Escompte bancaire - Équivalence de capitaux

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1 Escompte bancaire - Équivalence de capitaux VOUS ALLEZ APPRENDRE À : Calculer un escompte, un agio, un taux réel d escompte. Calculer une valeur actuelle et une valeur nette. Calculer la valeur nominale d un effet équivalent à un ou plusieurs autres effets. Appliquer l équivalence d effets au paiement à crédit. Exercices Exercices d entraînement Durée et montant de l escompte - Valeur actuelle FICHE MÉTHODE 39 1 Un effet échéant le 25 juillet est escompté le 8 juin. Déterminer sa date d escompte et sa date d échéance. En déduire le nombre de jours «à courir». LE 2 Un effet échéant le 4 septembre est escompté le 12 juin. Déterminer sa date d escompte et sa date d échéance, puis en déduire le nombre de jours «à courir». CHAP ESCOMPTE BANCAIRE - ÉQUIVALENCE DE CAPITAUX SAVIEZ-VOUS Le nombre de jours «à courir» de l effet est le nombre de jours entre la date de négociation exclue et la date d échéance incluse. POUR VOUS AIDER 3 Un effet échéant le 3 mars est escompté le 1 er février. Déterminer sa date d escompte et sa date d échéance, puis en déduire le nombre de jours «à courir». (Le mois de février compte 28 jours.) 4 Déterminer à l aide du tableau suivant, la durée de l escompte d un effet de commerce échéant le 23 juillet et dont la date de négociation est le 17 juin. La banque compte 1 jour de date de valeur. Mois Juin Juillet Jour de banque Total 10 FICHE MÉTHODE 39 p. 166 Comment calculer la valeur actuelle d un effet de commerce FICHE MÉTHODE 40 p. 166 Comment calculer la valeur nominale d un effet équivalent à un autre effet FICHE MÉTHODE 41 p. 167 Comment calculer la valeur nette d un effet de commerce FICHE MÉTHODE 42 p. 167 Comment calculer la date d échéance d un effet de remplacement FICHE L ESSENTIEL p. 185 Nombre de jours 103

2 tes-vous capable de Compléter le tableau suivant : Date de l escompte de l effet Date d échéance de l effet (Le mois de février compte 28 jours.) 6 Un effet de commerce de valeur nominale 620 échéant dans 30 jours est escompté au taux d intérêt annuel de 12 %. 1. Calculer le montant de l escompte. 2. Calculer la valeur actuelle de l effet. 7 Un effet de commerce de valeur nominale 600 arrive à échéance le 12 octobre. Il est négocié le 2 septembre au taux d intérêt annuel de 12 %. 1. Calculer le nombre de jours entre la date de négociation et la date d échéance. 2. Calculer le montant de l escompte commercial. 3. Calculer la valeur actuelle de l effet au 2 septembre. 8 Un effet de commerce de valeur nominale est escompté au taux d intérêt annuel de 11 % entre le 2 mai et le 22 juillet. La banque compte 1 jour de date de valeur. 1. Calculer le nombre de jours «à courir». 2. Calculer le montant de l escompte. 3. Calculer la valeur actuelle de l effet....calculer la valeur actuelle d un effet de commerce Un effet de commerce de valeur nominale 200 échéant le 29 décembre est négocié le 2 septembre. Le taux annuel d escompte est de 12 %. 1. Si la banque compte deux jours de banque, quelle est la durée de l escompte 118 jours 119 jours 120 jours 2. Quel est le montant de l escompte Quelle est la valeur actuelle de l effet POUR VOUS AIDER : 39 P. 166 RÉPONSE 1 : P. 191 Nombre de jours «à courir» mai 8 juin 2. 1 er septembre 25 jours mars 42 jours avril 3 mai novembre 60 jours 6. 2 décembre 90 jours février 30 jours 9 Un effet de commerce de valeur nominale est échéant le 10 juillet. La banque l escompte le 10 mai en appliquant un taux annuel d escompte de 13,6 % et 1 jour de date de valeur. 1. Calculer la durée de l escompte. 2. Calculer le montant de l escompte. 3. Calculer la valeur actuelle de cet effet. LE SAVIEZ-VOUS La durée de l escompte est la somme du nombre de jours «à courir» et des jours de banque éventuels. 10 Un effet de commerce de valeur nominale 680 est escompté au taux d intérêt annuel de 10,8 % entre le 3 mars et le 2 mai. 1. Calculer le nombre de jours «à courir». 2. Calculer le montant de l escompte. 3. Calculer la valeur actuelle de l effet. 11 Le graphique suivant représente les variations y de l escompte d un effet de commerce en fonction du nombre de jours «à courir» x. y Escompte (en ) Nombre de jours «à courir» Déterminer graphiquement le montant de l escompte pour une échéance de 15 jours. 2. Déterminer graphiquement l échéance de l effet dont l escompte est de 2, Le graphique suivant représente les variations y de la valeur actuelle d un effet de commerce en fonction du nombre de jours «à courir» x. y Valeur actuelle (en ) Nombre de jours 380 «à courir» x Déterminer graphiquement la durée de l escompte si la valeur actuelle de l effet est de Déterminer graphiquement la valeur actuelle de l effet si la durée d escompte est de 50 jours. CHAP ESCOMPTE BANCAIRE - ÉQUIVALENCE DE CAPITAUX x

