Chapitre n 1 : CINEMATIQUE DE NEWTON

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1 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne Chapitre n 1 : CINEMATIQUE DE NEWTON La cinématique étudie la description du mouvement des mobiles sans en chercher les causes. Le but de la leçon est d'introduire et, dans certain cas, de rappeler les définitions des grandeurs vectorielles cinématiques (position, vitesse, accélération), et d'en approfondir l'aspect vectoriel. L'étude de la projection de ces grandeurs vectorielles, dans un repère, fait appel à des mathématiques parfois complexes, mais elle nous sera nécessaire, par la suite, en dynamique. I) Système et référentiel : 1) Système : Un système est un objet ou un ensemble d'objets délimité par une surface réelle ou fictive et que l'on distingue de son environnement pour en faire une étude particulière. Le système devra être défini pour chaque problème considéré. Tout ce qui n'appartient pas au système constitue le milieu extérieur ou "reste de l'univers". Exemple : Système {Terre-Lune} ; {gaz dans un récipient} ; {charge dans un champ E } Remarque : Dans la suite, on ne considérera, le plus souvent, que le cas du mouvement du centre d'inertie (C.I.) du système ou le cas du mouvement d'un objet ponctuel. ) Référentiel et repère : On s'intéresse à un mobile ponctuel P (de dimensions négligeables devant les longueurs qui interviennent dans l'étude son mouvement). Un référentiel (R) est un objet matériel solide et étendu (de grande dimension) par rapport auquel on étudie le mouvement d'un mobile. Exemple : le quai de gare, le wagon d'un train : Pour faire une étude quantitative de ce mouvement il est nécessaire de définir un repère d'espace et un repère de temps liés à ce référentiel. Dans l'espace physique à trois dimensions, un repère d'espace est un être mathématique défini par un point O particulier du référentiel et par trois vecteurs unitaires i, j et k non parallèles : (O, i, j, k ). On doit définir également un repère de temps (O, e ) en choisissant un instant particulier (déclenchement du chronomètre, naissance de Jésus-Christ...) et une unité de durée (en général la seconde). Lorsqu'un événement E a lieu dans le référentiel (R), on peut le repérer par le point M, l'endroit où il a lieu, et l'instant τ où il se produit. Le repère d'espace (O, i, j, k ) et le repère de temps (O, e ) associés à E, permettent de caractériser l'événement E par ses coordonnées (x, y, z) et sa date (t). Remarque : M est le nom d'un point (un lieu) et x est un nombre (une abscisse) ; de la même façon, τ est le nom d'un instant et t est un nombre (une date). Du point de vue du vocabulaire, on doit dire "à l'instant τ de date t" ou "à l'instant de date t" mais pas "à l'instant t" comme on dit "au point M d'abscisse x" ou "au point d'abscisse x" : on ne dit jamais "au point x". Ecole Européenne de Francfort Page 11

2 3) Position d'un mobile : Cinématique de Newton a) Vecteur déplacement et rayon vecteur : On s'intéresse au mouvement d'un point mobile P par rapport à un référentiel (R), à chaque instant τ, P coïncide avec un point M de (R). Soit O, un point fixe de (R). A un instant τ quelconque où P coïncide avec un point M : Le vecteur OM = r est appelé vecteur rayon vecteur du mobile P à l'instant τ. Lors du mouvement de P le rayon vecteur évolue au cours de temps, OM (t) = r( t) est une fonction vectorielle de la date t. A deux instants différents τ 1 et τ le mobile P coïncide avec les points M 1 et M. Le vecteur M 1M est le vecteur déplacement du mobile P entre les instants τ 1 et τ. b) Coordonnées cartésiennes : On peut lier au référentiel (R) un repère d'espace (O, i, j, k ) cartésien. Le rayon vecteur OM (t) = r( t) est caractérisé par ses composantes x, y et z, qui sont aussi les coordonnées