CINEMATIQUE GRAPHIQUE 2D Polycopié sans trous

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1 Cours ENSIS MEC101 Mécanique des systèmes et des milieux déformables CINEMTIQUE GRPHIQUE 2D Polycopié sans trous 1/20 I) MOUVEMENT D'UN SOLIDE 1.1. Solide du point de vue cinématique Un mécanisme est composé de classes d équivalence que nous appellerons solides Du point de vue cinématique, un solide est un ensemble de points matériels liés entre eux Exemple d un Micromoteur y Solide 4 Piston Solide 2 vilebrequin Entraxe x Solide 3 ielle z Solide 1 âti Propriété fondamentale du solide indéformable Quelque soit la position et le mouvement d un solide, la distance qui sépare deux de ses points reste constante Prenons par exemple la longueur entre deux points et appartenant à la bielle : = entraxe de bielle = 31,91 = constante

2 1.2. Mouvement d'un solide 2/ Définition On donne le mouvement d'un solide par rapport à une référence qui peut être : un autre solide ou un repère de référence auquel on associe un observateur. Mvt S2/S1 ou Mvt 2/1 veut dire Mouvement du solide S2 par rapport au solide S1 Exemple : mouvement d une voiture 2 par rapport au sol 1 Mvt 2/1 Solide S2 dont le mouvement est observé Solide S1 et son observateur Propriétés: Mvt 1/2 = - Mvt 2/1 Exemple : mouvement du sol 1 par rapport à la voiture 2 Solide S1 et son observateur Solide S1 dont le mouvement est observé Mvt 1/2 Mvt 3/1 = Mvt 3/2 + Mvt 2/1 Exemple : mouvement du piéton 3 par rapport au sol 1 Mvt 3/1 Solide S 3 : le sol Mvt 3/2 Mvt 2/1 Solide S2 : le dessus du tapis roulant Solide S1 : le sol

3 Exemple du micromoteur : dans la phase de descente du piston et rotation du vilebrequin sens horaire 3/20 Mvt 2/1 = Rotation d axe Oz sens horaire Mvt 1/2 = Rotation d axe Oz sens trigo 4 Mvt 4/1 = Translation d axe y_vers le bas 3 Mvt 1/4 = Translation d axe y_vers le haut Mvt 3/1 =Combinaison translation rotation (mouvement plan) 2 O ttention aux confusions avec la cinématique du point!!! Ne pas confondre : - Mouvement d'un solide : Mouvement d un ensemble de points - Mouvement d'un point - Trajectoire d'un point : Courbe décrite par l ensemble des positions successives prises par un point dans mouvement Par exemple Mvt 2/1 = Rotation d axe Oz Mvt 2/1 = Mouvement circulaire d axe Oz et de rayon O T 2/1 = Cercle de centre O et de rayon O Mvt 4/1 = Translation d axe y Mvt 4/1 = Mouvement rectiligne d axe y T 4/1 = Segment de droite y

4 1.3. Mouvement de translation 4/ Définition Un solide est en translation si dans son mouvement, il reste toujours parallèle à lui même Translation rectiligne Translation circulaire Exemple : Micromoteur Mouvement du piston / bâti Exemple : Mécanisme de scie sauteuse : Mouvement de la noix / bâti Piston âti âti Noix Les trajectoires des points sont des droites parallèles Les trajectoires des points sont des cercles Etude de la translation rectiligne On dit Mvt S2 /S1 est un mouvement de translation rectiligne d'axe = l axe caractéristique du mouvement Propriété fondamentale : La trajectoire de tout point M appartenant à S2 par rapport à S1 est une droite Parallèles à l axe de la translation (ou axe de la liaison) T 2/1 T 2/1 T C 2/1 2 1

5 1.4. Mouvement de rotation par rapport à un axe fixe 5/20 Le mouvement de S2 / S1 est un mouvement de rotation par rapport à un axe fixe si S1 et S2 sont en liaison pivot. Dans ce mouvement l'axe de la liaison pivot reste fixe : c'est l'axe de rotation. Exemple : Mouvement du vilebrequin 2 par rapport au bâti xe de rotation O Plan perpendiculaire à l axe de rotation Propriété fondamentale : Dans le plan perpendiculaire à l axe de rotation, la trajectoire de tout point appartenant à S2 par rapport à S1 est un cercle ou arc de cercle de centre O de rayon O pplication au micro moteur : Quel est le rayon de T 2/1? rayon = O = entraxe = 9 mm T 2/1 T 2/1