3 13 Calculer la valeur actuelle d un effet de commerce de valeur nominale 330 échéant dans 60 jours. Le taux annuel de l escompte est de 15 %. 14 Calculer la valeur actuelle d un effet de commerce de valeur nominale 450 échéant dans 2 mois. Le taux annuel de l escompte est de 10 %. 15 Calculer au 15 mars la valeur actuelle d un effet de commerce de valeur nominale échéant le 11 avril. Le taux annuel de l escompte est de 14 %. 16 On considère les 3 versements suivants (taux annuel de l escompte : 16 %) : 1 er versement : 200 aujourd hui ; 2 e versement : 150 échéant dans 60 jours ; 3 e versement : 80 échéant dans 3 mois. 1. Calculer la valeur actuelle de chaque versement le jour du 1 er versement. 2. En déduire la valeur actuelle des 3 versements. 17 On considère les 4 versements suivants (taux annuel de l escompte : 18 %) : 1 er versement : 800 aujourd hui ; 2 e versement : 500 échéant dans 30 jours ; 3 e versement : 200 échéant dans 3 mois ; 4 e versement : 50 échéant dans 6 mois. 1. Calculer la valeur actuelle de chaque versement le jour du 1 er versement. 2. En déduire la valeur actuelle des 4 versements. Montant de l agio - Valeur nette - Taux réel de l escompte 18 Une entreprise a remis à l escompte une traite de valeur nominale échéant le 4 juillet. La banque escompte la traite le 8 mai dans les conditions suivantes : escompte au taux annuel de 10,8 % ; commission d endos de 0,8 % calculée dans les mêmes conditions que l escompte et non soumise à la TVA ; commission fixe de 5 HT (TVA : 19,6 %). 1. Déterminer la date d escompte et la date d échéance. 2. Calculer le nombre de jours «à courir» entre la date d escompte et la date d échéance. 3. Calculer le montant de l escompte. En déduire la valeur actuelle de la traite. 4. Calculer le montant de la commission d endos. 5. Calculer le montant de la commission fixe taxe comprise. 6. À l aide des questions 3, 4 et 5, calculer le montant de l agio. En déduire la valeur nette perçue par l entreprise. LE CHAP ESCOMPTE BANCAIRE - ÉQUIVALENCE DE CAPITAUX FICHE MÉTHODE 41 SAVIEZ-VOUS La commission d endos se calcule de la même manière que l escompte. Êtes-vous capable de.....calculer la valeur nette d un effet de commerce Un effet de commerce de valeur nominale 180 est échéant dans 60 jours. Le montant total de l escompte et de la commission d endos s élève à 6 tandis que le montant total de l agio est de 9. La banque prélève une commission de service et applique deux jours de date de valeur. 1. Quelle est la durée de l escompte 58 jours 60 jours 62 jours 2. Quel est le montant de la commission de service TTC Quel est le taux réel de l escompte pratiqué par la banque 10 % 30 % 31 % 20 % 4. Quelle est la valeur nette de l effet POUR VOUS AIDER : 41 P. 167 RÉPONSE 2 : P Un commerçant remet à l escompte le 12 septembre un effet d une valeur nominale de échéant le 1 er décembre. Les conditions de banque sont les suivantes : escompte au taux annuel de 11 % ; commission d endos de 0,6 % ; commission de manipulation de 6,10 HT (TVA : 19,6 %) ; 1 jour de banque. 1. Déterminer la date d escompte et la date d échéance. 2. Calculer la durée de l escompte. 3. Calculer le montant de l escompte. En déduire la valeur actuelle de la traite. 4. Calculer le montant de la commission d endos. 5. Calculer le montant de la commission fixe taxe comprise. 6. À l aide des questions 3, 4 et 5, calculer le montant de l agio. En déduire la valeur nette perçue par le commerçant. 20 Un effet de commerce de valeur nominale est escompté entre le 2 janvier et le 19 février dans les conditions suivantes : taux annuel d escompte de 13 % ; commission d endos de 0,64 % ; commission fixe de 11,43 HT (TVA : 19,6 %) ; 1 jour de banque. 1. Déterminer la date d escompte et la date d échéance. 2. Calculer la durée de l escompte. 3. Calculer le montant de l escompte. En déduire la valeur actuelle de la traite. 4. Calculer le montant de la commission d endos. 5. Calculer le montant de la commission fixe taxe comprise. 6. À l aide des questions 3, 4 et 5, calculer le montant de l agio. En déduire la valeur nette de l effet. 105

