Licence Sciences de la Terre et Environnement OUTILS MATHÉMATIQUES. (Notes de cours du semestre 1) Université de Nice Sophia Antipolis

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1 OUTILS MATHÉMATIQUES (Notes de cours du semestre 1) Université de Nice Sophia Antipolis

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5 Avertissement Ce polycopié rassemble les notes de votre cours que vous allez suivre en première année de licence des Sciences de la Terre de l Université de Nice Sophia Antipolis. Il est constitué pour l essentiel par des rappels de notions et de règles de calcul que vous avez normalement déjà abordé au lycée. Seuls quelques aspects du dernier chapitre portant sur la dérivation des fonctions de plusieurs variables peuvent représenter des choses vraiment «nouvelles». De nombreux exemples et exercices corrigés illustrent des points importants et, à la fin de chaque chapitre, une liste d exercices vous est proposée vous permettant de vous entraîner. En général, ces exercices ne seront pas ceux traités lors des séances de travaux dirigés, mais tout comme les exemples donnés dans le texte, ils pourront, à l occasion, servir de sujet de contrôle ou de travail rédigé à rendre. La version électronique couleur est disponible sur votre environnement pédagogique j@lon. R. Hassani

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7 Table des matières 1 Soyons logique! Quelques définitions Les modes de raisonnement Exercices Rappels sur les vecteurs Généralités Système de vecteurs libres Bases Applications linéaires de R n dans R m Matrice d une application linéaire Exercices Trigonométrie Rappels Le cercle trigonométrique Symétries Périodicité Valeurs remarquables Formulaire Résolution d équations trigonométriques élémentaires Équations se ramenant à une équation élémentaire Résolution d un triangle

8 3.2 Un peu de trigonométrie sphérique Définitions et généralités Résolution d un triangle sphérique Application : distance entre deux points de la Terre Exercices Les nombres complexes... c est simple Définitions Addition et multiplication dans C L écriture algébrique z = a + ib L écriture trigonométrique z = r(cosϕ + i sin ϕ) Représentation graphique Produit et quotient de nombres complexes L écriture exponentielle z = re iϕ Formule de Moivre Formule d Euler Racines n-ième d un nombre complexe Résolution d une équation du deuxième degré Cas où les coefficients sont réels Cas général Formulaire Exercices Fonctions de plusieurs variables Rappels et compléments sur les fonctions d une variable réelle Continuité Dérivabilité Dérivée et différentielle Cas d une fonction composée Dérivées de quelques fonctions usuelles Croissance et décroissance

9 5.1.7 Courbure Extremums Fonctions de R n dans R Deux types de représentations graphiques Continuité Dérivées partielles premières Différentielle Vecteur gradient Vecteur normal et plan tangent à une surface Dérivées partielles secondes Extremums Exercices

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11 Chapitre 1 Soyons logique! 1.1 Quelques définitions Proposition Une proposition est simplement une assertion qui affirme quelque chose. Par exemple : «Ce lapin est blanc», «a est plus grand que b», «Il y a au moins une tortue plus rapide que ce lièvre». Une proposition peut être soit vraie soit fausse. Elle ne peut pas être les deux à la fois (principe de non-contradiction) et elle ne peut pas être ni vraie ni fausse 1 (principe du tiers-exclu). Par exemple «x > 0» est vraie pour tous les nombres strictement positifs et fausse pour tous les autres nombres. Lorsqu une proposition est vraie on dit aussi qu elle est réalisée. Une proposition dont la véracité est évidente (exemple : «1 est plus petit que 2») est une tautologie. On présente dans ce qui suit les opérations de base les plus importantes que l on peut effectuer sur des propositions. Ces dernières seront notées par des lettres P, Q, R... La négation Si P est une proposition donnée, sa négation, désignée par non P, est la proposition qui est vraie si P est fausse et qui est fausse si P est vraie. 1 sauf en logique floue, technique utilisée en intelligence artificielle.

12 2 Chapitre 1 : Soyons logique! Exemple 1.1. Si P est la proposition «a est strictement plus grand que b», non P est la proposition «a est plus petit ou égal à b». Exemple 1.2. Considérons un exemple un peu plus compliqué : «Tous les camions rouges ont un gyrophare». En langage quotidien, on formulerait un peu rapidement la négation de cette proposition par «Tous les camions rouges n ont pas de gyrophare» ce qui pourrait être mal interprété. On pourrait en effet penser que si l on voit un camion rouge alors forcément il n a pas de gyrophare et il vaut mieux dire «Tous les camions rouges n on pas toujours un gyrophare». En fait, la négation se formule de façon plus claire et plus rigoureuse par «Il y a des camions rouges qui n ont pas de gyrophare» ou encore «Il existe au moins un camion rouge qui n a pas de gyrophare» comme le suggère la figure 1.1. Fig. 1.1 À gauche : illustration ensembliste de la proposition «Tous les camions rouges ont un gyrophare» (le sous-ensemble R des camions rouges est inclus dans celui G des camions possédant un gyrophare : R G). À droite : illustration de sa négation (R G). De façon plus générale, une proposition de la forme «Pour tout x dans R, on a P(x)» où x est une variable (un camion par exemple, R étant alors l ensemble des camions rouges) et P(x) est une proposition que x est susceptible de vérifier (par exemple, posséder un gyrophare) a pour négation «Il existe x dans R tel que l on a non P(x)» On peut encore écrire en utilisant les quantificateurs (quel que soit, pour tout) et (il existe, il y a), que la négation de «x R, P(x)» est «x R, non P(x)». Pour obtenir la négation, il suffit donc de changer le quantificateur ( en et inversement) et de remplacer P par non P (et inversement).

13 1.1 Quelques définitions 3 Exemple 1.3. f : R R admet un minimum global s écrit : «x 0 R, x R, f(x 0 ) f(x)» et se lit : «Il existe un réel x 0 tel que pour tout réel x, f(x 0 ) est inférieur à f(x)». Sa négation est «x 0 R, x R, f(x 0 ) > f(x)» et peut se lire : «quel que soit le réel x 0, il existe (ou on peut trouver) un réel x tel que f(x) soit plus petit que f(x 0 ). La conjonction P et Q étant deux propositions, on forme la proposition «P et Q» qui n est vraie que si les deux propositions sont simultanément vraies. Exemple 1.4. La conjonction de la proposition «pour être éligible il faut avoir plus de 18 ans» et de la proposition «pour être éligible il faut avoir un casier judiciaire vierge», peut, bien sûr, être résumée par la phrase «pour être éligible il faut avoir plus de 18 ans et avoir un casier judiciaire vierge». On comprend que si l une des deux conditions n est pas remplie on ne sera pas éligible. La disjonction P et Q étant deux propositions, on forme la proposition «P ou Q» qui est vraie si l une au moins des deux propositions est vraie. Remarquer que le «ou» n est donc pas un «ou» exclusif («P ou Q» n est donc pas la proposition «P ou bien Q» qui devient fausse si P et Q sont simultanément vraies). Noter alors que «P ou Q» n est fausse que si les deux propositions P et Q le sont toutes les deux. Exemple 1.5. x désignant un réel, si P est «x > 2» et Q est «x 3», alors «P ou Q» sera «x ] ; 3] ]2; + [». Si «P ou Q» est fausse cela signifie que P est fausse et que Q est fausse, c est-à-dire «x 2» et «x > 3», autrement dit «x ] 3; 2]». L implication Lorsque la réalisation d une proposition P entraîne la réalisation d une proposition Q on dit que «P implique Q». La nouvelle proposition notée «P Q» est fausse si P est vraie et Q est fausse. Elle est vraie dans tous les autres cas. «P Q» se lit aussi : «si P est réalisée alors Q se réalise», ou plus succintement «si P alors Q», ou encore «P donc Q» (bien que correcte, on évitera «Q car P»). Exemple 1.6. «Je pense donc je suis». «Socrate est un homme donc Socrate est mortel». Remarque : Par définition, si P est fausse, «P Q» est toujours vraie, que Q le soit ou non. Cela peut troubler, mais de quelque chose de faux on peut toujours déduire ce que l on veut. Ainsi, les propositions «5 est pair = 3», «Nice est en Bretagne le ciel est bleu» sont logiquement vraies.

