Dipôles en régime transitoire

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1 our au mnu! Dipôls n régim ransioir 1 laions couran nsion S il xis un rlaion linéair nr la nsion u() l couran i() dans un dipôl, cluici s «linéair». applons ls rlaions nr u() i() pour ls dipôls passifs usuls. " ésisancs a loi d Ohm donn : U() =.() n ohms (Ω) " nducancs D la loi d nz, on ir : " ondnsaurs D dq() =.du(), on ir : d() 1 U () = () = U() d n hnrys (H) d du() 1 () = U() = () d n farads (F) d Dipôls passifs linéairs n régim variabl Soi un circui consiué d dipôls passifs linéairs soumis à un nsion d command () la variabl y() don la naur (innsié, charg ) s foncion du problèm considéré. On pu écrir, pour c circui, un éuaion différnill don ous ls cofficins a i son consans don la form général s : a.y + a 1.y + a.y a n.y (n) = k.() On monr n analys u la soluion d c éuaion s du yp : y() = y 1 () + y () y 1 () s la soluion général d l éuaion sans scond mmbr. y () s un soluion pariculièr d l éuaion avc scond mmbr. Physiumn, y1() corrspond au régim libr c s-à-dir au foncionnmn du circui sans conrains xériurs. y () corrspond au régim forcé don la naur s la mêm u cll d l xciaion () ui s imposé au circui. Après un régim ransioir don la duré s foncion ds consans d mps du circui, on obin l régim prmann. sysèm s di du prmir ordr si l éuaion différnill obnu s du prmir dgré, du scond ordr si ll s du scond dgré...

2 3 Sysèms du prmir ordr 3.1 harg décharg d un condnsaur " harg Méhod ds maills U Fig 1 On s plac dans l cas l plus général : s un résisanc ui in comp d la résisanc d fui du condnsaur F d la résisanc d charg évnull U. ( = U // F ). généraur uilisé pour la charg s modélisé par un généraur idéal d f..m. d résisanc inrn. = + = + / = dq/d =.d/d = +. = +..d/d +. / + d =... + d.. d = d Donc n posan : = +, on ir: Méhod d Thévnin T T d = + d généraur éuivaln ui s rlié au condnsaur s caracérisé par : T =. /( + ) = T =. /( + ) T = + T. d = +. d (1) " a soluion général d l éuaion sans scond mmbr s : = +..d/d d/ = 1/.. d Si A désign un consan arbirair, la soluion d c éuaion (1 r ordr) s : = A.xp ( / ) () omm un uanié d élcricié s l produi d un capacié par un nsion, n uilisan ls éuaions dis «aux dimnsions», on ir : [Q] = [].[] = [ ].[T] [].[].[ ] = [ ].[T] [].[] =[T] ui a la dimnsion d un mps s la «consan d mps» du circui. " Soluion pariculièr d l éuaion avc scond mmbr : Si s consan alors d/d =. =./ s donc un soluion. ll corrspond au régim prmann : la charg du condnsaur s alors rminé. " Soluion complè d l éuaion différnill : () = A xp( /) +./ (3)

3 " Soluion physiu d l éuaion différnill : Pour obnir la soluion du problèm physiu, il fau précisr ls condiions iniials d clui-ci. Si l on suppos l condnsaur oalmn déchargé lors d la mis sous nsion du monag : n =, on a alors =. a valur d la consan A s donc : A =./. On n dédui :. = 1 (4) a duré nécssair à la charg oal s donc infini. n praiu, chrchons au bou d combin d mps la charg ain sa valur final à un millièm près : si ( )/ = 1 3 alors : xp( /) = 1/1. / = n 1 6,9. Au bou d 7., la charg n diffèr d la charg final u d,1. On pu considérr la charg du condnsaur rminé. liuz ici pour visualisr l foncionnmn du circui. raphs d la nsion ds divrs courans : / = / / + = = i i i. = 1 = 1. + d. d. = = =.. = + = 1 +. Bin nor sur cs graphius ls valurs limis ds nsions courans ls valurs ds pns ds angns à l origin. Un condnsaur déchargé s compor au débu d la charg comm un courcircui pour l alimnaion. Sul la résisanc limi alors la valur du couran.. " Décharg condnsaur s isolé du généraur s décharg dans sa résisanc d fui F dans la résisanc d charg U. On pos = U // F. = = dq/d ( condnsaur s décharg : dq s négaif!) =.d/d = A.xp( / ) Fig. 3 n =, on a : = a soluion d l éuaion s donc : =.xp( / )

