Théorie algébrique des nombres

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1 Cours de aîtrise de athéatiques : Théorie algébrique des nobres Bas Edixhoven, Université de Rennes 1 janvier 2002 Ce texte est une version (légèreent) corrigée et agrandie (d une section sur le théorèe de Wedderburn) du polycopié de 2001 Le polycopié de 2001 était une version réorganisée du texte qui a été distribué en ai 2000 Le texte de ai 2000 était consitué des notes de cours que l auteur avait écrit pour lui-êe, sans avoir l intention d en faire un polycopié ais vu le teps investi, il lui a seblé quand-êe utile d en faire une version présentable Néanoins, le résultat est oins détaillé que le cours Pour plus de détails, on pourra consulter les livres entionnés dans la bibliographie, et surtout [Sauel] 1

2 Table des atières 1 L équation de Ferat 3 2 L anneau et le théorèe des deux carrés 11 3 Anneaux des entiers dans les corps de nobres 13 4 Les anneaux de Dedekind 20 5 Finitude du groupe des classes d idéaux 32 6 Le théorèe des unités 40 7 La réciprocité quadratique 45 8 Le théorèe de Wedderburn 51 9 Copléents et rappels Exercices Exaens, partiels, etc 64 2

3 7 7 7 ) 7 ) L équation de Ferat 11 ntroduction Nous suivrons le livre de Sauel [Sauel] d assez près, en coplétant par des références au livre de Cohen [Cohen] pour des résultats algorithiques En êe teps, nous essayerons de otiver le plus possible, par des exeples siples, l introduction des notions techniques C est pour cela que nous coençons par regarder l équation de Ferat : Dans cette équation, est un entier, plus grand ou égal à un, et le problèe qui se pose est de trouver, pour donné, toutes les solutions de cette équation, c est à dire, tous les triplets dans " tels que Avant de dire quoi que ce soit sur ce problèe particulier, rearquons que ce problèe garde un sens si on replace par n iporte quel anneau (les anneaux seront coutatifs et unitaires dans ce cours, sauf ention explicite contraire) En effet, l enseble des solutions dans, pour un anneau, est sipleent l enseble des racines du polynôe %$ '( dans Plus tard aujourd hui, nous allons considérer l anneau & Si )+*,- / est un orphise d anneaux et dans une solution de l équation de Ferat de degré ci-dessus, alors ) dans / est égaleent une solution de la êe équation En fait, cette dernière propriété est vraie pour tout systèe d équations polynoiales à coefficients dans L équation de Ferat est hoogène : tous les onôes y intervenant ont êe degré Une autre façon 2 de dire cela est : si 2 est un anneau, 4 dans alors est une solution si et seuleent si 3 et 3 dans non diviseur de zéro, l est Géoétriqueent, cela s exprie 2 en disant que l enseble des solutions est un cône, et (au oins sur un corps) la propriété pour d être une solution ne dépend que de la droite, donc que de l iage de dans le plan projectif sur En général, quand on considère des systèes d équations polynoiales hoogènes, on a intérêt à considérer les solutions dans l espace projectif correspondant, car cela fait baisser la diension du problèe (c est à dire, le nobre de variables) d un L hoogénéité de l équation de Ferat entraîne égaleent une relation entre les ensebles de solutions dans et dans 7, que nous allons aintenant expliquer Pour 8:9<; 0, un éléent de est dit priitif D0 si BDCFE2G H particulier, un éléent priitif de est non nul, et tout non nul dans est de la fore, avec KJ dans et priitif est alors un pgcd des ) Le groupe N POQH $ HR des éléents inversibles de opère par hoothéties sur l enseble SUT1VXW des éléents priitifs de, 1N et on nous noterons Y le quotient SZT[VXW Ceci est l analogue sur de la définition usuelle de l espace projectif Y * $ O ; R 1 Avec ces définitions, on a la proposition suivante 111 Proposition L inclusion de SUT1V]W et Y dans 7 $ O ; R induit une bijection entre Y 3

4 f h 7 La vérification est laissée coe exercice ; disons seuleent que l application inverse est obte- nue coe suite : pour non nul dans on prend un dénoinateur des, c est à dire un dans non nul tel que les sont entiers, et on écrit _^ J J avec ^ dans et a`dans priitif (Une autre façon de construire l application inverse est de ontrer que pour dc ; dans 7 l intersection 7b est un -odule libre de rang un, et d en prendre les deux générateurs ; voir la section 9) Soit aintenant e9 H Notons f l enseble des solutions priitives dans de l équation g :, et h l enseble des solutions non nulles dans 7 de l équation i : Le groupe " joqh $ HFR des inversibles de opère par hoothéties sur f, et, de la êe façon, 7 opère sur h Soient fk* " et hl* les quotients de ces actions Alors la proposition précédente iplique que l inclusion de f dans h induit une bijection de f vers h 12 L équation de Ferat, degré 1 est une solu- Autreent dit, nous avons une bijection de % vers l enseble l n y a pas grand chose à dire Pour 2 n iporte quel anneau, dans tion si et seuleent si 56 des solutions, qui envoie vers 0 13 L équation de Ferat, degré 2, sur n ci, nous suivons [Sauel, o 12] l s agit aintenant de l équation : : QA Les solutions avec, et des entiers positifs et non nul, sont appelés des triplets pythagoriciens qpr ApApr Notons que de toute façon, dans est une solution si et seuleent si tous les triplets sont des solutions l nous suffit de trouver toutes les solutions dans s Nous allons classifier les triplets pythagoriciens priitifs, à l aide de la factorialité de l anneau Coe l équation que 2 nous considérons est QAt` hoogène, c est à dire que tous les teres ont êe degré, toute solution dans avec ; qp KJXAp 6Jup Jv est de la fore, avec dans s non nul, un triplet pythagoricien priitif On procède par les étapes suivantes 1 Soit un triplet pythagoricien Les conditions suivantes sont équivalentes : (a) BC@E2G (b) BC@E2G (c) BC@E2G (d) BC@E2G jh, 56 xh, 562 yh, 462 jh (En effet, si est pythagoricien et si par exeple un nobre preier z divise et, alors z divise, donc, donc ) 2 2 Soit un triplet pythagoricien priitif Alors { est ipair, et l un d entre et est sont ; et H ) pair (pour le voir, on utilise que les carrés dans 4

