1 Convergence simple et convergence uniforme

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1 Mster Métiers de l Eseigemet, Mthémtiques - ULCO, L Mi-Voi, 0/03 ANALYSE Fiche de Mthémtiques 5 - Suites et séries de foctios Soiet E et F deu espces métriques quelcoques et (f ) ue suite d pplictios de E ds F Si pour chque E l suite f () est covergete, s ite f() est ue foctio de et divers problèmes peuvet se poser, etre utres : Si les foctios f sot cotiues, leur ite f est-elle cotiue? Si les foctios f sot dérivbles (ce qui suppose que E soit u ouvert de R et F u ev), leur ite f est-elle dérivble? Plus géérlemet, si E et F sot deu ev et si les foctios f sot différetibles, leur ite f est-elle différetible? Covergece simple et covergece uiforme O désige pr X u esemble quelcoque, pr (E, d) u espce métrique et pr (f ) ue suite d pplictios de X ds E Défiitio Covergece simple O dit que l suite (f ) coverge simplemet vers l pplictio f (de X ds E) si, pour chque de X, l suite f () coverge ds E vers f() E d utres termes, l suite (f ) coverge simplemet vers f si quels que soiet ε > 0 et X, il eiste u etier N tel que l iéglité N etrîe d[f (), f()] ε, soit X, ε > 0, N N, N, N d[f (), f()] ε () Ce ombre N déped, e géérl de ε et de E eiget que N soit idépedt de, o obtiet u mode de covergece plus restrictif, ppelé covergece uiforme Défiitio Covergece uiforme O dit que l suite (f ) coverge uiformémet vers f sur X si, quel que soit ε > 0, il eiste u etier N, e dépedt que de ε, tel que, pour tout N et tout X, o it d[f (), f()] ε ε > 0, N N, X, N, N d[f (), f()] ε () Si l suite (f ) coverge simplemet (resp uiformémet) vers l pplictio f sur X, o dit pour brégrer que f est l ite simple (resp l ite uiforme) de l suite (f ) Remrque L covergece uiforme de (f ) fers f etrîe l covergece simple de (f ) vers f L réciproque est ps vrie Remrque Désigos pr Γ le grphe de l pplictio f L esemble Γ ε des poits (, y) de E F qui vérifiet l iéglité d[f(), y] < ε est ue sorte de tube etourt Γ Dire que f vérifie d[f (), f()] < ε pour tout X reviet à dire que le grphe de f est coteu ds ce tube Critères de covergece uiforme Propositio Soiet (f ) ue suite d pplictios de l esemble X ds l espce métrique (E, d) et f ue pplictio de X ds E Pour chque N o défiit m = sup d[f (), f()] X Pour que l suite (f ) coverge uiformémet vers f sur X, il fut et il suffit que l suite (m ) tede vers zéro Pour prouver que l suite (m ) ted vers zéro, il suffit de l mjorer pr ue suite coverget vers zéro ; pour prouver qu elle e ted ps vers zéro, il suffit de l miorer pr ue suite de ombres positifs e coverget ps vers zéro Pour ppliquer ces pricipes, o se borer u cs où les foctios f et leur ite f preet leurs vleurs ds u ev E : e remplçt f pr f f, o se rmèe u cs où f = 0 O éoce :

2 Propositio Soit (f ) ue suite de foctios défiies sur u esemble X à vleurs ds u ev E Pour que l suite (f ) coverge uiformémet vers zéro sur X, il suffit qu il eiste ue suite (ε ) de ombres réels, coverget vers zéro, telle que pour tout X, o it f () ε Pour que l suite (f ) e coverge ps uiformémet vers zéro sur X, il suffit qu il eiste ue suite ( ) de poits de X telle que l suite (f ( )) e tede ps vers zéro Propositio 3 Le critère de Cuchy pour l covergece uiforme Soit (f ) ue suite d pplictios d u esemble X ds u espce métrique (E, d) Pour que l suite (f ) soit uiformémet covergete, il fut qu à chque ombre ε > 0 o puisse ssocier u etier N tel que les iéglités N et p N etrîet X, d[f (), f p ()] ε (3) et cette coditio est suffiste si l espce E est complet doc, e prticulier, si E = R ou C Défiitio Soit (f ) ue suite d pplictios de l esemble X ds l espce métrique (E, d) O dir que cette suite est uiformémet de Cuchy, ou qu elle vérifie uiformémet l coditio de Cuchy si, quel que soit ε > 0, il eiste u etier N tel que les iéglités N et p N etrîet (3) Eercice Motrer que si (f ) N est ue suite de foctios uiformémet covergete vers ue foctio f sur u itervlle I lors l suite de foctios (si(f )) N coverge uiformémet vers si(f) sur I Correctio : L propriété résulte de : si(f ()) si(f()) f () f() sup f () f() I Eercice O défiit l suite de foctios (f ) N sur R pr : N, R, f () = si ( ) L suite (f ) N coverge-t-elle simplemet sur R et si oui, vers quelle foctio? L covergece de l suite (f ) N est-t-elle uiforme sur R? 3 L covergece de l suite (f ) N est-t-elle uiforme sur [, ]? Correctio : Pour = 0, o f (0) = 0 pour tout N et l suite réelle (f (0)) N ( est costte égle à 0 Pour 0, o f () = si ) et l suite réelle (f ()) N coverge vers E défiitive, l suite + de foctios (f ) N coverge simplemet sur R vers l foctio f : Pour tout N, l foctio g défiie sur R pr : ( g () = f () f() = si ) ( est impire et dérivble de dérivée g () = cos 0, cette dérivée s ult u poits,k = kπ où ) k Z vec g (,k ) = kπ O doc L covergece est doc ps uiforme sur R sup [ kπ,kπ] g () = k π pour tout k Z et sup g () = + R 3 Sur [, ], pour N l foctio g est décroisste et sup g () = g () 0 L covergece [,] + est doc uiforme Eercice 3 Soit k u etier positif ou ul et (f ) N défiie pr f () = k + Pour quelles vleurs de k cette suite coverge-t-elle uiformémet sur R? Pour quelles vleurs de k cette suite coverge-t-elle uiformémet sur toute prtie borée R? Correctio : Pour tout réel, o f () = 0 doc (f ) N coverge simplemet vers l foctio ulle Pour k = 0, + et ds R, o 0 f () = + et l suite (f ) N coverge uiformémet vers 0 sur R et sur toute prtie borée R Pour tout etier strictemet positif k, o f () = k ( + ) ((k ) + k) et /8