cartésiennes du point M. On appelle lois horaires du mouvement de P dans le référentiel (R) les trois fonctions scalaires x = x(t), y = y(t) et z = z(t). L'étude du mouvement de P consiste à déterminer la fonction vectorielle OM( t) = r( t) donc les trois lois horaires x = x(t), y = y(t) et z = z(t) liées par la relation : x = x(t) OM( t) = r( t) = x(t). i + y(t). j + z(t).k ou OM( t) = r( t) y = y(t) z = z(t) c) Abscisse curviligne : Dans certains cas la trajectoire du mobile P est connue ou imposée (glissière, rail...), elle peut alors servir à repérer la position du mobile. (schéma) On munit la courbe trajectoire d'une origine O et d'un sens positif d'orientation (sans relation avec le sens effectif du mouvement) et d'une unité de mesure de longueur. La position du mobile est alors définie par le scalaire s(t) = OM(t) qui constitue la loi horaire du mouvement du mobile en coordonnée curviligne. Il existe d'autres façons (coordonnées sphériques, hyperboliques, locales...). II) Vecteur vitesse : 1) Définition : a) Etude théorique : A un instant τ de date t le point mobile P coïncide avec un point M du référentiel (R), à un instant τ' de date t' il coïncide avec un point M'. Par définition, le vecteur vitesse moyenne entre ses deux instants est : V = MM ' = OM ' OM t' t t' t Si on fait tendre t' vers t le rapport tend vers une limite vectorielle (direction, sens et mesure) qu'on appelle vitesse instantanée du mobile P à la date t dans le référentiel (R) : = lim( OM ' OM dom(t) dr(t) ) = = t' t t' t Page 1 Christian BOUVIER

3 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne Remarque : Nous admettrons que le vecteur vitesse instantanée du point mobile est tangent à la trajectoire au point coïncidant et qu'il a le sens du mouvement. b) Etude pratique : On utilise une table à air pour enregistrer le mouvement de la projection G du centre d'inertie G 0 d'un mobile autoporteur. Un système de repérage (étincelle, encre, caméra ) enregistre la position de G à intervalles de temps t successifs égaux. Le point G occupe successivement les position M 1, M, M 3 Pour déterminer les caractéristiques du vecteur vitesse en un point quelconque M i, on considère le point M i 1 enregistré juste avant, et le point M i + 1 enregistré juste après. Nous admettrons que le rapport v i = Mi 1M i+ 1 donne une bonne approximation de la. t mesure de la vitesse au point M i, et que le segment M i 1 M i + 1 donne une bonne approximation de la direction du vecteur vitesse. Pour construire le "représentant" du vecteur vitesse au point M i, il faut, de plus, se donner une échelle de représentation. On représente le vecteur vitesse v i du mobile au point M i par une flèche dont : - l'origine est le point M i lui-même, - la direction est celle du segment M i 1 M i + 1, - le sens est celui du déplacement, - la longueur est proportionnelle à la mesure du vecteur vitesse (échelle). Ici, on donne t = 50 ms On veut représenter les vecteurs v 6 et v 8 avec une échelle de : 1 cm cm/s - on mesure M 5 M 7 = 1,7 cm - on mesure M 7 M 9 = 1,8 cm - on calcule v 6 = M 5 M 7. t = 1,7 = 17 cm/s x0, 05 - on calcule v 8 = M 7 M 8. t = 1,8 = 18 cm/s x0, 05 - on trace une droite passant par M 6, parallèle au segment M 5 M 7 - à partir du point M 6, on trace une "flèche" de longueur : l 6 = 17/ = 8,5 cm - on trace une droite passant par M 8 et parallèle au segment M 7 M 9 - à partir du point M 8, on trace une "flèche" de longueur : l 8 = 17/ = 9,0 cm Remarque : Si on choisi un intervalle de temps t plus petit, la distance entre les différents Mi 1M i+ 1 points M i sera plus courte, mais on peut imaginer que le rapport tend. t vers une limite et que la droite passant par M i 1 et M i + 1 a une direction qui tend vers celle de la tangente à la trajectoire en M i : c'est la définition de la dérivée vectorielle vue dans l'étude théorique du II) 1) a). Ecole Européenne de Francfort Page 13