14 4 Chapitre 1 : Soyons logique! La réciproque La proposition «Q P» est la proposition réciproque de «P Q». Exemple 1.7. f désignant une fonction dérivable en x 0, la proposition vraie «si f admet un extremum en x 0 alors f (x 0 ) = 0» n a pas, comme on le sait, une réciproque toujours vraie. f (x 0 ) = 0 est une condition nécessaire à l existence d un extremum. Par contre, ce n est pas une condition suffisante. L équivalence Deux propositions P et Q sont équivalentes, si l on a «P Q» et «Q P», ce que l on note alors par «P Q». Lorsque «P Q», on dit que Q (resp. P) est une condition nécessaire et suffisante pour P (resp. Q). On peut dire aussi que P est vraie si et seulement si Q est vraie. Exemple 1.8. ABC étant un triangle, on a «AB 2 + AC 2 = BC 2 si et seulement si ABC est rectangle en A». Exemple 1.9. Considérons l implication : «Morgane est la fille de Corinne, donc Morgane est plus jeune que Corinne». Cette implication est évidemment vraie : pour que Morgane soit la fille de Corinne, il faut (condition nécessaire) que Morgane soit la plus jeune des deux. La réciproque de cette implication est : «Morgane est plus jeune que Corinne, donc Morgane est la fille de Corinne». On voit bien que cela n est pas forcément vraie, Morgane pouvant être plus jeune que Corinne sans en être la fille. Les deux propositions ne sont donc pas équivalentes, la condition «Morgane est plus jeune que Corinne» est nécessaire mais non suffisante pour que Corinne soit sa mère. La contraposée La contraposée de «P Q» est la proposition «non Q non P». Il est important de ne pas confondre contraposée et réciproque. Il est facile de vérifier grâce à une table de vérité (voir ci-dessous) que «P Q» et sa contraposée sont deux propositions équivalentes : (P Q) (non Q non P) Exemple L implication de l exemple 1.9 : «Morgane est la fille de Corinne, donc Morgane est plus jeune que Corinne» est équivalente à l implication tout aussi évidente : «Corinne est plus jeune que Morgane, donc Corinne n est pas la mère de Morgane».

15 1.1 Quelques définitions 5 Table de vérité La table de vérité d une proposition est un tableau qui présente les différentes valeurs possibles (Vraie ou Fausse) de cette proposition. Par exemple, la table de vérité de «non P» est simplement : P V F non P F V où V signifie que la proposition est vraie et F qu elle est fausse. Voici les tables de vérité de toutes les propositions vues plus haut (P et Q, P ou Q, P Q, P Q) P Q P et Q P ou Q P Q P Q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V Deux propositions qui ont la même table de vérité (c est-à-dire qu elles prennent les mêmes valeurs dans les mêmes circonstances) sont équivalentes. Ainsi, par exemple, en dressant la table de vérité de «Q ou non P», il est facile de voir que cette proposition est équivalente à «P Q» : P Q non P Q ou non P V V F V V F F F F V V V F F V V

16 6 Chapitre 1 : Soyons logique! 1.2 Les modes de raisonnement Le mode direct C est le type de raisonnement le plus classique qui consiste à établir à partir d une proposition initiale (hypothèse) une autre proposition qui elle-même en impliquera une autre, etc, jusqu au résultat final (conclusion). Cette chaîne d implications (ou d équivalences) utilise la propriété de transitivité : si «P Q» et si par ailleurs «Q R» alors «P R». Exemple Prenons un exemple très simple : soit à demontrer que (n + 1)/(n + 2) < 1 pour tout n dans N. De l inégalité 1 < 2 on déduit que n + 1 < n + 2. Comme n + 2 > 0, on déduit de n + 1 < n + 2 que (n + 1)/(n + 2) < (n + 2)/(n + 2), doù le résultat. On a donc ici, P = «1 < 2» Q =«n + 1 < n + 2» et Q R =«(n + 1)/(n + 2) < 1». Utilisation de la contraposée On a vu que l implication P Q est équivalente à l implication contraposée non Q non P. Autrement dit, démontrer que de P découle Q revient à démontrer que de non Q découle non P ; or il est parfois plus aisé d établir cette deuxième déduction que la première. Exemple Soit à montrer que pour n Z, l assertion «n 2 est impair n est impair» est vraie. La démonstration directe est bien moins évidente que celle de sa contraposée qui est «n est pair n 2 est pair». En effet, si n est pair, n est un multiple de 2 et peut donc s écrire n = 2q (avec q Z) et alors n 2 = 4q 2, ce qui montre que n 2 est aussi un multiple de 2. Le raisonnement par l absurde Dans ce mode de raisonnement, on commence par supposer que la proposition P que l on veut démontrer est fausse, c est-à-dire à prendre comme hypothèse que sa négation, non P, est vraie. Si alors on aboutit à une contradiction logique (une absurdité), on aura montré que non P ne peut pas être vraie, donc que P l est. Exemple Reprenons l exemple 1.11 : on veut montrer que pour tout n N, l inégalité (n+1)/(n+2) < 1 est vraie. Supposons qu il n en soit pas ainsi. On peut donc trouver un nombre n N pour lequel on a (n + 1)/(n + 2) 1. Alors n + 1 n + 2 et donc 1 2 ce qui est absurde. Conclusion, il n existe aucun entier n pour lequel (n + 1)/(n + 2) 1, d où le résultat : pour tout n N on a (n + 1)/(n + 2) < 1.