4 21 L agio d un effet de commerce de valeur nominale ayant 57 jours «à courir» est de 184,58. Calculer le taux réel de l escompte. 22 L agio d un effet de commerce ayant 60 jours «à courir» est de 12,40. Le taux réel de l escompte est de 20 %. Calculer la valeur nominale de l effet. 23 L agio d un effet de commerce de valeur nominale est de 33. Le taux réel de l escompte est de 12 %. Calculer le nombre de jours «à courir». Effet équivalent à un ou plusieurs autres effets - Échéance moyenne 24 Un effet de valeur nominale 180 payable dans 28 jours est remplacé par un nouvel effet payable dans 40 jours. Le taux annuel de l escompte est de 18 %. Cette situation peut être illustrée par le schéma suivant : 1. Déterminer la valeur actuelle de l effet remplacé à la date d équivalence. 2. Déterminer, en fonction de x, la valeur actuelle du nouvel effet à la date d équivalence. 3. Écrire l équation d équivalence et la résoudre. En déduire la valeur nominale du nouvel effet. tes-vous capable de jours date d équivalence des 2 effets FICHES MÉTHODES 40 ET 42...calculer la valeur nominale d un effet équivalent à un autre effet Un effet de commerce de valeur nominale 216 payable dans 30 jours est remplacé par un nouvel effet de valeur nominale x payable dans 90 jours. Le taux de l escompte est de 17 %. 1. Quelle est la valeur actuelle de l effet remplacé à la date d équivalence 206,82 212, Quelle est, en fonction de x, la valeur actuelle du nouvel effet 0,042 5x 0,957 5x 1,042 5x 3. Quelle est la valeur nominale du nouvel effet 204,26 222, ,35 C 1 = jours échéance du 1 er effet POUR VOUS AIDER : 40 P. 166 RÉPONSE 3 : P. 191 C 2 = x échéance du 2 e effet 25 Pour chaque cas : a) Illustrer la situation par un schéma. b) Déterminer la valeur actuelle de l effet remplacé, puis la valeur actuelle du nouvel effet à la date d équivalence. c) Écrire l équation d équivalence et la résoudre. En déduire la valeur nominale du nouvel effet. 1. Un effet de valeur nominale 150 payable dans 40 jours est remplacé par un nouvel effet payable dans 120 jours. Le taux annuel de l escompte est de 15 %. 2. Un effet de valeur nominale 725 payable dans 1 mois est remplacé par un nouvel effet payable dans 2 mois. Le taux annuel de l escompte est de 12 %. 3. Un effet de valeur nominale 480 payable dans 2 mois est remplacé par un nouvel effet payable dans 3 mois. Le taux annuel de l escompte est de 14 %. 4. Un effet de valeur nominale 230 payable dans 30 jours est remplacé par un nouvel effet payable dans 4 mois. Le taux annuel de l escompte est de 24 %. 26 Deux traites de valeurs nominales 234 et 300 échéant respectivement le 12 et le 20 avril sont remplacées le 28 mars par une traite unique payable le 24 avril (taux annuel de l escompte : 12 %). 1. Déterminer la date d équivalence. 2. Déterminer le nombre de jours «à courir» entre le 28 mars et le 12 avril, puis la valeur actuelle de la traite échéant le 12 avril. 3. Déterminer le nombre de jours «à courir» entre le 28 mars et le 20 avril, puis la valeur actuelle de la traite échéant le 20 avril. 4. En déduire la valeur nominale de l effet unique du 24 avril. 27 Un particulier doit régler deux traites de valeurs nominales 480 le 5 août et 220 le 1 er septembre. Le 12 juin, il décide de régler en une seule fois les 2 traites le 10 juillet. Le taux annuel de l escompte est de 18 %. Cette situation peut être illustrée par le schéma suivant : 12 juin date d équivalence x 10 juillet août er septembre 1. Calculer le nombre de jours «à courir» entre le 12 juin et le 10 juillet ; entre le 12 juin et le 5 août ; entre le 12 juin et le 1 er septembre. 2. Calculer la valeur actuelle, le 12 juin, de la traite de x échéant le 10 juillet. 3. Calculer la valeur actuelle, le 12 juin, de la traite de 480 échéant le 5 août. 4. Calculer la valeur actuelle, le 12 juin, de la traite de 220 échéant le 1 er septembre. 5. En déduire la valeur nominale de la traite unique du 10 juillet remplaçant les deux autres traites. CHAP ESCOMPTE BANCAIRE - ÉQUIVALENCE DE CAPITAUX

5 Êtes-vous capable de... délit. 28 Pour chacun des schémas donnés : a) calculer la durée d escompte de chaque effet à la date d équivalence ; b) calculer la valeur actuelle de chaque effet à la date d équivalence ; c) écrire l équation d équivalence permettant de calculer la valeur nominale x de l effet unique remplaçant les autres effets. Résoudre cette équation et conclure. 1. (Taux annuel de l escompte : 15 %) 12 janvier 26 janvier février février date d équivalence x 2. (Taux annuel de l escompte : 20 %) 30 mai 17 juin x date d équivalence 27 juin juillet (Taux annuel de l escompte : 10 %) 12 septembre 12 octobre novembre x 11 décembre date d équivalence calculer la date d échéance d un effet de remplacement Deux effets de valeurs nominales 350 et 250 échéant respectivement le 1 er juin et le 3 juillet sont remplacés par un effet unique de 600. On note n le nombre de jours «à courir» de l effet unique à partir de la date d équivalence. 