dessous : X() S() E() S() L'exression de la ransmiance en boucle fermé es : ransformaion d'un cas général en "reour uniaire" S() C()G() BF (). E() C()G() C() G() K() On aelle ransmiance de la boucle ouvere, la grandeur : X() BO () K()C()G(). E() Cas général : E() ) S() C() G() X() K() 3 Boucle fermée Mainenan on rend le sysème asservi dans sa oalié (boucle fermée). Le schéma a déjà éé décri dans la arie - Schéma "isomorhe". S() C()G() BF () E() K()C()G() Noons BF () la ransmiance de la boucle fermée e exrimons là en foncion de K,C e G. S() )C()G() S() [ E()-X() ] C()G() S() [ E()-K()S() ] C()G() S() [ +K()C()G() ] E()C()G() Même rocessus mais avec reour uniaire : E() ) S() K()C()G() K() S() C()G() BF (). E() K()C()G() K()C()G() C()G() (). K()C()G() K. BF + () K()C()G() S IRIS Physique Aliquée ( Chrisian BISSIERES ) Page 3 sur 9 Cours : Sysèmes asservis

4 IV- SABILIÉ D'UN SYSÈME ASSERVI - Définiions log ( BO ) ulsaion de ransiion Définiion : Un sysème hysique es sable s'il reourne sonanémen vers son éa d'équilibre lorsqu'il en es écaré. db Définiion : Un sysème linéaire es sable si sa réonse imulsionnelle h() end vers zéro lorsque +. Définiion 3 : Un sysème linéaire de ransmiance H() es sable si ous ses ôles son à arie réelle sricemen négaive. Arg ( BO ) - Crière Mahémaique de sabilié Sysème du ordre : H() es sable si τ >. H() H τ -8 Marge de hase M ϕ Un sysème hysique du ordre sera oujours sable car il ossède, en rincie, une consane de ems τ sricemen osiive. H Sysème du ordre : H() m + H() es sable si > m >. Un sysème hysique du ordre sera oujours sable car il ossède, en rincie, des consanes m e sricemen osiives. Par conre, le sysème ourra endre vers l'insabilié lorsque m se raroche de zéro. La réonse du sysème sera du ye " oscillaions eu amories " mais amories quand même. Un sysème caracérisé ar m es un oscillaeur e sa sorie sera de forme sinusoïdale. 3- Crière grahique de sabilié ( lan de Bode ) On race, dans la lan de Bode, le diagramme de la foncion de ransfer de la boucle ouvere BO () K() C() G() : Le sysème devien insable lorsqu'il rodui un déhasage de 8, il y a alors inversion de signe e le comaraeur va addiionner la mesure au lieu de la sousraire à la consigne. Le sysème s'emballe e devien insable. On défini donc la marge de hase Mϕ : M 8 arg[ (j )] ϕ. BO La ulsaion de ransiion corresond à ou log. Crière de sabilié : Pour obenir une sabilié suffisane, on s'imose une marge de hase suérieure à 45 : M ϕ > 45 sabilié suffisane. Remarque : La marge de hase d'un sysème don la boucle ouvere es du ordre avec gain saique osiif aura oujours une marge de hase Mϕ > 9 car un ordre déhase au maximum de 9. La marge de hase d'un sysème don la boucle ouvere es du ordre avec gain saique osiif eu avoir une marge de hase Mϕ < 45 car un ordre déhase jusqu'à 8. S IRIS Physique Aliquée ( Chrisian BISSIERES ) Page 4 sur 9 Cours : Sysèmes asservis

5 V- PRÉCISION D'UN SYSÈME ASSERVI - Définiion Soi un sysème asservi à reour uniaire : E() ) S() S() () ε () corresond à la ransformée de Lalace du signal d'erreur ) e() s(). On a ) E() ()) ) [ () ] E() ε () E(). () L'erreur en régime ermanen ou "récision" es donné ar : ce qui donne : - Erreur saique lim + [ e() s() ] lim ) lim E(). () Lorsque la consigne es du ye échelon, l'erreur + ) es aelée erreur saique ou erreur de osiion ( voir schéma ci-dessous ): Erreur saique : ε ( ) e ( ) s ( ) e() Annulaion de l'erreur saique L'annulaion de l'erreur saique va déendre de la résence de ermes en (une inégraion) dans la chaîne direce () our un sysème à reour uniaire. Exemle : Sysème du ordre () lim ) lim E() lim E () τ Soi ε ( E. L'erreur saique sera grande si es ei devan. Exemle : Sysème du ordre () Erreur de viesse : ε ( ) e ( ) s ( ) τ ( modèle simlifié du moeur CC ) ( τ ) lim ) lim E() lim E () ( τ) Soi ε (. L'erreur saique sera nulle si le sysème en chaîne direce ossède un erme en. Généralisaion : Si le sysème en boucle ouvere ossède un erme en avec n enier n alors l'erreur saique sera nulle ( si e() E.Γ() ε ( ). 3- Erreur de viesse Lorsque la consigne es du ye "rame", l'erreur + ) es aelée erreur de viesse ou erreur de raînage ( voir schéma ci-dessous ): ε ( ) e() a. ε ( ) s() s() S IRIS Physique Aliquée ( Chrisian BISSIERES ) Page 5 sur 9 Cours : Sysèmes asservis