17 1.2 Les modes de raisonnement 7 Le raisonnement par récurrence C est un raisonnement que l on utilise pour montrer qu une proposition P(n) dépendant d un entier n est vraie pour toute valeur de cet entier (ou à partir d une valeur n 0 de celui-ci). On procède pour cela en deux étapes : a) On vérifie que la proposition est vraie pour le premier entier (0 ou n 0 ) (c est la phase d initialisation). b) On vérifie que si P(n) est vraie alors P(n + 1) l est aussi (on vérifie que la proposition est héréditaire). On en déduit alors que P(n) est vraie quel que soit n 0 (ou n n 0 ). Exemple Reprenons à nouveau l exemple On veut montrer que pour tout n N on a la proposition P(n) : «(n + 1)/(n + 2) < 1». a) P(0) est trivialement vraie puisque 1/2 < 1. b) Supposons P(n) vraie pour un n > 0 donné. Il faut montrer P(n + 1). Mais P(n) s écrit aussi : n + 1 < n + 2. On ne change pas l inégalité si l on ajoute 1 à chaque membre : ce qui s écrit aussi ou de façon identique et qui n est rien d autre que P(n + 1). Conclusion : P(n) est vraie pour tout n N. n < n , (n + 1) + 1 < (n + 1) + 2, (n + 1) + 1 (n + 1) + 2 < 1, Exercices Exercice 1.1. Quelles sont les négations des propositions : «Toutes les filles sont belles» «Dans cette salle, il y a une personne non-fumeuse» «x R, f(x) = 0» Exercice 1.2. Montrez à l aide d une table de vérité que «P Q» est bien équivalente à «non Q non P». Exercice 1.3. De la même façon, montrez que les équivalences suivantes ont bien lieu : a) non[p et Q] non P ou non Q, b) non [P ou Q] non P et non Q.

18 8 Chapitre 1 : Soyons logique! Exercice 1.4. On considère les propositions P suivantes : a) «Si le lièvre traîne, il perdra la course». b) «Socrate est un homme donc Socrate est mortel» c) «x = 1 x 2 = 1» Pour chacune d elle, donnez la contraposée (C), la réciproque (R) puis la contraposée de la réciproque (I). Vérifiez que I n est pas équivalente à l affirmation initiale P (I est appelée l inverse de P). Pour le c), dites si chacune des implications (P, C, R, I) est vraie ou fausse dans R. Exercice 1.5. Utilisez un raisonnement par contraposée pour montrer que «si x y alors (x + 1)(y 1) (x 1)(y + 1)». Exercice 1.6. Reprendre la proposition de l exemple 1.13 en la démontrant à l aide d un raisonnement par contraposée. Bien distinguer celui-ci de la démonstration par l absurde qui en est donnée à l exemple Exercice 1.7. Galilée, dans ses réflexions sur la chute des corps, utilise pour démontrer que dans le vide les corps tombent tous à la même vitesse, un raisonnement par l absurde resté célèbre. Essayez de reproduire ce raisonnement en complétant le texte suivant : «Supposons que les corps lourds chutent plus vite que les corps légers. «Attachons alors un corps lourd à un corps léger... «... «Cependant,... «Donc, en l absence de résistance de l air, tous les corps tombent à la même vitesse.» Exercice 1.8. Considérons la proposition P(n) : «Dès qu un enclos contient n chevaux, ceux-ci sont tous de la même couleur». Cette proposition est d évidence fausse, mais sauriez-vous dire pourquoi le raisonnement par récurrence, donné ci-dessous et qui semble la démontrer, n est pas correct? Initialisation : s il n y a qu un cheval la proposition est vraie. Supposons P(n). Il faut montrer P(n+1). Soit donc n + 1 chevaux dans l enclos. Faisons sortir de l enclos un de ces chevaux, disons que c est Jolly Jumper. L enclos en contient donc n et par hypothèse ils sont tous de la même couleur, grise pour se fixer les idées. Remettons Jolly Jumper dans l enclos et sortons en un autre à la place, disons Tornado (qui est donc gris!). À nouveau, l enclos contient n chevaux et d après P(n) ils sont tous de la même couleur grise. Ainsi, Jolly Jumper est gris et nos n+1 chevaux sont donc tous gris. D où P(n + 1).

19 Chapitre 2 Rappels sur les vecteurs 2.1 Généralités Les éléments de l espace vectoriel R n, appelés vecteurs, sont notés par une lettre italique surmontée d une flèche, par exemple, u. On rappelle rapidement les quelques opérations suivantes : Somme de deux vecteurs u et v étant deux vecteurs de R n, leur somme w = u + v et leur différence w = u v sont deux vecteurs de R n dont les constructions géométriques sont rappelées ci-dessous. Multiplication par un scalaire La multiplication de u R n par un scalaire λ R donne un vecteur v = λ u de R n colinéaire à (= de même direction que) u. Il a même sens que u si λ est positif.

20 10 Chapitre 2 : Rappels sur les vecteurs Produit scalaire Le produit scalaire est une opération, notée, qui à un couple de vecteurs ( u, v) associe un scalaire s = u v défini par s = u v cosθ, où u désigne la longueur du vecteur u, on dit encore norme ou module de u et θ est l angle que font entre eux u et v : θ = ( u, v). Remarques : 1) Le produit scalaire permet de définir la norme d un vecteur : u = u u puisque pour tout u non nul cos( u, u) = 1 et si u est nul, u = 0 et 0 0 = 0. 2) u v = 0 si et seulement si u et v sont orthogonaux (si u et v sont non nuls alors θ = π/2). 3) Le signe de s = u v permet de savoir si l angle θ est aigu (s > 0) ou obtus (s < 0). Normalisation d un vecteur Normaliser un vecteur u non nul c est lui associer le vecteur e u unitaire (vecteur de longueur unité : e u = 1) qui a la même direction et le même sens que lui. Ce vecteur est simplement défini en multipliant u par l inverse de sa norme e u = u/ u.