3 sup f () 0 = R si k =, si k =, + si k > O déduit doc que l suite (f ) N coverge uiformémet vers 0 sur R uiquemet pour k = 0 et k = Soit > 0 Pour tout [, ], o : Eercice 4 f () { si k =, f () si k O e déduit lors que l suite (f ) N coverge uiformémet vers 0 sur tout prtie borée R pour tout etier positif ou ul k Soit α > 0 et (f ) N l suite de foctios défiie sur R + pr f () = α ep( ) Doer ue coditio écessire et suffiste pour que cette suite coverge uiformémet sur R + Étudier l covergece uiforme sur tout itervlle [, + [ vec > 0 Correctio : L foctio f est dérivble vec : f () = α ep( )( ) f (0) = 0, f () = 0 et f à vleurs positives + Pour, l ( suite ) (f ) N coverge simplemet sur R + vers l foctio ulle pour tout α > 0 Avec sup f = f = α pour, o déduit que l covergece est uiforme sur R + si et seulemet R e + si α ]0, [ Pour tout > 0, il eiste u etier tel que < pour tout et sup f () = f () O e [;+ [ déduit que l suite (f ) N coverge uiformémet sur tout itervlle [; + [ vec > 0 Eercice 5 O désige pr (f ) N l suite de foctios défiies sur R + pr : N, R +, f () = si() ep( ) Motrer que cette suite coverge simplemet sur R + vers l foctio ulle Motrer que l foctio ϕ : t ϕ(t) = t ep( t) est décroisste sur [, + [ 3 Motrer que l covergece de l suite (f ) N vers 0 est uiforme sur l itervlle [ π, + [ 4 O se propose [ mitet de motrer que l covergece de l suite (f ) N vers 0 est ecore uiforme sur l itervlle 0, π ] Correctio : () Clculer, pour tout, l dérivée de l foctio f (b) Motrer que : (c) Motrer que, sur l itervlle (d) E déduire les vritios de f sur l itervlle ] 0, ], f () > 0 ], π ] ], f s ule e u uique poit [ 0, π ] (e) Motrer que l suite (f ) N coverge uiformémet vers 0 sur, π [ [ 0, π ] et sur R + Pour = 0, o f (0) = 0 pour tout N et f (0) = f(0) = 0 + Pour > 0, o f () ep() vec = 0 et doc + ep() f () = f() = 0 + L foctio ϕ est idéfiimet dérivble sur R et pour tout t, o : Cette foctio est doc décroisste sur [, + [ 3 Pour tout et π, o ϕ (t) = ep( t)( t) 0 3/8

4 f () ep( ) = ϕ() ϕ() = ep() puisque et ϕ est décroisste sur [, + [ Comme [ π [ coverge uiformémet vers 0 sur, + + ep() = 0, o déduit que (f ) N 4 () O : f () = ep( )( si() + si() + cos()) = ep( )(( ) si() + cos()) ] (b) Pour 0, ], les qutités ( ), si(),, cos() et ep( ) sot strictemet positives, doc f () > 0 ] (c) Pour, π [, o : ( f () = ep( ) cos()( ) t() ) ] vec ep( ) cos()( ) < 0 Le sige de f () sur, π [ déped doc de celui de g () = Avec g () = cos () + t() ( ) > 0, o déduit que g est strictemet croisste et ] vec g () =, g () = +, o déduit que, sur + π, π [, g s ule e u uique ] [ ] poit et o g () < 0 pour, g () > 0 pour, π [ Tet compte de : ( π ) f = ep( π ( ) π ) < 0, ], π ], f s ule uiquemet e vec f () > 0 pour ] [, et f () < 0 o déduit que sur ] pour, π ] (d) De l étude précédete, o déduit que f est strictemet croisste sur [0, ] et strictemet décroisste sur [, π (e) Avec f ] ( π vec f (0) = 0 et f ( ) > 0 et : f (o t() > pour tout D où l covergece uiforme de (f ) N sur ) = π ( ep π sup f () = f ( ) [0, π ] ) O doc : ( ) ( ) ( ( ) = ep( ) cos t ) < 0 ] 0, π [ ] ), o déduit que, [ si > et ( ) 0 < f ( ) si 0 + [ 0, π ] e déduit l covergece uiforme de (f ) N sur R + Avec sup R + 3 Limite uiforme de foctios cotiues f = m sup f, sup f, o [0, π ] [ π,+ [ Théorème 3 E et F étt deu espces métriques, soit (f ) ue suite uiformémet covergete d pplictios de E ds F Si les foctios f sot toutes cotiues e u poit de E, leur ite f est cotiue u poit Corollire 3 E et F étt deu espces métriques, soit (f ) ue suite uiformémet covergete d pplictios cotiues de E ds F Alors l foctio f = f est cotiue + Propositio 3 Etesio E et F étt deu espces métriques, soit (f ) ue suite d pplictios cotiues de E ds F, coverget vers ue pplictio f, de telle sorte que cette covergece soit uiforme sur chque prtie compcte de E Alors f est cotiue sur E 4/8