5 ; ; ' ' ' ; 3 Soit un triplet pythagoricien priitif avec pair En écrivant 0@ F 1 $ 1@ F21 on ontre qu il existe ~ et dans s, preiers entre eux, tel que ; ~ƒ, $ }[@ ~5 et 1F Q (En effet, $ }[@ et 1@ sont preiers entre eux car l idéal qu ils engendrent contient et, donc H, et leur produit est un carré) On conclut que les triplets pythagoriciens priitifs avec pair sont les triplets $ ~ ~5 ~, avec ; ~ƒ preier entre eux et ~5 pair Une autre façon de faire la liste de tous les triplets pythagoriciens est la suivante, que l on pourrait appeler paraétrisation rationnelle du cercle A un triplet pythagoricien on } 0F fait correspondre le point du cercle par $ H dans ˆ de rayon un et de centre ; Un éléent de est dit rationnel si ses deux coordonnées sont rationnelles En considérant les droites passant, on ontre que tout autre point rationnel de est de la fore [ H $ [D Hd AA ' D Ĥ avec ' dans 7 ( ' étant la pente de la droite considérée) En effet, pour ' dans notons Š la droite dans qui passe par $ H et qui est de pente ', et notons ' 0 ' [ le deuxièe point d intersection de Š avec le cercle Alors ' est rationnelle si et seuleent si ' 0 ' [ l est (si ' A ' 1 est rationnelle, Š contient deux points rationnels, donc sa pente est rationnelle, si ' est rationnelle, le deuxièe point d intersection est de la fore $ H 3 H ' avec 3 dans solution d une équation de degré deux à coefficients rationnels et avec une racine rationnelle ; un petit calcul donne la forule en haut) En écrivant ' ~ [0 avec ~ et des entiers preiers entre eux, on obtient de nouveau la classification des triplets pythagoriciens priitifs obtenue en haut 14 L équation de Ferat, degré ŒŽ, sur En 1993, Andrew Wiles a ontré qu il n y a pas de solutions non triviales dans alheureuseent, la déonstration est beaucoup trop difficile pour l expliquer dans ce cours Pour ceux qui veulent voir coent cela arche, voir par exeple le livre de Cornell, Silveran et Stevens [CSS], ou les deux exposés au Séinaire Bourbaki par Serre et Oesterlé, en juin 1995, ou le nuéro 22 du agazine Quadrature, été 1995 (Editions du choix, Argenteuil) Signalons aussi que Kuer, au 19èe siècle, avait déjà déontré le théorèe de Ferat pour de nobreux exposants preiers Ce que nous pouvons faire avec les techniques à notre disposition, est résoudre ces équations ' dans l anneau & 141 Théorèe Soit 9 š '( entier Si, et dans & satisfont et sont preiers entre eux (BDC@E G yh ), alors, et sont de degré zéro, c est à dire, sont dans & Preuve La éthode s appelle la descente infinie Supposons donc qu il existe au oins une solution priitive non constante Soit alors une telle solution où le axiu des degrés 5

6 & de, et est inial Notons tout d abord que, et sont preiers entre eux deux par deux, tous non nuls, et qu au plus un d entre eux est constant On a : $ œ ž Ÿ $ 0 Les facteurs $ sont preiers entre eux, deux par deux, car chaque pair d entre eux fore une base du sous-& -espace ' vectoriel de & engendré par et (notons que ce sous-espace est de diension deux car et sont non nuls, preiers entre eux et pas tous les deux constant) Par '( la factorialité de &, nous obtenons que les $ sont des puissances ièes, à des inversibles près ais les inversibles sont les constants non nuls, qui sont eux-êes des puissances ièes l existe donc des ž '( dans & tels que $g ž Coe les $ sont preiers entre eux deux par deux, les ž le sont égaleent En considérant les teres doinants de et de, on voit qu au plus un des ž est constant Prenons aintenant n iporte triplet,, et pari les ž (cela est possible parce que est au oins š ) Coe, et ' appartiennent au sous-espace de & engendre par et, il y a une relation linéaire non triviale pari eux, disons : avec, et dans &, ne pas tous nuls ais coe chaque éléent de & est une puissance ièe, nous trouvons, en choisissant des racines ièes de, et, une relation : avec, et preiers entre eux deux à deux, ne pas tous constants, et de êe degré que, et, respectiveent ais cela contredit la inialité en teres des degrés de la solution de départ '( Avant de continuer, notons que nous avons utilisé que l anneau & est factoriel, et que tout '( inversible de & est une puissance ièe Ce sont exacteent ces deux propriétés qui posent un problèe pour les anneaux r Lv ^ «ª Le défaut de non factorialité de tels anneaux, ainsi que leurs groupes ultiplicatifs, seront étudiés plus tard dans ce cours Signalons aussi que la éthode qui a conduit à une preuve du théorèe de Ferat n est pas d étudier en grand détail les anneaux r L ^ «ª, ais plutôt des anneaux de la fore r j, c est à dire, des courbes elliptiques Pour ontrer que l on sait déontrer des résultats généraux, citons le suivant, cas spécial d un théorèe de Faltings, auparavant conjecture de ordell (voir par exeple [Serre1]) 142 Théorèe Soit dans 7, et ne s annulent pas en un êe point de & O 0"± 7 ³² H ; R est fini hoogène de degré au oins {, tel que les dérivées $ O ; R Alors l enseble Ce qui est { intéressant dans ce résultat est la condition sur le degré Le fait que ce degré doit être au oins correspond au fait que la variété des solutions dans Y est une surface copacte connexe et orientable dont le genre (ie, le nobre de trous) est au oins deux 6

7 15 L équation de Ferat, degré, sur n ci nous suivons [Sauel, o 12] Nous allons ontrer : Soient, et dans tels que µuµ : Alors 5} ; Supposons donc que cet énoncé soit faux, et soit avec µ ƒµ :, 5} ` dans s ;, et inial Pour obtenir une contradiction, on procède par les étapes suivantes, où l on applique est un tel triplet) ce que nous savons déjà des triplets pythagoriciens (car 1, et sont deux à deux preiers entre eux 2 Après perutation, si nécessaire, de et, on a et ipairs, pair l existe ~ et dans s, preiers entre eux, avec ~, tels que : ~ $ ~¹ ~ La preière équation dit que ~ ; coe est ipair, est pair La deuxièe équation dit F ~5, donc il existe et dans s tels que ~ et De la preière équation on tire qu il existe et dans s, preiers entre eux, tels que : º $ F ~ La deuxièe de ces équations dit que, donc que et sont des carrés, disons ^ et :» avec ^ et» dans s Coe ~ et coe ~ et ¼~5, on a ~59 ^ µ» µ µ 9 16 L équation de Ferat, degré, sur n, on a : Contradiction avec la inialité de Ceci n est pas fait dans [Sauel] Nous suivons [-R, o 178] La éthode est toujours la êe : factoriser après adjonction des racines 3èes de l unité, et descente infinie Nous coençons par quelques résultats sur le sous-anneau x* r ½@, avec ½ ½ H% ;, de & 161 Proposition La conjugaison coplexe º¾ - induit sur un autoorphise d anneau L application À*Á - s, ¾ - ² ² est ultiplicative et s appelle la nore de la - algèbre L anneau est euclidien pour la fonction ; est donc factoriel Le groupe de ses éléents inversibles est O p H Ap ½ Ap ½ R, et est cyclique d ordre 6 L éléent 3ƒ* yh $ ½ de est preier, et le quotient 35 est un corps à trois éléents Une factorisation de š dans est la suivante : š $ ½ 03 Preuve Coe est un sous-anneau de &, est intègre Pour voir que À* - &, ¾ - ² ² prend ses valeurs dans, faisons le calcul suivant :  ½  ½ 2  ½  ½ ½  $ Âl  7