21 2.2 Système de vecteurs libres Système de vecteurs libres Definition 2.1. Combinaison linéaire de vecteurs. Une combinaison linéaire des m vecteurs v 1, v 2,..., v m de R n est un vecteur de R n s écrivant λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m où λ 1, λ 2,..., λ m sont des réels (coefficients de la combinaison). Definition 2.2. Système de vecteurs libre. On dit que les m vecteurs v i de R n sont linéairement indépendants ou qu ils forment un système de vecteurs libre d ordre m, si l égalité λ 1 v 1 + λ 2 v λ m v m = 0 entraine la nullité de tous les λ i λ 1 = 0 et λ 2 = 0... et λ m = 0. Autrement dit, pour un tel ensemble de vecteurs, on ne peut pas trouver de combinaison linéaire qui soit nulle sans que les coefficients soient tous nuls. Il est important de bien saisir cette définition. On peut essayer de la comprendre en comprenant la définition contraire : celle de système de vecteurs dit lié (ou de vecteurs linéairement dépendants). On se souvient (voir chapitre 1) que la proposition «P Q» est équivalente à la proposition «non P ou Q». La proposition «P Q» a donc pour négation «P etnon Q». Si l on considère ici que P est la proposition «λ 1 v 1 +λ 2 v λ m v m = 0» et que Q est la proposition «λ 1 = 0 et λ 2 = 0... et λ m = 0», on a pour définition d un système de vecteurs lié : les m vecteurs v 1,..., v m sont dits linéairement dépendants si l on peut trouver des scalaires λ 1,..., λ m tels que λ 1 v 1 +λ 2 v λ m v m = 0 avec λ 1 0 ou λ ou λ m 0». Ou encore, en toutes lettres : le système des m vecteurs est dit lié si l on peut trouver une combinaison linéaire nulle avec des coefficients non tous nuls. Voyons ce que cela signifie pour m = 1, 2 ou 3 vecteurs. Il est clair qu un vecteur v 1 forme un système libre : la seule façon d obtenir le vecteur nul par combinaison linéaire de v 1 est de prendre λ 1 = 0. Remarquons qu à partir de v 1 on peut construire tous les vecteurs de la forme u = λ 1 v 1, λ 1 R qui lui sont linéairement dépendant et qui définissent un sous-espace vectoriel de R n de dimension 1 (une droite). Pour deux vecteurs v 1 et v 2, cette définition dit qu ils sont linéairement indépendants s ils ne sont pas colinéaires. En effet, s ils l étaient on pourrait trouver un scalaire α 0 tel que v 2 = α v 1 et dans ce cas α v 1 v 2 = 0. On aurait donc trouvé deux réels, λ 1 = α et λ 2 = 1, non nuls pour lesquels λ 1 v 1 + λ 2 v 2 = 0. Remarquons qu un système libre de deux vecteurs v 1 et v 2 permet de construire tous les vecteurs de la forme u = λ 1 v 1 + λ 2 v 2. Ces deux vecteurs définissent (on dit engendrent) un sous-espace vectoriel de R n de dimension 2 (un plan). De la même façon, dire que trois vecteurs sont linéairement indépendants équivaut à dire qu ils ne sont pas coplanaires. Là aussi, considérons qu ils forment un système lié, alors on peut trouver λ 1, λ 2 et λ 3 non tous les trois nuls tels que λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = 0. Supposons que λ 3 fasse partie des coefficients non nuls : λ 3 0. Alors v 3 est de la forme α 1 v 1 +α 2 v 2 (α 1 = λ 1 /λ 3 et α 2 = λ 2 /λ 3 ); c est donc qu il appartient au plan engendré par les deux vecteurs v 1 et v 2.

22 12 Chapitre 2 : Rappels sur les vecteurs Exemple 2.1. Les deux vecteurs dont les composantes dans la base canonique de R 2 (cf ci-après) sont v 1 = (1, 1) et v 2 = (2, 2) sont linéairement indépendants. En effet, prenons deux scalaires quelconques λ 1 et λ 2 et formons le vecteur u = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 : u = (λ 1 + 2λ 2, λ 1 + 2λ 2 ). Égalons-le au vecteur nul et résolvons le système de deux équations aux deux inconnues λ 1 et λ 2 : { λ1 + 2λ 2 = 0, λ 1 + 2λ 2 = 0. On trouve bien que la seule solution est λ 1 = λ 2 = Bases Soient v 1,..., v n, n vecteurs linéairement indépendants de R n. Alors tout vecteur v de R n peut s écrire comme combinaison linéaire de ces n vecteurs : on peut trouver n nombres réels λ 1, λ 2,... et λ n tels que v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n. On dit que ces n vecteurs engendrent R n dans la mesure où tous les vecteurs de cet espace peuvent être construits à partir de la donnée de ces n vecteurs v i. Remarquons que pour le vecteur v, les coefficients λ i sont uniques. Ceci découle de l indépendance linéaire des v i. En effet, si l on tente d écrire v comme une autre combinaison linéaire de ces vecteurs : v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n on a, en faisant la différence, 0 = (λ 1 λ 1 ) v 1 + (λ 2 λ 2 ) v (λ n λ n ) v n. Or, comme les v i forment un système libre on doit avoir λ 1 = λ 1, λ 2 = λ 2,..., λ n = λ n. Definition 2.3. Bases et composantes. Tout système de n vecteurs v i R n linéairement indépendants s appelle une base de R n. Les n nombres λ i attachés au vecteur v dans son expression basée sur les v i sont les composantes de ce vecteur sur cette base. On peut alors désigner v par ses composantes rangées dans un tableau : v = (λ 1, λ 2,..., λ n ). Noter qu il ne suffit pas qu un système de vecteurs soit libre pour former une base de R n. Il faut qu il y ait exactement n vecteurs. Par ailleurs, il est clair qu il y a dans R n une infinité de bases. Il est donc important d avoir à l esprit que les composantes λ i d un vecteur sont relatives à la base sur laquelle on a exprimé ce vecteur : en changeant de base, on change ces n nombres bien qu il s agisse toujours du même vecteur. Lorsque l on donne les composantes d un vecteur il faut préciser sur quelle base on le fait.

23 2.3 Bases 13 Definition 2.4. Base orthonormée. Une base orthonormée est une base formée par un système de vecteurs deux à deux orthogonaux et de longueur unité : { vi v j = 0 si i j i, j = 1, 2,..., n (2.1) v i v j = 1 si i = j L utilité d une telle base est qu elle simplifie beaucoup les calculs. D abord elle permet de donner une expression très simple au produit scalaire et à la norme : si v et u sont deux vecteurs dont les composantes sont sur une base orthonormée v = (λ 1, λ 2,..., λ n ) et u = (µ 1, µ 2,..., µ n ) alors v u = λ 1 µ 1 + λ 2 µ λ n µ n, v = λ λ λ 2 n. Ensuite les composantes d un vecteur v sur une telle base ne sont rien d autres que les produits scalaires de v avec les vecteurs de base : λ i = v v i, i = 1, 2,..., n. Definition 2.5. Base canonique. La base particulière de R n formée par les vecteurs e 1 = (1, 0, 0,..., 0, 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0, 0),... e n = (0, 0, 0,..., 0, 1) s appelle la base canonique de R n. Sur cette base, les composantes d un vecteur sont souvent appelées coordonnées bien que ce terme soit plutôt réservé aux points de l espace affine associé à R n. Exemple 2.2. Reprenons les deux vecteurs v 1 et v 2 de l exemple 2.1 dont les composantes sur la base canonique de R 2 sont v 1 = (1, 1) et v 2 = (2, 2). On a déjà montré qu ils étaient linéairement indépendants et puisqu ils sont deux ils forment une base B de R 2. Considérons le vecteur u dont les composantes sur la base canonique sont (1, 2). Quelles sont ses composantes sur la base B? Il faut chercher deux réels λ 1 et λ 2 de façon à pouvoir écrire u = λ 1 v 1 +λ 2 v 2. On trouve facilement λ 1 = 1/2 et λ 2 = 3/4 qui sont donc les composantes de u sur B. On écrit pour être plus clair u = ( 1/2, 3/4) B. (2.2) Soient maintenant deux autres vecteurs formant une deuxième base B et dont les composantes sur la base canonique sont v 1 = (4, 0) et v 2 = (1, 1). Les composantes de u sur B sont u = ( 1/4, 2) B. (2.3)

