Cours de béton armé 4: Dimensionnement du béton en flexion

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1 Cours de béton armé 4: Dimensionnement du béton en flexion BAC3 - HEMES -Gramme 1 Dr Ir P. Boeraeve - Unité 9 Construction 2009

2 Dimensionnement CAS 1 : dimensionnement complet On connaît : Les charges sollicitant la poutre, donc le moment sollicitant à l ELU : M Ed On veut déterminer h, b et As 2

3 Cas 1 : M Ed connu, calcul de h, b et A s,requis hypothèses La zone comprimée est modélisée par un diagramme rectangulaire équivalent. Droite de déformations passe par pivots AB (matériaux utilisés au mieux) ε c = d ε s =

4 Cas 1 : M Ed connu, calcul de h, b et A s,requis Déformations limites à l ELU en FLEXION : PIVOTS A et B Droite des déformations Si déformations suivant droite AB : les matériaux sont utilisés au mieux! 4

5 Cas 1 : M Ed connu, calcul de h, b et A s,requis 1. Compatibilité déformations 2. Equilibre M (autour de T) Ed,ELU. 3, ,5 xu = = 0,259 x d d u. ( u ) u cd ( u ) M = C. d 0.4 x =0,8. x. f b d 0.4x ε c = M Ed ε s = d bd A s 2 M Ed,ELU 0.1f ck M Ed,ELU 0.9 d. f yd 5

6 Dimensionnement CAS 1 : dimensionnement complet On connaît : Les charges sollicitant la poutre, donc le moment sollicitant à l ELU : M Ed On veut déterminer h, b et As CAS 2 : dimensionnement des armatures On connaît : les dimensions de la section : b et h fixés par l architecte Les charges sollicitant la poutre, donc le moment sollicitant à l ELU : M Ed On veut déterminer As 6

7 Cas 2 : h et b fixés, M Ed connu, calcul de A s,requis hypothèses La zone comprimée est modélisée par un diagramme rectangulaire équivalent. ε c,max = (si classe résistance C50/60) ε= d ε s =? 7

8 Cas 2 : h et b fixés, M Ed connu, calcul de A s,requis 1. Les efforts internes à la ruine, C et T, doivent au moins équilibrer le moment sollicitant de calcul M Ed. Donc, en prenant le moment par rapport au CG des armatures : Ed,ELU. C ( d x ) x f b( d x ) M =. 0.4 =0, u u cd u M Ed 8

9 Cas 2 : h et b fixés, M Ed connu, calcul de A s,requis 2. On obtient donc une équation du second degré en x u dont on extrait la seule racine plausible : x u = d d ² 0.8 2M b. f Ed cd M Ed 9

10 Cas 2 : h et b fixés, M Ed connu, calcul de A s,requis 3.Vérification du rapport x u /d : (x u /d) lim = 0,45 pour des bétons de classe de résistance C35/45 et (x u /d) lim = 0,35 pour des bétons de classe de résistance C40/45. Si x u /d > (x u /d)lim, on doit ajouter des armatures comprimées pour ramener le x u /d dans les limites (armatures doubles) : pas souhaitable, à ne faire que si la hauteur ne peut être changée. 10

11 Cas 2 : h et b fixés, M Ed connu, calcul de A s,requis 4. f s =? s,requis = On a vu que le respect des limites sur x u /d entraîne automatiquement que f s =f yd x u 11

12 Cas 2 : h et b fixés, M Ed connu, calcul de A s,requis 5. Les efforts internes à la ruine C et T doivent au moins équilibrer le moment sollicitant de calcul M sd. Donc, en prenant le moment par rapport au CG de la zone comprimée, on en déduit A s : Ed.. ( ) ( ) M = T. d 0.4 x = A f d 0.4x u s s u As = s M Ed ( 0.4 ) f d x u M Ed 12

13 Dimensionnement : Cas pratique : planchers d un espace bureaux d une usine 13

14 Dimensionnement : Cas pratique : comprendre la structure MUR PORTEUR COLONNES 14

15 Dimensionnement : Cas pratique : comprendre la structure MUR PORTEUR COLONNES POUTRES 15

16 Dimensionnement : Cas pratique Types de dalles Chantier Galeries St-Lambert 16

17 Dimensionnement : Cas pratique HOURDIS HOURDIS 17

18 Dimensionnement : Cas pratique Dalles en BA coulées sur place 18

19 Dimensionnement : Cas pratique Dalle portant dans 2 sens et rapport entre longueurs côtés >2 = Dalle portant dans un sens Dalle portant dans un sens étude d une bande de 1m 19

20 Dimensionnement : Cas pratique : planchers d un espace bureaux d une usine Portée =? 20

21 Dimensionnement : Cas pratique : planchers d un espace bureaux d une usine Portée effective : l eff = l n + a 1 + a 2 21

22 Dimensionnement : Cas pratique : Calcul de la portée effective l eff = l n + a 1 + a 2 = /2+20/2=450cm Charges :.. Pp béton armé : 25 kn/m³ Chape en mortier de ciment+carrelage : 7cm (20kN/m³) Surcharge d exploitation : 3 kn/m² M sd 22 L n = 430 cm

23 Dimensionnement : Cas pratique ELU flexion 23.. M Ed,ELU = 33,26 kn.m Classe d exposition : XC1.. Classe de résistance minimale : C20/25 Enrobage min pour durabilité : c min,dur = 10mm. Enrobage réel : c nom = c min,dur + 10mm (tolérance) = 20mm d(hauteur utile)= φ/2= 175mm.. si on choisit φ=10mm (dalles : φ=8 à 12 mm en général) x u = 22.1mm. A s,requis =. 460 mm²/m composition des armatures (Tableau dans manuel) : 1φ10 tous les 170mm (462mm²).....