8 8 à 8 ½ ² à 3 š š ² ½ ½ C est donc vrai que prend ses valeurs dans s Pour ontrer que est euclidien pour la fonction, il faut ontrer que pour tous et dans avec non nul, il existe à et 8 dans avec 8 et Soient et dans `, avec ; Soit à alors un des éléents de F le plus proche de Alors on a : F $ à ²QÄ H QÅ š H@ (Pour l expliquer, faire un dessin du réseau dans & ; ce réseau est l enseble des soets On alors : d un pavage de & par des triangles de cotés un) Posons 8 * $ à ² 8 ² ² $ ² F ² ² b ² $ à ² ² d où ² 8 ² Æ ² ² 0 Soit dans Alors est inversible si et seuleent s il existe dans Q tel que H En particulier, si est dans, il existe dans tel que H H 0 0, d où Ê ÇH D autre part, si est dans et ÈH, on a HÉ, donc est dans (et ) Les inversibles de sont les dans avec kh, c est à dire, les dans l intersection de et le cercle unité Pour voir ce qu est 3, notons que r '( D ' ' ÉH, ce qui nous donne un orphise surjectif :-ÌË, en envoyant ' vers H (en effet, l iage de ' ' ÍH est alors ; ) Par construction, l iage de 3 dans Ë est nulle, donc le orphise Î- Ë se factorise par 3 ce qui donne une surjection de 3 sur Ë Le fait que š iplique que 3 est irréductible, donc preier (car euclidien donc factoriel) ais alors 3 est un corps (c est le quotient d un anneau principal par un idéal preier non nul), donc le orphise 35Ï- Ë est injectif, et donc un isoorphise Calculons : 35 H $ ½ yh $ ½ ½ yhd ½ ½ $ ½ $ š Faisons quelques exeples de factorisation dans Factorisons par exeple š { et $ ½ D abord, š ½ { š $ š ÐH :Ñ est preier, donc š ½ est preier, ainsi que š ½ $ ½ La factorisation de $ { Ò{ est plus intéressante On a $ ½ { { ÎHÍ HÍ šb Ñ On essaie alors de diviser $ ½ par un éléent de nore š, par exeple H $ ½ On trouve : { $ ½ { H $ ½ $ ½ H $ ½ { $ { ½ $ ½ H H $ ½Zb H $ ½ š ½ Coe š ½ { est preier, on a la factorisation $ ½ H $ ½ 2 š ½ en éléents preiers de Ó 162 Lee Les puissances troisièes dans 3 µ sont ; p, H p, 3 Preuve Coe 3 Ë, tout éléent de est d une des fores H% 3, $ HÔ 3, 3 (avec dans ) On calcule les puissances troisièes de ces bêtes, en utilisant que êe les en haut s écrivent encore sous la 3 avec dans O ; H $ HFR (et on utilise le petit théorèe de Ferat ) Nous allons ontrer un résultat plus fort que l énoncé que pour tout Õ on ait 5Ð dans avec ; ; cela est nécessaire pour faire la descente infinie Cette fois, la descente sera en teres de divisibilité par 3 8

9 ` 3 Ê 3 3 ~ p ~ Å 163 Notation Soit un anneau factoriel, dans non nul, et z dans preier Nous notons alors 0Ö le nobre de facteurs z dans la décoposition de en facteurs irréductibles Plus préciséent, on a J zd Ø ÙÛÚ[Ü, avec z J ne pas divisant (On utilise la lettre pour valuation) 164 Théorèe Supposons que, et sont dans et que ~ est dans tels que ~ Alors 5Ý ; Preuve Par contradiction Supposons donc que,, et ~ sont dans, avec ~ dans j ~ et 5 ; Par l arguent habituel, nous pouvons supposer que, et sont deux à deux preiers entre eux ontrons que 3 ² 5}, et que si 3 ² 5, alors ~ p H Supposons donc que 3 ² 5 Alors 3 ne divise pas ~ p, donc on a H% p ~ dans Cela veut dire que 3 divise ~ $ H ou ~ ƒh l en résulte que ~ p H (Par exeple, on peut utiliser que ² ~ H ²Ä tandis que ² 3 ² š š³ ) Nous avons donc ontré la deuxièe assertion ontrons la preière Supposons que 3 ne divise pas 5} Alors O RßÞxOQH $ HFR dans 3 µ ais alors on a ~ p dans 3 µ Cela veut dire que 3 µ divise ~ $ ou ~ ais H p ÄŽ² ~ ²QÄ š tandis que ² 3 µ ² Ó, ce qui est une contradiction Ceci nous raène au cas où nous avons,, et ~ dans, avec ~ dans, ƒ ~, et 3 ² Nous allons aintenant produire un tel quadruplet Jw J] Jw J avec à Já à ; c est ça la contradiction cherchée Allons-y Notons tout d abord que dans 3 nous avons ;, donc que â e ; (dans 35, bien sûr) ais alors ; dans 3 µ (utiliser ce que nous savons des cubes dans 3 µ ), donc 3 µ ² ~, donc 3 ² Nous écrivons aintenant : ß ½ 2 ½ ~ Coe 3 ã ² ~, au oins un des facteurs à gauche est divisible par 3 ; en replaçant par ½ ou ½ si nécessaire, on a 35 ² ß¼ (notons que ces substitutions ne changent pas, ce qui est iportant pour notre arguent) ontrons qu alors à ß ½ à ½ jh Coe l iage de ½ dans Ë est H, il est clair que 3 divise Í ½ et â ½ Supposons que 3 F² ½ Alors ä Í ½ dans 3, donc ; H $ ½ ß 3 dans 3 Coe est dans, cela entraîne que 3 ² 3, ce qui est faux De êe pour ½ : 3 ne divise pas H $ ½ Nous avons donc : à šf à $ à ½ xh à ½ xh@ ç ¹è Le fait que GDå æ $ 3 ontre que ½ 3, et de êe on trouve que, ½ et ½ ont, deux à deux, plus grand coun diviseur 3 La factorialité de donne l existence d éléents, et de qui sont preiers à 3 et preiers entre eux deux à deux, et d éléents ~, ~ et ~ de, tels que : ß ~ é2ùëêìü ½ ß ~ 3 ½ ß ~ 3 La cobinaison linéaire avec coefficients H, ½ et ½ de ces trois équations, divisée par 3, donne : ; Ê ~ é ÙëêìÜ ½ ½ ~ 9,

10 9 3 Ê On pose aintenant * í, *, et * 3 é ÙëêìÜ Alors on a, avec î et î dans convenables : î î (car à ), on a î p H dans, ce qui ontre que î p H (dans ) par $ si nécessaire, on obtient donc : î avec à 1 à $ H Coe 3 ² En replaçant 10