24 14 Chapitre 2 : Rappels sur les vecteurs On a donc u = (1, 2), u = ( 1/2, 3/4) B et u = ( 1/4, 2) B le premier couple formant les composantes de u sur la base canonique. Comment calculer u? Il est clair que la longueur d un vecteur est une propriété intrinsèque de ce vecteur, elle est de ce fait indépendante de toute base. On peut donc calculer u à partir de n importe lequel de ces couples, mais le plus simple est d utiliser la base canonique car alors u a une expression très simple, la base canonique étant orthonormée : u = = 5. On ne peut pas employer la même expression avec les composantes sur B ou B car ces deux bases ne sont pas orthonormées (on trouverait 13/4 en utilisant (2.2) et 65/4 en utilisant (2.3)). Pour retrouver la bonne longueur en utilisant B ou B, il faut partir de la définition de la norme : u 2 = u u. Par exemple, sur B : u 2 = (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 2 1 v λ 2 2 v λ 1 λ 2 v 1 v 2 = ( 1/2) (3/4) ( 1/4) (3/4) 0 = 5, on voit au passage que cela n a rien à voir avec λ λ 2 2 sauf si justement B avait été orthonormée (elle est ici orthogonale : v 1 v 2 = 0 mais non normée : v 1 1, v 2 1). 2.4 Applications linéaires de R n dans R m Soit une application, notée f, qui à un vecteur u de R n fait correspondre un vecteur v de R m : f : u = (u 1, u 2,..., u n ) v = f( u) = (f 1 ( u), f 2 ( u),..., f m ( u)). On dit que f est une fonction vectorielle. Chaque composante v i = f i ( u) est une fonction des n variables u 1, u 2,..., u n. Definition 2.6. Application linéaire. L application f est linéaire si, pour tout u R n, pour tout u R n et pour tout λ R, elle vérifie : 1. f( u + u ) = f( u) + f( u ), 2. f(λ u) = λf( u). Il en est alors ainsi si chaque fonction composante f i est elle-même linéaire et réciproquement.

25 2.5 Matrice d une application linéaire 15 Exemple ) Les applications linéaires de R dans R sont les applications de la forme f(x) = ax avec a une constante quelconque. De même, les applications linéaires de R 2 dans R sont de la forme ax+by, avec a et b deux réels. Plus généralement, les applications linéaires de R n dans R s écrivent f( u) = a 1 u 1 + a 2 u a n u n, où les a i sont des réels donnés. 2) L application de R 4 dans lui même donnée par f( u) = (u 1, 2u 2, 3u 3, 4u 4 ) est linéaire. 3) L application projection de R 3 dans R 2 définie par p(u 1, u 2, u 3 ) = (u 1, u 2 ) est linéaire. 4) Par contre g( u) = (u 1, u 2 u 3, u 2 2,...) n est pas linéaire. 2.5 Matrice d une application linéaire Soit f une application linéaire de R n dans R m, u un vecteur quelconque de R n dont les composantes sur la base canonique sont (x 1, x 2,..., x n ). Il s écrit donc linéairement en fonction des vecteurs de base e i : L image par f de u s écrit donc u = x 1 e 1 + x 2 e x n e n. f( u) = f(x 1 e 1 + x 2 e x n e n ) = f(x 1 e 1 ) + f(x 2 e 2 ) f(x n e n ) (d après 1) = x 1 f( e 1 ) + x 2 f( e 2 ) x n f( e n ) (d après 2) On voit sur cette dernière expression que se donner f c est se donner les n vecteurs A i = f( e i ), images par f des vecteurs de base. Ces vecteurs A i sont fixes (ils ne dépendent pas des variables x i ) et ont chacun m composantes sur la base canonique de R m : A 1 = A 11 A 21.. A m1, A2 = A 12 A 22.. A m2,..., An = A 1n A 2n.. A mn On range ces m n nombres dans un tableau rectangulaire à m lignes et n colonnes appelé matrice de f et noté M f : M f = A 11 A 12.. A 1n A 21 A 22.. A 2n A m1 A m2.. A mn. (2.4)

26 16 Chapitre 2 : Rappels sur les vecteurs On verra au cours de la deuxième année que les matrices sont des objets très utiles (elles interviennent dans beaucoup de domaines scientifiques ou économiques) et que l on peut définir des opérations sur les matrices (addition, multiplication, etc). Leur étude forme un domaine très large et très important des mathématiques que l on appelle l algèbre linéaire. Exemple 2.4. Calculons la matrice de l application linéaire de R 3 dans R 2 définie par f( u) = (2x y + z, 6z x), où (x, y, z) sont les composantes de u sur la base canonique de R 3. Pour cela trouvons les images par f des vecteurs de base e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) et e 3 = (0, 0, 1) : A 1 = f( e 1 ) = (2, 1), A2 = f( e 2 ) = ( 1, 0), A3 = f( e 3 ) = (1, 6). On obtient M f en disposant ces vecteurs sur trois colonnes : [ ] M f = Exercices Les composantes des vecteurs sont celles correspondantes aux bases canoniques. Exercice 2.1. On donne les deux vecteurs de R 3 : u = (1, 0, 2) et v = ( 6, 5, 3). 1. Normaliser ces deux vecteurs. 2. Calculer le produit scalaire u v. Conclusion? 3. Calculer le produit vectoriel u v. Exercice 2.2. Montrer que les trois vecteurs v 1 = (0, 1, 2, 3), v 2 = ( 1, 1, 2, 2) et v 3 = ( 2, 1, 1, 2) sont linéairement indépendants. Exercice 2.3. Soient u et v deux vecteurs de R 3 linéairement indépendants. 1. Montrer que le vecteur w = u v est non nul (on pourra utiliser un raisonnement par contraposée ou faire une démonstration par l absurde) 2. Montrer que ( u, v, w) forment une base de R 3. Application : Montrer que u = (1, 2, 3) et v = (0, 1, 2) forment un système libre. Compléter ce système pour former une base de R 3. Donner alors les composantes du vecteur (3, 0, 3) sur cette base. Exercice 2.4. ( e 1, e 2, e 3 ) étant une base orthonormée de R 3 on donne l application f( u) = ( e 1 u) e 1. Montrer que f est linéaire. Déterminer l ensemble, appelé noyau de f, formé par les vecteurs u pour lesquels f( u) est nulle. Exercice 2.5. n et t étant deux vecteurs donnés de R 3 on définit l application u f( u) = ( u n) n + ( u t) t 1. Vérifier que f est linéaire. 2. Donner l expression de sa matrice dans la base où l on a n = ( 1, 1, 0) et t = (0, 1, 1).

27 Chapitre 3 Trigonométrie 3.1 Rappels Le cercle trigonométrique Dans le système d axes cartésien (Ox, Oy), on considère le cercle de centre O et de rayon 1, dit cercle trigonométrique. On définit (voir figure ci-dessous) cosθ = OH/OM = OH, sin θ = OH /OM = OH, tanθ = OH /OH = sin θ/cosθ = AH. Quand le point M décrit le cercle, H balaye l intervalle [A, A], H l intervalle [B, B] et H la droite (Ay ). Ainsi 1 cosθ 1, 1 sin θ 1, < tanθ <. Les inverses de ces fonctions définissent trois autres fonctions, la cosécante cosec θ = 1/ sinθ, la sécante sec θ = 1/ cosθ et la cotangente cotg θ = 1/ tanθ dont l usage (surtout pour les deux premières) n est plus très répandu. Rappelons une identité bien connue qui découle de l application du théorème de Pythagore 1 dans le triangle OHM (on utilisera les abus de notation très classiques : sin 2 θ pour (sin θ) 2, cos 2 θ pour (cosθ) 2, etc) : cos 2 θ + sin 2 θ = 1. 1 Pythagóras (Πυθαγoραζ), philosophe et mathématicien grec (vers 569 av. J.-C av. J.-C.).

