République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

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1 Réublque Algérenne Démocratque et Poulare Mnstère de l Ensegnement Suéreur et de la Recherche Scentfque Unversté Mouloud Mammer de Tz-Ouzou MEMOIRE DE MAGISTER En Automatque Oton : Automatque des Systèmes Contnus et Productques Présentée ar : Hayet HARROUCHE Thème : Synthèse de suervseur basée sur les réseaux de Petr Jury : MELAH Rabah, Maître de Conférences Classe A, UMMTO, Présdent DJENNOUNE Saïd, Professeur, UMMTO, Raorteur MAIDI Ahmed, Maître de Conférences Classe A, UMMTO, Examnateur KARA Redouane, Maître de Conférences Classe A, UMMTO, Examnateur

2 Table des matères

3 Table des Matères Introducton générale Chatre : Généraltés sur les systèmes à événements dscrets Introducton 5 Dfférents modèles des systèmes à événements dscrets 6. Langages et Automates 6.. Langages 6... Défntons de base 6... Oératons sur les langages 7... Langage réguler 8.. Automates 8... Défntons 8... Rerésentaton 9... Langage reconnu ar un automate...4 Langage généré et langage marqué...5 Accessblté et co-accessblté...6 Automate non bloquant et émondé...7 Théorème de Kleene...8 Comoston d automates. Réseaux de Petr 5.. Défnton 5.. Franchssement d une transton 6.. Equaton fondamentale 6..4 Prorété d un Rd 7..5 Eléments de modélsaton 7..6 Les classes de Réseaux de Petr

4 ..7 Réseaux de Petr artculers. Algèbre des doïdes.. Défntons.. Résoluton d équatons dans les doïdes 4.. Fonctons comteurs et fonctons dateurs 4..4 Evaluaton des erformances et otmsaton 5 Concluson 5 Chatre : Méthodes de synthèse de commande des SED Introducton 6 Synthèse de commande basée sur les automates et langages 6 - Concet de suervson 6 - Noton de contrôlablté 7. Evénements contrôlables et événements ncontrôlables : 7.. Condton de contrôlablté 8. Défnton formelle d un suervseur 8-4 Exstence d un suervseur 9-5 Langage surême contrôlable 9.5. Algorthme de Kumar -6 Synthèse du suervseur Synthèse de suervseur basée sur les Réseax de Petr. Synthèse de la commande ar les nvarants de marquages.. Prnce des nvarants de laces (P-nvarants).. Descrton de la méthode.. Transformaton du RdP 6. Synthèse de suervseur basée sur la théore des régons 4.. Descrton de la méthode 4.. Synthèse du contrôleur 4 4 Concluson 44

5 Chatre : Synthèse de suervseur en résence de transtons non contrôlables. Introducton 45 Suervson en résence de transtons non contrôlables 45. Défntons 47. Prooston. :(Moody et al, 996) 48. Théorème. : (Basle et al, 6) 48 Algorthme de aramètrsaton lnéare des monteurs 49 4 Alcaton sur un système manufacturer 5 5 Concluson 67 Chatre 4 : Suervson ar nvarance. Introducton 68 Absence de transtons non contrôlables 69. Poston du roblème 69. Synthèse de suervseur basée sur l nvarance ostve 69.. Défntons 7.. Résultats 7. La synthèse du suervseur 75 Présence de transtons non contrôlables 77 4 Concluson 78 Concluson générale 79 Bblograhe 8

6 Introducton Générale

7 Introducton générale Introducton générale : Par ooston aux systèmes dynamques dont l évoluton est contnue dans le tems et eut être décrte ar des équatons dfférentelles, les systèmes à événements dscrets (SED) sont des systèmes dynamques dont les transtons entre les états sont assocées à des événements. Des théores et des modèles sécfques à cette classe de systèmes sont nécessares our ouvor fare de la modélsaton, de l analyse de erformances et de la commande. La modélsaton est la remère étae our la commande des SED, et elle eut être réalsée avec dfférents outls tels que : les automates à états fns et les langages formels, l algèbre max-lus, les chaînes de Markov, le grafcet et les réseaux de Petr. Le roblème général de la commande d un système à événements dscrets consste, à établr une lo de commande adéquate à artr de la connassance d un modèle du système et du fonctonnement souhaté (objectf à attendre). Dans les SED, la commande a our effet de restrendre l ensemble des états ossbles du système à un sous-ensemble d états admssbles. Dans la théore de la suervson de Ramadge et Wonham, l outl utlsé our modélser les SED est les automates et les langages. Ben que cet outl fournt une structure générale our établr les rorétés fondamentales du roblème de contrôle des SED. L nconvénent majeur de son utlsaton est celu de l exloson combnatore : en effet, our des systèmes comlexes le nombre d états utlsés our modélser le système croît exonentellement, ce qu lmte la ossblté de déveloer des algorthmes effcaces our l analyse et la synthèse de la commande.

8 Introducton générale Ces lmtatons ont oussé à l utlsaton de modèles lus évolués, tels que les réseaux de Petr. Cet outl est très ussant en rason de sa caacté grahque et algébrque essentellement alqué aux SED. Les RDP résentent luseurs avantages ar raort aux automates : -Les états des RDP sont rerésentés ar le marquage de ses laces. Ans le RDP donne une descrton lus comacte car la structure du réseau eut être mantenue ette même s le nombre de marques augmente. -Au leu d utlser les descrtons textuelles ambguës ou les notatons mathématques qu sont dffcles à comrendre, le système et les sécfcatons euvent être rerésentés ar un grahe facle à comrendre en utlsant les RDP. -Fnalement, en utlsant les RDP, le modèle eut être utlsé our l analyse des rorétés et l évaluaton des erformances et la constructon systématque du suervseur. Le concet de la suervson des SED eut s énoncer comme sut : -Il exste deux tyes d événements qu euvent se rodure dans les SED : les événements contrôlables, qu euvent être contrôlés ar l acton de la commande, et les événements non contrôlables qu ne euvent as être nhbé ar l acton d un contrôle. -Etant donné un modèle SED et un comortement désré du système à contrôler, l objectf est de synthétser un suervseur our satsfare ce comortement désré. -Le suervseur dot être non bloquant et maxmum ermssf. Comme la synthèse de suervseur est une queston essentelle dans la commande des SED, des méthodes effcaces ont été roosées our la conceton de suervseur. C est la théore de RW qu est à l orgne de toutes ces méthodes.