11 { - z z 2 L anneau ïñðvò4ó et le théorèe des deux carrés 21 Un peu d arithétique dans nº ëô6 Le but de cette section est d abord de coprendre coent se factorisent les nobres preiers dans r, et d appliquer le résultat pour déteriner quels entiers sont soe de deux carrés Les résultats de cette section se trouvent dans [Sauel, o 56], ais y sont déontrés de façon oins éléentaire 211 Proposition La conjugaison coplexe ݾ - induit sur r un autoorphise d anneau r L application :* - s, ¾ - ² ² est ultiplicative et s appelle la nore de la - algèbre L anneau r est euclidien pour la fonction ; r est donc factoriel Le groupe r de ses éléents inversibles est O p H Ap R, et est cyclique d ordre 4 La déonstration est analogue à celle que nous avons déjà faite pour r ½@ 212 Théorèe Soit z un nobre preier Alors z est encore preier dans r si et seuleent si z $ { H { odulo Pour on a : H 2 H $ H $ Un nobre preier z congru à 1 odulo se factorise coe : z 2 $, en deux facteurs preiers non associés Les éléents preiers de r sont ceux dont la nore est un nobre preier (forcéent H odulo ou égal à ) ou le carré d un nobre preier qui est $ H { odulo Preuve ontrons d abord les assertions sur la factorisation dans r des nobres preiers Supposons donc z preier dans et non preier dans r Soit alors preier dans r tel que n est pas inversible dans r Ecrivons avec et dans ²z ; notons que z Alors ² { z On en conclut que z, et donc que z n est pas $ H odulo La situation de se vérifie par un calcul ontrons aintenant que les preiers z qui sont H { odulo { se factorisent en deux preiers non associés Soit donc z preier, congru à H odulo Les deux racines distinctes de H dans ËÖ { (ce sont les éléents d ordre du groupe cyclique Ë Ö ) nous donnent deux orphises d anneaux de r vers ËÖ Soit un générateur du noyau de l un des deux Alors est preier dans, il divise z, et il n est pas associé à z (par exeple car r r z est de cardinal z ) Coe ² z, on a z ontrons que tout preier de est un diviseur d un unique preier positif de Pour cela, supposons que dans r soit preier Alors r r est intègre (car preier), et êe un corps car en plus principal (En fait, nous n utiliserons pas que c est un corps) r r Considérons le orphise d anneaux - Son noyau contient qui est non nul, et son iage est intègre l en résulte que le noyau est engendré par un nobre preier z Bien sûr, on a ² z D autre part, si z est preier dans et ²z, z est un générateur du noyau de r r Pour finir, ontrons la classification des preiers de r en teres de la nore Supposons que dans r soit preier Notons z l unique nobre preier divisible par En utilisant la factorisation de z en preiers dans, on voit que si z n est pas $ H { odulo, z, et que sinon z D autre part, il est clair que si dans r est tel que est preier, alors est preier Supposons que dans est tel que zd avec z $ H { odulo Coe z, on a ²z ais coe z est preier dans r, l est aussi 11

12 ½ Ö ² ± Ö ½ 22 Le théorèe des deux carrés 221 Théorèe Un nobre preier z est la soe de deux carrés si et seuleent si z est congru à H { odulo (Ferat) Soit dans s Alors est une soe de deux carrés si et seuleent si 0Ö est pair pour tout nobre preier z qui est $ H { odulo Preuve La preière assertion a été vue dans la section 21 : $ dans r ontrons la deuxièe assertion Soit dans s, non nul Supposons d abord que Ö est pair pour tout nobre preier z qui est $ H { odulo Pour chaque preier z yh { od, choisissons Ö et Ö dans tels que z Ö Alors on a $ où : Hd õ[ù Ü œ Ö Ø0Ù Ü œ z Ø Ù Ü Ö0ö Ù µ Ü Ö0ö Ê Ù µ Ü D autre part, supposons que avec et dans On écrit alors, avec Soit z preier, avec z $ H { odulo, donc preier dans l existe dans s et dans r preier à z tels que z Alors on a z, et donc, avec  * Î dans s : z Â, avec z ne pas divisant  dans r, donc pas non plus dans Cela ontre bien que 0Ö est pair Dans le TD on verra un algorithe efficace pour trouver une factorisation dans r d un nobre preier z dans s qui est H odulo { Cet algorithe est assez siple, et utilise des particularités de r (être engendré par une racine de l unité d ordre {, et être euclidien) Dans des cas plus généraux, signalons qu il existe des algorithes efficaces pour factoriser des polynôes sur les corps finis (algorithe de Berlekap) et pour trouver des éléents courts dans des réseaux (LLL : Lenstra-Lenstra-Lovász) ; pour ces algorithes, voir [Cohen] 222 Théorèe Tout dans s est soe de quatre carrés Pour la preuve, que nous ne donnerons pas ici par anque de teps, voir [Sauel, o 57] L idée de la preuve est la êe que celle du théorèe des deux carrés, ais on replace r par un sous-anneau convenable de la 7 -algèbre (non coutative) des quaternions : 7ø 7 7 â7 ù, avec ù $ H, et w½ $ ½K ù Cette 7 -algèbre est une algèbre à division : tout " U½ éléent non nul adet un inverse Le sous-anneau ù ne suffit car il n est pas euclidien (il est facile de vérifier qu il n est pas euclidien pour la nore euclidienne) Le sousanneau que l on prend est celui engendré par, ½, ù et H ½ 1@ ù Une façon d écrire cet ordre est : O ½ [@ 5646 ù, od 2 RQ 12

13 J Ê Ê Ê Ê J Ê 3 Anneaux des entiers dans les corps de nobres 31 Eléents entiers aintenant que nous avons vu quelques applications non triviales de l arithétique dans des anneaux tels que r et r ½@, nous allons introduire de tels anneaux dans tous les corps de nobres Par corps de nobres, on entend extension finie de Définition Soit 7Õ- ú une extension finie Un éléent de ú est dit entier sur s il est racine d un polynôe unitaire à coefficients dans Autreent dit, dans ú est entier sur s il existe 9 H KL et des dans, ; Ä, tels que : Ê Ê bbb ß Qû ; L enseble de tels éléents sera noté úßü Une notation plus courante pour úßü est ý þ 312 Exeple ontrons que 7Æü l est évident que 7Æü contient Soit dans 7Æü, et écrivons Â, avec et  ; des entiers preiers entre eux Prenons» dans r unitaire tel que» ; Ecrivons»É K bbb Kû Cela donne ÂŽ bbb Kû  ; Supposons qu un nobre preier z divise  Alors divise Ê Ây bbb Kû Â, donc, donc, ce qui contredit que et  sont preiers entre eux l en résulte que ÂÿyH et que est dans La définition d intégralité est claireent une généralisation de la notion d éléent algébrique dans une extension de corps Nous allons ontrer tout de suite que úßü est en fait un sous-anneau de ú, contenant Le fait que úßü contient est de toute façon évident 313 Proposition Soit j- / un orphise d anneaux Un éléent de / est dit entier sur s il existe 9 et des dans, ; Ä ¼, tel que : Ê ì Ê bbb ì Kû ; Pour dans /, les conditions suivantes sont équivalentes : 1 est entier sur ; 2 la sous- -algèbre de / est un -odule de type fini ; 3 il existe une sous- -algèbre de /, contenant, et de type fini en tant que -odule ; 4 il existe un sous- -odule de /, de type fini, contenant H et stable par ultiplication par (ie, tel que Þ ) 5 il existe un sous- -odule de /, de type fini, contenant un non diviseur de zéro et stable par ultiplication par Soit / l enseble des dans / qui sont entiers sur Alors / est une sous- -algèbre de / 13