6 1.5. Epure cinématique 6/20 l aide des propriétés précédente, il est possible de déterminer à tout moment à l aide d une épure cinématique les différentes positions des pièces du mécanisme. pplication au micro moteur : Placer les points O et G (centre de la bielle) et tracer l épure cinématique du micromoteur en vue de face et à l échelle 2 en position point mort haut. Refaire l opération sur un tour complet touts les 45 degrés En déduire la course du piston = Course = 2 x O = 18 mm Tracer les trajectoires des points O et G T 3/1 = T 4/1 T G 3/1 T 3/1 = T 2/1

7 2. CHMPS DES VITESSES 7/ Définition Ensemble des vitesses décrites par chaque point d un solide dans son mouvement par rapport à un autre solide Ex : ielle en mouvement par rapport au bâti V(, S3 /S 1 ) 4 On dit V (G, S 3 /S 1 ) ou V (G, 3/1) G V(G, S3 /S 1 ) 3 O V(, S3 /S 1 ) 2 Vitesse du point G appartenant au solide 3 (la bielle) dans son mouvement par rapport au solide 1 (le bâti) Propriété fondamentale de la vitesse Observons V (G, 3/1) V(G, S3 /S 1 ) La vitesse est tangente à la trajectoire

8 2.3. Cas du mouvement de translation rectiligne 8/20 Sur l exemple du mouvement du piston /bâti : Mvt 4/1 Piston Propriété fondamentale - Tous les points on la même vitesse V(C,4/1) C âti - Cette vitesse est parallèle à l'axe de la translation V(D,4/1) V (, 4/1) = V (C, 4/1) = V (M, 4/1) Mouvement de translation rectiligne uniforme C est un mouvement de translation rectiligne dont la vitesse est constante V(, 2/1) V(,2/1) 2 V(C,2/1) 1 V (M, 2/1) = V = constante = s / t s = distance parcourues par le point sur sa trajectoire t = Temps mis pour parcourir cette distance. ttention cette formule n est valable que pour une vitesse constante Dans le cas du micromoteur, le mouvement du piston par rapport au bâti est il un mouvement de translation rectiligne uniforme? La vitesse n est pas constante v = ds/dt = s (t)

9 9/ Cas du mouvement de rotation autour d'un axe fixe Sur l'exemple du mouvement du vilebrequin par rapport au bâti : V(, 2/1) vitesse de rotation angulaire Un mouvement de rotation est caractérisé par sa vitesse de rotation angulaire (ou taux de rotation) Ω 2 / 1 ou ω 2 / 1 signifie : Rotation du solide 2 par rapport au solide 1 Unité internationale : rd/s Unité pratique : tr/min Relation : 1 tr / min = 2 pi rd/ 60 s= pi/30 rd/s 1 tr / min = π/30 rd/s Propriété fondamentale des vitesses Liaison pivot 2 M Schéma cinématique 1 O V (M, 2/1) Direction : OM (tangent au cercle) V (M, 2/1) Sens : Sens de rotation Intensité : v = V (M, 2/1) = OM. ω 2 / 1 = R. ω 2 / 1 Unités!!!! m/s m rd/s

10 10/20 pplication au micro moteur : ω 2 / 1 = tr/min à convertir en rd /s ω 2 / 1 = x pi/30 = 1466 rd/s Déterminer et tracer V (, 2/1) V(, 2/1) O V (, 2/1) = O. ω 2 / 1 = x 1466 = 13.2 m/s Echelle 13 m/s = 13 mm 1 m/s = 1 mm Tracé du champ des vitesses V = R. ω signifie que la vitesse est proportionnelle à sa distance à l axe de rotation Si on prend plusieurs points à différentes distances de l axe de rotation : On s aperçoit que l on peut tracer un triangle partant du centre de rotation et reliant les extrémités des vitesses de rotation O Cette propriété peut être très pratique car en connaissant une seule vitesse, on peut en déduire graphiquement toutes les autres

11 pplication au micro moteur : à partir de la connaissance de V (, 2/1) en déduire graphiquement par le champ des vitesses : V (D, 2/1), V (E, 2/1)et V (F, 2/1) 11/20 V(,2/1) F E V(F, 2/1) D V(',2/1) O En utilisant l échelle des vitesses, on peut déterminer les normes des vitesses. V (D, 2/1) = 6 m/s V (E, 2/1) = 11 m/s V (F, 2/1) = 17.5 m/s