5 Propositio 3 Double pssge à l ite E et F étt deu espces métriques et A ue prtie de E, soit (f ) ue suite d pplictios de A ds F, coverget uiformémet sur A vers ue pplictio f Soit u poit d ccumultio de A tel que, pour chque N, l ite b = f () eiste Si l espce métrique F est complet, l suite (b ) ue ite b et f() ted vers b qud ted vers E d utres termes, o l formule d iterversio des deu siges : f () = f + () (les hypothèses etrît l eistece des deu membres de (3)) Théorème 3 Si (f ) N est ue suite de foctios uiformémet cotiues qui coverge uiformémet vers ue foctio f sur l itervlle I, lors l ite f est uiformémet cotiue sur cet itervlle Pour ce qui est de l itégrtio des foctios cotiues, o déduit du théorème précédet le résultt suivt Théorème 33 Si (f ) N est ue suite de foctios cotiues qui coverge uiformémet vers ue foctio f sur l itervlle I, o lors pour tout segmet [, b] I : f()d = + f ()d E fit le théorème précédet est ecore vlble ds le cdre de l itégrle de Riem O rppelle qu ue foctio f est Riem-itégrble sur [, b] si et seulemet si elle est borée et pour tout réel ε > 0 o peut trouver deu foctios e escliers g, h telles que g f h et (h() g())d < ε Théorème 34 Si (f ) N est ue suite de foctios Riem-itégrbles qui coverge uiformémet vers f sur I = [, b], lors l foctio f est Riem-itégrble sur I et o : f()d = + f ()d Théorème 35 Si (f ) N est ue suite de foctios Riem-itégrbles sur I qui coverge uiformémet vers ue foctio f sur I, lors l suite de foctios (F ) N défiie sur I pr F () = ds I, coverge simplemet sur I vers l foctio F défiie sur I pr F () = uiforme sur tout segmet [, b] I 0 f (t)dt où 0 est doé 0 f(t)dt et l covergece est Théorème 36 Soit (f ) N ue suite de foctios dérivbles sur I telle que l suite (f ) N coverge uiformémet sur I vers ue foctio g S il eiste u poit 0 I tel que l suite (f ( 0 )) N soit covergete lors l suite (f ) N coverge simplemet vers ue foctio dérivble f telle f = g et l covergece est uiforme sur tout segmet [, b] I Eercice 6 Motrer que l suite de foctios défiie sur R pr f () = cos() dmet ucue sous-suite uiformémet covergete sur R Correctio : Supposos que l o puisse etrire ue sous suite (f ϕ() ) N qui coverge uiformémet sur R vers ue foctio f L foctio f est lors cotiue et pour tous réels < b, o : f()d = + f ϕ() ()d = + [si(ϕ()b) si(ϕ())] = 0 ϕ() et f est écessiremet l foctio ulle, ce qui est e cotrdictio vec sup f ϕ() = (ou vec f(0) = R f ϕ()(0) = ) + Eercice 7 Étudier l covergece simple puis uiforme sur R des suites de foctios défiies pr f () = + et g () = f () Correctio : Pour tout réel, o : f () = = = 5/8

6 L suite (f ) N coverge doc simplemet sur R vers l foctio f : Pour tout etier et tout réel o : f () f() = + = + + et vec : + + +, o déduit que : et (f ) N coverge uiformémet vers f sur R Pour tout etier et tout réel, o g () = g () = g() = + f () f() + et : 0 si = 0 = sg () si 0 Les foctios g étt cotiues sur R, l covergece est ps uiforme puisque l ite g est ps cotiue e 0 O peut ussi vérifier ce résultt e évlut sup g () g() R Pour 0 et, o : g () g() = + = + + = + = ( ) ) + Avec + ( +, o déduit que g () g() Puis vec g (0) g(0) = 0 et g () g() =, o déduit que sup g () g() = et (g ) N e coverge ps uiformémet vers g 0 R sur R 4 Approimtio uiforme des foctios cotiues sur u segmet Le fit qu ue foctio cotiue sur u segmet y est e fit uiformémet cotiue ous doe l possibilité de costruire des suites de foctios élémetires (e escliers, ffies pr morceu ou polyomiles) qui coverget uiformémet vers cette foctio 4 Approimtio uiforme pr des foctios e escliers Théorème 4 Toute foctio f cotiue sur u segmet [, b] est ite uiforme d ue suite de foctios e escliers Théorème 4 Toute foctio f cotiue sur u segmet [, b] est Riem-itégrble Eercice 8 Lemme de Riem-Lebesgue Motrer que pour toute foctio f cotiue pr morceu sur u segmet [, b], o : + f() si()d = 0 Correctio : Il suffit de cosidérer le cs où f est cotiue sur [, b] Si (f ) N est ue suite de foctios e escliers sur [, b] qui coverge uiformémet vers f, pour tout réel ε > 0, o peut trouver u etier tel que f () f() < ε et pour tout etier m, o : sup [,b] 6/8