14 š š J è J Soit» dans unitaire, tel que» 0 ; Alors le sous- de / est l iage du orphise de -algèbres - / qui envoie vers Coe» est unitaire, on peut diviser avec reste par» dans, ce qui ontre que le -odule D» est libre de base H >> Ê, avec le degré de» l en résulte que est engendré, en tant que -odule, par H,, 2>, Ê Bien sûr, ceci se voit égaleent en notant que dans les avec ùâ : on peut prendre l* {Q : on peut prendre * {Q : on peut prendre * ontrons finaleent que H Soit un sous- -odule de /, de type fini, contenant un non diviseur de zéro, et stable par ultiplication par Soient ñ9l; et  0 >>  des générateurs de Pour tout,  L s écrit coe è 4èL  è èl, avec les dans Notons ^ la base canonique du -odule libre, et considérons le orphised* - qui envoie ^ L vers  L Coe les  L engendrent, ce orphise est surjectif Nous avons alors un diagrae coutatif : $$ $ - $$ $ - où b est l endoorphise  ¾ -  de, et où b est l endoorphise ¾ - de Soit» dans le polynôe caractéristique GDå0æ $ de Par définition,» est unitaire, de degré Le théorèe de Cayley-Hailton (voir ci-dessous) dit que» ; dansdg l en résulte que l endoorphise  ¾ -» 0  de est nul En particulier,» º ;, et coe n est pas un diviseur de zéro,» Preuve anneau ontrons que H  9l sont cobinaisons linéaires des avec ùð Â, donc des Ú est nul ontrons aintenant le deuxièe énoncé l faut donc ontrer que 20 / dans / Alors la sous- -algèbre de / est une sous- -algèbre de / > 2 Soient donc et engendrée par et est un L -odule de type fini (car engendré par les avec ; Ä Ï et ; Ä Â 2 si et sont racines de polynôes unitaires à coefficients dans de degrés et  respectiveent) 20 L équivalence entre les conditions 1 et 3 ontre alors que tout éléent de Soit» '( dans le polynôe caractéristique GDå0æ ' $ } dans est entier 9 ; sur 314 Théorèe (Cayley-Hailton) Soit un anneau coutatif, un entier, et de Alors» ; Preuve C est clair si est diagonale ; nous allons nous raener à ce cas Fixons pour l instant l anneau, ais pensons aux coefficients de coe des variables Alors les coefficients de» sont des fonctions polynoiales des, à coefficients dans l suffit donc de ontrer ² H ½ Ä Ä R, et la atrice Plongeons d abord dans son corps des fractions ú, et ensuite dans un corps de décoposition de» (» vu coe éléent '( ) Si le discriinant de» est non nul, a valeurs propres distinctes dans, est donc l identité pour P* r O Lè de ú diagonalisable sur, et le résultat est clair Pour voir que le discriinant est non nul, il suffit de 14

15 7 ` J J J ` J ` H ` J J ` J Å le voir après un choix convenable de valeurs pour les L è H A } >> la atrice diagonale GV"FC On peut prendre par exeple pour 32 Les corps quadratiques 321 Théorèe Toute Å extension de degré 2 de 7 est isoorphe à une sous-extension de 7j- & de la fore 7y-<7 pour un unique jh dans sans facteur carré : ^ ² iplique ^Ô p H Soit xh Å un entier sans facteur carré Alors 7 est une extension de degré 2 de 7 On a : Å ü Å si Å od 4 7 ü r HU Å 1@ si H od 4 Dans le preier cas, H Å Å est une -base de 7 ü Dans le deuxièe cas, H 4 HU Å est une -base de 7 ü Preuve Soit ú une extension de degré de 7 Prenons dans ú tel que ú 7Ýb H ñ7ýb l existe et dans 7 tels que ; On pose * ø }F ( est bien inversible dans 7 ), et on a * { $ On a bien ú 7 J On écrit avec dans 7 et dans et sans facteur carré En posant * Ï F, on a ú 7, avec ; H car ú est de degré deux Ceci ontre donc l existence Supposons que et ` sont des entiers yh Å Å sans facteur carré, tels que les 7 -algèbres J 7 et 7 J soient isoorphes l existe alors et dans 7 tels que Å FQ, ce qui donne : ; et A Si ;, on a A et on a Si ;, on a, ce qui contredit le fait que Soit aintenant n est pas un carré dans 7 Ceci établit l unicité H un entier sans facteur carré Soit par la théorie de Galois, soit en dans ú * Å 7, on voit que ú rearquant que $ a deux racines distinctes Å et $ Å a un unique autoorphise non trivial$, donné par$ Å $ Å, pour tout et dans 7 Coe$est un autoorphise, on a$ úøü úøü Pour tout dans ú, on a : ; $ $ $ [ $ ß $ [ $ 0 avec $ $ et dans 7 Soit dans úøü Alors$ est dans úøü donc $ $ et sont entiers sur ; coe ils sont dans 7, ils sont dans En écrivant É Å, avec et dans 7, cela donne : F ± $ ± { En particulier, cela iplique que F est dans On en déduit que est dans (car est sans facteur carré) Ensuite, on distingue les trois cas yh F, $ H { et odulo, et on trouve que est bien de la fore souhaitée (il est utile de noter que $ F0 { est dans ) D autre part, on vérifie directeent que les de cette fore sont entiers sur 33 La trace Les détails sont laissées au lecteur Notre but suivant est de ontrer que pour 7P- ú une extension finie, úßü est libre de rang GDV]W&%%ú en tant que -odule Nous allons donner deux déonstrations de cela La preière 15

16 J J J ú une par soit J ú J J sera plutôt algébrique, en utilisant une fore quadratique qui s appelle la fore trace de ú sur 7 La deuxièe déonstration fait appel à des résultats bien connus sur les sous-groupes discrets de -espaces vectoriels de diension finie ntroduisons aintenant la trace 331 Définition Soit un anneau, et / une -algèbre qui est libre de rang fini en tant que -odule Pour dans / on appelle trace de sur la trace de l endoorphise b * / - /, º¾ - du -odule / ; c est un éléent de que l on notera't ( L application't ( de / vers est un >06 orphise de -odules, on l appellera le orphise trace de la -algèbre / L application ¾ 2[ - 'T de / vers est -bilinéaire, et est appelée la fore trace de la -algèbre / 2A ; nous la noterons ¾ - )20 *( Pour que la fore trace nous soit utile, nous avons besoin de savoir qu elle est non dégénérée 332 Théorèe Soit ú - extension finie de corps Alors la fore trace est non dégénérée si et seuleent si l extension est séparable Preuve Supposons que ú - J-,þ séparable Alors il existe des éléents priitifs pour cette extension ; prenons en un, disons, et soit» dans ú son polynôe inial sur ú Soit ú - ú une extension qui scinde» :»º $ >6 bbb $ +2 J dans ú NotonsJ * ú la ú -algèbre obtenue de ú_- extension des scalaires de ú b*/10û à ú (voir la section 9 pour la définition du produit tensoriel d algèbres sur un corps) Alors)[b þ0est sipleent la fore bilinéaire déduite de)ìb b*@ þ par la êe extension des scalaires D autre part, la ú -algèbrej Jv+via : est isoorphe à ú 32 2 D» $ - J $ - ú 42 J D» $ - aintenant on calcule directeent Une façon de dire ce qui se passe ici, est de dire que cette extension des scalaires ne change rien aux atrices qui donnent le orphise et la fore trace, par rapport à une ú -base de, et à la ú -base dej en déduite, ais qu après cette extension de ú à ú, il existe une base beaucoup ieux adaptée au problèe que nous voulons résoudre : la base canonique de ú Jv+ Nous ne ontrons pas l iplication dans l autre sens Voir des livres d algèbre, par exeple celui de Lang (Algebra) Nous allons aintenant ontrer que pour ú une extension finie de 7, la trace't þ %* úì- 7 envoie úøü dans 333 Lee Soit un anneau, et» *,/ - / un orphise de -algèbres Soit dans / entier sur Alors» 0 est entier sur Preuve édiat car» 0 est annulé par tout polynôe qui annule 334 Proposition Soit ú une extension finie de 7, et notons y* GDV]W&%%ú l existe alors exacteent orphises de ú dans &, disons ) >> )+ Soit dans ú, et soit» '( dans 7 son polynôe inial sur 7 Alors : ' 1 $ ) [ ' bbb $ )+ 1 :»5 687:9<;>þ ; 16 J +