28 18 Chapitre 3 : Trigonométrie Symétries On a les symétries évidentes suivantes : Symétrie par rapport à Ox cos( θ) = cosθ sin( θ) = sin θ tan( θ) = tan θ Les fonctions sin et tan sont donc impaires alors que cos est paire. Symétrie par rapport à O cos(θ + π) = cosθ sin(θ + π) = sin θ tan(θ + π) = tan θ Symétrie par rapport à Oy cos(π θ) = cosθ sin(π θ) = sin θ tan(π θ) = tanθ Périodicité Comme on peut le voir sur les figures précédentes, les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π, la fonction tangente est de période π : cos(θ + 2π) = cos θ, sin(θ + 2π) = sin θ, tan(θ + π) = tan θ.

29 3.1 Rappels Valeurs remarquables θ 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 cos θ 1 3/2 2/2 1/ sin θ 0 1/2 2/2 3/ tan θ 0 3/ Formulaire Formules d addition cos(a + b) = cos a cos b sina sin b sin(a + b) = sin a cos b + sinb cos a cos(a b) = cos a cos b + sina sinb sin(a b) = sin a cos b sin b cos a tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 tan a tan b) tan(a b) = (tan a tan b)/(1 + tan a tan b) Formules de duplication cos(2a) = cos 2 a sin 2 a = 2cos 2 a 1 = 1 2sin 2 a sin(2a) = 2sin a cos a tan(2a) = 2tan a/(1 tan 2 a) Formules de produit en somme cos a cos b = 1 2 [cos(a + b) + cos(a b)] sin a sin b = 1 2 [cos(a b) cos(a + b)] sin a cos b = 1 2 [sin(a + b) + sin(a b)] Formules de somme en produit cos p + cos q = 2cos p+q 2 cos p cos q = 2sin p+q 2 p q cos 2 sin p + sin q = 2sin p+q p q 2 cos 2 p q sin 2 sin p sin q = 2sin p q p+q 2 cos 2

30 20 Chapitre 3 : Trigonométrie Résolution d équations trigonométriques élémentaires a) Équation du type cosx = cosa Il s agit de trouver tous les angles x qui ont le même cosinus que a. En s aidant du cercle trigonométrique il est clair que ou x = a + 2kπ, k Z, x = a + 2kπ, k Z. On écrit alors l ensemble des solutions : S = {a + 2kπ, a + 2kπ ; k Z}. b) Équation du type sinx = sina Il s agit de trouver tous les angles x qui ont le même sinus que a. En s aidant du cercle trigonométrique il est clair que ou x = a + 2kπ, k Z, x = π a + 2kπ, k Z. On écrit alors l ensemble des solutions : S = {a + 2kπ, π a + 2kπ ; k Z}. c) Équation du type tanx = tana Il s agit de trouver tous les angles x qui ont la même tangente que a. En s aidant du cercle trigonométrique il est clair que x = a + kπ, k Z. On écrit alors l ensemble des solutions : S = {a + kπ ; k Z}.

31 3.1 Rappels Équations se ramenant à une équation élémentaire Il n y a bien entendu pas de méthode générale pour résoudre une équation trigonométrique quelconque. Les cas les plus simples correspondent aux cas où l on peut, par une suite de transformations, se ramener à une équation élémentaire. Il est bien sûr impossible de lister tous les cas particuliers. On donne à titre d illustration la résolution de quelques cas simples menant à une équation élémentaire du type cosx = cosa (on peut bien entendu faire de même avec les formes en sinus et en tangente). Équation du type cosx = A Si A > 1, l équation n a pas de solution, cos étant une fonction bornée en module par 1. Si A 1, l équation admet des solutions. Si l on en connait une (par exemple si A est le cosinus d une des valeurs du tableau donné plus haut... ou si l on dispose d une calculatrice pour taper arccos(a)!), notée a, on se ramène au cas précédent cosx = cosa. Équation du type cosx = cosa On utilise le fait que cos(a + π) = cos a. On résout donc cos x = cos(a + π). Équation du type cospx = cosa, p 0 On pose X = px pour se ramener à la forme élémentaire. Une fois trouvées les solutions pour X, on les divise par p (ne pas oublier de diviser aussi 2kπ par p). L ensemble des solutions est donc S = {a/p + 2kπ/p, a/p + 2kπ/p ; k Z}. Équation du type A cos 2 x + B cosx + C = 0 On pose X = cosx et on résout l équation du deuxième degré AX 2 + BX + C = 0. Si celle-ci n admet pas de solution réelle dont la valeur absolue est inférieure à 1, l équation n a pas de solution. Dans le cas contraire, si X est l une de ces solutions, on résout alors cos x = X. La démarche est la même pour les équations polynomiales en cos x de degré supérieur, à condition de savoir en trouver des racines.

32 22 Chapitre 3 : Trigonométrie Exemple 3.1. Résoudre 2 cos 2 x 5 cosx = 2. On calcule les solutions de 2X 2 5X + 2 = 0. On trouve X 1 = 1/2 et X 2 = 2. Seule la première est possible, car X = cosx 1. On a donc à résoudre cos x = 1/2 que l on transforme en cos x = cos(π/3). Finalement, l ensemble des solutions est S = {π/3 + 2kπ, π/3 + 2kπ ; k Z}. Équation du type cosx = sinb Il suffit d écrire que sin b = cos(b π/2) pour se ramener à la forme cosx = cos a où a = b π/2. Exemple 3.2. Résoudre cosx sin x = 0. On réécrit cette équation cosx = cos(x π/2) pour trouver que x = (x π/2) + 2kπ (k Z) ou x = (x π/2) + 2kπ (k Z). Le premier sous-ensemble de solutions est impossible, le second donne 2x = π/2 + 2kπ, k Z. On a donc trouvé l ensemble des solutions S = {π/4 + kπ ; k Z} Résolution d un triangle Résoudre un triangle c est déterminer les éléments du triangle (longueurs, angles) connaissant au moins trois d entre eux. Rappelons les deux résultats suivants, valables pour un triangle ABC quelconque (on note Â, ˆB et Ĉ les angles aux sommets et a, b et c les longueurs des côtés opposés aux sommets A, B et C, respectivement) : la relation des sinus, relation de proportionnalité entre les longueurs et les sinus des angles opposés : a sin  = b sin ˆB = c sin Ĉ, le théorème d Al-Kashi 2, généralisation du théorème de Pythagore : c 2 = a 2 + b 2 2ab cos Ĉ, et par permutation circulaire, on obtient deux autres relations. 2 Ghiyath ad-din Al-Kashi, mathématicien et astronome perse (vers ).