7 f() si(m)d (f() f ()) si(m)d + f () si(m)d (b ) sup f () f() + f [,b] () si(m)d (b )ε + f () si(m)d E désigt pr 0 = < < < p+ = b ue subdivisio de [, b] telle que sur chque itervlle [ k, k+ ] f soit costte égle à y k, o : p k+ p ( cos(mk ) f() si(m)d = y k si(m)d = y k cos(m ) k+) k m m et où C = m k=0 p y k O e déduit que k=0 De mière logue, o + k=0 f() si(m)d (b )ε + C m f() si(m)d (b )ε pour m ssez grd f() cos()d = 0 pour f cotiue pr morceu Eercice 9 Soit f ue foctio cotiue pr morceu sur u segmet [, b] Clculer l ite suivte : + Correctio : E écrivt que si () = cos(), o : + f()si ()d = f()d f() si ()d + f() cos()d = f()d 4 Approimtio uiforme pr des foctios ffies pr morceu et cotiues Théorème 43 Toute foctio f cotiue sur u segmet [, b] est ite uiforme d ue suite de foctios cotiues ffies pr morceu Théorème 44 Toute foctio ffie pr morceu et cotiue sur u segmet [, b] dmet des primitives Théorème 45 Toute foctio f cotiue sur u segmet [, b] dmet des primitives 43 Approimtio uiforme de l foctio sur [, ] pr des foctios polyomiles L pproimtio uiforme de l foctio sur [, ] pr des foctios polyomiles ous ser utile pour pprocher uiformémet toute foctio cotiue et ffie pr morceu pr des polyômes sur u segmet [, b] O itroduit l suite de foctios (P ) N défiie sur R pr P 0 () = 0 et, P + () = P () + ( (P ()) ) (4) O vérifie fcilemet pr récurrece sur 0 que chque foctio P est polyomile Théorème 46 L suite (P ) N défiie pr (4) coverge uiformémet sur [, ] vers l foctio Eercice 0 O désige pr ( ) N l suite des coefficiets qui itervieet ds le développemet e série etière de l foctio sur l itervlle ], [, soit : ], [, = =0 7/8

8 Motrer que l série est covergete E déduire que : =0 () l foctio est ite uiforme d ue suite de polyômes sur l itervlle [, ], (b) l foctio est ite uiforme d ue suite de polyômes sur l itervlle [, ] Correctio : Les coefficiets sot doés pr 0 = et pour, = b vec : b = E prticulier, les b sot positifs pour tout Pour tout ds [0, [ et tout, o 0 b k k k= ()! ( )(!) = b = E fist tedre vers, o e déduit que pour tout, o 0 covergece de l série à termes positifs =0 de d Alembert pour motrer l covergece de ()! b et celle de l série =0 k= b k, ce qui implique l Si o tete d utiliser le théorème b (tous les b sot strictemet positifs), o b = ( )(!) et b + ( + )( + )( ) = b ( + )4( + ) = + + et o e peut ps coclure E utilist le développemet ité : b + = b + = ( ) ( ( )) + = 3 + ( ), le théorème de Rbe-Duhmel ous permet de coclure qut à l covergece de b (o 3 > ) O ote (P ) N l suite de polyômes défiie pr P () = () Pour tout 0 et tout [, ], o : P () = k=+ k k k=0 k k R = k=+ b k 0 + ce qui implique l covergece uiforme sur [, ] de l suite de polyômes (P ) N vers l foctio (b) Pour tout ds [, ], o peut écrire que = u() vec u() = ds [0, ] et o cette covergece étt uiforme = P (u()) + 5 Limites de foctios dérivbles ou différetibles Théorème 5 E désigt u ev et I u itervlle de R, soit (f ) ue suite d pplictios dérivbles de I ds E, coverget simplemet vers ue pplictio f Pour que f soit dérivble sur I, il suffit que l suite des dérivées (f ) soit uiformémet covergete sur I et pour tout t I, o lors : f (t) = f (t), + soit : [ ] d dt f (t) + = + d dt [f (t)] (5) 8/8

9 L covergece uiforme de l suite (f ) permet doc de permuter les opértios de dérivtio et de pssge à l ite, doc d échger les siges et d + dt Propositio 5 Géérlistio : cs des pplictios différetibles E et F désigt deu ev et U u ouvert de E, soit (f ) ue suite covergete d pplictios différetibles de U ds F, telle que l suite (f ) de leurs différetielles soit uiformémet covergete sur U (ces différetielles étt cosidérées comme des pplictios de U ds L(E, F )) Alors l pplictio f = f est différetible + sur U et, pour chque U, o 6 Théorème de Weierstrss f () = f () + Théorème 6 Toute foctio cotiue sur u segmet [, b] est ite uiforme d ue suite de polyômes Eercice EXERCICE SYNTHÉTIQUE Étt doé deu ombres réels positifs ou uls et b, o oter ( ) et (b ) les suites défiies pr 0 =, b 0 = b et, pour 0, pr : + = + b, b + = b Si = et b = vec 0 lors et b sot des foctios de qu o oter respectivemet u et v () Démotrer que pour et b, o : { 0 b b + < + < Que devieet ces iéglités si = b? + b + ( b ) (b) Démotrer que les deu suites ( ) et (b ) sot covergetes et qu elles ot l même ite O oter M(, b) cette ite commue et f l foctio umérique défiie sur [0, + [ pr f() = M(, ) (c) Démotrer que, quels que soiet les réels 0, b 0, λ 0 et quel que soit l etier turel, o : M(, b ) = M(, b) M(, b) = M(b, ) M(λ, λb) = λm(, b) ( ) b E déduire que, pour > 0, o M(, b) = f (d) Démotrer que, pour tout 0, les foctios u et v sot cotiues (e) Démotrer que, pour tout et tout 0, o : (f) E déduire que l foctio f est cotiue 0 u () f() (g) Démotrer que pour tout 0, o f() + E déduire que l foctio f est dérivble u poit = (h) Clculer f(0) L foctio f est-elle dérivble e ce poit? Le grphe de f -t-il ue tgete u poit d bscisse ulle? ( ) (i) Démotrer que, pour tout > 0, o f() = f (j) Démotrer que le grphe de f présete ue brche prbolique, dot o préciser l directio qud ted vers + (k) Démotrer que, pour tout 0, les foctios u et v sot croisstes E déduire que l foctio f est croisste O restreit désormis les foctios u et v à l itervlle ]0, [ O oter w l foctio défiie sur ]0, [ pr w = ( ) u v et k l foctio défiie sur ]0, [ pr k = u l w 9/8

