Suites géométriques suite géométrique suite géométrique de raison q

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1 Sites géométriqes Itrodctio : M. Fiace dispose d e somme de 5 FF et désire faire frctifier so pactole ; por cela il va voir so baqier qi li propose de optios : e agmetatios forfaitaire, aelle, de 5 F = Itérêts simples e agmetatio, aelle, de 8 % = Itérêts composés Qelle optio doit-il choisir s il désire placer so arget por e période de as? 5 as? as? Drée d placemet a as 5 as as Itérêts simples Itérêts composés Das le premier cas, il sffit d ajoter 5 FF chaqe aée, o recoait e site arithmétiqe de premier terme = 5 et de raiso r = 5. Rappeler l epressio géérale d e telle site... Das le secod cas, o mltiplie la somme obtee à l aée ( - ) par,8 ( + 8%) por obteir la somme de l aée. Ce type de site e site géométriqe. O va chercher des méthodes qi os permettet de coaître tot de site la valer de l aée sas avoir besoi de calcler les aées précédetes. Cors : Soit q ombre réel (q ) ; o appelle site géométriqe de raiso q, la site défiie par premier terme (o ) et par la relatio «por tot etier atrel, + = q.» Das l eemple précédet os avios bie e site géométriqe de premier terme 5 et de raiso,8 : = % = 5 ( +,8) =,8 5 ; =,8 ;... Eercice : Eercice. A l aide des doées fories por chace des sites sivates, répodez à la qestios posée: a) = -5 si est impair et = 5 si est pair ; la site est-elle géométriqe? b) = et + =. la site est-elle géométriqe? Correctio : a) Oi, por passer d' terme à l'atre o mltiplie tojors par -. b) = ; =. = ; =. = ; =. = doc pas tojors mltiplié par le même terme, pas S.G. Gééraliser : por savoir si e site est géométriqe o fait + / et si le résltat est idépedat de alors la site est S.G. E profiter por redire «eemple permet de démotrer qe qelqe chose est pas mais e permet pas de démotrer qe qelqe chose est, por démotrer cas gééral il fat le faire avec la relatio géérale».

2 Cors : Epressio d terme gééral : La relatio + = q. permet de calcler à partir de, pis à partir de et aisi de site, = q. ; = q. = q.(q. ) = q². ; = q. = q.(q². ) = q. ;... ; = q. E résmé o a : Si est le premier terme d e site géométriqe ( ) de raiso q, le ième terme de la site est : = q. (si le premier terme est, o a alors = q -. ) Calcl d terme e foctio d atre : de = q. et p = q p. o dédit sas q il soit besoi de diviser, qe = q -p. p por tot et p de. Eercice : Eercice. a) 5 = 79 ; q = -, calclez et b) = ; 7 = 8, calclez q. c) = ; = 5, calclez (la raiso est positive). d) w = et w = 8, calclez w Correctio : a) = (-) 5. 5 = ; 5 = (q) 5. = - b) q = c) q 6 = 8 q = o - = 7 d) w = 8 98 Cors : Somme des premiers termes d e site géométriqe : Cherchos d abord la somme des premières pissace de q : S = q + q + q² + q q d où S = + q + q² + q q () q.s = q.(q + q + q² + q q ) d où q.s = q + q² + q q + q + () Par sostractio membre à membre des égalités () et (), o obtiet : S - q.s = - q + o bie S.( - q) = - q + soit S = + q q k k = k k = d où = = + q. + q². + q. + q q. =.( + q + q² + q q ) =.S k k = =. q q + o ecore k k = =. q q Eercice : Eercice. Calcler les sommes sivates : S = S = (-) + ² (-) 7

3 S = Correctio :. S = o =. S = o ( ) + 8 ( ) = + 8. S = (897 = 5 ) Cors : Variatio. ( ) est croissate lorsqe por tot etier atrel : + ( ) est décroissate lorsqe por tot etier atrel : + ( ) est costate lorsqe por tot etier atrel : + = ( ) est mootoe lorsqe ( ) est croissate o décroissate. ❶ Si q <, l égalité + = q. permet d affirmer qe, por tot ; + et sot de siges cotraires. Les termes sot alterativemet positifs et égatifs ; la site est pas mootoe. ❷ Si q > ; + - = q +. - q. =.q.(q - ) O e dédit qe si et (q - ) sot de même sige, o a alors : + O e dédit qe si et (q - ) sot de sige cotraire, o a alors : + Soit ( ) e site géométriqe de raiso q (q et q ) et de premier terme ( ) q < < q < q > > ( ) est pas ( ) est décroissate ( ) est croissate < mootoe ( ) est croissate ( ) est décroissate Bie isister sr le fait qe por chercher la mootoie d e site o doit faire + -, c est à dire avec le cas gééral et o pas predre o de cas particlier. De même qad o devra vérifier qe la site est géométriqe il fat faire + et o pas particlier à la place d cas gééral. o. C est e errer grave de predre cas Eercice : Eercice. Motrez qe la site, défiie por tot atrel par = Est-ce e site géométriqe? + est strictemet décroissate. Correctio : + - = = ( + )( + ) < (car est etier)