17 EDDDDDDC une ú L H 2 Si est dans úøü,» est dans '( ; 3 Le polynôe caractéristique de b *57 -<7 est» ; 4 Le polynôe caractéristique de b *¹ú_- ú est»5 6879<;8þ 5 Si est dans úøü,'t1þ % est dans Preuve Le fait qu il existe exacteent orphises de 7 -algèbres de ú dans & a été ontré en preier seestre Rappelons nous le principe de la déonstration : on ontre, par récurrence sur, l énoncé suivant : soit úí- extension de corps, séparable, de degré, et soit ú une clôture algébrique, alorsa il existe exacteent orphises de ú -algèbres de dans ú Soient aintenant ) >2 )+les plongeents de notre ú dans & ontrons la forule 1 en haut Soit donc L( dans ú L identité se voit alors en regroupant les ) qui sont égaux Chaque racine de» dans & intervient fois Ceci ontre la preière partie GDVXW@%ÙBA0Ü Soit dans úøü On applique la preière partie à 7 En notant A* GVXW@%%7 on a :»º ' $ ) [ ' bbb $ )+ [0 0 avec ) >> )+les plongeents de 7 L dans & Les ) sont entiers sur, donc les coefficients de» L, qui sont des soes de produits de ), sont eux aussi entiers sur ais coe ils sont dans 7, ils sont dans Ceci terine la déonstration de la deuxièe partie Par rapport ła 7 -base H >> +Ê de 7, la atrice de b est : $ Qû J H H $ F+Ê où nous avons écrit»º '+ L ' On ontre, par récurrence sur la taille de cette atrice, que son polynôe caractéristique est» (c est un exercice) Une autre façon de déontrer la troisièe partie est de dire que le polynôe caractéristique de b '( est dans 7, unitaire, de degré A, et, par Cayley-Hailton, annule, donc égale» Encore une autre façon de faire est d étendre les scalaires de 7 à &, et de choisir une base ieux adaptée au calcul, c est à dire, une base où b est diagonale Soit A >> N une 7 -base de ú On a donc ^ A Alors les L è forent une 7 -base de ú, que l on ordonne coe suite : A 5 A 2> +Ê A >> Par rapport à cette base, la atrice de b est constituée de ^ blocs, chacun égal à la atrice de la partie précédente Cela déontre donc la quatrièe partie La cinquièe partie résulte directeent des parties précédentes GHHHHHH ; 34 Preière déonstration de la liberté deoqp Pour ontrer que úøü est libre de rang GDV]W% ú en tant que -odule, nous allons ontrer que úøü contient un sous-anneau avec cette propriété Ensuite, en utilisant la fore trace, nous 17

18 L õ õ ) L ) õ õ õ ) ontrerons, par un arguent de dualité, que úøü est contenu dans un sous- -odule libre de rang GDV]W&%%ú de ú Par le résultat qui dit que tout sous-odule d un -odule libre de rang est libre de rang au plus, cela iplique que úøü est libre, de rang GDV]W&%%ú 341 Proposition Soit 7 - ú une extension finie Alors úøü contient un sous-anneau qui est libre de rang ³* GDVXW@%%ú en tant que -odule Preuve Prenons dans ú un éléent priitif : ú 7 En le replaçant par avec ; un entier convenable, on a entier sur l est clair que a les propriétés voulues 342 Théorèe Soit ú une extension finie de 7 Alors úøü est libre de rang GDV]W% ú en tant que -odule Preuve Soit un sous-anneau de úøü qui est déjà du bon rang sur Notons que pour tout dans úøü et dans, on a) *þ %dans Cela nous donne un orphise de -odules de úøü versrts@w ü : â¾ - ¾ % - ) *þ Coe contient une 7 -base de ú (car est libre du bon rang ; appliquer la définition d indépendance linéaire), et que la fore trace)[b b*þ non dégénérée, ce orphise est injectif Donc úßü est isoorphe à un sous-odule derus@w ü, qui est lui-êe libre de rang GDV]W@%Ôú Coe tout sous-odule d un % est -odule libre de rang fini est libre de rang au plus, cela nous donne que úøü est libre de rang au plus GDVXW@%%ú ais coe il contient, il est de rang GDVXW@%%ú 35 Deuxièe déonstration de la liberté deoqp V[Z Soit ú une extension finie de 7, * A GDV]W% ú, et ) >2 )+les plongeents de A ú dans & Nous nuérotons les ) de la façon suivante : ceux qui ont iage dans sont ) >> V,et VXW ensuite tel que ) õwl VXWL ), où ) signifie ) suivi de la conjugaison coplexe Nous posons : Y*¹ú - & º¾ - 0 2> VW 1 Cette applicationy, qui est un orphise injectif de 7 -algèbres, s appelle le plongeent canonique de ú (pas si canonique, car il faut nuéroter les ) ) De ce qui précède, il résulte que si on a dans úøü, ety 0 >> VW, alors le polynôe ' $ 1 ' bbb $ V[2 ' $ V-Ẅ[ ' $ V-W ' õẅ1 bbb $ V-W ' $ V-W est de la fore '+ ]+Ê '+Ê bbb D avec les dans êe, les sont des soes de produits de L et de L Cela iplique quey úøü est discret, et donc, par le théorèe suivant, quey est libre de rang au plus úøü 351 Théorèe Soit^ un sous-groupe discret d un -espace vectoriel_ diension finie Alors^ est un -odule libre de rang au plus En plus, toute -base de^ est une suite - linéaireent indépendante de_ Si^ est de rang, on l appelle un réseau 18