1. La valeur nominale de l effet unique est-elle égale à la somme des valeurs nominales des effets remplacés oui non 2. Combien y a-t-il de jours entre le 1 er juin et le 3 juillet 31 jours 32 jours 33 jours 3. En prenant comme date d équivalence le 1 er juin, comment s écrit, en fonction de n, l équation d équivalence 600n = n = Combien y a-t-il de jours «à courir» à partir du 1 er juin pour l effet de remplacement 0 jour 13 jours 14 jours 5. Quelle est la date d échéance de l effet unique 1 er juin 13 juin 14 juin 13 juillet POUR VOUS AIDER : 42 P. 167 RÉPONSE 4 : P. 191 CHAP ESCOMPTE BANCAIRE - ÉQUIVALENCE DE CAPITAUX 29 On considère les effets suivants : 300 échéant le 30 avril ; 250 échéant le 15 mai ; 400 échéant le 30 mai. Ces trois effets sont remplacés par un seul de valeur nominale 950. Le taux annuel d escompte est de 14 %. 1. Montrer que la valeur nominale de l effet unique est égale à la somme des valeurs nominales des trois effets remplacés. 2. Soit n le nombre de jours «à courir» de l effet unique. En choisissant comme date d équivalence le 15 avril, montrer que l équation d équivalence s écrit : 950n = En déduire la date d échéance de l effet unique (donner une valeur approchée de n par défaut). LE SAVIEZ-VOUS Pour ne pas défavoriser la personne qui reçoit le règlement de l effet, le nombre de jours est toujours arrondi par défaut. 30 Deux effets de valeurs nominales 150 et 180 ayant respectivement 12 et 25 jours «à courir» sont remplacés par un effet unique de 330. En appelant n le nombre de jours «à courir» de l effet unique, déterminer la date d échéance de l effet de remplacement (donner une valeur approchée de n par défaut). 31 Deux effets de valeurs nominales 410 et 560 échéant respectivement le 12 janvier et le 2 février sont remplacés par un effet unique de 970. Déterminer la date d échéance, notée n, de l effet unique. On prendra par exemple le 12 janvier comme date d équivalence. (Donner une valeur approchée de n par défaut.) 32 Le 10 juin, on remplace un effet de 125 payable le 30 juin et un deuxième effet de 650 payable le 15 juillet, par un effet unique de Déterminer la date d équivalence du groupe d effets. 2. Calculer la durée d escompte de chaque effet. 3. Calculer la date d échéance n de l effet unique (donner une valeur approchée de n par défaut). 107

6 108 Problèmes = facile = ça se corse = difficile 33 Un effet ayant 33 jours «à courir» est escompté au taux annuel de 12 %. Sa valeur actuelle est de 445,05. Déterminer la valeur nominale de l effet. 34 Un commerçant remet à l escompte le 12 janvier une traite de valeur nominale échéant le 25 février. Les conditions de banque sont les suivantes : escompte au taux annuel de 12 % ; commission d endos de 0,65 % ; commission de manipulation de 2,26 HT (TVA : 19,6 %) ; 2 jours de banque. 1. Déterminer la durée de l escompte. 2. Calculer le montant de l escompte et de la commission d endos. 3. Calculer le montant de la commission fixe taxe comprise. 4. Calculer le montant de l agio. 35 Un commerçant remet à l escompte le 12 août une traite de valeur nominale 750 échéant le 22 octobre. Les conditions de banque sont les suivantes : escompte au taux annuel de 10 % ; commission de service de 4 HT ; commission d avis de sort de 5 HT (TVA : 19,6 %) ; 1 jour de banque. 1. Déterminer la durée de l escompte. 2. Calculer le montant de l escompte. 3. Calculer le montant des commissions fixes taxe comprise. 4. Calculer le montant de l agio. 36 Un effet de valeur nominale échéant dans 50 jours est escompté dans les conditions suivantes : taux annuel d escompte de 12 % ; commission d endos de 1 % ; commission de risque de 0,76 HT (TVA : 19,6 %). 1. Calculer le montant de l agio. 2. Calculer la valeur nette. 37 Un effet de valeur nominale 196 échéant le 28 février est remis à l escompte le 15 janvier dans les conditions suivantes : taux annuel d escompte de 9,80 % ; commission de manipulation de 6 HT. La TVA sur les commissions est de 19,6 %. L agence compte un jour supplémentaire de banque. 1. Calculer le montant de l agio. 2. Calculer le montant net versé par la banque. 38 Banque REVI Bordereau de remise à l escompte Société Brico Compte B K Date : 14/06/N Montant de l effet Échéance /07/N /08/N Conditions à appliquer : taux annuel d escompte : 12 % un jour de date de valeur commission de service : 6 HT par effet commission d avis de sort : 10 HT sur le 2 e effet TVA sur les commissions : 19,6 %. 1. Calculer le montant total de l agio. 2. Calculer la valeur nette perçue. 39 Trois effets sont remis à l escompte le 12 mai. Effet 1 : échéant le 10 juin. Effet 2 : échéant le 22 juin. Effet 3 : 400 échéant le 9 août. Les conditions de banque sont les suivantes : escompte au taux annuel de 10,5 % ; commission d endos de 0,6 %, minimum de 0,80 par effet ; commission de service de 7 HT par effet ; commission d avis de sort de 10 HT sur les deux derniers effets (TVA : 19,6 %) ; 1 jour de banque. 1. Déterminer la durée d escompte de chaque effet. 2. Calculer les montants de l escompte et de la commission d endos. 3. Calculer les montants des commissions fixes taxe comprise. 4. Calculer le montant de l agio. 5. Calculer la valeur nette perçue.

