Feuille d'exercices : Diusion thermique

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1 Feuille d'exercices : Diusion thermique P Colin 2014/ Diusion thermique dans une barre * On considère une barre cylindrique de longueur l et de section S constituée d un matériau de conductivité thermique λ uniforme. On se place en régime stationnaire. L axe de la barre est l axe Ox des coordonnées cartésiennes. 1. La surface latérale est calorifugée et on impose les températures T 1 et T 2 des extrémités. (a) Déterminer l équation différentielle sur T (x) traduisant le premier principe de la thermodynamique sur une tranche élémentaire de la barre. (b) En déduire la répartition de température T (x). 2. La surface latérale n est plus calorifugée et cède à l extérieur une puissance thermique par unité de longueur : p l = α [T (x) T 0 ], où T 0 est la température extérieure et T (x) la température locale de la barre et α un coefficient positif. (a) Déterminer la nouvelle équation différentielle sur T (x) traduisant le premier principe de la thermodynamique sur une tranche élémentaire de la barre. (b) Quelle est la distance caractéristique l c de variation de T (x)? (c) On suppose que l l c. Déterminer T (x). 2 Conduction thermique entre deux sphères * On considère la conduction thermique entre deux sphères (S 1 ) et (S 2 ) concentriques de rayons R 1 et R 2 (R 1 < R 2 ). Entre les sphères, l espace (I) est occupé par un matériau homogène de conductivité thermique λ. Les sphères sont portées aux températures initiales T 1,0 et T 2,0. 1. On suppose que le régime est stationnaire. Calculer en fonction de R 1, R 2 et λ la résistance thermique R th de l espace (I) entre les deux sphères. 2. Les deux sphères ont même capacité calorifique Γ et ont une grande conductivité thermique de sorte qu à chaque instant on puisse considérer les températures T 1 (t) et T 2 (t) comme uniformes. La capacité thermique du matériau entre les sphères est négligeable. On la prendra comme nulle. On utilise les coordonnées sphériques et on note T (r, t) le champ de température dans l espace (I) entre les deux sphères (R 1 < r < R 2 ). 1

2 (a) Montrer que l équation différentielle sur T (r, t) est la même que celle que l on aurait en régime stationnaire. (b) En déduire qu à tout moment, la puissance thermique échangée entre (S 1 ) et (I) (dans le sens S 1 I) est la même que celle échangée entre (I) et (S 2 ) (dans le sens I S 2 ). (c) En déduire les équations différentielles qui déterminent l évolution temporelle de T 1 (t) et T 2 (t). (d) Exprimer les fonctions T 1 (t) et T 2 (t). (e) Quel est le temps caractéristique τ de variation de T 1 (t) et T 2 (t)? 3 Étude de la sensation de froid et de chaud - modèle statique * On étudie dans cet exercice un modèle destiné à interpréter l observation suivante : un observateur posant sa main sur une table en bois et une table en acier à la même température a l impression que le bois est plus chaud que l acier. On adopte le modèle suivant : deux cylindres, isolés latéralement, de même section S, de même axe (Ox), de conductivités λ 1 et λ 2, de masses volumiques µ 1 et µ 2, de capacités thermiques massiques c 1 et c 2 et de longueurs L 1 et L 2, sont mis bout à bout ; le contact s établissant en x = 0. On maintient les extrémités x = L 1 et x = +L 2 des deux cylindres aux températures respectives T 1 et T 2. On étudie un régime stationnaire. 1. Quelles sont les conditions aux limites imposées en x = L 1, en x = L 2 et en x = 0? 2. Quelle est la résistance thermique de l ensemble des deux cylindres? 3. Établir l expression de T (x) dans les deux cylindres en fonction de T 1,T 2, x, L 1, L 2. En déduire celle de la température T i en x = En déduire que la température T i à l interface est un barycentre de T 1 et T 2 La température T 1 correspond à 37 C (main) et T2 à 20 C (acier ou bois), et on suppose L 1 = L 2. On donne les conductivités thermiques : Main : λ 1 = 10 W.m 1.K 1 Bois : λ 2 = 10 W.m 1.K 1 Acier : λ 2 = 100 W.m 1.K 1 5. Calculer T i pour un contact main-bois, puis pour un contact main-acier. Commenter. 4 Homéothermie ** Une sphère de rayon R est maintenu en permanence à la température T 1, dans un milieu fluide qui, à très grande distance de la sphère, est à la température T 0 < T 1. La conductivité thermique du fluide est notée λ. Le problème est étudié en régime permanent. On suppose que le seul mode de transfert thermique au sein du fluide est le mode conductif (pas de convection, pas de rayonnement). 2