19 a dans^ J z Preuve Voir [Sauel, V, Th 1] ais la preuve donnée là-bas ne e plait pas trop ; elle ne donne pas d algorithe pour calculer une base du sous-groupe discret Pour cette raison, je donne une autre preuve Nous replaçons_ par son sous- -espace vectoriel engendré par^ Soient donc_ et^ coe dans le théorèe Nous devons ontrer que^ est libre de rang, et que toute -base de^ est une -base de_ Récurrence sur Pour ;, c est clair Supposons donc que 9 H Choisissons un produit scalaire)[b b*sur_, et notons`4bx`la nore associée Prenonsaû dans^ non nul, avec`baû`inial (c est possible car^ ^ est discret, donc d intersection finie avec tout sous-enseble borné de_) Notons_J caû l orthogonal de, et zæ*d_j-< caû et z *_x- _J les projections orthogonales ontrons d abord que aû c eaû c Soita dans^ aa J^ caû On pour un 3 a$  aû est dans^, et`î<aû`+ f`baû`, donc î ;, etaest dans aû ontrons aintenant que z est discret (dans_j, bien sûr) Pour cela, il faut ontrer qu il existe î _; tel que sia est dans^ eaû ais pas dans, alors`(z Jua`Ð íî J^ caû Soit donc ais pas dans En translatant par un éléent de aû J^, nous pouvons supposer que`(z a`ä F`baû`(faire unj dessin, avec la bande des telsa, et la boule de rayon`baû`) Coe`baû`est inial, on a`(z Å š`baû` Par récurrence, z est libre, de rang au plus $ H, et toute -base de z est une -base de_j Soienta0 2> a dans^ J^ JÒa[A tel que z >> JÒa1 soit une -base de z On ontre qu alorsaƒ* aûaa 2> aa est une -base de^ aû2a0 (exercice) l est clair que >> a est une -base de_ Par rapport à cette -base de^, toute -base de^ est donnée par un éléent degih, donc en particulier par un éléent degih, ce qui terine la déonstration dans Ecrivons 3 ¼ î avec ; Ä î H Alors î<aû 3daû 19

20 û L L Ÿ 4 Les anneaux de Dedekind on a factorisation unique des idéaux non nuls en idéaux preiers Cela replacera, dans les applications, la factorialité perdue Pour voir que la factorialité est perdue, considérer le cas ú Å 7 $ F La généralité naturelle de ce que nous voulons faire est le cadre des anneaux de Dedekind Nous allons suivre [Sauel, ] Nous voulons déontrer que dans l anneau d entiers úøü d un corps de nobres ú 41 Définition Un anneau est dit de Dedekind si : 42 LesOQP 1 il est intègre ; 2 noethérien : tout idéal est de type fini ; 3 intégraleent clos : tout éléent du corps de fractions qui est entier sur l anneau, est dans l anneau ; sont 4 tout idéal preier non nul est axial (la diension de Krull est au plus un) de Dedekind Avec ce que nous avons déjà vu, il est clair que tout anneau principal est de Dedekind Le but de cette section est de ontrer que les anneaux d entiers des corps de nobres sont de Dedekind Par définition, ces anneaux sont intègres Le fait qu ils sont libres de rang fini en tant que -odules entraîne qu ils sont noethériens : tout idéal est un sous-odule d un -odule libre de rang fini, donc libre de rang fini, donc engendré, êe en tant que -odule, par un nobre fini d éléents Reste donc à voir qu ils sont intégraleent clos, et que tout idéal preier non nul est axial 421 Proposition Soit ú un corps de nobres Soit z un idéal preier non nul de úßü Alors z est axial Preuve Soit dans z non nul (existe car z non nul) Coe úßü est intègre, l application úøüº- z, ƒ¾ - 5, est injective Cela ontre que z est libre de êe rang que úßü en tant que -odule, donc que úßü z est fini Coe un anneau intègre fini est un corps, z est un idéal axial 422 Lee Soit x- /ä- des orphises d anneaux, avec / entier sur : tout dans / est entier sur Soit dans, entier sur / Alors est entier sur Preuve Prenons une relation de dépendance intégrale Lkj ŸlV pour sur / : Ê Ê bbb û ; 6L Aû avec les dans / Notons que la sous- -algèbre >> Ê de est de type fini en tant que -odule, car engendré par des onôes bbb Ê avec tous les exposants bornés Le critère d intégralité du cours 3 iplique que est entier sur 20

21 š Þ 423 Proposition Soit ú un corps de nobres Alors úßü est intégraleent clos Preuve l n y a qu à appliquer le lee précédent dans le cas - úßü - ú 43 Autres exeples d anneaux de Dedekind»A Les anneaux de Dedekind ne se anifestent pas uniqueent en théorie des nobres, ais égaleent en géoétrie algébrique, coe le ontre l exeple suivant 431 Exeple Soit ù un corps,» dans ù irréductible, tel que» et ses dérivés partiels et»onengendrent l idéal ù de ù Alors l anneau ä* ù D» est de Dedekind En teres géoétriques : l anneau de coordonnées d une courbe algébrique affine non singulière est de Dedekind Un tel anneau peut être non factoriel, donc le fait qu il soit encore de Dedekind est iportant Par exeple, D $ H n est pas factoriel Ce dernier fait n est pas difficile à déontrer Par exeple, les éléents et $ H n adettent pas de pgcd 44 Généralités noethériennes Nous suivons [Sauel, ] 441 Proposition Soit un anneau, et un -odule Les conditions suivantes sont équivalentes : 1 toute faille non vide de sous-odules de possède un éléent axial, c est à dire, si pest un enseble non vide et, pour tout L dansp, un sous-odule de, alors il existe dansptel que pour tout ½ L è dansp, n est pas contenu stricteent dans ; 2 toute suite croissante de sous-odules de est stationnaire : si Þ bbb est une pour tout assez grand ; suite de sous-odules de, on a L LqẄ 3 tout sous-odule de est de type fini Preuve Les iplications H q F, et š sont claires ontrons, pour finir, que H Cela se fait par contradiction L : supposons que toute suite croissante de sous-odules de est stationnaire, et que, pour dansp, soit une faille non vide de sousodules de, qui n adet pas d éléentl axial Alors, pour tout dansp, il existe un J dans pavec L0stricteent plus grand que ais alors il existe une suite stricteent croissante, ce qui contredit que toute suite croissante est stationnaire LrjÞ LVbbb 442 Définition Soit un anneau Un -odule est noethérien si tout sous-odule de est de type fini L anneau idéal est de type fini est dit noethérien s il l est en tant que -odule, c est à dire, si tout 443 Exeples L anneau est noethérien, ainsi que les úßü pour les extensions finies ú de 7 Tout corps est noethérien, par anque d idéaux Si est noethérien, alors l est aussi ; voir un livre d algèbre pour ce résultat fondaental (nous ne l utiliserons pas) L anneau r >> 21

