0.1 Espace de probabilité

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1 0.1. ESPACE DE PROBABILITÉ Espace de probabilité Exercice 1 La population d une ville compte 48% d hommes et 52% de femmes. Le 1er Janvier % des hommes et 1% des femmes avaient la grippe. a) Quelle est la proportion de personnes dans la ville atteinte de la grippe le 1/01/02. b) On modélise cela à l aide d un modèle probabiliste, H représente les hommes, F les femmes et G les grippés. Comment écrire les hypothèses à l aide de probabilités. c) On tire une personne au hasard dans cette ville on remarque qu elle a la grippe, quelle est la probabilité que cette personne soit un homme? Exercice 2 4 joueurs jouent au poker, avec un jeu de 32 cartes. On distribue au hasard, une main de 5 cartes à chaque joueur. a) Quelle est le nombre de mains différentes qu un joueur peu recevoir? b) Quelle est la probabilité qu un joueur donné reçoive un carré? c) Quelle est la probabilité pour qu un joueur donné reçoive une "quinte floche" ( 5 cartes de même couleurs consécutives.). d) Quelle est la probabilité qu un joueur reçoive un full (par exemple 2 valets et 3 as) Exercice 3 Un ouvrier effectue un montage dans lequel entrent 3 composants identiques. Le montage est mauvais s il comporte au moins un composant défectueux. a) Soit un ensemble de n composants dont un seul est défectueux. a1) Calculer le nombre a de tirages différents possibles de 3 composants chacun. a2) Déterminer le nombre b de tirages différents qui contiennent le composant défectueux. a3) Déterminer n pour que b a 5% b) On suppose maintenant qu il y a deux composants défectueux dans un lot de n. b1) Calculer le nombre a de tirages différents possibles de 3 composants chacun. b2) Déterminer le nombre b de tirages différents qui contiennent au moins un composant défectueux. Exercice 4 Dans une ville, il y a 3 centres de secours d urgence. 5 malades appellent le même jour un centre au téléphone après avoir choisi, au hasard, l un des centres sur Minitel. a) Modéliser ce problème. b) Quelle est la probabilité que les 5 malades appellent le même centre? c) Quelle est la probabilité que les 3 centres soient appelés? Exercice 5 On dispose de 10 billes que l on veut aligner, combien peut-on former de figures différentes, si les billes de mêmes couleurs ne sont pas discernables et si: i) les 10 billes sont de couleurs différentes. ii) si il y a 3 billes rouges, 4 billes vertes et 3 noires. iii) si il y a 3 billes rouges, 4 billes vertes et 3 noires, mais que les rouges doivent être groupées. Exercice 6 On choisit deux points x et y au hasard dans l intervalle [0;1] quelle est la probabilité que la somme de leur carré soit inférieur à 1. On pourra faire un schéma et représenter x en abscisse et y en ordonnée. Exercice 7 On marque n points sur un cercle, on en choisit deux au hasard, quelle est la probabilité qu ils soient voisins? Exercice 8 On jette 3 fois un dé quelle est la probabilité qu au moins un trois ne sorte? Et si on le jette 6 fois? 12 fois? Exercice 9 Combien de triangles différents peut-on constituer en prenant leur sommet parmi 10 points (Ces points n étant pas alignés 3 par 3).