24 Dimensionnement : Cas pratique ELS flexion : fissuration Section minimale d acier pour maîtrise de la fissuration (MC: / EC2:art (2) ) : A s,min = 0.4 A ct f ctm /f yk A ct est l'aire de la section droite de béton tendu. La zone de béton tendue est la partie de la section dont le calcul montre qu'elle est tendue juste avant la formation de la première fissure. Donc ici, A ct =b.h/2. A s,min = 0.4 A ct f ctm /f yk = 176. mm² 24

25 Dimensionnement : Cas pratique ELS flexion : fissuration Section minimale d armatures tendues. (MC: ) 200 mm² mm² fctm A s,min = max(0,26 bt. d;0,0013. bt. d) fyk où b t = largeur moyenne de la zone tendue Section maximale d armatures tendues ou comprimées : où Ac = section de béton A = 0,04A s,max c 25 => As,min=227.5 mm²/m

26 Dimensionnement : Cas pratique ELS flexion : déformation (flèches) On calcule : ρ 0 = 0.1 fck (en %) (pourcentage d'armatures de référence) ρ = 100 A s, req b. d (%) (pourcentage d'armatures de traction nécessaire à mi-portée (ou sur appui dans le cas des consoles) pour reprendre le moment ELU) 26 ρ idem pour les armatures de compression nécessaires 3 2 l 0 0 K ρ ρ 11 1,5 fck 3, 2 fck 1 = + + si ρ ρ0 d lim ρ ρ l ρ0 1 ρ ' = K 11+ 1,5 fck + fck si ρ > ρ0 d lim ρ ρ ' 12 ρ0 f ck est en MPa

27 Dimensionnement : Cas pratique ELS flexion : déformation (flèches) K est un coefficient qui tient compte des différents systèmes structuraux K 1,0 Poutre sur appuis simples, dalle sur appuis simples portant dans une ou deux directions 1,3 Travée de rive d'une poutre continue, d'une dalle continue portant dans une direction ou d'une dalle continue le long d'un grand côté et portant dans deux directions 1,5 Travée intermédiaire d'une poutre ou d'une dalle portant dans une ou deux directions 1,2 Dalle sans nervures sur poteaux, (plancher-dalle) pour la portée la plus longue 0,4 Console 27

28 Dimensionnement : Cas pratique ELS flexion : déformation (flèches) Si on place plus d armatures (A s,prov ) que celles strictement nécessaires à reprendre M Ed,ELU (A s,req ) alors on peut multiplier le rapport (l/d) lim par A s,prov / A s,req Si (l/d) réel (l/d) lim : dispense du calcul des flèches 28

29 Dimensionnement : Cas pratique ELS flexion : déformation (flèches). ρ 0 = 0,4472%. ρ = 0,2631% 3 2 l 0 0 K ρ ρ 11 1,5 fck 3, 2 fck 1 = + + si ρ d lim ρ ρ ρ 0. (l/d) lim = (l/d) réel = 25,71. < l/d dispense du calcul des flèches 29

30 Une structure doit être vérifiée À l ELU : «Ultime» -> les charges correspondent à la ruine : À l ELS : Par flexion Par effort tranchant Par flambement «Service» -> les charges correspondent à une situation normale en service : limitation des : flèches contraintes ouvertures de fissures (vibrations) 30

31 La dalle a déjàd été vérifiée À l ELU : «Ultime» -> les charges correspondent à la ruine : À l ELS : Par flexion Par effort tranchant Par flambement «Service» -> les charges correspondent à une situation normale en service : limitation des : flèches contraintes ouvertures de fissures (vibrations) 31

32 La dalle a déjàd été vérifiée À l ELS : «Service» -> les charges correspondent à une situation normale en service : limitation des : flèches contraintes Dans le béton fc 0,5.fck pour classes exposition XD, XF et XS. fc 0,6.fck pour autres classes exposition. Dans l'acier fs 0,8 fyk (=500*0.8=400 MPa pour du S500). 32

33 Contraintes dans domaine élastique fissuré (rappel) 33 x Avec : x ( n ) 2 = + 2n n d 3 ρ ρ ρ bx ( ) 2 I = + d x na 3 M. x.( ). M d fc = fs = n x I I E A s ρ = s n = E bd c s

34 Contraintes dans domaine élastique fissuré (variante) À démontrer x ef x. ( ) 2 ef = d nρ + 2nρ n ρ 34 Avec : z = d 2M x ef 3 fc = fs = bxef. z As. z E A s ρ = s n = E bd c Bras de levier des efforts internes M

35 Contraintes dans domaine élastique fissuré x x= 29.9mm.. z = mm M= 23.8 kn.m f c =9.6 N/mm² f s =312 N/mm² 35

36 La dalle a déjàd été vérifiée À l ELU : «Ultime» -> les charges correspondent à la ruine : À l ELS : Par flexion Par effort tranchant Par flambement «Service» -> les charges correspondent à une situation normale en service : limitation des : flèches contraintes ouvertures de fissures (vibrations) 36

37 Contrôle fissuration EC (1) Dans le cas des dalles en béton armé ou précontraint dans les bâtiments, sollicitées à la flexion sans traction axiale significative, aucune disposition particulière n'est nécessaire pour la maîtrise de la fissuration lorsque l'épaisseur totale de la dalle n'excède pas 200 mm. 37

38 Notre dalle a déjàd été vérifiée À l ELU : «Ultime» -> les charges correspondent à la ruine : À l ELS : Par flexion Par effort tranchant Par flambement «Service» -> les charges correspondent à une situation normale en service : limitation des : flèches contraintes ouvertures de fissures (vibrations) 38