4 ) Expression du vecteur vitesse : a) En coordonnées cartésiennes : Cinématique de Newton On lie au référentiel (R) un repère d'espace (O, i, j, k ) cartésien. Soit OM( t) = r (t) = x(t). i + y(t). j + z(t).k par dérivation par rapport au temps on a : = dr ( t ) = d (x(t). i + y(t). j + z(t).k ) = d [x(t). i ] + d [y(t). j ] + d [z(t).k ], or les vecteurs i, j et k qui sont liés au référentiel, sont constants, d'où : = dr ( t ) = dx ( t ) dy( t) dz( t). i +. j +.k = x( t). i + y( t). j + z( t).k ou sous forme matricielle v v v x y z dx(t) = = x(t) dy(t) = = y(t) dz(t) = = z(t) b) En coordonnées curvilignes : On définit la mesure algébrique de la vitesse du mobile à un instant de date t par : = ds ( t ) = s( t) Pour retrouver le vecteur vitesse il faut se souvenir que v (t) est porté par la tangente à la trajectoire au point coïncidant. On définit donc le vecteur unitaire tangent T (t) dont le sens est le même que celui choisi arbitrairement pour orienter positivement la trajectoire. On a alors : =. T( t) Remarque : le vecteur unitaire tangent T( t) a une direction qui évolue au cours du temps : ce n'est pas un vecteur constant! Remarque : il ne faut pas confondre : vecteur vitesse, mesure algébrique de la vitesse et v(t) norme ou mesure de la vitesse. III) Vecteur accélération : 1) Définition : Intuitivement on sait que l'accélération représente le "taux de variation de la vitesse". Par définition le vecteur accélération moyenne entre deux instants de dates t et t' est : A v'(t) v(t) = t' t Si on fait tendre t' vers t le rapport tend vers une limite vectorielle qu'on appelle vecteur accélération du mobile P à la date t dans le référentiel (R) : v'(t) v(t) dv(t) dr(t) a( t) = lim( ) = = t' t t' t Page 14 Christian BOUVIER

5 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne De la même façon que pour le vecteur vitesse, on peut vouloir représenter le vecteur accélération d'un mobile autoporteur pour étudier son mouvement. Pour déterminer les caractéristiques du vecteur accélération en un point quelconque M i, on doit considérer le vecteur vitesse au point M i 1, et le vecteur vitesse au point M i + 1. Nous admettrons que la différence vectorielle v i = v i+1 -- v i 1 donne une bonne approximation de la direction du vecteur accélération. On représente le vecteur accélération a i du mobile au point M i par une flèche dont : - l'origine est le point M i lui-même, - la direction est celle du vecteur v i = v i+1 -- v i 1, - le sens est celui du vecteur v i = v i+1 -- v i 1, vi+ 1 vi 1 - la longueur est proportionnelle à la mesure du vecteur accélération a i =.. t Ici encore, on donne t = 50 ms On veut représenter le vecteur a 7 - avec une échelle des vitesses de : 1 cm cm/s - et avec une échelle des accélérations de : 1 cm 10 cm/s. - on fait un "transport parallèle" de v 6 pour que son extrémité coïncide avec le point M 7. - on fait un "transport parallèle" de v 8 pour que son origine coïncide avec l'origine de v 6. - de cette façon, le représentant de v 7 = v 8 -- v 6 est simplement la "flèche" qui a pour origine, le point M 7 lui-même (extrémité de v 6 ) et pour extrémité, celle de v 8. - on mesure la longueur du représentant de v 7 = v 8 -- v 6, on trouve 5,4 cm. - en utilisant l'échelle des vitesses, on obtient v 7 = v 8 -- v 6 = 10,8 cm/s. v8 v6 - on calcule a 7 = = 10,8 = 108 cm/s.. t x0,05 - à partir du point M 7, on trace une "flèche" parallèle à v 7 = v 8 -- v 6 et de longueur : l 6 = 108/10 = 10,8 cm Ecole Européenne de Francfort Page 15