10 ( + b () E remrqut que M(, b) = M, ) b 0, o E déduire que, pour tout etier 0, o : (b) Démotrer que, pour tout ]0, [, o : et que w + = u v, démotrer que pour tout etier M(u +, w + ) = M(u, w ) M(u (), w ()) = f( ) + f ( ) w () u () = f( ) f() w () (c) Démotrer que, pour tout ]0, [, o + u () = 0 E remplçt f pr u équivlet ds le résultt de l questio précédete, e déduire que, pour tout ]0, [, o : + k () = π f() f( ) (d) Démotrer que, pour tout 0, les foctios u, v, w et k sot cotiumet dérivbles sur ]0, [ et que, pour tout, o u > 0 et v > 0 (e) Démotrer que l foctio k v est idépedte de (o pourr utiliser l reltio w + = u v ) (f) Déduire du résultt précédet que, pour tout 0 et tout ]0, [, o : k () = v () ( ) (g) Démotrer que l suite de foctios (k ) coverge uiformémet sur tout compct de ]0, [, vers l foctio : f () ( ) (h) Démotrer que l foctio f () ( ) est l dérivée de l foctio π f() f( ) ( ) (i) Clculer directemet cette dérivée et e déduire, e fist = que π = f 3 ( ) f 3 Pour tout, o oter y l foctio défiie sur ]0, [ pr y = u v et z l foctio défiie sur ]0, [ pr z = v u O ote K u compct de ]0, [ () Démotrer que y et que l suite de foctios (y ) coverge uiformémet vers sur K (b) Démotrer que, pour tout, o y + = + y y + y z z + = ( + z ) y (c) Démotrer que z E déduire que u v et que l suite de foctios (u ) est décroisste (d) Démotrer que, pour tout, o y + z + y y E déduire que l suite de foctios (z ) coverge uiformémet vers sur K (e) Démotrer que v +() v () si ( y () ) z () et que cette derière iéglité est z () stisfite à prtir d u rg 0 idépedt de ds K E déduire que, pour tout 0, o u u + v + v sur K et que les suites (u ) et (v ) coverget uiformémet sur K Correctio : () Remrquos que (, y) R +, + y y = ( y) et ( y) y + y = y Il e résulte que 0 + y y y et que les iéglités sot e fit strictes si et y sot différets O églemet mi(, y) = (mi(, y)) mi(, y) m(, y) = y vec églité si et seulemet si = y ou bie y = 0 De même, + y mi(, y) + m(, y) = m(, y) vec églité si et seulemet si = y E coclusio, 0/8

11 0 mi(, y) y + y m(, y) vec églité prtout si = y, églité seulemet ds les deu premières iéglités si y = 0 et ulle prt ds les utres cs Il e résulte que si et b sot défiis et si 0 b < lors { 0 b b + < + < + b + < ( b ) vec iéglités strictes si b 0 Soit doc (H ) l propriété : et b eistet et 0 b < (H ) est vrie puisque = + b et b = b sot bie défiis et 0 mi(, b) b < < m(, b) Si (H ) est vrie lors 0 b b + < + < et doc (H + ) est vrie Il e résulte que (H ) est vrie pour tout etier supérieur à et doc que les iéglités de l éocé sot vries pour tout tel Si mitet = b lors, pour tout etier, o = b = = b Les iéglités devieet doc 0 b = b + = + = et + b + = b = 0 (b) O déduit des résultts précédets que (b ) croît et que ( ) décroît O ussi pour tout, 0 b ( b ), ce qui prouve pr ecdremet que l suite ( b ) ted vers 0 Les deu suites sot doc djcetes, elles coverget et ot même ite M(, b) Remrquos que M(, b) [b, ] pour (c) L ite commue des suites ( k ) k et (b k ) k est M(, b ) mis ussi M(, b) Pr uicité de l ite o doc M(, b ) = M(, b) Soiet ( ) et (b ) les suites défiies pr 0 =, b 0 = b Soiet ( ) et (b ) les suites défiies pr 0 = b, b 0 = O = et b = b L églité précédete doe doc M(b, ) = M(, b ) = M(, b) Efi, si ( ) et (b ) sot les suites défiies pr 0 = λ, b 0 = λb, ue récurrece immédite motre que = λ et b = λb pour tout O e déduitm(λ, λb) = λm(, b) E pret λ = (, o obtiet M(, b) = M, b ) ( ) b = f (d) Pour tout R + et tout N, o u 0 () =, v 0 () =, u + () = (u () + v ()), v + () = u ()v () Pr récurrece, o déduit fcilemet que les foctios u et v sot cotiues (e) O déduit de () que, pour tout R + et tout N, o 0 v () f() u () et 0 u () f() u () v () (u () v ()) Or u () v () = ( ) = ( ) +, d où 0 u () f() (f) Soit A > 0 Pour tout [0, A] et tout N, o : 0 u () f() ( + A) Comme ( (+A)) ted vers 0 idépedmmet de, l suite de foctios (u ) coverge uiformémet vers f sur tout compct de R + Les u étt cotiues, l foctio f est cotiue sur R + Soit R + et ε R + ; pour h et N, o f( + h) f() u ( + h) u () + u ( + h) f( + h) + u () f() u ( + h) u () + ( h + ) u ( + h) u () + ( + h ) Soit doc tel que ( + ) ε et α tel que 0 α et (pr cotiuité de u e ) tel que h ] α; α[ [ ; + [, u ( + h) u () ε O lors ( y R + ) y α f() f(y) ε et doc f est cotiue e Il e résulte que f est cotiue sur tout R + (g) Pour tout de R, o v () = f() u () = ( + ) Comme f() =, o peut doc écrire = f() f() ( ) + Ceci prouve que f () eiste et vut /8