33 3.2 Un peu de trigonométrie sphérique Un peu de trigonométrie sphérique Définitions et généralités On désigne par S la sphère de centre O et de rayon R. Grand cercle On appelle grand cercle de la sphère tout cercle de centre O et de même rayon que celui de la sphère. Par deux points A et B de la sphère, distincts et non diamétralement opposés, on peut faire passer un et un seul grand cercle. Il y a donc deux arcs de grand cercle qui relient A et B. Le plus court des deux est aussi le plus court chemin joignant ces deux points. Les grands cercles sont donc les géodésiques de S (les équivalents des droites dans ce monde courbé). Dans la suite, l arc AB considéré sera toujours le plus petit des deux. Triangle sphérique Un triangle sphérique est la portion de S délimitée par trois arcs de grand cercle. Les points d intersection A, B et C de ces trois arcs forment les sommets du triangle (figure 3.1). Les trois arcs AB, BC et CA forment les côtés. Leurs longueurs sont désignées par a, b et c. Les angles au centre BOC, ĈOA et ÂOB sont désignés par â, ˆb et ĉ, respectivement. Comme a = Râ, b = Rˆb et c = Rĉ (les angles étant exprimés en radians) et si l on prend le rayon de la sphère comme unité des longueurs, R = 1, on identifie les longueurs des arcs à la mesure de leurs angles au centre : a = â, b = ˆb et c = ĉ. Les angles aux sommets, Â, ˆB et Ĉ du triangle ABC sont définis comme étant les angles que forment les droites tangentes des arcs passant par chaque sommet. Par exemple, Â = (Â u, A v), u étant un vecteur tangent en A à l arc AB et v le vecteur tangent en A à l arc AC. Fig. 3.1 Les éléments du triangle sphérique ABC sont les six quantités â, ˆb, ĉ, Â, ˆB, Ĉ. Comme pour les triangles rectilignes, déterminer trois d entre eux connaissant les trois autres, c est résoudre le triangle.

34 24 Chapitre 3 : Trigonométrie Excès sphérique La somme des angles aux sommets d un triangle sphérique n est pas comme pour un triangle rectiligne égale à π. Elle n est d ailleurs pas constante, elle change selon le triangle. On définit l excès sphérique E comme étant la somme des angles diminuée de π : E = Â + ˆB + Ĉ π. Aire d un triangle sphérique On montre (théorème de Girard 3 ) que l aire d un triangle sphérique d une sphère de rayon R est donnée par la formule S = ER 2. Remarquer que lorsque la sphère est de rayon 1, l excès sphérique donne directement l aire du triangle Résolution d un triangle sphérique Soit u et v les deux vecteurs unitaires passant par le sommet A et tangents aux arcs AB et AC (figure 3.2). On note w le vecteur unitaire orthogonal à ces deux vecteurs. Les vecteurs OB et OC se décomposent facilement sur la base ( u, v, w) : le vecteur OB est dans le plan formé par les vecteurs u et w, le vecteur OC est dans celui formé par les vecteur v et w. On a OB = sin ĉ u + cosĉ w, OC = sinˆb v + cosˆb u. Calculons le produit scalaire OB OC : OB OC = (sin ĉ u + cosĉ w) (sinˆb v + cosˆb u) et comme w est un vecteur unitaire orthogonal à u et v (donc u w = v w = 0 et w w = 1) on a OB OC = sin ĉ sinˆb u v + cosĉ cosˆb. Fig Albert Girard (Albertus Gerardus Metensis), mathématicien lorrain ( ).

35 3.2 Un peu de trigonométrie sphérique 25 Or, u v = u v cosâ = cosâ ( u et v étant unitaires), donc OB OC = sin ĉ sinˆb cosâ + cosĉ cosˆb. (3.1) Mais par ailleurs OB OC = OB OC cos( OB, OC) = cosâ, (3.2) puisque B et C sont sur la sphère de rayon 1. Finalement, en comparant (3.1) et (3.2) il vient cosâ = cosˆb cosĉ + sinˆb sin ĉ cosâ, qui est la relation fondamentale de la trigonométrie sphérique. En suivant la même démarche pour les deux autres sommets, ou simplement en faisant des permutations circulaires on obtient deux autres relations. Ainsi, on a un groupe de trois relations fondamentales donnant chacune la mesure d un angle au centre en fonction des deux autres et de l angle au sommet opposé : cosâ = cosˆb cos ĉ + sinˆb sin ĉ cos Â, cosˆb = cosĉ cosâ + sin ĉ sin â cos ˆB, cosĉ = cosâ cosˆb + sin â sinˆb cosĉ. (3.3) À partir de ces relations on démontre aussi la relation des sinus sin  sin â = sin ˆB sinˆb = sin Ĉ sin ĉ. (3.4) qui montre donc que dans un triangle sphérique les sinus des angles sont proportionnels aux sinus des angles opposés (et non plus aux longueurs des côtés opposés comme en trigonométrie rectiligne). Remarque : on peut retrouver les relations de la trigonométrie rectiligne (théorème d Al-Kashi et relation des sinus) en faisant tendre le rayon de la sphère vers l infini dans (3.3) et (3.4).

36 26 Chapitre 3 : Trigonométrie Application : distance entre deux points de la Terre La sphère étant un objet bidimensionnel, il faut deux coordonnées pour repérer un point sur celle-ci. Sur Terre on utilise la longitude, notée L, et la latitude, notée λ (figure 3.3). Pour positionner un astre sur la sphère céleste, on utilise un système de coordonnées comparable : l ascension droite α et la déclinaison δ. Fig. 3.3 Longitude et latitude d un point M sur la sphère Soient B et C deux points de la surface du globe de coordonnées respectives (L B, λ B ) et (L C, λ C ). On considère le triangle sphérique ABC avec A le pôle nord. On a π Â = L C L B, ˆb = 2 λ C, ĉ = π 2 λ B. Donc, cosâ = cosˆb cosĉ + sinˆb sin ĉ cosâ = sin λ B sin λ C + cosλ B cosλ C cos(l C L B ). La distance entre B et C, en degrés ou en radians, est donnée par â. Si R T est le rayon de la Terre, la distance BC est donnée en unité de longueur par D = R T â avec â exprimé en radians. La distance cherchée est donc D = R T â = R T arccos {sin λ B sin λ C + cosλ B cosλ C cos(l C L B )}. (3.5) D, longueur de l arc BC, s appelle aussi la distance géodésique qu il ne faut évidemment pas confondre avec la longueur du segment joignant B et C et qui traverse la Terre.