2 0.2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 2 Exercice 10 Si une personne sur est centenaire, calculer la probabilité qu il y ait au moins un centenaire dans un échantillon de 100 personnes, de 1000 personnes, de personnes. Exercice 11 On note p n la probabilité que sur une suite de n piles ou faces, il y ait à un moment 3 piles de suite ou trois face de suite, montrer en conditionnant sur les trois premiers résultats que l on a la formule de récurrence suivante : p n = p n p n 2 Donner une valeur approchée de p Variables aléatoires discrètes Exercice 12 On constitue une file d attente en attribuant au hasard des numéros d ordre à n personnes. On note D la variable aléatoire représentant le nombre de personnes se trouvant entre deux amis dans la queue. a) Déterminer P (D = k). b) Pour quelle valeur de k, P (D = k) est-il maximum? c) Déterminer l espérance de D. On pourra utiliser les formules classiques suivantes : n k=1 k = 1 n n(n + 1) 2 k=1 k 2 = 1 n (n + 1) (2 n + 1) 6 Exercice 13 On jette deux dés, on note X le résultat du 1er et Y le résultat du 2ème. Z = max(x; Y ). Déterminer la loi de Z, son espérance et sa variance. Exercice 14 La fabrication d un objet dans une usine s effectue avec 4% de défauts. On note N le nombre d objets défectueux dans un lot de 35 objets, déterminer la loi de N. Calculer P (N = 0), P (N = 1), et P (N = 2). Exercice 15 On suppose que le nombre d appels téléphoniques arrivant à un standard pendant un intervalle d une heure suit une loi de Poisson de paramètre 20 (P (N = k) = e 20 20k k! ). a) Calculer le nombre moyen d appels reçus en une heure. b) Calculer la probabilité que le standard reçoive moins de 5 appels en une heure. c) Un second standard reçoit en moyenne 50 appels par heure. Comment peut-on modéliser ceci à l aide d une loi de Poisson? Calculer la probabilité que le standard reçoive moins de 5 appels en une heure. Exercice 16 On jette un dé, et on note N le nombre de jets nécessaire pour qu un 6 apparaisse. a) Déterminer la loi de N. b) Calculer E(N) en utilisant la série entière suivante : nx n 1 = n=1 1 x ] 1; 1[ (1 x) 2 Exercice 17 Une certaine pièce A d une machine tombe souvent en panne, elle est remplacée alors dans la journée et on suppose qu elle ne peut pas retomber en panne. Le coût d un dépannage s élève à x euros et la perte de production du à une panne coûte y euros. On note p n la probabilité de bon fonctionnement le n ème jour. Si la machine fonctionne le n ème jour la probabilité qu elle fonctionne le (n+1) ème jour est 0.8, par contre si la machine tombe en panne le n ème jour la probabilité qu elle fonctionne le (n+1) ème jour est 0.9. a) Exprimer p n+1 en fonction de p n. En déduire p n en fonction de n et p 1. Déterminer la limite de p n. b) On note X n la variable aléatoire correspondant au coût du à la pièce A le n ème jour. Calculer son espérance. c) Comparer cela à la stratégie consistant à changer un matin sur deux la pièce A.

3 0.3. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ 3 Exercice 18 Soient b,r N et c N. Une urne contient b boules blanches et r boules rouges. On effectue des tirages successifs de la manière suivante : une boule étant tirée, on la remet dans l urne avec en plus c boules de la même couleur. On note X n la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule obtenue au nième tirage est rouge, la valeur 0 si elle est blanche. On posera p = r b + r q = b b + r 1) Déterminer la loi du couple (X 1,X 2 ) En déduire la loi de X 2 la comparer à celle de X 1. 2) Trouver les lois conditionnelles de X 1 sachant X 2 et de X 2 sachant X 1. 3) Déterminer la loi de la variable S 2 = X 1 + X 2. 4) Déterminer la loi de X 3 sachant que S 2 = k pour k N. 5) Déduire du 4) que la loi de X 3 est la même que celle de X 1. 6) Exprimer la loi de X n+1 à l aide de E(S n ). 7) Montrer que toutes les variables aléatoires X n ont même loi de probabilité. Exercice 19 Montrer que la seule loi sur N ayant la propriété suivante : est la loi géométrique (P (X = k) = p(1 p) k ). l,p N P (X > l + p X > l) = P (X > p) Exercice 20 Soient p ]0; 1[; X une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ et Y telle que λ λk P (X = k) = e k! P (Y = k X = n) = C k np k (1 p) n k Déterminer la loi de Y. Exercice 21 Un premier joueur lance un dé rouge, un deuxième joueur lance deux dés verts : Si le dé rouge a une valeur supérieur à la somme des verts le deuxième joueur verse 1 euro au premier, si cette valeur est égal à la somme des verts il lui verse 10 euros, dans les autres cas c est le premier joueur qui verse 1 euro au deuxième. a) Modéliser les gains algébriques du premier joueur. b) Quelle est la probabilité que le joueur 1 gagne. c) Quel est le "gain moyen" du premier joueur. d) Faut-il mieux être le joueur 1 ou le joueur Variables aléatoires à densité Exercice 22 Soit X une variable aléatoire de densité f X avec f X (t) = 1 + t si t [ 1; 0], α si t [0,2] et 0 sinon a) Représenter la densité de X. b) Déterminer α. c) Calculer et représenter la fonction de répartition de X. d) Calculer P (X > 1 2 ) puis E(X). e) Calculer la fonction de répartition F Y de la variable aléatoire Y = X 2, en déduire sa densité f Y. f) Représenter les deux fonctions f Y et F Y. g) Calculer E(Y ) d une part à l aide de f Y d autre part à l aide de f X.