7 40 Compléter le tableau : Valeur nominale de l effet Nombre de jours «à courir» Taux annuel d escompte Valeur actuelle de l effet % % 872, , % % 1 764,80 Montant de l escompte (en ) 41 Un effet de valeur nominale 200 ayant 108 jours «à courir» a donné après escompte une valeur actuelle de 193,10. Déterminer le taux annuel de l escompte. 42 Un commerçant remet à l escompte une traite de valeur nominale 340 échéant le 25 mars. La banque lui remet le 12 janvier 329,80. Quel est le taux annuel de l escompte pratiqué par la banque (Le mois de février compte 28 jours.) 43 Deux traites sont escomptées le 8 mai. La première traite s élève à 480 et sa date d échéance est le 13 juillet. La deuxième traite s élève à 810 et sa date d échéance est le 22 juillet. La valeur actuelle des deux traites s élève à 1 248,92. Déterminer le taux annuel de l escompte. 44 Deux effets de commerce de valeurs nominales 180 et 560 échéant respectivement le 3 et le 28 octobre sont remis à l escompte le 15 septembre. L agence compte deux jours de banque supplémentaires par effet et prélève une commission fixe de 1,80 taxe comprise par effet. Sachant que le total de l agio s élève à 18, déterminer le taux annuel de l escompte. 45 Trois effets de commerce sont remis à l escompte le 25 juin : 540 échéant le 8 juillet ; 480 échéant le 15 juillet et 330 échéant le 30 juillet. Tenir compte d un jour de banque supplémentaire par effet et d une commission de service de 10 HT par effet (TVA : 19,6 %). Sachant que le montant net perçu par l entreprise s élève à 1 303,46, déterminer le taux annuel de l escompte. 46 Un commerçant remet à l escompte le 12 juin deux traites. La première a pour valeur nominale 810 et sa date d échéance est le 11 août. La date d échéance de la seconde est le 10 septembre. La valeur actuelle des deux traites s élève à 1 292,40 et le taux annuel de l escompte pratiqué par la banque est de 16 %. Déterminer la valeur nominale de la seconde traite. 47 Deux effets de commerce de valeur nominale totale 700 ayant 30 jours et 60 jours «à courir» sont escomptés au taux annuel de 15 %. L escompte total des deux effets s élève à 12,50. Déterminer la valeur nominale de chaque effet. 48 La valeur nominale d un effet de commerce est de 290. Cet effet est escompté au taux annuel de 12 % et sa valeur actuelle est de 286,81. Déterminer la durée, en jours, qui sépare la date de négociation de la date d échéance. 49 Un effet de valeur nominale est remis à l escompte le 28 juin. Le taux annuel de l escompte est de 14 % et la valeur actuelle de l effet est de 1 235,99. Déterminer la date d échéance de l effet. 50 Un effet de valeur nominale est négocié dans les conditions suivantes : taux annuel de l escompte : 11,40 % ; taux d endos : 0,60 % ; commission d avis de sort : 13,81 HT (TVA : 19,6 %). Sa valeur nette est de 1 340,84. Déterminer la durée de l escompte. 51 Deux effets de commerce de valeurs nominales 720 et échéant le même jour sont remis à l escompte le 15 mars. Le taux annuel de l escompte est de 10 %. La commission fixe est de 6,75 taxe comprise par effet. Le montant versé par la banque est de Déterminer la date d échéance des deux effets. 52 Le 12 avril, deux effets de commerce (valeurs nominales : et ) échéant le même jour sont remis à l escompte. Taux annuel de l escompte : 11,8 %. Compter 1 jour de banque supplémentaire. Commission de service : 7 HT par effet (TVA : 19,6 %). Montant net perçu : ,90. Déterminer la date d échéance des deux effets. 53 DOCUMENT-ANNEXE P. 114 Établir le bordereau d escompte p. 114 d un grossiste qui remet à l escompte le 6 juin les effets suivants : Effet 1 : 150 échéant le 13 juin ; Effet 2 : 210 échéant le 4 juillet ; Effet 3 : 180 échéant le 12 juillet. Conditions de banque : taux annuel de l escompte : 11,3 % ; commission d endos : 0,7 % ; commission fixe par effet : 3,50 HT (TVA : 19,6 %). Appliquer 2 jours de banque et un minimum de 10 jours. 109

8 54 Le 13 décembre, on remet à l escompte un effet de valeur nominale échéant le 10 janvier. Les conditions de banque sont les suivantes : commission d endos de 0,86 ; commission fixe de 2,90 (taxe comprise). La valeur nette perçue est de Déterminer la durée de l escompte. 2. Calculer le montant de l agio. 3. Déterminer le montant de l escompte. 4. Calculer le taux annuel de l escompte. 5. Calculer le taux réel de l escompte. 55 Un effet de valeur nominale 750 ayant 53 jours «à courir» est escompté dans les conditions suivantes : taux annuel d escompte de 11,90 % ; commission d endos de 0,5 % ; commission fixe de 8,20 (taxe comprise) ; 1 jour de banque. 1. Calculer la valeur nette de l effet. 2. Calculer le taux réel de l escompte. 56 Un commerçant négocie le 23 mars une traite de valeur nominale échéant le 20 mai dans les conditions suivantes : taux annuel d escompte de 11,75 % ; commission d endos de 0,6 % ; commission d avis de sort de 13,81 (taxe comprise) ; 2 jours de banque. Calculer le taux réel de l escompte. 57 Un effet de valeur nominale est escompté dans les conditions suivantes : taux annuel d escompte de 12,75 % ; taux d endos de 0,6 % ; commission fixe de 8 taxe comprise ; date de négociation : 18 mai ; date d échéance : 2 juillet ; 1 jour de banque. Calculer le taux réel de l escompte. 