6 ) Expression du vecteur accélération : a) En coordonnées cartésiennes : Cinématique de Newton On lie au référentiel (R) un repère d'espace (O, i, j, k ) cartésien. On a vu que : dr(t) = = dx ( t ) dy( t) dz( t). i +. j +.k = x( t). i ou encore : + y( t). j + z( t).k = v x (t). i + v y (t). j + v z (t).k, en dérivant et en se souvenant que les vecteurs i, j et k sont constants et que leur dérivée par rapport au temps est nulle : dv(t) a( t) = = dv ( t) x. i + dv ( t) y. j + dv ( t) z.k = v x( t). i + v y( t). j + v z( t).k dr(t) ou a( t) = = d x t ( ) d y( t) d z( t). i +. j +.k = x( t). i + y( t). j + z( t).k forme matricielle a( t) a a a x y z dv x(t) = = v x(t) = dv y(t) = = v y(t) = dv z(t) = = v z(t) = dx(t) = x(t) dy(t) = y(t) dz(t) = z(t) b) En coordonnées curvilignes : En chaque point de la trajectoire, on peut, en général, définir un vecteur unitaire tangent T( t) (on peut toujours le définir) et un vecteur unitaire normal (principal) N( t) (on ne peut pas toujours le définir) orthogonal à T( t) et dans le plan osculateur de la trajectoire (plan contenant la trajectoire) et tourné vers la concavité de cette trajectoire. L'expression du vecteur accélération en coordonnées curvilignes ou locales est : a( t) = dv ( t ). T( t) + v.n( t) ρ point d'inflexion ρ est le rayon de courbure de la trajectoire au point coïncidant. On pose : a T (t) = dv ( t ) ; an (t) = v ρ ou at( t) = dv ( t ). T( t) ; an( t) = v.n( t) ρ Remarque : comme v /ρ est positif et que N( t) est tourné vers la concavité de cette trajectoire an( t) est toujours dirigé vers la concavité de la trajectoire : on dit que le vecteur accélération est centripète. Remarque : en un point d'inflexion, le vecteur N( t) n'est pas défini, mais ça ne pose pas de problème : en effet, le rayon de courbure ρ étant infini, le vecteur accélération n'a pas de composante "normale", le vecteur accélération n'est donc que tangent. Les vecteurs unitaires T( t) et N( t) et le point mobile P constituent le début d'un trièdre qu'on appelle repère de Frénet. Page 16 Christian BOUVIER

7 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne IV) Etude de quelques cas particuliers : 1) Mouvement rectiligne et uniforme : a) Définition : Dans un référentiel (R), le point mobile se déplace sur une droite avec une vitesse de mesure (ou de mesure algébrique) constante. On peut donc dire : mouvement tel que b) Loi horaire du mouvement : = c te mouvement tel que a( t) Soit Ox l'axe rectiligne où se déplace le point mobile dans (R), v C la mesure algébrique constante de la vitesse et x 0 l'abscisse du mobile à l'instant pris pour origine des dates. On a donc v = v x = v C = dx ( t ) pour trouver x(t) il faut chercher une "primitive" de vc, on cherche une fonction du temps telle que en la dérivant on trouve une constante v C. On dit aussi qu'on "intègre" la fonction dx ( t ) = vc : D'où la loi horaire : x = v C.t + x 0 ) Mouvement rectiligne et uniformément varié : a) Définition : Dans un référentiel (R), le point mobile se déplace sur une droite avec une accélération de mesure (ou de mesure algébrique) constante et de direction parallèle à la droite trajectoire. On peut donc dire : mouvement tel que a( t) b) Loi horaire du mouvement : = c te et a( t) = 0 est parallèle à, à chaque instant Soit Ox l'axe rectiligne sur lequel se déplace le mobile dans (R), a C la mesure algébrique constante de l'accélération, x 0 l'abscisse du mobile à l'instant pris pour origine des dates et v 0 la mesure algébrique de la vitesse du mobile à l'instant origine. On a donc a = a x = a C = dv x( t ), pour trouver vx (t) il faut chercher une "primitive" de a C. On en déduit l'expression de la vitesse : v x (t) = a C.t + v 0 [1] Il faut "intégrer" une seconde fois pour trouver x(t) et en particulier il faut chercher une fonction qui lorsqu'on la dérive donne a C.t D'où la loi horaire : x = 1.a C.t + v 0.t + x 0 [] c) propriétés : - Relation entre vitesse et abscisse : de [1] on tire t = v t v x( ) 0 que l'on porte dans [] et ac d'où déduit : v x (t) v 0 =.a C.(x x 0 ) - On peut montrer que les espaces parcourus en des intervalles de temps successifs égaux sont en progression arithmétique (exercice à démontrer). Ecole Européenne de Francfort Page 17

