Applications des maths

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1 Applications des maths Série de Taylor Exercices préalables Exercice a) On considère le polynôme p(x) = x 4 + x 3 + x + x +. Déterminer la valeur de p(0), p'(0), p''(0), p'''(0), p (4) (0), p (5) (0), p (6) (0) b) On considère le polynôme p(x) = 3x 4 + 5x 3 + x + 3x + 7. Déterminer la valeur de p(0), p'(0), p''(0), p'''(0), p (4) (0), p (5) (0), p (6) (0) c) On considère le polynôme p(x) = ax 4 + bx 3 + cx + dx + e. Déterminer la valeur de p(0), p'(0), p''(0), p'''(0), p (4) (0), p (5) (0), p (6) (0) d) On considère le polynôme p(x) = a n x n + a n- x n- + + a 3 x 3 + a x + a x + a 0 Donner la valeur de p (k) (0) e) Trouver un polynôme p de degré 5 tel que p(0) = 7, p'(0) =, p''(0) = 3, p'''(0) = 5, p (4) (0) =, p (5) (0) = Exercice Esquisser le graphe de f(x) = e x sur l'intervalle [ ;] puis a) Trouver une fonction polynôme g (x) de degré telle que g (0) = f(0) et g '(0) = f'(0) b) Trouver une fonction polynôme g (x) de degré telle que g (0) = f(0), g '(0) = f'(0) et g ''(0) = f''(0) c) Trouver une fonction polynôme g 3 (x) de degré 3 telle que g 3 (0) = f(0), g 3 '(0) = f'(0), g 3 ''(0) = f''(0) et g 3 '''(0) = f'''(0) d) Trouver une fonction polynôme g 4 (x) de degré 4 telle que g 4 (0) = f(0), g 4 '(0) = f'(0), g 4 ''(0) = f''(0), g 4 '''(0) = f'''(0) et g 4 (4) (0) = f (4) (0) Comparer f() et g 4 (), f() et g 4 (), f(-) et g 4 (-). Esquisser les graphes de g, g, g 3 et g 4 dans le même repère que le graphe de f. Trouver l'expression d'une fonction polynôme g n (x) de degré n telle que : g n (k) (0) = f (k) (0) pour k = 0,,...,n Exercice 3 Tracer, avec Mathematica, le graphe des fonctions : f(x) = sin(x) f (x) = x f (x) = x x 3 /6 f 3 (x) = x x 3 /6 + x 5 /0 f 4 (x) = x x 3 /6 + x 5 /0 x 7 /7! f 5 (x) = x x 3 /6 + x 5 /0 x 7 /7! + x 9 /9! f 6 (x) = x x 3 /6 + x 5 /0 x 7 /7! + x 9 /9! x /! OS Application des maths Séries de Taylor, p

2 Séries de Taylor Une fonction f, n + fois dérivable sur un intervalle contenant 0, peut s'écrire : n ( k ) ( n+ ) f (0) k f () c n+ f = x + Rn où Rn = x avec c [0; x]. k! ( n + )! k= 0 n ( k ) f (0) k Le polynôme tx ( ) = x est appelé développement limité de Taylor d'ordre k= n de la fonction f x x x x + 6 5! x x x x x ! 7! 9! sin 3 x x x x x 6 x + 6 5! 7! Le reste R n (x) permet de mesurer l'erreur commise dans l'évaluation de la valeur de f(a) lorsque l'on remplace f par son développement limité de Taylor d'ordre n. ( n+ ) n+ f () c n+ x ( n+ ) Rn = x sup f ( t) ( n+ )! ( n+ )! t [0; x] On constate que l'erreur commise en remplaçant f par son développement limité de Taylor d'ordre n dans l'estimation de f(a) est d'autant plus petite que a est proche de zéro. On a ( n) n ( k) f ''(0) f '''(0) 3 f (0) n f (0) k f f(0) + f '(0) x+ x + x + + x = x. 3! n! k= Le polynôme ( n) n ( k) f ''(0) f '''(0) 3 f (0) n f (0) k f (0) + f '(0) x+ x + x + + x = x 3! n! k= est le développement limité de Taylor d'ordre n de la fonction f. Exemple Le développement d'ordre n de la fonction exponentielle est le suivant : 3 n n+ x x x x x x c e = e, avec c compris entre 0 et x.!! 3! n! ( n+ )! OS Application des maths Séries de Taylor, p

3 L'erreur obtenue en calculant une approximation du nombre e = e à l'aide du développement nx ( ) = est théoriquement inférieure à!! 3! 3 0 x x x x 0! R 0 c e () = e < 6,8 0!! 8 Ce calcul est toutefois limité par la précision de la machine, et, en pratique, dans le calcul de chaque terme est entaché d'erreur et chaque calcul de somme générer une imprécision si bien que l'erreur relative effective est plus!! 3! 0! k! grande que prévue. Exemple de programme calcul de e = !! 3! 4! Dim terme As Double Dim somme As Double Private Sub Command_Click() Let somme = 0 : terme = : k = 0 Do DoEvents Let somme = somme + terme Let k = k + Let terme = terme / k Loop Until somme = somme + terme Let Label.Caption = "e = " & somme Exercice 4 Donner les 4 premiers termes du développement de Taylor de la fonction a) f = sin b) f = sin( x ) c) f = tan d) f = + x Exercice 5 Établir le développement limité d'ordre n des fonctions f suivantes et expliciter le reste. n ( k ) f (0) k Pour quelles valeur de x la formule f = x + Rn est elle valable? k= x x a) f = (e + e ) b) ( ) e x f x = x c) f = x d) f = ln( + x) e) f = + x OS Application des maths Séries de Taylor, p 3