58 Le 12 décembre, un effet d un montant de échéant le 22 janvier est remis à l escompte. La banque prélève une commission fixe de 10 taxe comprise et une commission d endos de 0,6 %. Elle compte un jour de banque. La valeur nette s élève à 1 763, Déterminer le taux annuel de l escompte. 2. Déterminer le taux réel de l escompte. 59 Un effet de valeur nominale 640 est échéant dans 60 jours. La banque retient une commission d endos de 0,64 taxe comprise. Le taux réel de l escompte est de 21 %. 1. Calculer le montant de l agio. 2. Calculer la valeur nette de l effet. 3. Calculer le taux annuel de l escompte appliqué par la banque. 4. Calculer le taux de la commission d endos Deux banques proposent les conditions d escompte suivantes : Banque A Banque B Taux annuel d escompte 11 % 10,5 % Commission d endos 0,6 % 1 % Commission de manipulation TTC Commission fixe HT par effet (TVA : 19,6 %) 0,76 0, Choisir la banque qui propose les conditions les plus avantageuses pour un client qui remet à l escompte un effet de commerce de valeur nominale 600 ayant 60 jours «à courir». 61 Un effet de commerce de valeur nominale 720 est escompté au taux annuel de 10 %. 1. Exprimer le montant de l escompte y en fonction du nombre x de jours qu il a «à courir». 2. Calculer le montant de l escompte si l échéance est de 30 jours. 3. Calculer l échéance si le montant de l escompte est de Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les variations de y en fonction de x pour x compris entre 0 et 110 jours. Unités graphiques : 1 cm pour 10 jours en abscisse ; 1 cm pour 2 en ordonnée. 5. Déterminer graphiquement : a) le montant de l escompte pour une échéance de 25 jours, puis de 90 jours ; b) l échéance pour un escompte de 9, puis de Retrouver, par le calcul, les résultats de la question précédente. 62 Un effet de commerce de valeur nominale 600 est escompté au taux annuel de 12 %. 1. Exprimer la valeur actuelle y de l effet de commerce en fonction du nombre x de jours «à courir». 2. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les variations de y en fonction de x. Unités graphiques : 1 cm pour 50 jours en abscisse ; 1 cm pour 10 en ordonnée. On commencera la graduation sur l axe des ordonnées à Déterminer graphiquement l échéance de l effet dont la valeur actuelle est de 530. Retrouver ce résultat par le calcul. 4. Déterminer graphiquement la valeur actuelle de l effet échéant dans 150 jours. Retrouver ce résultat par le calcul.

9 63 Un effet de commerce de valeur nominale ayant x jours «à courir» est escompté dans les conditions suivantes : taux annuel de l escompte de 11,35 % ; commission d endos de 0,65 % ; commission fixe de 5 taxe comprise. 1. Exprimer l agio y en fonction de x. 2. Représenter graphiquement dans un repère orthonormal les variations de y en fonction de x pour x compris entre 0 et 110 jours. Unités graphiques : 1 cm pour 10 jours en abscisse ; 1 cm pour 10 en ordonnée. 3. Si l échéance est de 30 jours, déterminer par le calcul le montant de l agio. Vérifier graphiquement. En déduire le taux réel de l escompte (arrondir à 4 décimales). 4. Si le montant de l agio est de 65, déterminer par le calcul le nombre de jours «à courir» avant l échéance. Vérifier graphiquement. 64 Un effet de commerce de valeur nominale 900 échéant le 8 octobre est négocié le 2 septembre dans les conditions suivantes : taux annuel de l escompte de 15,40 % ; commission d endos de 0,6 % ; commission fixe de 5 taxe comprise. 1. Calculer le montant de l escompte et le montant de la valeur actuelle. 2. Calculer le montant de l agio et le montant de la valeur nette. 3. Calculer le taux réel de l escompte. 4. Soit x le nombre de jours «à courir». Exprimer le montant y de l agio en fonction de x. 5. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les variations de y en fonction de x pour x compris entre 0 et 110 jours. Unités graphiques : 1 cm pour 10 jours en abscisse ; 1 cm pour 4 en ordonnée. 6. Déterminer graphiquement le montant de l agio si l effet est négocié 10 jours, 65 jours et 110 jours avant son échéance. Retrouver ces résultats par le calcul. 7. Déterminer graphiquement le nombre de jours «à courir» si le montant de l agio est de 17, 23 et 39. Retrouver ces résultats par le calcul. 65 DOCUMENT-ANNEXE P. 114 Un commerçant désire négocier une traite de Il étudie les conditions offertes par deux banques : Banque A Banque B Taux annuel d escompte 11,5 % 16,5 % Commission d endos 0,5 % 1,5 % Commission fixe taxe comprise 10 2,50 1. Exprimer le montant de l agio y prélevé par chaque banque en fonction du nombre de jours «à courir» x. 2. Représenter graphiquement dans le repère orthogonal du document-annexe p. 114 les variations de y en fonction de x pour 0 x 24. Unités graphiques : 1 cm pour 2 jours en abscisse ; 1 cm pour 5 en ordonnée. 3. Déterminer graphiquement le nombre de jours pour lesquels les conditions offertes par les deux banques sont équivalentes. En déduire graphiquement le montant de l agio correspondant. Retrouver ce résultat par le calcul. 4. À l aide du graphique, déterminer la banque qui propose les conditions les plus intéressantes. Retrouver ce résultat par le calcul. 