12 3. COMPOSITION DES MOUVEMENTS 12/ Principe Sur l'exemple d'une barque traversant une rivière (avec le gouvernail bien droit) y 2 S 0 = berge S 2 = barque y 0 R 2 M x 2 R 1 y 1 x 1 S 1 = eau avec une feuille qui flotte au gré du courant R 0 x 0 Mvt S 2 /S 1 = translation rectiligne d axe y Mvt S 1 /S 0 = translation rectiligne d axe x Mvt S 2 /S 0 = Combinaison des deux mouvements Mvt S 2 /S 0 = Mvt S 2 /S 1 + Mvt S 1 /S 0 Mouvement absolu = Mouvement relatif + Mouvement d'entraînement R 0 = repère absolu : (considéré fixe) R 1 = repère relatif (repère mobile) Mvt R 2 /R 0 = Mvt R 2 /R 1 + Mvt R 1 /R 0 Remarque : Cette relation reste valable quelque soit le nombre de solides Mvt S 4 /S 0 = Mvt S4/S3 + Mvt S3/S2 + Mvt S2/S1 + Mvt S1/S Composition des vitesses V (M, S2 /S 0 ) = V (M, S2 /S 1 ) + V (M, S1 /S 0 ) absolue = vitesse relative + vitesse d entrainement Vites se Remarque : Cette relation est valable et fondamentale pour les vitesses de rotation ω 2/0 = ω 2/1 + ω 1/0

13 Exemple de la barque sur la rivière 13/20 La vitesse d'écoulement de l'eau étant de 1.5 m/s et celle du bateau étant de 3 m/s Tracer la vitesse du point M appartenant au bateau dans son mouvement par rapport à la berge (1 cm= 1 m/s ) V (M, S2 /S 0 ) = V (M, S 2 /S 1 ) + V (M, S 1 /S 0 ) Tracer la trajectoire du bateau /la berge (si les deux vitesses sont constantes) S 0 = berge S 2 = barque y 0 R 2 y 2 V (M, S2 /S 1 ) M V (M, S2 /S 0 ) x 2 y 1 R 1 V (M, S1 /S 0 ) x 1 S 1 = eau avec une feuille qui flotte au gré du courant R 0 x 0 T M S2/S0 4. ETUDE DU GLISSEMENT 4.1. Vitesse de glissement Soit un solide 1 glissant sur un solide 2 La vitesse de glissement est la vitesse du point de contact appartenant à un solide par rapport à l autre = V (, 1/2) ou V (, 2/1) Propriété fondamentale : la vitesse de glissement est dans le plan tangent au contact Remarque : V (, 1/2) = - V (, 2/1)

14 14/20 pplication classique : calcul d un système à came V (, 1/0) V (, 2/0) V (, 1/2) Mvt 2/0 = Translation rectiligne d axe y V (, 2/0) = // y Mvt 1/0 = Rotation d axe z V (, 1/0) = direction : perp à sens : gauche, V (, 1/0) = x ω V (, 2/1) = dans le plan tangent:// x V (, 1/0) = V (, 1/2) + V (, 2/0) et V (, 2/1) = - V (, 1/2) V (, 2/0) = (1.7 cm) 1.7m/s 4.2. V (, 2/1) 1/0 = x155 = 5.4 m/s V (, 2/1) = 5.1 m/s Relation de roulement sans glissement RSG Soit un solide 1 en contact et en mouvement par rapport à un solide 2 On dit qu il y a roulement sans glissement si la vitesse de glissement V (, 1/2)= 0 pplication classique n 1: roue d automobile Il y a Roulement Sans Glissement de la roue sur la route si En utilisant o la relation de RSG (Roulement Sans Glissement) o et la composition des vitesses, il est possible de retrouver la relation liant la vitesse de rotation de la roue et la vitesse de translation de la voiture V (D,3/1) V (D,4/1) = 0 V (D,4/3) + V (D,3/1) = 0 V (D,4/3) = - V (D,3/1) V (D, 4/3) = V (D, 3/1) R x ω 4/3 = V LUCINI V (D,4/3) voiture cr_cinématique_graphique_10_11-cor.doc 9/24/2010

15 pplication classique n 2: Engrenage roues de friction 15/20 o o o Les deux pignons roulent sans glisser l'un sur l'autre La relation de Roulement Sans Glissement s'écrit donc On peut en déduire la relation liant la vitesse de rotation des deux pignons. ω 1/0 ω 2/0 1 2 V (,1/0)= V (,2/0) RSG en V (,2/1) = 0 V (,2/0) + V (,0/1) = 0 0 V (,2/0) = - V (,0/1) V (,2/0) = V (,1/0) V(D, 2/0) = V(D, 1/0) R2 x ω 2/0 = R 1 x ω 1/0 ω 2/0 / ω 1/0 = R 1 / R 2