12 (h) O v (0) = 0 pour tout N, d où f(0) = v (0) = 0 D près ce qui précède, pour tout + R +, f() f() d où = + L foctio f est doc ps dérivble e 0 Cepedt, 0 + comme elle est cotiue, so grphe présete ue demi-tgete verticle u poit d bscisse ulle ( ) ( ) b (i) D près (b), M(, b) = M(b, ) = f Avec = > 0 et b =, o obtiet f() = f (j) L iéglité f() prouve que f() = + Pour tout + R +, f() ( ) = f Comme f est ( ) f() cotiue e 0, il e résulte + = f = f(0) = 0 Le grphe de f présete doc ue + brche prbolique ds l directio de 0 (k) Soit (H ) l propriété : u et v sot croisstes (H 0 ) est vrie cr u 0 = et v 0 = Id Si (H ) est vrie,, l somme et le produit de foctios croisstes l étt églemet, u + et v + sot croisstes Il e résulte que, pour tout etier, u et v sot croisstes E prticulier et doc, e psst à l ite sur, c est-à-dire que f est croisste (, y) R +, N, y u () u (y) (, y) R +, y f() f(y) D près (), o sit que pour ]0, [ et N, 0 < v () < u () < Pr suite, w est défiie et à vleurs ds ]0, [ et k est défiie ( + b () O d bord M(, b) = M(, b ) = M, ) b et w + = u + v + = (u + v ) 4u v = (u v ) = u v Notos ecore que si = u + v et b = u v, o ( + b) = u et b = w Pr suite, ( M(u +, w + ) = M(u +, w + ) = M(u + v, u v ) = M u, ) u v = M(u, w ) Pr ue récurrece fcile, o peut motrer que M(u (), w ()) = M(u 0 (), w 0 ()) O déduit le derier résultt de M(u 0 (), w 0 ()) = M(, ) = f( ) (b) L églité précédete s écrit ecore f( ( ) ) = w () u ()f Comme u () u () = f() > 0, + o : ( ) w () + f = f( ) u () f() (c) O u () = f() > 0 et w () = 0, d où + + O supposer cquise l équivlece : ( ) w () f u () π + l et e comprt vec l questio précédete, il viet : w () + u () = 0 ( w() u () ) = π k () k () = π f() + f( ) (d) Ue récurrece fcile motre que u et v sot C pour tout de N Il e est doc de même de w et k Puisque u () =, v () =, u + = (u + v ), v + = (u u v v + u v ), ue récurrece fcile motre que u > 0 et v > 0 pour tout (e) O d ue prt et d utre prt k v = ( ) u v w = ( u u w v u k + v + O costte bie isi que k () v () ( u u v v )) w = ( u + v u v ) u v u + v u v est idépedt de = u v u v u v w = u v u v u v w /8

13 (f) Il e résulte k v = k 0() v0 () = ( ) (g) O sit que 0 f() v () ( ) 0 < f() + v () (v f u 0 = ), o e déduit ]0, [, N, 0 f () v () + pour ]0, [ et N Comme o ussi D utre prt l foctio ( ) est cotiue sur tout compct K de ]0, [ doc tteit sur K s bore iférieure α qui, de ce fit, est strictemet positive Filemet, K, N, 0 f () v() ( ) L covergece uiforme demdée e résulte ussitôt + α (h) Appliquos le théorème de dérivtio des suites de foctios à (k ) (k ) coverge simplemet vers l foctio k : π f() f( ) N, k est C sur ]0, [ (k ) coverge uiformémet sur tout compct de ]0, [ vers f () ( ) = k() Il e résulte que k est C sur ]0, [ (ce que l o svit déjà) et que k () = ( π (i) k () = ( ) k = π f() ( ) π = f 3 ( ) f ) = π f ()f( ) + f()f ( ) f( f ( ( ) ) f ( ) mis ussi, d près l questio précédete, k f f () ( ) ( ) O doc, pour =, = f ( ) 3 () O déjà vu que pour ]0, [ et N, 0 < < v () < u () < et 0 u () v () D où : (b) y et 0 y () L foctio étt borée sur le compct K de ]0, [, l suite de foctios (y ) coverge uiformémet vers sur K y + = u + = v + z + = u + v u v u v + u v u v (u + v ) = (c) z () = v () u () = > Supposos z, o : z + = ( y )(z y ) y ( + z ) O isi démotré pr récurrece z pour O doc v u = + y y + y z y ( + z ) 0 cr y et, comme o sit que u > 0 (questio (d)), o e déduit v u Or u + = (u + v ), o doc u + u : l suite (u ) est croisste (d) O z + y + = y z + y z y ( + z ) y y z + = y ( + z ) 0 = ( y )( z ) y ( + z ) 0 y y y O e déduit : N, 0 z + y De 3() o déduit que (z ) coverge uiformémet sur K vers l foctio d où 3/8