66 Un effet de commerce de valeur nominale 900 échéant le 3 juin est escompté le 7 mai. La banque offre les conditions suivantes : taux annuel de l escompte de 11,40 % ; commission d endos de 0,6 % ; commission fixe de 4 taxe comprise. 1. Calculer la valeur nette encaissée. 2. Soit x le nombre de jours «à courir». Exprimer la valeur nette encaissée y si un effet escompté dans les mêmes conditions a x jours «à courir». 3. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les variations de y en fonction de x pour x compris entre 0 et 100 jours. Unités graphiques : 1 cm pour 10 jours en abscisse ; 1 cm pour 2 en ordonnée. On commencera la graduation sur l axe des ordonnées à Déterminer graphiquement la valeur nette pour 10 jours, 50 jours, 70 jours et 85 jours «à courir». Retrouver ces résultats par le calcul. 5. Déterminer graphiquement le nombre de jours «à courir» si la valeur nette est de 869, 879,50, 884 et 887. Retrouver ces résultats par le calcul. 67 Le 10 mars, un commerçant propose à son créancier de lui remplacer un effet de au 30 mars par un effet de au 30 mars et un autre, noté V, pour le solde au 2 juin. 111

10 Calculer la valeur nominale V, arrondie à l euro, de l effet pour que les deux modes de règlement soient équivalents (taux annuel de l escompte : 15 %). 68 Pour chaque cas : a) illustrer la situation par un schéma ; b) déterminer (si nécessaire) la date d équivalence des deux effets ; c) déterminer (si nécessaire) la durée de l escompte de chaque effet à la date d équivalence ; d) calculer les valeurs actuelles de chaque effet à la date d équivalence ; e) écrire l équation d équivalence et la résoudre. En déduire la valeur nominale, arrondie à l euro, de l effet remplacé. 1. Un effet de valeur nominale 360 payable dans 30 jours est remplacé par un nouvel effet payable dans 60 jours. Le taux annuel de l escompte est de 15 %. 2. On remplace le 18 avril un effet échéant le 24 mai par un effet de 900 payable le 11 juin. Le taux annuel de l escompte est de 15 %. 3. On remplace un effet échéant le 28 mai pour qu il soit équivalent le 3 avril à un effet de payable le 12 avril. Le taux annuel de l escompte est de 12 %. 69 Déterminer, pour chaque cas, le taux annuel d escompte relatif à l équivalence. 1. Un effet de valeur nominale 650 échéant dans 36 jours est équivalent a un effet de valeur nominale 670 échéant dans 90 jours. 2. Un effet de 990 ayant 40 jours «à courir» est équivalent a un effet de ayant 72 jours «à courir». 70 Le 10 mai, on remplace une traite de 310 échéant le 28 mai par une traite de 324. Le taux annuel de l escompte est de 10 %. Déterminer la date d échéance du nouvel effet. 71 Deux effets sont remplacés par le versement d un seul effet de valeur nominale 500. Effet 1 : 200 échéant dans 15 jours. Effet 2 : 300 échéant dans 90 jours. Le taux annuel de l escompte est de 12 %. Déterminer au bout de combien de jours il faudra effectuer ce versement unique. 72 Deux effets de valeurs nominales 400 et 600 payables respectivement le 12 février et le 15 mars sont remplacés le 1 er février par un effet unique payable le 31 mars. 1. Calculer la valeur nominale de l effet unique. Taux annuel d escompte : 9 % Calculer l échéance moyenne du groupe d effets. (Compter 28 jours pour le mois de février.) 73 Trois effets sont remplacés le 28 janvier par un effet unique le 18 avril. Effet 1 : valeur nominale 360 échéant le 2 février ; effet 2 : valeur nominale 315 échéant le 25 février ; effet 3 : valeur nominale 252 échéant le 13 mars. Le taux annuel de l escompte est de 10 %. 1. Déterminer le nombre de jours «à courir» jusqu à l échéance commune. 2. Calculer la valeur nominale de l effet unique. 3. Calculer l échéance moyenne des trois effets. (Compter 28 jours pour le mois de février.) 74 Pour l achat d un outillage de précision, un fournisseur propose à son client les deux conditions de règlement possibles suivantes : versement au comptant de ou paiement par une traite venant à échéance dans 6 mois. Calculer la valeur nominale de la traite pour que les deux modes de règlement soient équivalents le jour de l achat. (Taux annuel d escompte : 11 %.) 75 Pour l achat d un ordinateur d une valeur de 2 000, une grande surface offre la possibilité de règlement suivante : un acompte de 488 à la commande ; 10 mensualités de même valeur nominale au taux annuel de 12 %, échéant tous les mois, le premier versement étant effectué un mois après l achat. 1. Calculer la somme restant due après le versement de l acompte. 2. Montrer que déterminer le montant, en euros, d une mensualité revient à résoudre l équation suivante : 012x, 10x ( ) = où x est la valeur nominale d une mensualité. 3. Montrer que cette équation d inconnue x est équivalente à l équation 945x, = En déduire le montant, en euros, d une mensualité. 4. À l aide de la question précédente, déterminer la somme totale versée par le client et vérifier que le coût du crédit s élève à Pour l achat à crédit d une maquette d avion d une valeur de 450, le vendeur propose un versement immédiat de 30 % du prix et le solde en quatre versements égaux de 80,50 échelonnés de mois en mois, le premier un mois après l achat. Le taux annuel de l escompte étant de 10 %, montrer que le paiement à crédit est équivalent au paiement comptant.