3 1. Déterminer la résistance thermique du milieu fluide entourant la sphère. 2. Expliciter la puissance P thermique cédée par la sphère au milieu fluide. 3. On donne T 1 = 310 K, T 0 = 280 K et R = 25 cm (modélisation grossière d un animal homéotherme, c est à dire maintenant une température corporelle constante, avec un rapport surface/volume comparable à celui d un être humain). Calculer P si le fluide est de l air (λ = 2, W m 1 K 1 ). 4. En admettant que la capacité d un organisme vivant à produire de l énergie thermique est proportionnelle à son volume, l homéothermie est-elle plus aisée pour un petit animal ou pour un gros? Commenter. 5 Ailettes de refroidissement ** Pour éviter l échauffement d un appareil, on munit son boîtier d ailettes de refroidissement métalliques. Chaque ailette est parallélépipédique, d épaisseur a = 2, 0 mm, de largeur b = 10 cm et de longueur c = 20 cm ; on remarquera que a b. En fonctionnement, le boîtier de l appareil sera maintenu à la température T M = 60 C. L air extérieur, qui circule par convection naturelle autour de l ailerre, est de température constante et uniforme T A = 20 C, sauf au voisinage immédiat de l ailette, entourée d une couche limite d air thermiquement peu conductrice dont la température reste localement voisine de celle de la surface de l ailette. Dans l ailette, on admettra que le transfert thermique, de type conductif, est monodimensionnel dans la direction de l axe (Ox), le long de la plus grande dimension c de l ailette. Il obéit à la loi de Fourier, la conductivité thermique étant λ = 16 W m 1 K 1. On note T (x) la température de l ailette à l abscisse x. Il existe aussi un transfert thermique de l ailette vers l air ambiant, à travers la couche limite. Le flux thermique correspondant est caractérisé par la loi de Newton avec pour coefficient de transfert thermique pariétal h = 150 SI. 1. Écrire le bilan des transferts d énergie pour la tranche d ailette comprise λa 2h entre les abscisses x et x+dx, en régime permanent. On posera : L = et on donnera la valeur numérique de L ainsi que son unité. En déduire l équation différentielle dont T (x) est la solution. 2. Résoudre cette équation différentielle. On vérifiera que L c. Pourquoi l approximation correspondante porte-elle le nom de modèle d ailette infinie? 3. Déterminer, par deux méthodes, la puissance totale P évacuée par l ailette. Faire l application numérique. 4. Combien faudrait-il fixer d ailettes sur le boîtier pour évacuer un flux thermique total de 0,9 kw? La taille de chaque ailette peut-elle être réduite sans changer notablement l ensemble des résultats précédents? 3

4 6 Écart entre température réelle et température mesurée ** Un thermomètre est assimilé à un cylindre de diamètre 1 mm et de hauteur 15 mm contenant du mercure de masse volumique µ = 13, kg.m 3 et de capacité calorifique massique c = 140 J.K 1.kg 1. La température initiale du mercure est T 0. On plonge à t = 0 ce thermomètre dans un fluide de température T f. On néglige la quantité de mercure dans la colonne hors du réservoir qui pourrait éventuellement se trouver non immergée, et on admet que tout le mercure est à chaque instant à la même température. Les échanges thermiques entre le fluide et le thermomètre sont de type conducto-convectif, avec un coefficient h = 28, 4 W.m 2.K Établir l équation différentielle satisfaite par la température du mercure. 2. Déterminer la loi T (t) pour T f = T 1 constante. 3. Déterminer la loi T (t) pour T f = T 1 + T 2 cos ωt de période 10 mn. 7 Variation d'entropie lors d'une uniformisation de température ** Un barreau de longueur L et de section S à sa surface latérale calorifugée ; Ses extrémités sont en contact avec des sources de chaleur de températures T 1 et T 2 (T 2 > T 1 ). Une fois le régime permanent établi, on supprime les sources de chaleur et on calorifuge les extrémités. 1. Déterminer la température du barreau lorsque l état d équilibre final est atteint. 2. Calculer la variation d entropie associée à cette transformation. 8 Temps d'uniformisation d'un champ de température ** Un matériau homogène et isotrope de conductivité thermique λ et de diffusivité thermique K a la forme d un cylindre de section A, d axe Ox, limité par deux faces planes P 0 et P 1. La masse volumique de l échantillon est µ et sa chaleur massique c. La longueur de l échantillon est l et on considère uniquement les transferts thermiques unidimensionnels dans la direction x. On impose aux faces P 0 et P 1 une température identique et constante T 0. A l instant initial, la température du milieu est : T (x, t = 0) = T 0 + θ sin πx l avec θ > Tracer la fonction T (x, t = 0), et vérifier qu elle satisfait les conditions aux limites. 2. On cherche une solution sous la forme : T (x, t) = T 0 + f(x)g(t). Déterminer complètement cette solution 3. En déduire l expression de la densité de flux thermique j th (x, t). En donner une représentation graphique. 4