4 = et = cotre eemple sffit à démotrer qe la site 'est pas géométriqe. Eercice 5. Etdiez les variatios de la site défiie por tot atrel par : = +. Est-ce e site + géométriqe? Correctio : = ( + )( + ) et = 9 et = Cors : Limite d e site géométriqe limite cojectrée =,8,6. + = = ( ) =,5. - Soit ombre réel q strictemet positif. Si q >, alors lim q = + (qad + ) Si q <, alors lim q = (qad + ) Eemples : Soit = 5 et q =. O a = 5. ( ) et lim ( ) = doc lim = eercices : Soit = - et q =. O a = (-). et lim = + doc lim = - Eercice 6. O place capital de fracs à 7 % par a (itérêts composés). De combie dispose-t-o a bot de qatre as? a bot de di as? Combie d aées sot écessaires por voir le capital dobler? por le voir tripler? Correctio :. = ; q =,7 = 8 et = = q > = as et = q > 6 = 7 as Eercice 7. De propositios sot offertes por placer e somme de 5 KD. Le premier placemet est réméré à itérêts simples à ta ael de 5 % d capital iitial. O ote la somme totale obtee a bot de aées.

5 Le secod placemet est réméré à itérêts composés à ta ael de,5 %. O ote alors v la somme totale obtee a bot de aées. Qe valet et v? a - Détermier e foctio de. b - Détermier v e foctio de. Qel placemet choisir si l o décide d immobiliser so arget pedat 5 as? 6 as? Correctio :. = 5 = v. + = + 5 = + 5 et v + =,5.v = (,5).v Eercice 8. Soit la site U défiie par o = ; = + + por tot etier.. Calcler les qatre premiers termes de la site U. Motrer qe ce est pas e site géométriqe.. La site V est défiie par : v = a, por tot etier. Détermier le ombre réel a por qe la site V soit géométriqe.. Détermier v e foctio de, pis e foctio de.. Calcler i e foctio de. Correctio :. U 'est pas de la forme + = q. (il y a le + ). v+ = + a = + - a = + a o vet qe ça soit égal à ( a) = ( ) v doc o a : a = -a a = et V est e site géométriqe de raiso. v = - = - ; v = - = (-) +. i = = i v i + ( + )() = ( + ) - 6 (car = i v i = = -6 ; somme d'e S.G.) Eercice 9. Soit le site U défiie par o = ; = et la relatio de récrrece R : 8+ = 6 + por tot etier atrel.. Calcler ;.. Détermier les sites géométriqes vérifiat la relatio R.. Motrer qe si de sites V et W de termes v et w vérifiet la relatio R, alors la site T dot les termes sot défiis par t = v + w vérifie la relatio R.. Dédire de ce qi précède l epressio de e foctio de.

6 5. Calcler i = Correctio : 5. = et = 6. v + = qv et v + = q².v + doc si elles vérifiet la relatio R o a : 8v+ = 6v+ v v 6v + v = d'où 8q²v -6qv + v = v (8q² - 6q + ) = or o sait qe v doc 8q² - 6q + = doc q = ½o q = ¼ Por q = ½, o a : v + = v et v = v Por q = ¼, o a : w + = w et w =. 8 t t + + t = 8v + + 8w + - 6v + - 6w + + v + w = (8v + - 6v + + v ) + (8w + - 6w + + w ) = doc t vérifie la relatio R. w. = v + w = v + w = v + w = v + w v = 6 et w = -. v = 6. et w = (- ).. doc = i = = = 6 - = Eercice. = Soit e site U défiie par récrrece de la faço sivate: = + + a) Calcler les qatre premiers termes de la site U. b) Qelles sot les limites possibles de la site U? c) Calcler le ombre a tel qe la site V de terme gééral défii par v = + a soit géométriqe. d) Calcler alors e foctio de et démotrer qe la site U est covergete. e) Calcler la somme des vigt premiers termes de la site U. Correctio :

7 5 a) b) = ; = ; = ; = ; = 9 7 limites possibles ; o,5 c) v + = + + a = + + a = ( + + a ) o vet = ( + a) = v. doc + a = a a = - ; q = v = - ; v = - = d) v =. =. + lorsqe + ; doc lim =. e) i = = v + + v v + =. 5 + =.. =

8 Eercice. = Soit e site U défiie par récrrece de la faço sivate: = + +. f() = a) Motrer qe si > alors f() > + b) E dédire à l'aide d' raisoemet par récrrece qe l'o a >.. a) Motrer qe > o a f() < b) E dédire por o a < -.. A l'aide d' raisoemet par récrrece motrer qe. E dédire la limite de. Correctio :. a) > ; > + f() > b) = > spposos qe p > o a d'après a) f( p ) > doc p+ > d'où por tot o a > + < f() - < f() <. a) f() - = ( ) b) + <. = = Spposos p = o a : p+ < p p. lorsqe ted vers d'où lim = p+ < p p