8 Cinématique de Newton 3) Mouvement à vecteur accélération constant : a) Lois horaires du mouvement : On considère un mobile ponctuel lancé au départ (t = 0 s) avec un vecteur vitesse v 0 et dont le vecteur accélération a C est constant (au cours du temps) et non parallèle à v0, dans un référentiel (R) par rapport auquel on étudie le mouvement. On choisit, pour simplifier, un repère cartésien (O, i, j, k ) tel que j soit de même direction et même sens que a C et tel que v0 soit contenu dans le plan défini par i et j, on supposera qu'à l'instant initial le mobile est dans le plan défini par i et j : dx(t) ax(t) = = 0 v x(0) = v0x x(0) = x0 D'où, initialement : a C dy(t) ay(t) = = ac v 0 v y(0) = v0y et r 0 y(0) = y0 d z(t) az(t) = = 0 v z(0) = 0 z(0) = 0 Remarque : a C = a( t) est le vecteur accélération, expression valable à chaque instant, au contraire v 0 = v( 0) est l'expression de la vitesse à l'instant initial. En "intégrant" les composantes de du vecteur accélération et avec les conditions initiales : v = dx x(t) = v0x dy v y(t) = = ac.t + v0y v (t) = dz z = 0 En "intégrant une deuxième fois on obtient les lois horaires du mouvement : x(t) = v0x.t + x0 1 r( t) y(t) =.a.t + v.t + y C 0y 0 z(t) = 0 Seules deux coordonnées évoluent au cours du temps : le mouvement est plan. Ce mouvement est décomposable en deux mouvements rectilignes sur chaque axe : - sur l'axe Ox : on a un mouvement uniforme, - sur l'axe Oy : on a un mouvement uniformément varié. b) Nature de la trajectoire : Posons x 0 =y 0 = 0 (à l'instant initial le mobile est à l'origine des espaces). Les équations horaires deviennent : x(t) = v 0x.t y(t) = 1.a C.t + v 0y.t et z(t) = 0 On peut éliminer t entre x(t) et y(t) : T = Soit y = a.v x et y = v 0x C 0x.x v + v 0y 0x 1.a C. x v v + 0x C'est l'équation d'une parabole passant par l'origine (en accord avec les hypothèses) d'axe parallèle à Oy et dont la concavité est tournée vers les y positifs. Remarque : si v 0 = 0 ou si v0 est parallèle à ac alors v0x = 0 et dans les équations horaires du mouvement on a x(t) = x 0 = c te seul y(t) évolue au cours du temps : le mouvement est rectiligne uniformément varié.. x 0y. x v 0x Page 18 Christian BOUVIER

9 V) Relativité du mouvement : 1) Généralités : Physique - 6 ème année - Ecole Européenne Lorsqu'on passe d'un repère (O, i, j, k ) lié à un référentiel (R) à un repère (O', i ', j ', k ' ) lié à un autre référentiel (R'), la description du mouvement d'un point mobile change. Pour un évènement donné E, on doit passer des coordonnées x, y, z et t dans le référentiel (R) aux coordonnées x', y', z' et t' du référentiel (R'). On dit que les coordonnées d'un évènement E sont relatives au référentiel considéré et pour passer d'un référentiel à un autre, on utilise des formules de changement de coordonnées : - En mécanique de Newton, on considère la "relativité" galiléenne : En relativité galiléenne (mécanique classique) le temps est universel et la date d'un évènement E est la même dans tous les référentiels (t = t'). - En relativité einsteinienne (relativité restreinte) : En relativité restreinte (mécanique relativiste) la vitesse de la lumière dans le vide est une constante universelle, la date d'un évènement change d'un référentiel à un autre. Remarque : dans la suite nous nous placerons, en général, dans le cadre de la mécanique classique. Nous ne considérerons que des cas particulièrement simple de changement galiléen de référentiel. ) Relativité de la trajectoire : (T.P.) - On étudie la trajectoire d'un point de la périphérie d'une roue de bicyclette : * par rapport au cycliste : on a une trajectoire circulaire, * par rapport à la route : on obtient une cycloïde. - On étudie la trajectoire de la planète Vénus : * par rapport à un référentiel héliocentrique, on a une trajectoire quasi-circulaire, * Par rapport à un référentiel géocentrique, on obtient une trajectoire plutôt cardioïde! 