4 0.3. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ 4 Exercice : La densité de probabilité f X d une V.A. X est donnée par a) Représenter f X. b) Déterminer c. d) Calculer P (X > 3). e) Calculer E(X). f) Déterminer h tel que P (X < h) = 0.1. f X (t) = Exercice 24 Soit X une variable aléatoire de densité f X : c 1 + t 2 f X (t) = Kt 2 si t [ α; α], 0 sinon a) Représenter la densité de X. b) Déterminer K en fonction de α. c) Déterminer puis représenter la fonction de répartition de X F X. d) Calculer P (X > α 2 ) puis E(X). Exercice 25 On considère deux variables aléatoires exponentielles indépendantes X 1 et X 2 de paramètres a 1 et a 2 ( fx1 (t) = a 1 e a 1t si t > 0, 0 sinon ). On pose Y = min(x 1 ; X 2 ). Déterminer la fonction de répartition de Y, en déduire sa densité, puis son espérance. Exercice 26 Soit X une V.A. uniforme sur [-1,2] et Y = X 2, déterminer la fonction de répartition de Y, en déduire sa densité puis E(X); E(Y ); V ar(y ) Exercice 27 Soit X une V.A. Gaussienne de paramètres (2; 4) a) Calculer P (X > 1); P ( X < 4); P ( X < 4 X > 2); b) Déterminer α le plus grand possible tel que P (X 2 > α) > 10 2 c) Quelle est la loi de X 1 2. Exercice 28 L éclairage d une commune est assurée par 2000 lampes dont la durée de vie moyenne est 1000 heures. Cette durée de vie suit une distribution normale d écart type σ = 300 N (1000; 300) a) Quel est le nombre de lampes hors d usage au bout de 700 H? de 1500 H? de 3000 H? b) Au bout de combien d heure 5% sont hors d usage? c) D autres ampoules ont une durée de vie qui suit une loi N (1100; 400). Quelles ampoules faut-il choisir si l on veut : i) Que la durée de vie moyenne soit maximale ii) Que la durée durant laquelle 95% des ampoules fonctionnent soit maximale. Exercice 29 Les notes d un contrôle de probabilité suivent une loi normale de paramètre(8,5 ; 4). a) Quelle est la proportion d étudiants ayant la moyenne. b) On veut améliorer les notes à l aide d un transformation affine Y = ax + b. Déterminer a,b pour que 50% des étudiants aient la moyenne et 75% ait une note supérieur à 8. c) Comment peut-on faire pour garder la même moyenne et avoir 80% des étudiants entre 5 et 15. Exercice 30 Si Z suit une loi normale on dit que X = e Z suit une loi log-normale, de mêmes paramètres que Z a) Déterminer E(X) et V ar(x) en fonction de E(Z) et varz. b) calculer P (2 < X < 4) sachant que E(X) = 2 et V arx = 2 c) On suppose que la distribution des revenus R d une population suit une loi log-normale généralisée c est à dire R = a + X (X log normale, calculer les paramètres de R : (a; m; σ) sachant que la moitié gagne moins de 5000 francs, 10% gagnent plus de 9000 francs et 10% gagne moins de 1000 francs.

