QUELQUES ASPECTS ALGORITHMIQUES ET QUALITATIFS DES MODELES DE GESTION DE STOCKS DE TYPE AHM

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1 QUELQUES ASPECTS ALGORITHMIQUES ET QUALITATIFS DES MODELES DE GESTION DE STOCKS DE TYPE AHM THESE No 1121 (1993) PRESENTEE AU DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ECOLE POLYTECHNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEURE ES SCIENCES TECHNIQUES PAR AZADEH FOYOUZI-YOUSSEF1 lng6nieure math6maticienne diplôm6e EPFL de nationalil6 iranienne acceptbe sur proposition du jury: Prof. Th. M. Liebling, rapporteur Prof. J. Kohlas, corapporteur Prof. S. Morgenthaler, corappoiteur Prof. Ed. Silver, corapporteur Lausanne, EPFL 1993

2 Ce travail est une étude de divers aspects algorithmiques, qualitatifs et à des extensions du modèle classique de la gestion de stocks à demande aléatoire introduit par Arrow-Harris- Marschak (AHM). Le calcul des caractéristiques opérationnelles stationnaires du mod6le AHM est repris et illustré par des expériences numériques avec diverses lois de demande et les délais de livraison. L'approximation des coûts par une fonction convexe et linéaire par morceaux des paramètres s et A=S-s est utilisée pour résoudre des problèmes de gestion de stocks à plusieurs articles liés par des contraintes à l'aide d'une méthode de résolution efficace basée sur la relaxation lagrangieme. Un algorithme heuristique de type tabou a également été implanté pour trouver les paramètres de la politique optimale. Cet algorithme peut être facilement adapté pour trouver une politique de commande de type (s,s) lorsque la structure des coûts tient compte par exemple de rabais de quantité, ou s'il existe des contraintes compliquées reliant les articles. Une étude paramétrique des coûts optimaux est faite en fonction du coût fixe de commande et du délai de livraison. Nous avons établi la concavité et la monotonicité de ces coûts en fonction du coût fixe de commande. Les mêmes caractéristiques des coûts sont constatées empiriquement en fonction du délai de livraison. Ces résultats sont utilisés pour formuler le problème stratégique d'investissements. Une méthode de résolution heuristique basée sur la m6thode de Lagrange est proposee. Le modèle AHM avec délai de livraison aléatoire introduit par Kaplan, Nahmias et Ehrhardt est repris. A l'aide d'expériences numériques, l'influence des fluctuations du délai de iivraison aléatoire sur les coûts est observée et comparée avec les coûts du modèle AHM avec un délai de livraison égal à l'espérance du délai de livraison aléatoire. Une généralisation du modèle AHM à deux fournisseurs ayant différents délais de livraison est considérée. Nous prouvons que la politique optimale de commande est du type (sl,sl,s2,s2), c.à.d. une généralisation de la politique de commande (s,s). Dans des exemples num6riques les paramètres de la politique optimale de commande sont calculés utilisant l'algorithme de Howard.

3 ABSTRACT This work is a study of some algorithmic, qualitative aspects and an extension of the classical probabilistic inventory model introduced by Arrow, Harris and Marchak, called AHM. The computation of the stationary operating caracteristics of the AHM model is recalled and used to illustrate some numencal experiences for different demand law and delivery lead time. An approximation of the operating costs by a convex and piecewise linear function of s and A=S-s, the reordering policy parameters is used in the inventory multi-item problems with constraints on the maximal holding capacity. The separable, convex and piecewise linear characteristic of the objective function yields to an efficient resolution method based on the lagrange method. A heuristic algorithm of tabou type is applied in the one item case to fmd the parameters of the optimal reordering policy. Using a tabou heuristic search it is possible to include other cost factors such as discounted ordering cost or to add constraints grouping items to the problem. A parameaic study of the optimal operathg costs as a function of the setup cost and the delivery lead time is done. We proved that the operating costs are concave and increasing as a function of the setup cost. Ths same properties of the stationary operating costs are observed as a function of the lead time in numerical examples. Using these results, we then formulated the problem of investements for the stnitural optimisation where items are involved in a budgetary constra.int. A heuristique resolution method using lagrange method is proposed. The inventory model introduced by Kaplan, Nahmias and Ehrhardt where the delivery lead time is a random variable is recalled. The influence of the fluctuation of the lead time L is studied in some numerical examples. The operating costs are compared to the one in the determinitic lead tirne inventory model which the value is equal to the mean of L. We also characterize the optimal reordering policies for the stationary periodic review AHM inventory model when there is a quick and a slow but generally cheaper supplier, whose delivery lags differ by one period and whose fixed and unit ordering costs are arbitrary, as generalized (s,s) policies described by four parameters (s,s,s2,s2). Computational results using Howard's policy iteration algorithm yield four possible types of such depending on the model parameters.

4 Tables des matières Introduction 1 Chapitre 1 Introduction au Modèle stochastique de Arrow-Harris-Marschak de la gestion de stocks Description du modèle de base Caractérisation de la politique optimale de commande Modèle à une période Politique optimale de commande pour un horizon fini Politique optimale de commande pour un horizon infini Fonction coût Calcul des probabilités stationnaires des niveaux de stocks Système d'équations des probabilités stationnaires Méthode de résolution 12 Chapitre 2 Approximation de la fonction coût par une fonction convexe et linéaire par morceaux Motivation Méthode d'approximation Minimisation de la somme des coûts approchés de plusieurs articles sous la contrainte de capacité maximale Cas d'un article Cas de plusieurs articles Méthode de résolution Expériences numériques et analyse des résultats Comparaison des fonctions coût et coût approchée Exemple de résolution du problème de capacité maximale Chapitre 3 Optimisation de la fonction coût par une méthode tabou Motivation Méthode tabou d'optimisation de la fonction coût Expériences numeriques 40

5 Chapitre 4 Optimisation stratégique d'investissement à la modification des paramètres structuraux du modèle AHM Motivation Etude paramémque de la fonction coût optimal Comportement de la fonction coût en fonction du coût fixe de commande Comportement de la fonction coût en fonction du délai de livraison Exemples numenques Approximation des coûts optimaux par une fonction concave et linéaire par morceaux en fonction du délai de livraison du coût fixe de commande Optimisation stratégique d'investissement Formulation du problème Chapitre 5 Modèle stochastique de la gestion de stocks pour le délai de livraison aléatoire Motivation Description du modèle de base... 6û 5.3 Caractérisation de la politique optimale commande Politique optimale de commande sur un horizon fini Politique optimale de commande sur un horizon infini Fonction coût Chapitre 6 Comparaison des fonctions coûts du délai de livraison fixe et du délai de livraison aléatoire Motivation Comparaison des fonctions coûts Expériences numériques Analyse des résultats Chapitre 7 Problème de deux fournisseurs ayant différents délais de livraison Détermination de la politique optimale de commande Détermination de la politique optimale de commande utilisant l'algorithme de Howard Esquisse de l'algorithme de Howard Expériences numériques et analyse des résultats Conclusions

6 Annexe 1 Comportement stationnaire des niveaux effectif et fictif de stock pour le délai de livraison fixe Cas de demande binomiale Cas de demande uniforme Remarques , , Annexe II 107 Annexe III 109 Annexe IV 111 Références O6