9 Introducton générale Le roblème rncal de la théore de suervson est l exstence des événements non contrôlables. Lors de synchronsaton d un événement non contrôlable du modèle du rocédé avec celu de la sécfcaton, le modèle fnal ne eut as resecter cette synchronsaton. Dans ce cas l aaraîtra un ensemble d états nterdts. Pour les aroches basées sur les automates, on eut résoudre ce roblème ar l algorthme roosé ar Kumar. L nconvénent rncal est que le contrôleur est donné sous forme d automate dont la talle eut être nexlotable. La contrbuton rncale de ce traval de Magster, est la rooston d une aroche qu nous donne l ensemble des transtons à nterdre our garantr le resect des sécfcatons. Notre objectf dans ce traval est d étuder les SED en vue de leur commande. Pour cela l nous a aru nécessare de commencer ar une résentaton générale des SED. C est l'objet du remer chatre. Tout d abord nous évoquons quelques notons relatves aux langages formels. Pus nous résentons les outls les lus usuels dans le cham de commande des SED tels que les automates, et les Réseaux de Petr. Le deuxème chatre résente dans un remer tems les rncales méthodes exstantes dans la lttérature sur la commande des systèmes à événements dscrets. La théore de la suervson des SED roosée ar Ramadge & Wonham est d abord résentée en détal. Elle est à l orgne de la commande ar suervson. Pus les aroches de synthèse de los de commande basées sur le Réseaux de Petr sont décrtes. Nous résentons au chatre tros le cas où les transtons sont non contrôlables en exlctant l algorthme de aramètrsaton lnéare des monteurs roosé ar Basle

10 Introducton générale et al, 9. Une alcaton de cet algorthme à un système de roducton modélsé ar réseau de Petr est effectuée. Le chatre quatre est consacré à la résentaton d une aroche de commande roosée dans le cadre de ce mémore. Cette contrbuton est basée sur la rerésentaton des sécfcatons sous forme d un ensemble olyèdral, ensemble des contrantes. Un certan nombre de résultats sont obtenu en alquant la rorété d nvarance ostve ben connue dans le cas des systèmes contnus. Il s agt en fat, de garantr que le franchssement d une transton ne fat as sortr le système de cet ensemble olyèdral. Enfn, nous termnons notre mémore ar une concluson et des ersectves. 4

11 Chatre Généraltés sur les systèmes à événements dscrets

12 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets Chatre Généraltés sur les systèmes à événements dscrets.. Introducton Avec les rogrès de la technologe, l homme s est ms à construre des systèmes de lus en lus comlexes dont l enchaînement dynamque des tâches rovent de hénomènes de synchronsaton, d excluson mutuelle ou de cométton dans l utlsaton des ressources communes. Ce qu nécesste une oltque d arbtrage ou de rorté. Ce tye de dynamque échae totalement à la modélsaton ar équatons dfférentelles. Au début des années 8, le monde de l automatque a rs en comte ces systèmes, on les a alors aelé systèmes à événements dscrets. Le mot dscret ne sgnfe n tems dscret, n état dscret, mas se réfère au fat que la dynamque est comosée d événements qu euvent avor une évoluton contnue, ce qu nous ntéresse, c est le début et la fn de ces événements, dans la mesure où les fns condtonnent de nouveaux débuts. La théore des SED eut être dvsée en deux grandes aroches : L aroche qualtatve (logque) qu ne s ntéresse qu à l occurrence des événements ou l mossblté de cette occurrence (masse ou blocage), et à la successon de ces événements. 5

13 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets L aroche quanttatve qu s ntéresse à l asect évaluaton des erformances (nombre d événements survenant dans un las de tems donné), et à l otmsaton de ces erformances... Dfférents outls de modélsaton des SED Les réseaux de Petr, l algèbre des doïdes, les langages et les automates, sont les tros outls de base utlsés our la modélsaton, la commande et l analyse des SED.. Langages et automates Ils ermettent le tratement mathématque des roblèmes relatfs aux SED, essentellement du ont de vue logque (analyse qualtatve). Une résentaton lus détallée est donnée dans [5], [], [9]... Langages : Défntons de base Un alhabet est un ensemble fn de symboles ar exemle {a, b, c,z}. On suose l alhabet fn et on le note Σ. Un mot est une sute fne de lettre dans l alhabet de référence, exemle : w= σ σ σ..σ k, σ Σ, =,,k. On aelle k la longueur du mot w, notée w. La concaténaton de deux mots w, w sur Σ est le mot w.w. La longueur de ce mot est w + w. On note Σ * l ensemble de tous les mots sur Σ. Le mot de longueur zéro, noté ε, est le mot vde, ε Σ*. Sot un mot w Σ*, un mot u Σ* est un réfxe de w s l exste un mot v Σ* telle que : u.v = w. 6

14 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets Un langage sur l alhabet Σ est un sous ensemble de Σ *, et on le note L. L = Ø est le langage vde, l ne content aucun mot. On défnt la réfxe-clôture d un langage L, comme étant le langage noté L, contenant tous les réfxes des mots de L. On dt qu un langage L est réfxe-clos, s l est égal à sa réfxe-clôture L = L... Oératons sur les langages Sot deux langages : L défn sur Σ, et L défn sur Σ. Unon : l unon de L et L, notée L L, est le langage contenant tous les mots contenues sot dans L, sot dans L. Formellement : L L = {v / v L ou v L }. Intersecton : l ntersecton de L et L, notée L L, est le langage contenant tous les mots contenues à la fos dans L et dans L. Formellement : L L = {v / v L et v L }. Dfférence : la dfférence entre L et L, notée L - L ou L / L, est le langage contenant tous les mots de L qu ne sont as dans L. Formellement : L - L = { v / v L et v L }. Concaténaton : la concaténaton de L et L, notée L. L est le langage contenant tous les mots formés d un mot de L suve d un mot de L. Formellement : L. L = {w / w = u.v, u L et v L }. Fermeture tératve : la fermeture tératve d un langage L, notée L *, est l ensemble des mots formés ar une concaténaton fne des mots de L. Formellement : L * = {v / k et v,v,..v k L et v = v.v..v k }. 7

15 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets Projecton naturelle : soent deux alhabets Σ et Σ avec Σ Σ Ø. Sot Σ = Σ Σ. On défnt la rojecton naturelle P : Σ * Σ * (=,), telle que : P(ε) = ε. P(σ) = ε σ s σ s σ P(sσ) = P (s).p (σ) avec s Σ *, σ Σ. Projecton naturelle nverse : soent deux alhabets Σ et Σ, avec Σ Σ Ø. Sot Σ = Σ Σ. On défnt la rojecton naturelle nverse P - : Σ * Σ * telle que : P - (ε) = (Σ - Σ ) * P - (σ) = (Σ - Σ ) * σ (Σ - Σ ) * P - (sσ) = P - (s) P - (σ) avec s Σ *, σ Σ *.. Langage réguler Une exresson régulère sur un alhabet Σ est comosée d oérandes (symboles de Σ), et d oérateurs rs dans l ensemble {+,., *}. Un langage réguler est celu défn ar une exresson régulère. Les oérateurs sont classés du lus rortare au mons rortare, dans l ordre : fermeture tératve, concaténaton et unon..4. Automates Un automate est une machne à états qu ermet de décrre le fonctonnement d un système à événements dscrets..4.. Défntons -Un automate eut être défn ar un 5-ulet A = (Q, Σ, δ, q, Q m ) tel que : Q : est l ensemble des états (esace d états dscret). Σ : est un alhabet fn. 8