5 4. Calculer par deux méthodes différentes la chaleur reçue par le matériau entre les instants t = 0 et t = +. 9 Température dans un l électrique *** Un fil électrique est constitué d un conducteur cylindrique de rayon r 1, de hauteur H, de résistance électrique R elec, de conductivité thermique λ 1. Il est entouré par une gaine isolante de rayon extérieur r 2 et de conductivité thermique λ 2. En régime permanent, la température dans le fil (ensemble du conducteur et de la gaine) est une fonction T (r) (coordonnées cylindriques). Les échanges thermiques entre la gaine et l air extérieur de température T 0 sont caractérisés par une puissance surfacique α (T (r 2 ) T 0 ). Le conducteur est parcouru par un courant électrique permanent d intensité I. On admet que la puissance thermique volumique produite par effet Joule dans le conducteur électrique est uniforme. 1. Déterminer, pour une hauteur H de fil, la puissance thermique produite par effet Joule dans un cylindre de rayon r < r 1. En déduire la densité de flux thermique dans le conducteur. 2. En déduire la loi T (r) dans le conducteur, en notant T (r 1 ) la température pour r = r Déterminer la densité de courant de conduction dans la gaine, puis la loi T (r) pour toute valeur de r, en fonction de T 0, I, λ 1, λ 2, r 1, r 2, H, α et R elec. 10 Prise en glace d'un lac *** On considère un lac où l eau liquide est en permanence à la température de congélation T i = 273 K. L air au dessus du lac (x < 0) est à la température constante T a = 263 K. Libre de glace à l instant initial, le lac se couvre progressivement d une couche de glace dont l épaisseur à l instant t est notée l(t). La glace à une masse volumique ρ, une conductivité thermique λ, sa chaleur latente massique de fusion est L f ; on désignera sa capacité calorifique massique par c. On suppose que la température est continue à la surface air-glace. L origine des x sera prise à la surface libre de la glace (contact galce - air). 1. En supposant que l on se trouve en régime quasi-permanent (notion à préciser par analogie avec l électrocinétique), déterminer la distribution de température T (x, t) dans la glace en fonction de T a, T i, l(t) et x la profondeur sous la surface libre de la glace. 2. Déterminer l(t). 3. A quelle condition l approximation du régime quasi-permanent est-elle justifiée? 5

6 11 Éstimation de l'âge de la Terre par Lord Kelvin *** Au milieu du XIX ème siècle, Lord Kelvin a imaginé que la Terre avait été formée à une température élevée T 1 uniforme à la date t = 0. Il a proposé d autre part qu à cette même date, sa surface avait été soumise instantanément à une température T S constante. Depuis ce temps-là, la planète se refroidirait. Lord Kelvin a modélisé le refroidissement pour en déduire l âge de la Terre. On suppose que La densité de flux thermique est une fonction de la profondeur et du temps j(z, t). On néglige la sphéricité et les sources radioactives de la planète, mais on ne se place pas en régime permanent. On admet que la température dépend de t et de la profondeur z comptée positivement vers le bas. Elle vérifie l équation de diffusion : µc T t = T λ 2 z 2 où µ est la masse volumique, c la capacité thermique massique et λ la conductivité thermique. 1. Montrer que l équation différentielle vérifiée par la densité de flux thermique j(z, t) transmise le long de l axe (0, z) s écrit : j t = D 2 j z 2 Exprimer D en fonction de λ, ρ et c. 2. Dans l hypothèse de Lord Kelvin, quelle doit être la valeur de la densité de flux thermique en z = 0 lorsque t tend vers zéro et lorsqu il tend vers l infini? Quelle doit être la valeur de la densité de flux thermique à une profondeur z non nulle lorsque t tend vers zéro et lorsqu il tend vers l infini? 3. Vérifier que la solution proposée par Lord Kelvin, j(z, t) = A Dt exp z2 4Dt où t est le temps écoulé depuis la formation de la Terre est bien la bonne. Dessiner schématiquement la valeur absolue de la densité de flux thermique en fonction de la profondeur pour deux époques différentes. 4. Les paramètres du problème sont T 1 T S, λ, µ et c. On suppose que A = 1 π (T 1 T S ) α λ β µ γ c δ. Déterminer les exposants α, β, γ et δ. 5. Exprimer la valeur du gradient thermique en surface j 0 = T z z=0. 6. Lord Kelvin a admis que T 1 T S était de l ordre de à K et que D est proche de 10 6 m 2 s 1. Sachant que l augmentation de température mesurée dans les mines indiquait un gradient proche de 30 K km 1, quel âge de la Terre Lord Kelvin a-t-il déduit de son modèle? 7. Que pensez-vous de cette estimation? 6