22 z J J J J à J J de polynôes en un nobre infini de variables n est pas noethérien, ainsi que la clôture intégrale de dans 7 J J J 444 Proposition Soit un anneau et ; - - J- J J - ; une suite exacte courte de -odules Alors est noethérien si et seuleent si et le sont J J J J Preuve Si est noethérien, alors J J et le sont, car tout sous-odule de est un sousodule de, et tout sous-odule de J J J est l iage d un sous-odule de, donc tous de type fini Supposons aintenant J que J J et sont noethériens J Soit J J un sous-odule de, son intersection Z avec et son iage dans Alors et sont de type fini Prenons J des éléents 2> J J et >> J J J sde tels que >> J J engendrent, et les iages de >> J J J J J J J sdans engendrent Alors >> J J et >> J J sengendrent Corollaire Soit un anneau Si >> sont des -odules noethériens, alors leur produit bbbz est noethérien Si est noethérien, alors tout -odule de type fini est noethérien 45 Produits d idéaux 451 Définition Soit un anneau, et et des idéaux de On définit alors le produit coe étant l idéal engendré par les 5, avec dans et Q dans Ce produit est l enseble des soes finis L L L, avec L dans et L dans zut Le lee suivant dit zvt que, pour cette ultiplication, les idéaux preiers se coportent coe des éléents preiers 452 Lee Soit un anneau, z A un idéal preier, et >2 bbb Alors pour un convenable Preuve Sinon, pour tout, il existe dans tel que L n est pas dans z ; ais alors bbb est dans bbb, et pas dans z des idéaux Supposons que 453 Lee Soit un anneau noethérien Alors tout idéal de contient un produit d idéaux preiers Et aussi : tout idéal non nul de différent de contient un produit d idéaux preiers non nuls Preuve La preuve est un exeple typique de l utilisation, assez agique, de l hypothèse noethérienne ontrons par exeple le deuxièe énoncé SoitY la faille des idéaux non nuls de différents de qui ne contiennent pas de produit d idéaux preiers non nuls Supposons quey soit non vide Soit alors dansy t axial Certaineent, n est pas preier, car Donc (coe F est non nul et non intègre) il existe et dans, non dans, tel que 5 soit dans Coe t et A sont stricteent plus grands que, il existent des idéaux preiers non nuls z 2> 0 et à >> Ãs, tels que tgz bbb z et t à bbb1ãs ais alors : 2 tz bbbòz bbb[ãs ce qui est une contradiction DoncY est bien vide 22

23 ± `  ` L 46 déaux fractionnaires 461 Définition Soit un anneau intègre, et - ú son corps de fractions Un idéal fractionnaire de est un sous- -odule de ú tel qu il existe dans non nul avec Þ Si est intègre et noethérien, les idéaux fractionnaires sont les sous- -odules de type fini de ú Si et sont des idéaux fractionnaires de Q, leur produit est le sous- -odule de ú engendré par les 5 avec dans et dans ; c est encore un idéal fractionnaire de, et, si et sont des idéaux de, c est le produit défini précédeent De êe, si et sont des idéaux fractionnaires de, leur soe est un idéal fractionnaire de 462 Lee Soit un anneau intègre L enseblep des idéaux fractionnaires non nuls de est un onoïde pour la ultiplication, c est à dire, cette ultiplication est associative, et adet un éléent neutre (c est ) Bien qu on a deux opérations sur l enseble des idéaux ¹ fractionnaires d un anneau intègre, à savoir le produit et la soe, et que l on a êe Q, cet enseble ne devient pas un anneau, car il anque l inverse pour l addition 463 Théorèe Soit un anneau de Dedekind Alors tout idéal axial non nul de est inversible dans le onoïdep d idéaux fractionnaires non nul de Preuve Soit  un idéal axial non nul de Notons Õ- ú le corps de fractions de Posons :  J * jo ± t ú ² 5ÂíÞ RQ Alors  J est un sous- -odule de ú Pour tout dans  on a  J Þ, donc  J est un idéal fractionnaire de l suffit donc de ontrer que  J  Coe  J, on a Â_Þñ J Â_Þ, donc soit  J Â, soit  J Âÿ  Supposons que  J Âÿ  Soit dans  J Alors  est un sous- -odule de ú, de type fini, stable par ultiplication par, et contenant un non diviseur de ; Par notre critère d intégralité, est entier sur, donc dans, car est intégraleent clos On a donc  J Ceci va contredire que tout les idéaux preiers non nuls de sont axiaux Soit t dans  t non nul Soient i9 H 0 entier et z >> z des idéaux preiers non nuls de tels que tîz bbbz, avec inial Coe  tp tîz bbbz, on a  tîz pour un certain, disons pour ŽH ais  et z sont axiaux, donc z jâ Posons * z bbbz Alors on a et par inialité de Prenons alors dans, non dans Alors on a Q Ê, et Ê Â_Þ, autreent dit : Q Ê ±  J Contradiction 464 Rearque Je trouve que la preuve donnée ci-dessus n est pas conceptuelle du tout On peut suivre ligne par ligne que cela arche, ais coprendre ce qui se passe, c est bien autre chose Si on dispose de l outil de localisation, on peut faire une preuve plus conceptuelle, par exeple, coe Serre dans son livre [Serre3] Tout d abord,  J û est ú, le plus grand sous-odule de ú annulé par  Ensuite, dans le cas local, on a pour tout non nul dans Â, que Ê ú (le seul idéal preier de qui est contenu dans est ; ) l en résulte que tout éléent de ú est annulé par une puissance de Coe  est de type fini, il en résulte 23

24 œ ` ` / que tout éléent de ú est annulé par une puissance de  ais en prenant un sous-odule inial de ú (ou d un sous-odule non nul de type fini de ú ), on trouve que  Já w est non nul (Pour l existence d un sous-odule inial, on utilise qu un sous-odule de type fini de ú est artinien) Pour finir cette rearque, notons qu on peut êe faire cet arguent sans localisation Voici coent on fait : soit dans  non nul l suffit de voir que Ê û ; ais la ultiplication par induit un isoorphise de Ê vers Ce dernier est un anneau noethérien où tous les idéaux preiers sont axiaux, et donc iniaux Or, dans un anneau noethérien, les idéaux preiers iniaux sont en nobre fini Soient donc Âÿ A >>  les idéaux preiers de /k* Coe dans tout anneau, l intersection des idéaux preiers est l idéal des nilpotents (c est vrai, pour ontrer ceci, il est coode de localiser par rapport à un éléent de cette intersection) Coe  5c c bbb  / x est de type fini, c est un idéal nilpotent On conclut que / est artinien, et que, pour assez grand, le orphise /ä- L  L est un isoorphise On terine en prenant un sous-odule inial de /  û : un tel sous-odule est nécessaireent isoorphe à / Â, ce qui ontre que ; Dans les exercices on trouvera une version plus éléentaire des arguents ci-dessus, adaptée spécialeent au cas des úßü 47 Factorisation unique des idéaux fractionnaires Dans cette section et la suivante, nous allons déontrer certains résultats concernant les anneaux de Dedekind, et en êe teps pour un certain type d anneaux a priori plus généraux dont nous verrons plus tard que ce sont eux aussi des anneaux de Dedekind La raison de procéder coe ceci est que cela nous peret de déontrer plus loin un critère pratique pour savoir si un sous-anneau d un anneau d entiers dans un corps de nobre est égal à l anneau des entiers, sans avoir à refaire les déonstrations des résultats de ces deux sections 471 Théorèe Soit un un anneau de Dedekind, ou un anneau intègre, noethérien dont tout idéal preier non nul est axial et inversible dansp Soity l enseble des idéaux preiers non nuls de Alors tout idéal fractionnaire non nul de s écrit de façon unique sous la fore : Ö{z{ z Ø ÙëÚ[Ü } avec les Ö dans, presque tous nuls Si est un idéal non nul de, on a 0Ö 9 ; pour tout z dansy Le onoïdep est un groupe : tout idéal fractionnaire non nul de adet un inverse pour la ultiplication d idéaux fractionnaires Nous avons donc un isoorphise de groupes : d*p Ù Ü ¾ - z ¾ 1 -<0Ö Preuve SoitY l enseble des idéaux ` non nuls de qui ne sont pas produit d un nobre fini d éléents dey Supposons quey ` un éléent axial dey Alors, car 32 } $ - ~ Soit 24