16 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets δ : est la foncton de transton. q : est l ensemble des états ntaux. Q m : est l ensemble d états fnaux (marqués) Q m Q. -S l ensemble des états Q est fn, on arle d automate fn. -Un automate est dt détermnste, s l état ntal est unque, et s la relaton de transton, alquée à un coule (q, σ) défnt toujours un unque état δ: Q x Σ Q. -Un automate non détermnste est défn de la même façon qu un automate détermnste, exceté qu l eut avor luseurs états ntaux, et sa relaton de transton est défne ar δ : Q x Σ Q. Ce qu veut dre qu à artr d un état donné, un même symbole σ ermet d attendre deux états dfférents, au mons..4.. Rerésentaton Un automate eut être rerésenté ar un grahe de transton d états. Les états sont rerésentés ar des cercles. L état ntal est reéré ar une flèche entrante. Les états fnaux sont rerésentés ar des doubles cercles. La foncton de transton δ est rerésentée ar des arcs assocés à des symboles de l alhabet Σ. Exemle.: a b b Fgure. : Automate A. Sot A = (Q, Σ, δ, q, Q m ) l automate de la fgure.. Q ={, }, Σ ={a, b}, q ={}, Q m ={}, δ ={(,a,), (,b,), (,b,) }. 9

17 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets.4.. Langage reconnu ar un automate Un mot w est reconnu ou acceté ar un automate fn, s l exste un chemn menant de l état ntal q à un état fnal de Q m, étqueté ar la sute de lettres du mot w dans le même ordre. L ensemble des mots accetés ar un automate fn A forme le langage reconnu ar cet automate, on le note L(A) Langage généré et langage marqué Le langage généré ar un automate A est donné ar : L(A) ={s Σ * / δ(q,s) Q}. Ce langage rerésente l ensemble de tous les mots qu ermettent d attendre un état quelconque de l automate à artr de l état ntal. Toute séquence d événements qu se rodut dans l automate est récédée ar des réfxes, donc L(A) =L (A), d où tout langage généré ar un automate fn est réfxe-clos. On défnt le langage marqué noté L m (A) ar l ensemble de tous les mots w de L(A) telle que δ(q,w) Q m. Ce langage rerésente l ensemble de tous les mots qu ermettent d attendre un état marqué à artr de l état ntal. L m (A) L(A), usque Q m Q Accessblté et co-accessblté Un état q est dt accessble s l exste un mot w telle que q =δ(q,w), c, à, d que l automate eut y accéder deus l état ntal. L automate est dt accessble s q Q, q est accessble. Un état q est dt co-accessble, s l exste un mot w telle que δ(q,w) Q m, c, à, d qu à artr de cet état l automate eut attendre un état marqué. L automate est dt co-accessble s q Q, q est co-accessble Automate non bloquant et émondé

18 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets Un automate A est qualfé de non bloquant lorsque tout état accessble est coaccessble, c'est-à-dre, que tout mot générée ar A est le réfxe d un mot marqué : L(A) = L m (A). Un automate A est émondé s l est à la fos accessble et co-accessble. S A est émondé, A est auss non bloquant, la récroque est fausse : un automate non bloquant eut avor des états non accessbles Théorème de Kleene Le théorème de Kleene établ les équvalences suvantes : - Un langage sur un alhabet Σ est réguler (ratonnel) s et seulement s l est reconnu ar un automate fn. En d autres termes, our toute exresson régulère, on eut construre un automate fn qu reconnasse cette exresson. De même, our tout automate fn, on eut exrmer sous forme d une exresson régulère le langage qu l reconnaît. A artr d une exresson régulère, on eut construre un automate fn : en effet les exressons régulères de base euvent être décrtes ar des automates de la Fgure. : Ø : ε : a a : Fgure. : Exressons régulère de base décrtes ar des automates De même, our les oératons sur les exressons régulères. - A artr d un automate fn on eut construre une exresson régulère qu décrt le langage reconnu ar cet automate : les systèmes d équatons lnéares unlatères ermettent le calcul d une exresson régulère à artr d un automate fn.

19 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets -A chaque état on assoce une exresson régulère X du langage assocé à cet état. -On obtent un système d équatons dont les nconnus sont des exressons régulères, X. -S =, c est l état ntal, alors X décrt le langage reconnu ar l automate. Exemle.: b b a a b a 4 a,b Fgure. : Automate B Sot l automate de la fgure. : X = bx + ax. X = bx + ax 4. X = ε + ax 4 + bx. X 4 = ε + (a+b)x 4. Résoudre un tel système revent à calculer X, car l est assocé à l état ntal, et our cela on rocède ar substtutons. Deux résultats sont nécessares our la résoluton de ces équatons : -La lus ette soluton de l équaton X = AX + B est X = A * B. -La lus ette soluton de l équaton X = XA + B est X = BA *...8 Comoston d automates

20 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets Un rocédé réel est souvent comosé de rocédés élémentares en nteracton, de là vent l ntérêt de la comoston des automates qu les modélsent. La comoston ntervent auss dans l élaboraton de la commande ar suervson du rocédé (comoston du rocédé avec les sécfcatons).. S Σ Σ Ø synchronsaton des événements étquetés de σ en commun.. S Σ Σ = Ø as de synchronsaton d événements.. S Σ = Σ synchronsaton totale. Comoston synchrone : Soent A = (Q, Σ, δ, q, Q m ), A = (X, Σ, ξ, x, X m ), Σ Σ Ø, Σ = Σ Σ. Le comosé synchrone est défn (Q x X, Σ Σ, δ x ξ, q x x, Q m x X m ). Q x X, défnt l ensemble des états. Σ Σ, défnt l alhabet du comosé. (q x x ) : est l état ntal du comosé. (Q m x X m ) : est l ensemble des états fnals. La foncton de transton d états δ x ξ est défne ar : (δ x ξ) ((q,x),σ) = (q,x ) s δ(q,σ) =q! et ξ(x,σ) =x! (δ x ξ) ((q,x),σ) = (q,x) s δ(q,σ)! Avec σ Σ / Σ. (δ x ξ) ((q,x),σ) = (q,x ) s ξ(x,σ)! Avec σ Σ / Σ. Exemle.: Soent les automates A et A, dont Σ ={, } et Σ ={, } resectvement. Σ Σ ={ }.(fgure.4 ) Fgure.4 automates A, A.