5 0.4. COUPLES, SUITES ET CONVERGENCE DE VARIABLES ALÉATOIRES 5 Exercice 31 Un des cadres du service des études économiques d un constructeur automobile a prévu qu il y aura voitures particulières immatriculées en France en Afin d évaluer les caractéristique de l erreur, il fait l hypothèse que l écart entre prévision et réalisation est une V.A. de loi: g(u) = k(v) 2π e u2 si u [ v; v] et 0 sinon a) Déterminer k(v) ;F ; E( ) et V ar( ) b) Pour v = 0,1. Donner un intervalle dans lequel le nombre de voitures immatriculées en 98 a 90% de chance de se trouver. Exercice 32 On suppose que le nombre N de vis se trouvant dans une mesure d un litre suit une loi normale N (860,11). a) Quelle est la probabilité qu il y ait moins de 850 vis dans un litre? moins de 800? b) Calculer P (N > 860),P (N 861),P (N 860,5) comment peut-on interpréter ces résultats en termes de vis? Conclusion. c) Ce modèle permet-il de dire quelle est la probabilité qu il y ait exactement 850 vis dans un litre? Comment peut on faire? 0.4 Couples, suites et convergence de variables aléatoires Exercice 33 Une urne contient N jetons numérotés de 1 à N. On tire dans cette urne p jetons au hasard, successivement et sans remise. On appelle X i la V.A. qui au cours d une succession de tirages modélise le numéro du jeton extrait au tirage de rang i. a) Déterminer la loi de probabilité de X i. b) Les variables aléatoires X i et X j sont-elles indépendantes? c) On pose S = X 1 + X X p. c1) Calculer E(Xi) puis E(S). c2) Calculer V ar(xi), Cov(Xi; Xj) puis V ar(s). Exercice 34 Soit (X; Y ) un couple de V.A. de loi f(x; y) = a) Déterminer les lois marginales de X et Y. b) Que peut-on en déduire? c) Déterminer la loi de X + Y. ( ) 1 e (x µ 1 ) 2 + (x µ 2 )2 2σ 1 2σ 2 2πσ 1 σ 2 Exercice On jette 10 pièces, non truquées, soit X le nombre de pile, déterminer la loi de X. Tracer la fonction caractéristique de X puis comparer là à la fonction caractéristique de l approximation centrale. Exercice 36 Dans une société, les employés d un bâtiment A ont souvent besoin d appeler au téléphone un bâtiment B. Le bâtiment A contient 200 employés et l on constate que chacun d entre eux veut téléphoner en moyenne 3mn par heure au bâtiment B. Quel nombre de lignes, minimal k faut-il établir entre les 2 bâtiments pour qu un employé de A, désirant téléphoner en B, ait une probabilité inférieur à 1% que toutes les lignes soit occupées. Exercice 37 On suppose que la durée de vie d une ampoule électrique est une V.A. de loi exponentielle de paramètre λ = 10h 1. Si l on remplace une ampoule dès qu elle " claque ". Quel est la probabilité qu au bout de heures l ampoule en fonctionnement soit au moins la dixième.

6 0.5. ESTIMATION ET INTERVALLE DE CONFIANCE 6 Exercice 38 Un restaurant peut servir 75 repas. La pratique montre que 15% des clients ayant réservés ne viennent pas. a) Le restaurateur accepte 90 réservations, quel est la probabilité qu il se présente plus de 50 clients? plus de 75? b) Combien le restaurateur doit-il accepter de réservations pour avoir une probabilité égale à 0,95 de pouvoir servir tous les clients qui se présenteront. c)le restaurateur accepte 75 réservations, on note N une variable aléatoire qui modélise le nombres de clients qui se présentent, calculer, interpréter et comparer P (X > 70), P (X > 70,5) et P (X 71). Exercice 39 Soit (X n ) une suite de variables aléatoires exponentielles de paramètre n, montrer que cette suite converge en probabilité vers la variable aléatoire nulle. Exercice Soit (X; Y ) un couple de V.A. de loi f(x; y) = 8xy si x [0; 1] et y [0; x],0 sinon. a) Déterminer F X et F Y les densités de X et Y. b) Calculer P (Y < 1 2 ); P (Y < X) et E(X). c) Calculer P (X < 1 2 Y > 1 2. Exercice 41 Soit (X 1,X 2 ) un couple de v.a.r. admettant la densité de probabilité f(x 1,x 2 ) = 1 2π 1 ρ exp ( 1 2 2(1 ρ 2 ) (x2 1 2ρx 1 x 2 + x 2 2)). où ρ ]0,1[. Vérifier que f est une densité de probabilité sur R 2 et trouver les densités marginales de X 1 et X 2. Ces v.a.r. sont-elles indépendantes? 0.5 Estimation et intervalle de confiance Exercice 42 Un échantillon de 478 électeurs choisis aléatoirement, indique que 255 d entre eux vont voter pour A. Évaluer des intervalles de confiance à 1% et à 5% pour la proportion d électeurs votant pour A. Exercice 43 On admet que la durée de vie, exprimée en jours, d un composant électronique suit une loi normale d écart type 70. Les durées de vie de 250 composants ont donné une moyenne de 450 jours. Donner un intervalle de confiance à 99% de la durée de vie moyenne d un composant. Exercice 44 D un contrôle journalier effectué à la sortie d une chaîne de fabrication de billes en acier sur un échantillon de 326 billes il ressort que leur poids suit une loi de Laplace Gauss de moyenne m = 61,26 mg et d écart type σ = 6,32 mg. a) Estimer l écart type théorique de la production journalière. b) Estimer le poids moyen à l aide d un intervalle de confiance symétrique au niveau de 95%. c) Quel devrait être la taille de l échantillon pour situer le poids moyen journalier de la production dans un intervalle de confiance symétrique de ±5 mg avec un niveau de 95%. d) Si l on veut situer le poids moyen de la production avec un même niveau de confiance dans un intervalle de longueur deux fois plus petite, dans quelle proportion doit évoluer l échantillon pris. e) On dispose d un lot de 10 billes dont les poids sont respectivement en mg : 67,24 65,21 65,34 62,01 70,12 64,90 62,12 69,3 60,1 65,4 Peut-on considérer ce lot comme extrait au hasard de la production de l usine avec un niveau de confiance de 95%. Exercice 45 On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont une proportion p est défectueuse. On contrôle un lot de 200 pièce et on trouve 20 pièces défectueuses. Donner des intervalles de confiance pour l estimation de p, au niveau 95% puis 99%.