4 3. Éablissmn du couran dans un inducanc 1 Fig 4 Slon la posiion d l invrsur, on aura soi l régim libr (posiion ) soi l régim forcé (posiion 1). Avc ls noaions d la figur 4, on a : = + Soi : =. + d d M B ( = ) On obin dans c cas : d d d d + = = avc : = xrcic : Monrr u la consan a la dimnsion d un mps. a soluion du régim libr s : () = A.xp( /) a condiion iniial s : ( = ) = () = U /. Donc : d. () =. () = = =. d o = U o/ = / = / Fig. 5.o Bin nor u si la foncion () s coninu, la foncion () s disconinu. M FO ( ) Si ( = ) =, on obin (invrsur n posiion 1) : ()= =. 1 couran dans l circui nd vrs / ; la nsion aux borns d l inducanc nd vrs zéro. 3.3 Pariculariés ds sysèms du prmir ordr s sysèms saisfon à un éuaion différnill du prmir ordr à cofficins consans d la form : d() () + = H d Pour l régim libr, H s nul n régim forcé coninu H s consan. a soluion s d la form : () = ( ). + H. soluion dépnd d un consan () foncion ds condiions iniials d un paramèr (la consan d mps), caracérisiu du circui.

5 4 Sysèms du scond ordr 4.1 circui,, séri condnsaur du circui,, suivan s chargé par un généraur auxiliair ui s nsui déconncé par K1. K1 K Fig. 6 a charg iniial du condnsaur s : =. Si K s frmé K1 ouvr, on a : + + = On obin l éuaion : d d d + +. = +. + = d d d On pos : Q ω ω ω = 1; λ = ; = = =λ Q Q s l facur d ualié λ l facur d amorissmn. éuaion dvin : d ω d +. + ω. = d Q d n chrchan ds soluions d la form () = A. r, on obin l éuaion di «éuaion caracérisiu» suivan : ω r Q r +. + ω = Ss racins son : ω ω r1, = ± 1 4Q = ± α = λ± α Q Q a soluion général d l éuaion s d la form : r1 r λ α. α. () = A1. + A. =.(A1. + A. ) a consan d mps s ici : = 1/λ = /. l fau connaîr dux condiions iniials. Slon l sign d α, la naur ds soluions diffèr. " α > (Q < ½ ou > )(amorissmn for) s dux racins son rélls. On pos : 1 Ω= α = ω 1 = λ ω 4Q s condiions iniials son ( = ) = ( = ) = On ir : = A1 + A = r1.a1 + r.a ( λ + Ω).A 1 = ( λ + Ω). A () = Ω λ ( λ+ Ω). Ω + ( λ + Ω). Ω

6 omm Ω λ = α λ = ω, on obin : ω λ Ω Ω ()= Ω régim d foncionnmn s l régim apériodiu. sysèm rvin à son éa d éuilibr ( =, i = ) sans oscillaions. To 1 + Ω X : Monrr u T = ln λ Ω λ Ω " α = (Q = ½) (amorissmn criiu) l y a un racin doubl r = λ a soluion général s d la form : Fig. 7 () = ( A. + A. ). r 1 Avc ls condiions iniials précédns, on obin : λ ( ) () = 1+ λ. () =. λ. régim d foncionnmn s apériodiu criiu. s un régim limi ui s obnu n diminuan la valur d jusu à la valur =. λ " α < (Q > ½ ou < )(amorissmn faibl) On pos ω = ω λ. s dux racins son imaginairs conjugués valn : r, = λ± j ω λ = λ± jω Toujours avc ls mêms condiions iniials ( ( = ) =, i ( = ) = ), on obin : () = 1 λ [( λ + jω). jω jω + ( λ + jω). jω ].xp(-λ) 1/λ Fig. 8 n posan g ϕ = λ/ω donc cos ϕ = ω/ω (car 1 + g²ϕ = 1/cos²ϕ), on a : T

7 () = λ cos( ω ϕ) = jω.cos( ω λ ϕ On obin un régim oscillan amori «psudopériodiu» (à caus d l amorissmn l phénomèn n s pas xacmn répèiif) caracérisé par un psudopériod T = π/ω par l rm d amorissmn λ. " = (amorissmn nul) éuaion s résum à : d + ω. = ( ) = cos ω d régim s sinusoïdal (périodiu, non amori). a périod s : T = π/ω. liuz ici pour sr l foncionnmn du circui séri n régim libr. 4. égim forcé du sysèm a soluion s la somm du régim propr d un soluion pariculièr du régim forcé. n régim forcé, la puissanc fourni par l généraur s répari dans ls rois dipôls : d 1 P=. () =.() + ().( + ) = d ω ω ) 1 n régim propr, = ; l énrgi s mmagasiné d façon succssiv dans l inducanc dans l condnsaur. 4.3 Pariculariés ds sysèms du scond ordr s sysèms saisfon à un éuaion différnill du scond ordr à cofficins consans d la form : d () d() + λ + ω H. ( ) = d d Pour l régim libr H s nul n régim forcé coninu, H s consan. soluion dépnd d dux condiions iniials d dux paramèrs λ ω caracérisius du circui. Slon ls valurs rlaivs d ω d λ, on obin différns régims d foncionnmn : égim apériodiu si l amorissmn s for. égim criiu pour un valur limi d l amorissmn. égim psudopériodiu si l amorissmn s faibl. égim périodiu si l amorissmn s nul. our au mnu!