21 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets Le résultat fnal est donné en fgure.5 Fgure.5 comosé synchrone Comoston asynchrone : Soent A = (Q, Σ, δ, q, Q m ), A = (X, Σ, ξ, x, X m ), Σ Σ = Ø, Σ = Σ Σ. Le comosé asynchrone est défn (Q x X, Σ Σ, δ x ξ, q x x, Q m x X m ). La foncton de transton d états δ x ξ défne ar : (δ x ξ) ((q,x),σ) = (q,x) s δ(q,σ) = q our σ Σ. (δ x ξ) ((q,x),σ) = (q,x ) s ξ(x,σ) = x our σ Σ. La comoston asynchrone n est qu un cas artculer de la comoston synchrone. Exemle.4: Consdérons un système manufacturer comosé de deux machnes dentques : M et M, et un stock entre ces deux machnes. Conformément à la fgure.6, les deux machnes travallent de façon ndéendante, usent des èces brutes en amont et rejettent des èces usnées en aval. Pèce brute M Pèce Pèce M usnée brute Fg..6 Un système manufacturer Pèce usnée Soent les automates M et M dont Σ ={,,, } et Σ ={,,, } resectvement. (fgure.7) 4

22 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets Σ Σ = q q f d r f d r q 4 q 5 q q Fgure.7 automates M,M. Le résultat fnal est donné en fgure.8 q f q q d r r r r d d f r q q f d f q d f q 5 d f q 5 q 5 r Fgure.8 comosé asynchrone. Réseaux de Petr [], []. Défnton. Défnton nformelle : un réseau de Petr (RdP) est un grahe bart orenté, comosé de laces et de transtons, relées ar des arcs. Une lace eut contenr un nombre enter de jetons ou marques. A chaque arc eut être assocé un ods (nombre enter) qu détermne la dynamque du réseau. 5

23 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets Défnton formelle : un réseau de Petr est quadrulet Q = (P, T, Pré, Post) où : P = {P, P, P n } est un ensemble fn de laces. T = {T, T,.T m } est un ensemble fn de transtons. Pré : P x T N est l alcaton d ncdence avant. Post : P x T N est l alcaton d ncdence arrère. Pré(P, T j ) rerésente le ods de l arc relant P à T j, alors que Post(P, T j ) rerésente le ods de l arc relant T j à P. On défnt la matrce d ncdence du réseau ar l alcaton W telle que : W= W + - W -. Avec: W + j= Pré(P, T j ), W - j = Post(P, T j ). On défnt le vecteur de marquage M = (m(p ), m(p ),.m(p ),..).. Franchssement d une transton Une transton T j est franchssable s les laces P en amont de T j ont un marquage suéreur ou égal au ods de l arc relant P à T j : P P, m(p ) Pré(P, T j ). Lors du franchssement de T j, le marquage des laces P en amont de T j est décrémenté de Pré(P, T j ) marques, et le marquage des laces P k en aval de T j est ncrémenté de Post(P, T j ) marques.. Equaton fondamentale On aelle séquence S une sute ordonnée de franchssements. Le vecteur S dont les comosantes sont le nombre d occurrence de franchssement de chaque transton (ndéendamment de l ordre de franchssement), est aelé vecteur caractérstque de la séquence S. Le assage d un marquage M à un marquage M f s écrt sous la forme matrcelle suvante : M f = M + W. S 6

24 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets.4 Prorétés d un PdP :.4. Accessblté : un marquage M f est accessble à artr du marquage ntal M s l exste une séquence de franchssement S telle que : du franchssement de cette séquence à artr de M, résulte un nouveau marquage M f et on note: M [ S M f Cette rorété ermet de savor s un état non désré rsque de se rodure..4. Vvacté : Un réseau de Petr est dt vvant our un marquage ntal M s our tout marquage M accessble à artr de M et our toute transton T, l exste une séquence de franchssement S qu nclut la transton T. Cette rorété ermet de dédure s le système ne comorte as de blocage..4. Borntude : Une lace P est dte bornée our un marquage ntal M s our tout marquage accessble à artr de M, le nombre de marques dans P est fn. Un RdP est dt borné s toutes ses laces sont bornées..4.4 Réversblté : Un RdP est dt réversble ou réntalsable our un marquage ntal M, s our tout marquage M accessble à artr de M, l exste une séquence de franchssement S qu ramène à M..5 Eléments de modélsaton Les RdPs ermettent de modélser un certan nombre de comortements mortants dans les systèmes à événements dscrets: le arallélsme, le artage des ressources, la mémorsaton et lecture d nformatons, la lmtaton d une caacté de stockage..5. Parallélsme :(Fgure.9) Le arallélsme rerésente la ossblté que luseurs rocessus évoluent smultanément au sen du même système. 7

25 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets Fgure.9 Parallélsme..5. Synchronsaton Mutuelle : (Fgure.) La synchronsaton mutuelle ou rendez-vous ermet de synchronser les oératons de deux Processus. Fgure. Synchronsaton mutuelle.5. Sémahore : (Fgure.) Les oératons du rocessus ne euvent se rodure que s le rocessus a attent un certan nveau dans la sute de ses oératons. Fgure. Sémahore..5.4 Partage des ressources : (Fgure.) Cette structure modélse le fat qu au sen du même système luseurs rocessus artagent une même ressource 8

26 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets Fgure. Partage des ressources.5.5 Mémorsaton : (Fgure.) Mémorsaton d une transton (c, à, d, l occurrence d un événement), le franchssement de la transton T n est ossble que s l y a une marque dans la lace P. Seul le franchssement de T eut mettre une marque dans la lace P. Fgure. Mémorsaton.5.6 Lecture : (Fgure.4) Le franchssement de la transton T est lé au marquage de P. lors du franchssement, son marquage n est as modfé. On fat alors une lecture de ce marquage. Fgure.4 Lecture 9

27 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets.5.7 Caacté lmtée : (Fgure.5) Pour que la transton T sot franchssable l est nécessare que la lace P 5 contenne des marques. Le marquage de P 5 ne ermet que deux franchssements successfs de T, la transton T sera à nouveau franchssable s le franchssement de la transton T 4 ermet de mettre des marques dans la lace P 5. Au total, la lace P 4 ne ourra as contenr lus de marques, cette arte du réseau eut modélser un stock de caacté. Fgure.5 Caacté lmtée.6 Les classes de Réseaux de Petr.6. RdP sans conflt : C est un RdP dans lequel toute lace a au lus une transton de sorte. Conflt : P, T, T (fgure.6). P T T Fgure.6 Conflt : P, T, T... RdP à chox lbre: C est un RdP dans lequel our tout conflt P, T, T, aucune des transtons T,T ne ossède une autre lace que P..6. RdP smle : C est un RdP dans lequel chaque transton ne eut être concernée que ar un conflt au lus.