7 0.5. ESTIMATION ET INTERVALLE DE CONFIANCE 7 Exercice 46 Comparaison de deux estimateurs. On suppose que les V.A. X i sont indépendantes et suivent toutes une loi uniforme sur [0; 2A] on note : X = 1 n n X k et M = max(x 1 ; X 2...; X n ) k=1 a) Rappeler les valeurs de E(X); E(X) et var(x). b) Déterminer la fonction de répartition d M : F M (t). c) Déterminer E(M) puis un α tel que la nouvelle variable ˆM définie par ˆM = αm soit un estimateur sans biais de A c est à dire tel que E( ˆM) = A. d) En calculant les variances des variables aléatoires 1 2 X et ˆM, comparer l efficacité de ces deux estimateurs sans biais de A. Exercice 47 Maximum de vraisemblance : On donne ici une idée d une méthode très utile, qui permet de trouver des estimateurs performants : On se place dans un modèle où les X i sont indépendants de même loi de densité p(x,θ) (par exemple pour une loi exponentielle de paramètre θ on a p(x,θ) = θe θx si x > 0, 0 sinon). Si x 1,x 2,...,x n sont les valeurs prises par les V.A. X 1...X n lors d une expérience, on appelle vraisemblance la fonction L(x 1,x 2,...,x n,θ) = p(x 1,θ)p(x 2,θ)...p(x n,θ), on appelle maximum de vraisemblance la valeur de θ qui maximise la vraisemblance, on la note ˆθ. a) Donner une interprétation intuitive qui justifie le choix de l estimateur ˆθ. b) Si les X i suivent des lois normales de paramètres (m,σ), σ étant connu, déterminer l estimateur du maximum de vraisemblance de la moyenne m. c) Reprendre l exercice 46 et déterminer l estimateur du maximum de vraisemblance de A. Exercice 48 Sondage : Méthodes des strates. On veut estimer la moyenne d un caractère (par exemple 1 si on vote pour A, 0 si on vote pour B) d une population (E) d effectif N que l on peut découper en strates (E 1,...,E r ), d effectif N 1...,N r (par exemple par âge). On note µ i la moyenne de la strate i et σ i son écart type, on note de plus µ la moyenne générale et σ l écart type de la population, on ne connaît pas ces différentes quantités. On extrait de chaque population E i un échantillon non exhaustif de taille n i, on note X (i;1),x (i;2),...,x (i,ni ) les résultats sur l échantillon de E i, et X i la moyenne de ces n i valeurs, enfin on note : Y = a) Montrer que Y est un estimateur sans biais de µ. b) Montrer que : 1 i r N i N X i var(y ) = 1 N 2 c) On choisit des échantillons dans chaque strate de taille proportionnelle à la taille de la strate n i = N i N n, montrer que : i N 2 i σ2 i n i var(y ) = 1 1 n N i N i σ 2 i max i σ 2 i n d) On fait maintenant un sondage sur n personnes sans stratification, on note X la moyenne de l échantillon. Comparer sa variance avec celle de Y.