14 (e) v + v = u v + u v v = u v d où d = u u v v + u v v u v Or, u v > 0 doc d u = + y z z y z ( y ) z + de sorte que v + v 0 ( y ) z v z D utre prt, de l covergece uiforme sur K de (z ) vers, o déduit l eistece de 0 N tel que : 0, K, 0 z () Comme o vu à l questio précédete que y y z, o e déduit pour 0 et K, ( y ) z () z () z () Pr suite, pour 0 et K, u () u +() v +() v () Soit mitet ε > 0 Puisque l suite (z ) coverge uiformémet vers sur K, il eiste N tel que, pour tout, o it 0 sup(z () ) ε e ott M 0 u mjort de l foctio K M 0 cotiue v 0 sur K O lors, pour = m( 0, ) et K, 0 v () u () = (z () )u () ε M 0 v () ε M 0 v 0 () ε Cel prouve, que pour chque de K, les suites (u ()) et (v ()) sot djcetes Notos l() leur ite commue Pour tout et tout de K, o 0 l() u () v () u () ε ce qui prouve l covergece uiforme sur K de l suite (u ) O procède de même vec (v ) 7 Séries de foctios Défiitio 7 Soit X u esemble quelcoque et (u ) ue suite d pplictios de X ds u ev E et, pour chque N soit S l pplictio de X ds E défiie pr S () = u k () Si l suite (S ) est uiformémet covergete sur X, o dit que l série k=0 u est uiformémet covergete sur X Théorème 7 Soit (u ) ue suite d pplictios d u espce métrique X ds u ev E Si l série u est uiformémet covergete sur X et si chcue des foctios u est cotiue u poit de X (resp cotiue sur X) lors l foctio S : =0 u () est cotiue u poit (resp cotiue sur X) Propositio 7 Soiet X u espce métrique, A ue prtie de X et (u ) ue suite uiformémet covergete d pplictios de A ds u ev complet E Soit u poit d ccumultio de A tel que, pour chque N, l ite v = u () eiste Alors l série v est covergete, s somme S = v est l ite, lorsque ted vers, de S() = =0 u () E d utres termes, =0 u () = =0 =0 u () (6) Propositio 7 Dérivtio terme à terme d ue série Soit I u itervlle de R et (u ) ue suite d pplictios dérivbles de I ds u ev E telle que l série u soit simplemet covergete Si l série u formée vec leurs dérivées est uiformémet covergete sur I, lors l foctio S : t =0 u (t) est dérivble sur I et o S (t) = =0 d d u (t) = dt dt [u (t)] =0 =0 u (t) soit : 4/8

15 L covergece uiforme de l série u permet doc d échger les siges et d, c est-à-dire de permuter dt les opértios de sommtio et de dérivtio : o dit que l dérivée de l foctio S s obtiet e dérivt terme à terme l série u Propositio 73 Soit I u itervlle de R et (u ) ue suite d pplictios de I ds u ev complet E telle que l série u formée vec leurs dérivées soit uiformémet covergete sur I Pour que l série u soit simplemet covergete sur I, il fut et il suffit que, pour u poit t 0 de I, l série u (t 0 ) soit covergete et l covergece de u est lors uiforme sur toute prtie borée de I 8 Critères de covergece uiforme pour les séries Propositio 8 Critère de Cuchy pour les séries Soit (u ) ue suite d pplictios d u esemble X ds u ev E Pour que l série u soit uiformémet covergete sur X, il fut qu à chque ombre ε > 0 o puisse ssocier u etier N tel que, pour tout X et tous etiers et p vérifit p > N, o it : u + () + u + () + + u p () ε et cette coditio est suffiste si E est complet (doc e prticulier si E est de dimesio fiie) Remrque 8 L somme de deu séries uiformémet covergetes est uiformémet covergete Si λ est u sclire fie, l covergece uiforme de l série u () etrîe celle de λu () Si ϕ est ue foctio sclire sur X, l covergece uiforme de l série u () etrîe ps écessiremet celle de ϕ()λu () Défiitio 8 Covergece ormle Soit (u ) ue suite d pplictios d u esemble X ds u ev E O dit que l série u est ormlemet covergete sur X s il eiste ue série umérique covergete, soit v, telle que pour tout N et tout X o it u () v Théorème 8 Soit E u ev complet Pour qu ue série de foctios, à vleurs ds E, soit uiformémet covergete, il suffit qu elle soit ormlemet covergete Eercice Eemples et cotre-eemples Pour 0, o pose u () = + Motrer que l série Motrer que l série ( ) u () coverge uiformémet sur R +, mis que l covergece est ps ormle Correctio : = = u () coverge simplemet sur R +, mis que l covergece y est ps uiforme Il est très fcile de prouver l covergece simple sur R + Pour = 0, o e effet u (0) = 0, qui est bie le terme géérl d ue série covergete Pour > 0, o u (), qui est ussi le terme géérl d ue série covergete Il est e revche beucoup plus difficile de prouver l o-covergece uiforme O peut procéder de l fço suivte Supposos que l covergece est uiforme Alors, pour tout ε > 0, il eiste u etier N tel que, pour tout N, et tout R +, o it + 5/8