6 Annulaion de l'erreur de viesse L'annulaion de l'erreur de viesse va déendre de la résence de ermes en (deux inégraions) dans la chaîne direce () our un sysème à reour uniaire. Exemle : Sysème du ordre () ( modèle simlifié du moeur CC ) ( τ ) lim ) lim E() lim a () ( τ) Soi ε ( a. L'erreur de viesse sera roorionnelle à a e inversemen roorionnelle à. Exemle : Sysème du 3 ordre () ( τ) lim ) lim E() lim a () Soi ε (. ( τ) L'erreur de viesse sera nulle si le sysème en chaîne direce ossède un erme en. Généralisaion : Si le sysème en boucle ouvere ossède un erme en avec n enier n alors l'erreur de viesse sera nulle ( si e() a. ε ( ). ableau récaiulaif : Pas d'inégraion Une inégraion Deux inégraions n n n Enrée échelon e() E.Γ() Erreur de osiion ε (+ ) E Enrée rame e() a.) Erreur de viesse ε (+ ) + a VI- RAPIDIÉ D'UN SYSÈME ASSERVI - Définiion Un sysème es raide si son ems de réonse es jugé saisfaisan. Rael : Le ems de réonse à 5% d'un sysème es le ems mis our que sa sorie aeigne e rese dans l'inervalle [ 95% ; 5% ] de la valeur finale sabilisée. - Exemle our deux sysèmes aériodiques Dans l'exemle illusré ci-dessous, le sysème es lus raide que le sysème : 5% 95% 5% 95% s() s() sysème sysème r 3- Exemle our deux sysèmes oscillaoires Dans l'exemle illusré ci-dessous, le sysème es lus raide que le sysème : sysème r sysème Remarque : Dans l'exemle ci-dessus, le sysème eu araîre lus raide au déar mais son caracère ro oscillaoire lui donne un ems de réonse élevé. r r S IRIS Physique Aliquée ( Chrisian BISSIERES ) Page 6 sur 9 Cours : Sysèmes asservis

7 VII- CORRECIONS DES SYSÈMES ASSERVIS - Défaus d'un sysème asservi 4 Correceur roorionnel inégral e dérivé PID Il combine l'acion des correceurs récédens our améliorer les erformances globales du sysème asservi. Lorsqu'on réalise l'asservissemen d'un sysème, on eu faire aaraîre les défaus suivans : Imrécision : l'erreur es ro grande. 4- ransmiances des correceurs Correceur P ( roorionnel ) Gain Leneur 3 Insabilié : le sysème a un ems de réonse ro long. : la sorie eu devenir oscillaoire eu amorie voir même insable. logk - Mise en lace d'un correceur On lace un correceur enre le bloc comaraeur e le sysème our corriger les défaus de l'asservissemen : C () K Régulaeur Ecar E() ) U() S() C() G() Phase X() Correceur K() Sysème Correceur PD ( roorionnel dérivé ) Caeur Gain 3- yes de correceurs ( éude qualiaive ) Correceur roorionnel P Il augmene le gain du sysème e donc sa raidié e sa récision. Il eu rendre le sysème asservi insable. Correceur roorionnel inégral PI Il augmene le gain en basse fréquence sans désabiliser le sysème asservi, il améliore donc la récision. Il eu même annuler l'erreur saique. 3 Correceur roorionnel dérivé PD Il augmene la marge de hase e sabilise le sysème asservi. Il eu aussi augmener la raidié. C() K ( + τ ) d logk Phase / τ d / τ d S IRIS Physique Aliquée ( Chrisian BISSIERES ) Page 7 sur 9 Cours : Sysèmes asservis

8 3 Correceur PI ( roorionnel inégral ) 5- Acion des correceurs sur la réonse indicielle Gain Sans correceur C() K + τ i logk Phase / τ i sabilié insuffisane erreur saique imorane ems de réonse élevé Avec correceur P Correceur PID ( roorionnel inégral e dérivé) / τ i diminuion de l'erreur saique augmenaion de l'insabilié ems de réonse élevé Gain 3 Avec correceur PI C() K + τd + τ i logk +9 / τ i / τ d Phase annulaion de l'erreur saique sabilié insuffisane ems de réonse élevé 4 Avec correceur PD -9 / τ i / τ d amélioraion de la raidié sabilié suffisane erreur saique oujours résene S IRIS Physique Aliquée ( Chrisian BISSIERES ) Page 8 sur 9 Cours : Sysèmes asservis

9 5 Avec correceur PID amélioraion de la raidié sabilié suffisane annulaion de l'erreur saique. Remarque : Dans cerains cas, seul le correceur es. La consigne e l'oéraion comaraison son alors de ye analogique (voir schéma ci-dessous). VIII- INRODUCION AUX ASSERVISSEMENS NUMÉRIQUES LINÉAIRES - Généraliés Ecar CAN Calculaeur ( filre ) Correceur Caeur CNA Sysème Dans un sysème asservi ( on di aussi "sysème asservi échanillonné" ), les grandeurs suivanes son de ye : la consigne : elle eu êre conenue men dans un ableau ( signal ) le comaraeur : c'es l'oéraion de sousracion qui es réalisée men le correceur : c'es un algorihme de même ye que our un filre. - Exemle d'un asservissemen de viesse L'exemle ci-dessous rerésene la régulaion de la viesse d'un moeur à couran coninu alimené ar un hacheur : Le CNA ransforme la commande en commande analogique. Le CAN ransforme la mesure analogique ( sorie caeur ) en mesure. Calculaeur ( algorihme ) Ecar Correceur CAN CNA Caeur Sysème de viesse de la viesse Calculaeur ( algorihme ) Ecar Correceur ension coninue image de la viesse CAN Signal de commande du hacheur CNA Monosable + filre asse-bas Hacheur ension de commande du moeur Signal recangulaire de fréquence roorionnelle à la viesse Codeur oique Moeur CC (viesse) Caeur de viesse S IRIS Physique Aliquée ( Chrisian BISSIERES ) Page 9 sur 9 Cours : Sysèmes asservis