28 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets.6. RdP ur : C est un RdP dans lequel l n exste as de transton ayant une lace d entrée qu sot également lace de sorte de cette même transton..6.4 Grahe d événements : C est un RdP dans lequel chaque lace a exactement une transton d entrée et une transton de sorte, ans un grahe d événements ne résente jamas de conflts, mas eut toute fos comorter des synchronsatons..6.5 Grahe d états : C est un RdP dans lequel chaque transton a exactement une lace d entrée et une lace de sorte, c est le dual du grahe d événements, ans un grahe d états eut résenter des conflts, mas jamas comorter de synchronsatons. Défnton : [] Un réseau de Petr est aelé : Une arrère-machne à états s et seulement s chaque transton osséde une seule lace de sorte. Une avant-machne à états s et seulement s chaque transton ossède une seule lace d entrée..7 Réseaux de Petr artculers :.7. RdPs à arcs nhbteurs : Un ars nhbteur est un arc orenté d une lace P vers une transton T j, our le dstnguer d un arc classque, on rerésente son extrémté ar un cercle à la lace d une flèche. Lorsque la lace P est relée à la transton T j ar l arc nhbteur A k alors T j est sensblsé s le marquage de P est nféreurs au ods de A k, et aucune marque n est ôtée de P..7. RdPs colorés : La modélsaton d un système réel eut mener à des réseaux de Petr de talle tro mortante rendant leur manulaton et leur analyse dffcle. La queston est alors de modfer (étendre) la modélsaton ar RdP de façon à obtenr des modèles

29 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets lus etts. Cette queston a motvé l ntroducton des RdP colorés. Une talle tro mortante eut découler du fat que l on ne eut as dstnguer entre les dfférentes marques d une lace. Pluseurs marques dans une lace euvent modélser un certan nombre de èces dentques dans un stock. S le stock content luseurs tyes de èces, des laces sulémentares dovent être ntrodute our sa modélsaton. Intutvement, s on est caable de dstnguer les dfférentes marques les unes des autres, on ourrat assocer à chaque tye de marques un tye de èce. Pour dstnguer les marques les une des autres, on ntrodut la noton de couleurs..7. RdPs non autonomes :.7.. RdPs temorsés : Le comortement de ces modèles déend du tems. Ils ermettent d évaluer le tems d exécuton d une sére d oératons ar exemle dans un rocédé de fabrcaton ndustrel en foncton de la caacté des machnes et des stocks. Il exste des RdPs P-temorsés et des RdPs T-temorsés. Dans un RdP P-temorsé ar exemle, quand une marque est déosée dans une lace P, elle reste ndsonble endant un tems Temo(P ), une fos ce tems écoulé elle devent dsonble..7.. RdPs synchronsés : Dans la modélsaton RdP, le fat qu une transton sot franchssable ndque que toutes les condtons sont réunes our qu elle sot effectvement franche. Le moment où se rodura le franchssement n est as connu. Un RdP synchronsé est un RdP ou chaque transton est assocée à un événement, la transton sera alors franche s elle est valdée mas quand l événement assocé se rodut. Généralement un événement est un front montant ou descendant d une varable logque. Un événement n a as de durée l est caractérsé ar l nstant ou l se rodut. Pour lus de détals se référer à [], [], [5].

30 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets. Algèbre des doïdes La commande suervsée des SED ar les réseaux de Petr a élaborée des los de commande otmales et effcaces, qu garantssent le resect des sécfcatons sur le marquage. Ceendant, elle ne rend as en comte exlctement l nfluence du tems, elle consdère que les événements euvent avor leu à des moments arbtrares, ce qu est contrare à la réalté, le fonctonnement de la luart des rocessus ndustrels exge un certan nombre de contrantes temorelles, telles que les durées oératores et les dates de début et de fn des taches. D où l ntérêt de la modélsaton de ces rocessus ar des grahes d événements temorsés, dont le comortement est rerésenté ar des systèmes d équatons lnéares défnes dans l algèbre des doïdes : Max-lus ou Mn-lus, ans que la ossblté d évaluaton des erformances et d otmsaton.. Défntons [6] Défnton. : On aelle un monoïde, un ensemble M mun d une lo nterne assocatve et qu ossède un élément neutre ε tel que : m M, m ε = ε m = m. Le monoïde est commutatf s la lo est commutatve. Défnton. : on aelle dem-anneau un ensemble D mun de deux los nternes et tel que : - ( D, ) est un monoïde commutatf dont l élément neutre est aelé élément nul. - ( D, ) est un monoïde. Son élément neutre est aelé unté et est noté e. - La multlcaton est dstrbutve à drote et à gauche ar raort à la lo a, b,c M : c ( a b) = ( c a) ( c b) et ( a b) c = ( a c) ( b c). - L élément nul ε est absorbant our la lo : a ε = ε a = ε. S la lo addtve est demotente : dem-anneau demotent ou doïde. a D, a a = a alors ( D,, ) est aelé un

31 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets Exemle.5: ( R { + }, max, + ) noté, est un doïde commutatf our lequel ε = et e=, ce doïde Rmax est aelé algèbre (max,+). Dans ce doïde, la lo corresond à l alcaton max et la lo est la somme usuelle. ( R { + }, mn, + ), est un doïde commutatf our lequel ε =+ et e=, l est aelé algèbre ( mn,+). Dans ce doïde, la lo corresond à l alcaton mn et la lo est la somme usuelle.. Résoluton d équatons dans les doïdes Par analoge avec la théore des systèmes lnéares classques. Le comortement dynamque du grahe d événements temorsés est décrt ar une équaton d état défne dans l algèbre des doïdes : X=A X B Remarque : la lo est remlacée ar un ont. La quantté (A *.B) est la lus ette soluton de l équaton X=A.X B. Avec A * = A N et A = I n (Etole de Kleene).. Fonctons comteurs et fonctons dateurs L évoluton du grahe d événement eut être rerésentée dans le domane temorel ar les fonctons comteurs, et dans le domane événementel ar les fonctons dateurs... Fonctons comteurs : on assoce à chaque transton du grahe consdéré une foncton du tems corresondant au nombre cumulé de franchssements de la transton à l nstant t. cette foncton est aelée comteur. 4