3) Composition des vitesses : Un point mobile M a une vitesse "relative" v r, dans un référentiel dit "relatif" (R r ), qui se déplace, lui-même en translation, avec une vitesse "d'entraînement" v e par rapport à un autre référentiel, dit "absolu" (R a ). On veut exprimer la vitesse "absolue" v a du point mobile M par rapport au référentiel "absolu" (R a ). Remarque : Les notions de "relatif" et "d'absolu" sont purement subjectives. Vectoriellement, on a la relation de "composition des vitesses : a v = v e + v r Remarque : Cette expression vectorielle, valable en mécanique classique, doit être modifiée en mécanique relativiste lorsqu'on considère des vitesses d'entraînement non négligeables devant la vitesse de la lumière... Ecole Européenne de Francfort Page 19

10 I) Système et référentiel : 1) Système : Cinématique de Newton A RETENIR Un système est un objet ou un ensemble d'objets délimité par une surface réelle ou fictive et que l'on distingue de son environnement pour en faire une étude particulière. Tout ce qui n'appartient pas au système constitue le milieu extérieur ou reste de l'univers. ) Référentiel et repère : Un référentiel (R) est un objet matériel solide et étendu (de grande dimension) par rapport auquel on étudie le mouvement d'un mobile. Dans l'espace physique à trois dimensions, un repère d'espace est un être mathématique défini par un point O particulier du référentiel et par trois vecteurs unitaires i, j et k non parallèles : (O, i, j, k ). Lorsqu'un événement E a lieu dans le référentiel (R), on peut le repérer par le point M, l'endroit où il a lieu, et l'instant τ où il se produit. 3) Position d'un mobile : a) Vecteur déplacement et rayon vecteur : Le vecteur OM = r est appelé vecteur rayon vecteur du mobile P à l'instant τ. b) Coordonnées cartésiennes : On appelle lois horaires du mouvement de P dans le référentiel (R) les trois fonctions scalaires x = x(t), y = y(t) et z = z(t). x = x(t) OM (t) = r( t) = x(t). i + y(t). j + z(t).k ou OM( t) = r( t) y = y(t) z = z(t) c) Abscisse curviligne : On munit la courbe trajectoire d'une origine O et d'un sens positif d'orientation (sans relation avec le sens effectif du mouvement) et d'une unité de mesure de longueur. La position du mobile est alors définie par le scalaire s(t) = OM(t) qui constitue la loi horaire du mouvement du mobile en coordonnée curviligne. II) Vecteur vitesse : 1) Définition : = lim( OM ' OM ) = t' t t' t dom(t) = dr(t) ) Expression du vecteur vitesse : a) En coordonnées cartésiennes : dr(t) = = dx ( t ) dy( t) dz( t). i +. j +.k = x( t). i + y( t). j + z( t).k Page 0 Christian BOUVIER

11 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne ou sous forme matricielle v v v x y z dx(t) = = x(t) dy(t) = = y(t) dz(t) = = z(t) b) En coordonnées curvilignes : On définit la mesure algébrique de la vitesse du mobile à un instant de date t par : = ds ( t ) = s( t) On définit le vecteur unitaire tangent T (t) dont le sens est le même que celui choisi arbitrairement pour orienter positivement la trajectoire. On a alors : =. T( t) III) Vecteur accélération : 1) Définition : a( t) ( t' t = lim v'(t) v(t) ) = t' t dv(t) = d r(t) ) Expression du vecteur accélération : a) En coordonnées cartésiennes : dv(t) a( t) = = dv x( t ) dv ( t ) y. i +. j + dv ( t) z.k = v x( t). i + v y( t). j + v z( t).k dr(t) ou a( t) = = d x t ( ) d y( t) d z( t). i +. j +.k = x( t). i + y( t). j + z( t).k dv (t) d x x(t) ax = = v x(t) = = x(t) forme matricielle a( t) dv (t) d y y(t) ay = = v y(t) = = y(t) dv (t) d z z(t) az = = v z(t) = = z(t) b) En coordonnées curvilignes : L'expression du vecteur accélération en coordonnées curvilignes ou locales est : a( t) = dv ( t ). T( t) + v ρ.n ( t) On pose : ou at( t) a T (t) = dv ( t ) ; an (t) = v ρ = dv ( t ). T( t) Les vecteurs unitaires T( t) et N( t) qu'on appelle repère de Frénet. ; an( t) = v ρ.n ( t) et le point mobile P constituent le début d'un trièdre Ecole Européenne de Francfort Page 1