8 0.6. TESTS STATISTIQUES Tests statistiques Exercice 49 Une pièce jetée 660 fois tombe 312 fois sur pile, pensez vous que cette pièce est bien équilibrée? Exercice 50 Des appareils électriques de chauffage ont une moyenne de vie de fonctionnement de heures avec un écart type de 7000 heures. À l aide d un changement de composant, le fabricant affirme que la durée de vie moyenne peut être accrue. On a testé un échantillon de 27 appareils et on a observé une durée de vie moyenne de heures. Peut on soutenir cette affirmation au risque de 5%, 1%? Exercice 51 Le fabricant d une nouvelle solution anti rouille annonce que son produit est efficace à 90%. Dans un échantillon de 500 pièces le résultat est probant pour 420 d entre elles. L affirmation du fabricant est-elle légitime? Exercice 52 Lors d une émission de télévision un sujet arrive à identifier la couleur de 29 cartes sur 32 alors que les cartes sont retournées. Peut on affirmer que le sujet est extra sensoriel au risque de 0,1%. Exercice 53 Un problème difficile de probabilité, laisse en désaccord deux étudiants, l un défend que la probabilité de l événement A est 1 2 et l autre que c est 1 3. Ils font 50 expériences et trouve que A se réalise 21 fois, que peut-on conclure? Ils refont 50 expériences et trouve que A se réalise 20 fois, que peut-on conclure? Exercice 54 Lors d une étude granulométrique de sédiments, on a relevé, pour deux échantillons C et D, les caractéristiques suivantes de la distribution des diamètres des grains. Échantillon C : 98 grains, moyenne 63 microns, écart type 15 microns. Échantillon D : 62 grains, moyenne 54 microns, écart type 12 microns. Les deux échantillons sont-ils significativement différents, en ce qui concerne le diamètre des grains? Exercice 55 Deux machines A et B fabriquent en série la même pièces. Lors d une expertise de la production, on remarque que la machine A a produit 2700 pièces dont 50 sont défectueuses alors que sur les 1600 pièces produites par la machine B, 35 sont défectueuses. Doit-on conclure que la machine A est mieux réglée que la B? Exercice 56 Pour contrôler la fabrication d une pièce industrielle, on étudie la distribution de 100 séries de contrôle de cette pièce. Chaque série contient 200 pièces prélevées au hasard dans la fabrication (prélèvement non exhaustif). On désigne par N k le nombre de séries de contrôle, ayant k pièces défectueuses, les observations sont résumées dans le tableau suivant : k >9 N k La production est homogène si la proportion de pièces défectueuses ne varie pas au cours des prélèvements. On teste donc H 0 : La production est homogène. On fera un test de χ 2 au risque de 5%. Exercice 57 L analyse des charges de rupture d un échantillon de 500 câbles donne les résultats suivants : charge de rupture en kg effectif a) Calculer la moyenne et l écart type de cette série. Puis estimer moyenne et écart type de l ensemble de la production. b) Les charges de ruptures suivent-elles une loi normale? Exercice 58 On veut comparer la qualité de sondages réalisés par deux instituts différents, une étude rapide permet de trouver un certain nombre de résultats : Institut 1 Institut 2 Nombre de prévisions exactes Nombre de prévisions fausses 32 31

9 0.6. TESTS STATISTIQUES 9 Y-a-t-il une différence significative entre les deux instituts de sondages. Exercice 59 Une étude sur l utilisation de certains distributeurs de billets SNCF, permet de mieux comprendre les phénomènes d attentes, on relève toutes les heures le nombre de personnes faisant la queue, et cela pour une dizaine de distributeurs, on obtient les résultat suivant : Taille de la file d attente et + Nombre d observations a) On veut modéliser la taille de la file d attente par une variable aléatoire T, estimer l espérance de T. b) Peut-on faire l hypothèse que la taille de la file d attente suit une loi de Poisson? Exercice 60 On mesure la taille de pères né en 1942 et celle de leur fils adultes, on obtient les résultats suivants : Taille de l échantillon Taille moyenne écart type de l échantillon Père ,7 8,21 Fils ,3 9,41 En admettant que les tailles des hommes d une même génération suivent une loi de Gauss, peut-on conclure qu entre ces deux générations la taille des hommes a significativement augmentée? Exercice 61 On veut comparer la durée de vie de composants de trois marques différentes : Échantillon Échantillon Échantillon Tester si il y a une différence significative entre les différentes marques? Exercice 62 On pèse de jeunes hommes lors de leur trois jours : Poids mesuré en kg < >95 Nombres de jeunes L hypothèse que le poids de ces jeunes hommes suit une loi normale est elle raisonnable? Exercice 63 On veut étudier si il y a indépendance entre les notes de R.D.M. de M. Cabrillac et les notes de Mathématiques : sur plusieurs années on a relevées les notes suivantes. RDM<6 6<RDM<9 9<RDM<12 RDM>12 M< <M< <M< <M Que peut-on conclure?