32 Chatre :Généraltés sur les systèmes à événements dscrets.. Fonctons dateurs : on assoce à chaque transton du grahe consdéré une foncton de la varable k N *, corresondant à la date du k ème franchssement de la transton, cette foncton est aelée dateur..4 Evaluaton des erformances et otmsaton L évaluaton des erformances s effectue à artr du calcul d ndces de erformance du système. Ces ndces sont essentellement le taux de roducton λ, et le tems de cycle T C =. λ Quant à l otmsaton, les deux crtères à otmser sont le coût de fonctonnement et la roductvté. Le roblème d otmsaton des ressources consste à mnmser le nombre des ressources de roducton qu l faut engager ntalement our attendre la roductvté souhatée. En d autres termes, on calcule le marquage ntal d une ou de luseurs laces our attendre le taux de roducton fxé. Concluson : Dans ce chatre, des outls de modélsaton, d analyse et de commande de systèmes à événements dscrets sont résentés. Nous avons ntrodut, dans un remer tems, les automates à états fns et les langages formels usque la théore de la suervson telle qu ntalement résentée, se base sur ces outls. L outl réseau de Petr est ar la sute étudé, our ouvor résenter les dfférentes extensons à la théore de base ntrodute ar Ramadge et Wonham. 5

33 Chatre Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets

34 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets. Chatre Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets.. Introducton Les SED sont de lus en lus comlexes, ce qu rend lus dffcle la réalsaton d un système de commande effcace et réalste. Pluseurs travaux ont été consacrés au roblème de la synthèse de commandes our les SED. L objectf de la synthèse est de détermner un suervseur garantssant le resect des sécfcatons. L aroche roosée ar Ramadge et Wonham s ntéresse à l exstence et à la synthèse d un suervseur le lus ermssf our les SED. Cette aroche est basée sur la modélsaton des systèmes ar des automates à états fns, et des langages formels. Ceendant le manque de structure dans ces modèles lmte le déveloement des algorthmes de calcul effcaces our l analyse et la synthèse de suervseur []. C est ourquo luseurs méthodes de synthèse de commande basées sur les réseaux de Petr ont été roosées, our exloter la ussance de modélsaton offerte ar cet outl [], [5], ans que les nombreux résultats mathématques dsonbles our la vérfcaton du comortement du système, tels que l attegnablté, la borntude et la vvacté.. Synthèse de suervseur basée sur les automates et les langages.. Concet de suervson : Le modèle d un rocédé eut être vu comme un générateur sontané de mots d événements sans control externe. En vue de commander un tel rocédé dans le cadre de la théore de la suervson, certans événements sont nterdts ou autorsés. Ans, lorsque le rocédé se trouve dans un état q, l reçot de la art du suervseur une lste γ d événements autorsés. La rochane évoluton du rocédé se fera alors sur occurrence d événement σ + de γ. A artr du nouvel état q j attent ar le rocédé, une nouvelle lste 6

35 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets. d événements autorsés est fourne. Ce rnce d nhbton / autorsaton est rerésenté en fgure. et est aelé suervson, et le fonctonnement qu en découle rerésente le comortement en boucle fermée du rocédé. Suervseur S Evénements générés autorsés. Procédé P (Générateur d événements) Inhbton/autorsaton d événements. Fgure. rnce de suervson. Remarque : Ramadge et Wonham ont nté une théore de synthèse automatque de suervseur our les SED. Cette théore consdère l asect qualtatf des actons (va l ordre d occurrence d événements), et ermet au suervseur d nterdre l aarton de certans événements (contrôlables) au rocédé. L asect quanttatf des actons fat ntervenr le concet d événement forcé, la suervson devent alors commande suervsée usque le suervseur eut forcer l occurrence de certans événements du rocédé... Noton de contrôlablté... Evénements contrôlables et événements non contrôlables : L ensemble Σ des événements d un rocédé est dvsé en deux sous ensembles dsjonts Σ c et Σ u, rerésentants resectvement l ensemble des événements contrôlables, et l ensemble des événements non contrôlables. Les événements contrôlables (Σ c ) sont les événements sur lesquels le suervseur eut avor une acton drecte, c'est-à-dre, qu l eut les nterdre ou les autorser. Par contre, le suervseur ne eut exercer aucune nfluence drecte sur les événements dts non contrôlables (Σ u ). Tous les événements de Σ u sont toujours autorsés quelque sot l événement généré ar le rocédé, la condton Σ u γ est toujours vrae our tout. 7

36 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets.... Condton de contrôlablté [9] Une sécfcaton ermet de tradure les contrantes mosées ar le caher des charges. Etant donné un rocédé P défn ar le langage L(P), et une sécfcaton défne ar un langage K. Le but est de synthétser un suervseur V qu ermet de fare resecter cette sécfcaton. Il convent d abord de détermner s le langage de la sécfcaton K est admssble ar le système, autrement dt s le système eut le resecter : c est la noton de contrôlablté. Un langage K Σ * est dt contrôlable s : K.Σ u L(P) K.. C'est-à-dre que K est contrôlable s l n exste as de mot wσ, avec w K, et σ Σ u, telle que wσ Σ u : l occurrence d un événement non contrôlable ne fat as sortr le système de la sécfcaton... Défnton formelle d un suervseur [] Sot P = ( Q, Σ, δ, q, Q m ) un rocédé avec Σ = Σ c Σ u. l ensemble des événements autorsés qu nclus nécessarement Σ u, est aelé l ensemble de contrôle noté Г. Il est comosé de l ensemble des entrées de contrôle notées γ : Г ={ γ Σ / Σ u γ }.. On défnt le suervseur comme une foncton V : L(P) Г qu attrbut à chaque événement généré w, une entrée de contrôle γ = V(w) devant être alquée. On note V/P le rocédé suervsé ar V. On aelle fonctonnement en boucle ouverte, le comortement de P seul et le fonctonnement en boucle fermée, celu de P suervsé ar V, V/P. Le langage L(V/P) L(P) est défn : ε L wσ ( V / P) L( V / P) s et seulement s w L( V / P), σ V( w) et wσ L( P ).. Le langage L m (V/P) (comortement marqué) est défnt : 8

37 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets. L m ( V / P) L( V / P) L ( P). =.4 m..4 Exstence d un suervseur [9] Théorème. : Sot K L(P) le langage généré ar P. Il exste un suervseur V tel que L(V/P) = K s et seulement s : K est réfxe clos : K = K. K est contrôlable : K. Σ u L(P) K. Théorème. : Sot K L m (P) le langage marqué de P. Il exste un suervseur V non bloquant (L(V/P) = K ) tel que L m (V/P) = K s et seulement s : K est L m -clos : K = K L m (P). K est contrôlable : K.Σ u L(P) K Un langage K L est dt L-clos s K = K L : tout réfxe de K, qu est auss un mot de L, est également mot de K...5 Langage surême contrôlable S K n est as contrôlable, alors on dot chercher un sous ensemble de K aelé Su C(K) qu a la rorété de contrôlablté en resectant toutes les contrantes. Il rerésente le lus grand langage contrôlable dans K. Le suervseur est dt maxmum ermssf ou otmal lorsque, coulé avec le rocédé, l génère le langage Su C(K) tel qu l est donné à la fgure. L(P) K Su(C (k)) Fg... Langage surême contrôlable d un fonctonnement désré 9