16 k= E prticulier, pour = N et = N, o doit voir + k 5, et doc + k Il viet doc 5 ε k= u ε k= u () 5 = 5 u k (N) ε Mis, pour k, o Bie sûr, si ε < /5, c est impossible (Cette prtie de l démostrtio est souvet rédigée e it le critère de Cuchy uiforme) Nous llos prouver l covergece uiforme e utilist le critère des séries lterées E effet, à fié, l suite (u ()) est positive, décroisste et ted vers 0 L série l mjortio du reste : k= k= ( ) u () u () = + ( ) u () est doc covergete, et o Reste à mjorer le membre de droite de l équtio précédete pr u terme qui ted vers 0 et e déped ps de Mis o O doc bie covergece uiforme sur R + D utre prt, si o vit covergece ormle sur R +, lors o urit ussi covergece ormle de l série = série, ce qui est ps le cs d près l première questio Eercice 3 Série lterée O cosidère l série de foctios S() = = ( ) + Prouver que S est défiie sur I =], + [ Prouver que S est cotiue sur I u () sur R +, doc covergece uiforme de cette même 3 Prouver que S est dérivble sur I, clculer s dérivée et e déduire que S est croisste sur I 4 Quelle est l ite de S e? e +? Correctio : ( ) Il est clir que l suite, pour > fié, est positive, décroisste et ted vers 0 Pr pplictio + du critère des séries lterées, l série est covergete pour tout > Posos u () = ( ) + Nous vos vérifié à l questio précédete que, pour > fié, l série u () vérifie le critère des séries lterées Pr coséquet, o sit que so reste R () vérifie R () u + () + + Puisque >, o e prticulier R () Ceci ted vers 0 (idépedmmet de ), de sorte qu o prouvé l covergece uiforme de l série u () sur I Puisque chque foctio u est cotiue, l foctio S est cotiue sur I 3 Chque foctio u est dérivble sur I vec u () = ( )+ De même qu à l questio précédete, pour ( + ) > fié, l série = De plus, si o ote T () = u () est covergete cr elle vérifie les coditios du critère des séries lterées k=+ u k() so reste, o R () ( + + ), iéglité vlble pour tout > O peut doc mjorer uiformémet le reste pr ue qutité qui ted vers 0 : l série dérivée 6/8

17 est uiformémet covergete O e déduit que l foctio u est dérivble, et que s dérivée est doée pr ( ) + De plus, o sit qu o peut ecdrer l somme d ue série lterée pr deu sommes prtielles ( + ) cosécutives, pr eemple ici 0 ( + ) ( + ) u () ( + ) E prticulier, l dérivée est positive et l foctio est croisste 4 Puisque l série coverge uiformémet sur ], + [, o peut utiliser le théorème de permuttio des ites N à l fois e et e + Si o ote S N () = u () chque somme prtielle de S, o remrque que = S N () = tdis que S N () = Pr le théorème d iterversio des ites, o coclut que Eercice 4 Pour > 0, o pose S() = S() = tdis que S() = = Motrer que S est défiie et cotiue sur R + Étudier l mootoie de S + 3 Détermier l ite e + de S puis u équivlet de S e + 4 Détermier u équivlet à S e 0 Correctio : O pose f () = Soit > 0, + vec > 0 Les f sot cotiues sur R + f,[,+ [ + L série de foctios f coverge ormlemet sur [, + [ doc coverge uiformémet sur tout segmet de ]0, + [ O peut doc coclure que S est bie défiie et cotiue Chque f est décroisste doc S ussi 3 Pr covergece ormle sur [, + [, O remrque f () + = f () = + Posos g : g [0,+ [ = L série de foctios Pr suite, S() 4 L foctio t Or π + 6 t( + t) + doc S() 0 l() = g () = π et S() + 6 = f () = 0 + ( + ) L foctio g croît de 0 à sur R + doc g coverge ormlemet sur R + doc = g () = + = = π 6 est décroisste doc pr compriso somme-itégrle + dt t( + t) = dt + t( + t) + = u () dt t( + t) ( t ) [ ( )] + t dt = l = l() + t + t 7/8

18 9 Autres critères Propositio 9 Soit (u ) ue suite de foctios umériques ou complees, défiies sur u même esemble X, de l forme : u () = ε ()v () vec ε () > 0 Pour que l série u () soit uiformémet covergete sur X, il suffit que les coditios suivtes soiet vérifiées : Pour chque X, l suite ε () est décroisste L suite ε () ted uiformémet vers zéro lorsque ted vers + 3 Il eiste u ombre A tel que l o it v k () A quels que soiet X et N k=0 Théorème 9 Théorème d Abel Soit E u ev complet et ( ) ue suite d élémets de E telle que l série r est uiformémet covergete sur l itervlle 0 r soit covergete Alors l série Référeces [] Jcquelie LELONG-FERRAND, Je-Mrie ARNAUDIÈS Cours de mthémtiques Tome, Alyse, 4ème éditio [] Je-Etiee ROMBALDI Suites de foctios http ://www-fourierujf-greoblefr/ rombldi/cpes/alysechp6pdf [3] CAPES de Mthémtiques 995 ère compositio 8/8