12 IV) Etude de quelques cas particuliers : 1) Mouvement rectiligne et uniforme : a) Définition : Cinématique de Newton Dans un référentiel (R), le point mobile se déplace sur une droite avec une vitesse de mesure (ou de mesure algébrique) constante. mouvement tel que b) Loi horaire du mouvement : = c te mouvement tel que a( t) x = v C.t + x 0 ) Mouvement rectiligne et uniformément varié : a) Définition : Dans un référentiel (R), le point mobile se déplace sur une droite avec une accélération de mesure (ou de mesure algébrique) constante et de direction parallèle à la droite trajectoire. On peut donc dire : mouvement tel que a( t) b) Loi horaire du mouvement : = c te et a( t) = 0 est parallèle à, à chaque instant v x (t) = a C.t + v 0 [1] x = 1.a C.t + v 0.t + x 0 [] 3) Mouvement à vecteur accélération constant : a) Lois horaires du mouvement : dx(t) ax(t) = = 0 v x(0) = v0x x(0) = x0 Initialement : a C dy(t) ay(t) = = ac v 0 v y(0) = v0y et r 0 y(0) = y0 d z(t) az(t) = = 0 v z(0) = 0 z(0) = 0 v = dx x(t) = v0x x(t) = v0x.t + x0 dy 1 v y(t) = = ac.t + v0y r( t) y(t) =.a.t + v.t + y C 0y 0 v (t) = dz z = 0 z(t) = 0 Ce mouvement est décomposable en deux mouvements rectilignes sur chaque axe : - sur l'axe Ox : on a un mouvement uniforme, - sur l'axe Oy : on a un mouvement uniformément varié. b) Nature de la trajectoire : La trajectoire est une parabole passant par l'origine (en accord avec les hypothèses) d'axe parallèle à Oy et dont la concavité est tournée vers les y positifs. V) Relativité du mouvement : Composition des vitesses : va = v e + v r Page Christian BOUVIER

13 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne POUR S'ENTRAÎNER I) Métropolitain et passager. Un passager du métro arrive sur le quai au moment précis où une rame démarre. A l'instant où le passager pénètre sur le quai, la portière de la rame se trouve à une distance L = 50 m de lui. Il coure à une vitesse qu'on supposera constante et telle que v = 5 m.s 1. La rame démarre avec une accélération qu'on supposera constante et telle que a = 1 m.s. a) On définit un axe Ox le long du quai dans le sens de la marche. L'origine O de l'axe est le point où le passager pénètre sur le quai à la date t = 0 s. i. Quelle est la nature du mouvement du passager? Exprimer la loi horaire x P = f(t) du mouvement du passager. ii. Quelle est la nature du mouvement de la portière de la rame de métro? Exprimer la loi horaire x M = f(t) de son mouvement. iii. Le passager rattrape-t-il la rame? b) A quelle distance minimum le passager se rapproche-t-il de la portière de la rame du métro? c) Quelle distance a-t-il alors parcourue sur le quai? II) Cinématique d'un mobile, vitesse. Le graphe ci-contre représente, en fonction du temps, la mesure de la projection du vecteur vitesse d'un mobile M animé d'un mouvement rectiligne (diagramme des vitesses). a) Que peut-on dire de la nature du mouvement : - entre les instants de date t 0 = 0 et t 1 = 8 s? - entre les instants de date t 1 = 8 s et t = 1 s? b) Donner l'expression de la mesure algébrique de la vitesse, v x = f(t), en fonction du temps : - entre les instants de date t 0 = 0 et t 1 = 8 s - entre les instants de date t 1 = 8 s et t = 1 s c) Donner l'expression de la mesure algébrique de l'accélération, a x = g(t) : - entre les instants de date t 0 = 0 et t 