38 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets...5. Algorthme de Kumar [] Cet algorthme ermet de détermner le Su C(K). Il est consttué des 4 étaes suvantes : Pas : construre le comosé synchrone de L(P) et K. Pas : détermner les états défendus du comosé synchrone. On aelle état défendu tout état (q,x) du comosé synchrone tel qu l exste un événement non contrôlable σ ou δ(q,σ) est défne our P et ξ(x,σ) n est as défne our K. Pas : détermner les états fablement défendus du comosé synchrone. On aelle état fablement défendu tout état (q,x) du comosé synchrone qu n est as un état défendu, et tel qu l exste une séquence d événements non contrôlables S u qu condut à un état défendu. Pas 4 : surmer du comosé synchrone les états défendus, les états fablement défendus, ans que toutes les transtons lées à ces états...6 Synthèse du suervseur Le suervseur sera construt à artr de l automate assocé au langage Su C(K) résultant des étaes vues c-dessus, en détermnant les entrées de contrôle à alquer au rocédé. Exemle.: Rerenons l exemle.4, Le fonctonnement de notre système manufacturer dot resecter la résence d un stock de caacté lmtée à, stué entre les machnes (fgure.). Pèce brute M Stock M Pèce usnée Le suervseur S de la fgure.4 ermet de garantr le resect de cette sécfcaton. Dans cet automate les états v et v corresondent resectvement aux états : "stock vde" et "stock len". Fg... Le système manufacturer sous la contrante de stock

39 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets. Φ(v ) = {d } S : Σ \ {f, d } v f d Σ \ {f, d } v Φ(v ) = {f } Fg..4. Modèle automate de la sécfcaton Lorsque le stock est vde, l'occurrence de l'événement contrôlable d est nterdt (début du cycle de M ). Sur l'occurrence de l'événement f (fn du cycle de M et déôt d'une èce dans le stock), l'automate S change d'état et asse dans l'état v. Dans cet état, l'occurrence de l'événement f est nterdte (fn du cycle de M ). Le modèle automate reconnassant le fonctonnement en boucle fermée est obtenu en effectuant le comosé synchrone de P et de S. Le modèle de fonctonnement désré en boucle fermé du système suervsé est donné dans la fgure.5. S /P : (q, v ) r r d f (q, v ) r (q, v ) f f d d (q, v ) (q, v ) r (q 5, v ) r d (q 5, v ) f (q 5, v ) (q 4, v ) f (q 5, v ) r d r (q 4, v ) (q 4, v ) f (q 4, v ) (q 5, v ) f f (q 4, v ) d Fg..5. Modèle de fonctonnement désré en boucle fermée Par alcaton de l algorthme de Kumar our notre exemle, nous trouvons les états nterdts suvants : { (q,v ), (q 4,v ), (q 5,v ) }. Dans cet exemle l n y a as d états fablement nterdts (fgure.6).

40 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets. S /P : (q, v ) r r d f (q, v ) r (q, v ) f f f (q, v ) r d (q, v ) (q 5, v ) r d f d (q 5, v ) f (q 5, v ) (q 4, v ) f (q 5, v ) r d r (q 4, v ) (q 4, v ) f (q 4, v ) (q 5, v ) f f (q 4, v ) d Fg..6. Modèle automate du système suervsé avec des états nterdts Le modèle fnal de cet automate est résenté dans la fgure.7. (q, v ) S/P : (q, v ) r d (q, v ) f (q, v ) r f r f d r (q 5, v ) f (q 5, v ) (q 4, v ) f (q 5, v ) r d r (q 4, v ) (q 4, v ) f (q 4, v ) (q 5, v ) Fg..7. Modèle fnal de système suervsé sans états nterdts. Synthèse de suervseur basé sur les RdPs Comme les systèmes réels sont devenus de lus en lus comlexes, et en rason des lmtatons que résentent les modèles basés sur les automates et les langages, telles que la dffculté de modélsaton, l exloson combnatore et la non garante d absence de blocage, le beson d un outl tel que les RdPs est devenu lus mortant. Les RdPs sont aarus comme l outl le lus rometteur our faclter de tels modèles, de lus c est un outl qu faclte l mlémentaton sur un automate rogrammable ndustrel API.

41 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets... Synthèse de suervseur ar la méthode des nvarants de marquage [4] Cette méthode est alquée our les systèmes modélsés ar les RdP, et dont les sécfcatons (contrantes) euvent être exrmées en égaltés, négaltés ou exressons logques, et euvent comorter des éléments du vecteur de marquage et / ou du vecteur de franchssement. Les contrantes exrmées ar le vecteur de franchssement dovent être transformées our ne comorter que des éléments du vecteur de marquage our ouvor utlser le rnce des P- nvarants our la synthèse du suervseur. Le suervseur est comosé de laces de contrôle qu sont connectées aux transtons de l RdP du rocédé de sorte à garantr que le système ne tombe as dans les états nterdts. La talle du contrôleur est roortonnelle au nombre de contrantes à satsfare.... Prnce des nvarants de laces (P-nvarants) : Les nvarants est l une des rorétés structurelles des RdPs (càd qu déendent seulement de la structure toologque du RdP et non de son marquage ntal). Il exste deux tyes d nvarants : les P-nvarants et les T-nvarants. Les P-nvarants sont des ensembles de laces dont le nombre de jetons reste toujours constant. Le P-nvarant est défn ar le vecteur X(xn), dont les éléments non nuls corresondent aux laces aartenant au P-nvarant, (avec n nombre de laces du réseau) sot à artr du marquage ntal m : m T. X = m T. X.5 Ou ben à artr de la matrce d ncdence W : X T. W =.6... Descrton de la méthode : Cette méthode exge que le rocédé à contrôler sot modélsé ar un RdP, et ermet de construre un contrôleur ar réseaux de Petr lé au rocédé. Les contrantes qu dovent être satsfates euvent être sot des exressons logques, des égaltés ou des négaltés. Suosons que le système à commander est modélsé ar un RdP ayant n laces et m transtons, et dot satsfare la sécfcaton suvante :