4 Exercice 6 a) Écrire un programme qui calcule une approximation de e x pour un x donné. b) Écrire un programme qui calcule une approximation de sin(x) et cos(x) pour un x donné. Exercice 7 a) Calculer les premières dérivées de la fonction y =arctan(x), en déduire l'égalité x x x x x arctan( x ) = + + pour x compris entre et b) La convergence de la série de Leibniz ( π = arctan() = ) est trop lente pour fournir une bonne méthode de calcul de π, mais, en utilisant l'égalité arctan() = arctan( ) + arctan( 3 ) on obtient une meilleure méthode pour calculer π. Démonstration de la formule arctan() = arctan( ) + arctan( ) 3 arctan( ) = α, arctan( ) = β 3 tan(α) = et tan(β) = 3 5 tan( α) + tan( β ) π tan( α + β) = = = = α + β = 5 tan( α)tan( β) Écrire un programme qui calcule S = arctan( ) et S = arctan( 3 ) à l'aide de leurs développements en séries de Taylor puis qui affiche une estimation de π = 4(S + S ). Exercice 8 x La fonction phi, utile en statistique, est définie par : Φ = + e 0 π a) À partir du développement de Taylor de e x, trouver celui de e t puis, par intégration, celui de Φ. b) Programmer le calcul de la fonction Φ pour x = 0.5, x =, x =.5,, x = 3.5 et comparer les résultats avec ceux indiquer dans le formulaire (page 3) t dt OS Application des maths Séries de Taylor, p 4

5 Multiprécision But : écrire des programmes qui calculent un nombre important de décimales de nombres particuliers tels que e ou þ à l'aide de développement en séries de Taylor. Pour calculer les 000 premières décimales du nombre e à l'aide du développement en x 3 n série de Talor e = + x + x + x + + x + Rn, donc e , 3! n! 3! n! e il faut que R n() <, donc que <. Ceci est vérifié si n = 449. On ( n + )! 0 obtient donc les 000 premières décimales de e en calculant e ! 449! Il est nécessaire pour ce calcul, de créer des variables multiprécises qui peuvent contenir beaucoup de décimales. On utilise pour cela des variables indicées (ou listes). Si V est une variable indicée utilisée pour décrire un nombre multiprécis, V(0) contiendra la partie entière de ce nombre, V() contiendra sa re décimale, V() sa deuxième décimale, etc. Le nombre þ, par exemple, sera enregistré dans une variable multiprécise P sous la forme : P(0) = 3, P() =, P() = 4, P(3) =, P(4) = 5, P(5) = 9,, P(000) = 8, Rappel : une variable indicée P doit être déclarée dans la partie Générale du programme par l'instruction Dim P(000) As Integer par exemple. Pour pourvoir effectuer des calculs avec des multiprécis, il est encore nécessaire de créer des procédures qui effectuent les opérations de base des variables multiprécises. Il faudra, par exemple créer une procédure Somme qui calcule la somme de deux multiprécis et enregistre le résultat dans un troisième multiprécis. Exercice 9 Écrire une procédure qui affiche un multiprécis contenu dans une variable indicée. Précisions et indications Pour tester la procédure, écrire une autre procédure qui crée un multiprécis choisi au hasard. La structure du programme est donnée dans le cadre ci contre. La variable nd contient le nombre de décimales des multiprécis (0000 au maximum) Dim M(0000) as Integer Dim nd As Integer Sub affiche(a) Sub hasard(a) Private Sub Comand_Click() Let nd = 000 Call hasard(m) Call affiche(m) OS Application des maths Séries de Taylor, p 5

6 Afficher le résultat dans une zone de liste (50 ou 00 nombres par lignes) en groupant les décimales par groupe de 0. Remarque : il faut créer une variable, par exemple T, qui contient chaque ligne à afficher. Exercice 0 La procédure Somme(A,B,C) donnée dans le cadre ci-contre calcule la somme de multiprécis A et B et assigne le résultat à C. a) Comprendre ce programme b) Écrire une procédure metaun(a) qui attribue la valeur au multiprécis A. Sub somme(a,b,c) Let retenue = 0 For i = nd To 0 Step - Let C(i) = A(i)+B(i)+ret If C(i) > 9 Then Let ret = Let C(i) = C(i)-0 Else Let ret = 0 End If Next i c) En s'inspirant de la procédure Somme(A,B,C), écrire une procédure quotient(a,k,b) qui assigne à la variable multiprécise B le quotient d'un multiprécis A par un nombre entier k. d) Créer une fonction Nul(A) (Function nul(a) As Boolean) qui prend la valeur Vrai (True) si le multiprécis A vaut 0 et la valeur Faux (False) sinon. e) Écrire un programme qui utilise les procédures multiprécises Somme(A,B,C), quotient(a,k,b), metaun(a) et la fonction Nul(A) pour calculer le nombre e avec 000 décimales. Exercice Écrire un programme qui calcule les 000 premières décimales du nombre π. OS Application des maths Séries de Taylor, p 6