1 = 8 s - entre les instants de date t 1 = 8 s et t = 1 s d) Exprimer l'équation horaire, x = h(t), du mobile : - entre les instants de date t 0 = 0 et t 1 = 8 s - entre les instants de date t 1 = 8 s et t = 1 s e) Quelle distance parcourt-il entre les dates 0 s et 8 s? Montrer que cette distance est égale à l'aire du rectangle OABC. f) Quelle distance parcourt-il entre les instants de dates t = 0 s et t = 1 s? Montrer que cette distance est égale à l'aire du triangle CBD. III) Chute d'une bille en acier. A l'instant de date t = 0 s, une bille en acier est lâchée sans vitesse initiale à une hauteur h = 5 m au-dessus du sol. La bille tombe alors verticalement et, en négligeant les frottements de l'air, la mesure de son accélération est constante et vaut a = 9,8 ms. a) Quelle est la nature du mouvement de la bille? b) En précisant le choix de l'axe x'x (direction, sens d'orientation, origine des abscisses), donner la loi horaire x = f(t) du mouvement de la bille. c) Quelle est la durée t de la chute de la bille jusqu'au sol? d) Quelle est la masure v s de la vitesse de la bille lorsqu'elle arrive au sol? Ecole Européenne de Francfort Page 3

14 IV) Cinématique d'un point mobile. Cinématique de Newton Un point mobile M à un mouvement rectiligne. On repère sa position sur un axe orienté, par la loi horaire de son abscisse x(t) = 5.t + 30.t + 10 pour t 0, les distances sont exprimées en m. a) Donner les expressions des mesures algébriques, en fonction du temps : i. de la vitesse v x (t). ii. de l'accélération a x (t). iii. Quelles sont les valeurs x 0 = x(0), v x0 = v x (0) et a x0 = a x (0) que prennent l'abscisse, la vitesse et l'accélération à l'instant initial? b) i. Expliquer (par une phrase) comment varie la vitesse au cours du temps, quelle est la nature du mouvement du mobile? ii. A quelle date le mouvement du mobile change-t-il de sens? iii. Quelle est l'abscisse du point de rebroussement (point où le mouvement change de sens)? c) i. Exprimer l'abscisse x en fonction de la vitesse v x. ii. Retrouver, grâce à cette relation, l'abscisse du point de rebroussement. d) i. Quelle est l'abscisse x(5) du point mobile M à l'instant de date t = 5 s? ii. Quelle est la distance d parcourue par le mobile depuis l'instant initial jusqu'à l instant de date t = 5 s? e) i. Sur papier millimétré représenter le diagramme des vitesses [t v(t)] en prenant pour échelle : en abscisse : 0,5 s 1 cm, et en ordonnée : 5 ms 1 1 cm ii. Déterminer graphiquement la date de l'instant où le mobile change de sens. V) Composition des vitesses. Un nageur veut traverser une rivière. Nous admettrons que sa vitesse de déplacement par rapport à l'eau garde toujours la même valeur v N = 0,8 m.s 1. La rivière a une largeur constante de L = 40 m. Nous admettrons que la vitesse d'écoulement de l'eau par rapport aux berges est la même en tout point de la rivière, et a pour mesure v R = 0,4 m.s 1. a) Le nageur part d'un point A de la rive droite, et nage dans une direction perpendiculaire à la berge, en direction d'un point B situé sur la rive gauche. En fait, le courant l'emporte en aval vers un point C de la rive gauche. i. Déterminer la distance BC = D. ii. Quelle est la durée t de la traversée? b) Plus tard le nageur fait une nouvelle tentative en repartant du point A. Cette fois il nage en prenant une direction vers l'amont et qui fait un angle α avec la direction AB. i. Déterminer la valeur de α pour que le nageur arrive effectivement en B. ii. Quelle est alors la durée t' de la nouvelle traversée? iii. D'après la question ) a), montrer qu'il existe une valeur maximale de la vitesse v R du courant de l'eau de la rivière, au-delà de laquelle il serait impossible au nageur d'atteindre un point B de l'autre rive, situé en face du point A de mise à l'eau. Page 4 Christian BOUVIER