42 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets. +.7 où m et m j sont les marquages des laces P et P j resectvement. Cette contrante veut dre qu au lus, une de ces deux laces sot marquée (les deux laces ne euvent être marquées en même tems). Cette négalté eut être transformée en une égalté en ntrodusant une nouvelle varable m s, et la contrante devent alors : + + =.8 La varable m s rerésente dans ce cas une nouvelle lace P S qu reçot l excès de marques, ans on assure que la somme des marques m et m j est toujours nféreure ou égale à. Cette lace aartent au réseau contrôleur. La structure de ce réseau sera calculée en notant que l ntroducton de la varable m S va ntrodure un P-nvarant. Pusque une nouvelle lace a été ajoutée au réseau, alors la matrce d ncdence W du système contrôlé global est la matrce orgnale D P (n x m) augmentée d une lgne corresondant à la lace ntrodute P S. Cette nouvelle lgne aartent à la matrce d ncdence du contrôleur notée W C. Le roblème eut être stué en général comme sut : Toutes les contrantes euvent être grouées et écrtes sous forme matrcelle :.9 Où m est le vecteur de marquage modélsant le rocédé, L est une matrce (n C x n), b est un vecteur (n C x ) et n C est le nombre de contrantes. De la même manère toutes les équatons de P-nvarants générés arès l ntroducton de la varable m S euvent être grouées sous forme matrcelle : + =. où m C est le vecteur (n C x ) qu rerésente le marquage des laces du contrôleur. L équaton matrcelle suvante est l équaton P-nvarant de tous les nvarants défns ar l équaton récédente : X T W.W = [ L I ] =. Wc L.W P + W C = 4

43 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets. W C = -L.W P. Où I est la matrce dentté (n C x n C ) usque les coeffcents de la varable m S dans les contrantes sont égaux à. La matrce W C content les arcs qu connectent les laces du contrôleur aux transtons du réseau du rocédé. Le marquage ntal du réseau contrôleur dot être calculé d arès l équaton des P-nvarants + = : On a : + = d où =. Exemle.: Consdérons à ttre d exemle le réseau de la fgure.8 suvante: Fgure.8 réseau du système à suervser La matrce d ncdence de ce réseau W P = Son marquage ntal m = m m m = L objectf est de contrôler le réseau afn que les laces P, P ne contennent jamas lus d une marque, c est à dre, on désre alquer la contrante : +. L = [ ], b =. On ntrodut la varable m S et l négalté devent une égalté : + + = 5

44 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets. Cette équaton rerésente l nvarant X = [ La matrce d ncdence contrôleur : W C = - L.W P = [ ] ] T Le marquage ntal du contrôleur : m C = L. m =. La structure du réseau contrôlé est décrte ar la matrce d ncdence : W = W P = WC Tands que son marquage ntal : m = m m P C = Le réseau de Petr du système contrôlé est donné ar la fgure.9 suvante : Fgure.9 Réseau du système suervsé.... Transformaton de RdP : Cette méthode transforme les contrantes qu contennent des éléments du vecteur de franchssement. Elle est basée sur la transformaton du modèle RdP lu-même. Suosons que la contrante à satsfare est de la forme : + (q j élément du vecteur de franchssement). Cela veut dre que la transton T j ne eut as être franche s la lace P est marquée et vce versa. La transformaton est la suvante : la transton t j est remlacée ar deux transtons et une lace entre elles comme le montre la fgure. suvante : 6

45 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets. Fgure. Transformaton de RdP Par conséquent la matrce W P est augmentée d une lgne et d une colonne. Cette transformaton est artfcelle, et n ajoute ou ne soustrat ren du modèle, son seul but est d ntrodure la lace P j qu enregstre le franchssement de la transton t j. Le marquage m j de P j remlace q j dans la contrante + qu devent : +.. La contrante eut mantenant être transformée en égalté en ntrodusant m S, et le contrôleur eut être calculé comme déjà vu récédemment. Arès le calcul de la structure du contrôleur, la transton et la lace ajoutées sont surmées, et la j ème et (j+) ème colonne de W sont sommées our rodure la colonne corresondant à t j, et la lgne corresondant à la lace P j est surmée. Exemle. : Consdérons encore le réseau de l exemle récédant. Suosons que la contrante cette fos est : q +q càd que les transtons t et t ne euvent être franches en même tems. Chacune des deux transtons est remlacée ar deux transtons et une lace entre elles comme le montre la fgure. suvante : Fgure. Réseau transformé 7

46 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets. 8 W P = m = La contrante eut mantenant être exrmée en foncton du marquage de P et P : +. L = [ ], b =. On ntrodut la varable m S qu tradut le marquage de la lace du contrôleur P S : + + =. W C = -L. W P = [ ], m C = L. m =. W= C P W W = m = C P m m = Le réseau contrôlé est donné ar la fgure. suvante:

47 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets. 9 Fgure. Réseau transformé suervsé Une fos le contrôleur calculé : la ème et la ème colonne de W sont sommées our rodure la colonne corresondant à t, alors que la ème et la 4 ème colonne de W sont sommées our rodure la colonne corresondant à t. Et les lgnes 4 et 5 corresondant aux deux laces de transformaton sont surmées, alors la structure du RdP orgnal contrôlé est : W = C P W W = m = C P m m = et son réseau de Petr est donné ar la fgure.. Fgure. Réseau orgnal suervsé.

48 Chatre : Méthodes de synthèse de suervseurs our les systèmes à événements dscrets. Remarque : La méthode telle qu ntalement roosée, est alcable que dans le cas où toutes les transtons sont contrôlables. Dans le cas de résence de transtons non contrôlables, une méthode a eté roosée (Basle et al, 6), ce cas sera étudé au chatre suvant... Synthèse de suervseur ar la méthode des régons : [6] L aroche de suervson ar la théore des régons a été roosée ar A. Ghaffar et N. Rezk. Le système est modélsé ar un Rd borné et le suervseur à synthétser dot être maxmum ermssf en resectant les sécfcatons (états nterdts), la vvacté du réseau, et les transtons non contrôlables. Le suervseur résultant est un ensemble de laces de contrôle à ajouter au réseau ntal, qu nterdsent l accès aux états nterdts.... Descrton de la méthode Cette méthode est dvsé en deux étaes, détermner l ensemble des marquages admssbles, us construre des laces de contrôle en utlsant la théore des régons. Etae : Pour détermner l ensemble des marquages admssbles on sut les étaes suvantes : - détermner l ensemble des marquages nterdts. - Générer le grahe des marquages artel. - Détermner l ensemble des marquages dangereux. - Générer le grahe des marquages admssbles R c. Etae : Cette étae construt les laces de contrôle à ajouter au modèle ntal à artr du grahe des marquages admssbles en utlsant la théore des régons.... Synthèse du contrôleur Etant donné le modèle du système à contrôler ( N,M ) et le grahe d attegnablté R c (le comortement admssble du système contrôlé). On utlse la théore des régons our construre les laces de control { P } c à ajouter. 4