16 16/20 5. ETUDE DES MOUVEMENT PLN SUR PLN UTRE QUE L ROTTION PR RPPORT UN XE FIXE OU L TRNSLTION RECTILIGNE 5.1. Définition Un solide à un mouvement plan lorsque tous les points de se solide se déplacent dans des plans parallèles à un plan de référence. Plan de référence La translation rectiligne et la rotation /un axe fixe sont les deux mouvement plans les plus connus, mais il en existent bien d autre c est ceux la que nous allons étudiez dans ce chapitre. Translation circulaire Mouvement d une roue de vélo qui roule en ligne droite Exemple de la griffe de caméra Décrire les mouvements des pièces 1 2 et 3 et dire si ce sont des mouvements plan Mouvement de 1/ 0 : oui Mouvement de 2/ 0 : oui Mouvement de 3/ 0 : oui Remarque : quand tous les solides du mécanisme ont un mouvement plan, on dit que le mécanisme est plan. C est le cas de l exemple ci-dessus. On peut l étudier dans avec des logiciels plan de type MECPLN

17 5.2. Propriétés du mouvements plan 17/20 Propriété 1 : Si les mécanismes sont plans, on peut, pour résoudre leurs problèmes de cinématique utiliser des méthodes graphiques (même démarche qu en statique plane). Ces méthodes graphiques que nous allons décrire dans ce chapitre sont l équiprojectivité et la méthode du CIR. Propriété 2 : Il est possible de décomposer tout mouvement plan quelconque en la combinaison d une rotation et d une translation plane. Exemple d une échelle : 5.3. Equiprojectivité Problème à résoudre Sur l exemple du système bielle manivelle O = 20 mm V(,2/0) Direction de V (,2/0) Problème : connaissant la vitesse de rotation de la manivelle, déterminer la vitesse de translation du piston Ce qu on sait déjà déterminer : V(,2/0) (mvt 2/0 = rotation d axe Oz) Sens : bas droite Direction : perpendiculaire à O Intensité = O x ω 2 / 1 = 0.02 x 10 = 0.2 m/s ech 2 cm = 0.2 m/s V (,2/0) = V (,2/1)+ V (,1/0) avec au centre de la liaison pivot entre 2 et 1 = V (,2/1) = 0 V (,2/0) = V (,1/0) On a la direction de V(,2/0) = V(,3/0)

18 18/ Enoncé de l équiprojectivité : S 1 Soit deux points et appartenant à un solide S 1 en mouvement plan par rapport à un solide 0 : V(,S1 /S 0 ) La projection sur l axe de leurs deux vecteurs vitesse sont égale : V(,S1 /S 0 ) Remarque 1 : V 1/0. = V 1/0. (voir plus tard produit scalaire) Remarque 2 : les deux projections sont du même coté Nous pouvons donc résoudre notre problème en utilisant cette propriété V(,2/0) V(,2/0) 5.4. Centre instantané de rotation Problème à résoudre Toujours sur l exemple du système bielle manivelle V(,2/0) Direction de V (,2/0) Problème : connaissant la vitesse de rotation de la manivelle, déterminer la vitesse du point

19 Définition du C I R : ( Centre Instantané de Rotation ) 19/20 Pour tout solide S 1 en mouvement plan par rapport à un solide S 0 : Il existe à tout instant un point I unique appelé C I R tel que : S 1 V(I,S1 /S 0 )= 0 V(,S1 /S 0 ) V(,S1 /S 0 ) Ce point I se trouve sur la perpendiculaire aux vecteurs vitesses ω 2/0 Le point I étant le centre instantané de rotation, à chaque instant t photographié le solide S1 tourne autours du point I Ω S1/S0 Nous pouvons donc résoudre notre problème en utilisant cette propriété CIR = I S1/S0 CIR = I S2/S0 I = I = V(,2/0) V(,2/0)

20 20/20 Remarque 1 : La position du CIR varie au cours du temps Exemple du CIR d une voiture sur une route Remarque 2 : Sauf pour le mouvement de rotation par rapport à un axe fixe où le CIR est fixe et se trouve : au centre de rotation Remarque 3: Dans le cas d un solide en mouvement de translation rectiligne, le CIR se trouve : à l infinie Vitesse de rotation instantanée Nous venons de voir que, à chaque instant t photographié, le solide S1 tourne autours du point I. S il tourne, c est qu il à une vitesse de rotation angulaire : ω 1/0 = V(,1/0) / I = V(,1/0) / I pplication Pour connaître la vitesse de tous les points appartenant à un solide en mouvement plan, il suffit de connaître : - La vitesse d un point appartenant à ce solide - La direction de la vitesse en un autre point appartenant à ce solide