11 77 Pour rembourser une dette de 335,20, un particulier verse une somme de 100 et rembourse le reste en trois traites mensuelles de valeurs égales, la première payable dans un mois. 1. Déterminer le montant de la dette payable par traite. 2. Déterminer la valeur nominale de chaque traite sachant que le taux annuel d escompte est de 12 % et que le paiement échelonné est équivalent au montant de la dette. 78 Pour l achat d un sac à dos d alpinisme d une valeur de 353,06, un client a le choix entre trois modes de paiement : versement de 353,06 au comptant avec une réduction de 2 % (arrondir à l euro le plus proche) ; versement de 173 au comptant et le reste trois mois plus tard par une traite de 192 ; versement de 100 au comptant et le reste en quatre traites mensuelles de 65, la première échéant dans un mois. Calculer la valeur actuelle de chaque mode de paiement le jour de l achat si le taux annuel de crédit est de 15 %. 79 Pour l achat d un appareil affiché 915, une personne a le choix entre deux modes de règlement : paiement comptant le jour de l achat avec une remise de 2 % ; paiement le jour de l achat de 233 et acceptation de quatre traites de même valeur nominale échelonnées de trois mois en trois mois, la première venant à échéance trois mois après l achat. Calculer la valeur nominale d une traite sachant que les deux modes de règlement sont équivalents le jour de l achat (taux annuel d escompte : 15 %). 80 Un commerçant effectue un achat dont le prix marqué est de Il a le choix entre deux modes de paiement. Premier mode de paiement : il paie comptant et bénéficie d une remise de 3 %. Second mode de paiement : il verse 20 % comptant et paie le solde en six mensualités égales, la première échéant un mois après l achat (taux annuel du crédit : 12 %). 1. Calculer le montant à régler pour le premier mode de paiement. 2. Pour le second mode de paiement, on considère que l ensemble des versements est équivalent au prix marqué. a) Calculer le montant du versement comptant et le montant du solde. b) Calculer le montant de chaque mensualité (arrondir à l euro). c) Calculer le coût total de l achat à crédit. d) Calculer le coût total du crédit. e) Calculer le coût total du crédit en pourcentage du prix marqué. 81 Un Américain achète en France une voiture familiale au prix de Le concessionnaire lui propose plusieurs possibilités de financement. 1. Première possibilité de financement : il paie comptant et bénéficie d une remise de 3 %. Calculer le montant payé pour la voiture. 2. Seconde possibilité de financement : il paie à crédit avec un versement correspondant à 30 % du prix total, puis trois traites mensuelles de même montant, la première traite échéant deux mois après l achat. Taux annuel de crédit : 9 %. a) Calculer le montant du versement comptant. b) Calculer le montant de chaque traite. c) Calculer le coût total de l achat à crédit. 3. Le client choisit le paiement comptant. Le jour de l achat, le cours du dollar est : 1 USD = 1, 02. Calculer le prix payé en dollars Dans sa boutique, Agathe a rempli un rayon d articles achetés net 18,50 pièce. Ses frais d achat s élèvent à 8 % du prix d achat net. Elle applique un taux de marque de 20 %. La TVA est au taux de 19,60 %. Calculer : a) le coût d achat d un article (arrondir à l euro le plus proche) ; b) le prix de vente hors taxe d un article ; c) le prix de vente taxe comprise d un article. 2. Agathe doit payer à son fournisseur. Elle paie 30 % de cette somme à l achat. Le solde est payé en trois versements égaux, échéant de mois en mois, le premier quatre mois après l achat. Le taux annuel de crédit est de 9 %. Calculer : a) la somme versée à l achat et le solde ; b) le coût total du crédit. 113

12 114 Document-annexe du problème 53 Remis à l escompte le... Valeur nominale (en ) Échéance Nombre de jours Total (escompte + commission d endos) :... Commissions soumises à TVA :... TVA : 19,60 % :... Total agio :... Net à porter au crédit :... Document-annexe du problème 65 y Agio (en ) 0 2 Escompte et commission d endos (en ) Commission fixe HT (en ) Nombre de jours x