37 3.2 Un peu de trigonométrie sphérique 27 Exercices Exercice 3.1. Résoudre dans R les équations ( π ) 1. cos5x = cos 4 x, 2. cos4x + 2 sinx cosx = 0, 3. cos 2 x + 2 cosx 3 = 0, 4. cosx + cos2x + cos3x = 0. Exercice 3.2. Retrouver par la formule S = ER 2 que l aire de la sphère est 4πR 2. Exercice 3.3. Soit A et B deux points de la surface terrestre localisés à des longitudes L A = 0 et L B = 90 et appartenant au même parallèle de latitude λ = 30. Calculer la distance géodésique d AB entre A et B. Quelle distance d AB parcourt-on pour aller de A à B en restant sur le même parallèle? Comparer ces deux distances. À quelle latitude λ doivent être A et B pour que l on ait d AB = d AB? On prendra R T 6400km. Exercice 3.4. Les latitudes λ et longitudes L de Londres (A), New York (B) et Buenos Aires (C) sont λ A = +51 o 30 λ B = +40 o 43 λ C = 34 o 36 L A = 0 o 10 L B = 74 o 01 L C = 58 o 27 a) Déterminer les distances entre ces trois villes. b) Calculer la surface du triangle Londres New York Buenos Aires et son rapport avec la surface terrestre. Indication : calculer au préalable les angles aux sommets puis l excès sphérique du triangle ABC.

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39 Chapitre 4 Les nombres complexes... c est simple 4.1 Définitions Un nombre complexe est simplement un couple de réels (a, b). L ensemble des nombres complexes est noté C : C = {z; z = (a, b) R R}. Dans l expression z = (a, b), le premier réel a s appelle la partie réel du nombre complexe z et le second sa partie imaginaire. On note Re(z) = a, Im(z) = b Deux nombres complexes z = (a, b) et z = (a, b ) sont égaux s ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : { a = a z = z (a, b) = (a, b ) b = b Le conjugué du nombre z = (a, b) est le nombre z = (a, b). On a alors z = z.

40 30 Chapitre 4 : Les nombres complexes... c est simple 4.2 Addition et multiplication dans C Addition z + z = (a, b) + (a, b ) = (a + a, b + b ), (4.1) c est-à-dire, Re(z + z ) = Re(z) + Re(z ) et Im(z + z ) = Im(z) + Im(z ). (4.2) L élément neutre pour l addition est le complexe (0, 0) : z + (0, 0) = z, z C. L opposé du nombre complexe z = (a, b), c est-à-dire l unique nombre complexe z tel que z + z = (0, 0), est le nombre ( a, b) noté z. Par conséquent, l équation z+z 1 = z 2 a pour unique solution z = z 2 +( z 1 ) = z 2 z 1. Multiplication z z = (a, b) (a, b ) = (aa bb, ab + a b) (4.3) L élément neutre pour la multiplication est le complexe (1, 0) : z (1, 0) = z, z C. L inverse du nombre complexe z = (a, b) (0, 0), c est-à-dire l unique nombre complexe z tel que z z = (1, 0), est le nombre noté 1/z défini par ( 1 a z = a 2 + b 2, ) b. (4.4) a 2 + b 2 Par conséquent, l équation zz 1 = z 2, où z 1 (0, 0) a pour unique solution le nombre complexe z = z 2 (1/z 1 ) = z 2 /z 1. Remarque : pour z = (a, b) et z = (λ, 0), (4.3) donne z z = (λa, λb) = λ(a, b). On a donc Re(λz) = λre(z) et Im(λz) = λim(z), ce qui, avec (4.2), montre que Re et Im sont des applications linéaires de C dans R.

41 4.3 L écriture algébrique z = a + ib L écriture algébrique z = a + ib Comme il n est pas très pratique de travailler avec des couples, on préfère introduire une autre notation des complexes qui repose sur l idée que les nombres complexes de la forme (a, 0) s identifient aux nombres réels a. On écrira alors simplement a à la place de (a, 0). Ainsi 0 désignera le nombre (0, 0) et 1 le nombre (1, 0). Dans ce cas puisque on l écrira simplement z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (0, 1) (b, 0), z = a + (0, 1)b, et si l on note par le symbole i le nombre complexe (0, 1) on peut écrire z = a + ib. Le nombre complexe i = (0, 1) est l unité imaginaire et les nombres de la forme ib, où b R, sont les nombres imaginaires purs. D après la définition du produit de deux nombres complexes (4.3), on a (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) autrement dit, i i = 1 ce que l on écrit encore i 2 = 1. Sous cette forme, les règles de calcul pour l addition et la multiplication de deux nombres complexes sont les mêmes que pour les réels : (a + ib) + (a + ib ) = (a + a ) + i(b + b ), (a + ib) (a + ib ) = aa + i 2 bb + i(ab + a b) = aa bb + i(ab + a b). Exemple 4.1. Selon la définition (4.3), le produit des nombres z = (1, 2) et z = (3, 4) vaut z z = ( , ) = ( 5, 10). En utilisant l écriture z = 1+2i, z = 3+4i, en suivant les règles élémentaires de calcul algébrique et sachant que i 2 = 1 on trouve (1 + 2i) (3 + 4i) = 3 + 4i + 6i 8 = i. Exemple 4.2. L inverse de z = 1 + 2i est le nombre z = 1/(1 + 2i). On peut le mettre sous la forme a+ib, il suffit pour cela de multiplier le numérateur et le dénominateur de z par le conjugué de z pour obtenir : z = i, expression conforme à celle que l on obtient en appliquant (4.4).

42 32 Chapitre 4 : Les nombres complexes... c est simple 4.4 L écriture trigonométrique z = r(cos ϕ + i sin ϕ) Représentation graphique Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (O, e x, e y ), à tout point M de coordonnées (x, y) est associé le nombre complexe x + iy appelé affixe de M. Inversement, à tout nombre complexe z = a + ib est associé le point de coordonnées (a, b) appelé image de z. Soient r et ϕ les coordonnées polaires du point M(x, y) (figure 4.1). Fig. 4.1 On a les deux définitions suivantes : Le module du nombre z, noté z, est le nombre r = x 2 + y 2 0. L argument du nombre z 0, noté arg z, est l un des nombres ϕ+2kπ (k Z). Remarques : Dans le cas où z = 0, on a z = 0, mais l argument arg z reste indéterminé. Si z = z alors z = z et arg z = argz + 2kπ. Comme x = r cosϕ et y = r sin ϕ on peut écrire le nombre complexe z = x + iy, affixe de M(x, y), sous une forme dite trigonométrique z = r(cosϕ + i sin ϕ). Exemple 4.3. Donner l écriture trigonométrique du nombre z = i 1. On calcule d abord le module de z : z = 2. Puis on détermine un argument de z en écrivant que cosϕ = 1/ 2, sinϕ = 1/ 2. Un argument de z est donc ϕ = 3π/4 et z s écrit z = 2(cos(3π/4) + i sin(3π/4)).

43 4.5 L écriture exponentielle z = re iϕ Produit et quotient de nombres complexes Soit z et z deux nombres complexes donnés sous leurs formes trigonométriques (on suppose z 0) : z = r(cosϕ + i sin ϕ) et z = r (cosϕ + i sin ϕ ). Alors, z z = rr (cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )) («les modules se multiplient, les arguments s additionnent») z/z = (r/r ) (cos(ϕ ϕ ) + i sin(ϕ ϕ )) («les modules se divisent, les arguments se retranchent») On peut aussi montrer par récurrence que le produit de n nombres complexes, de modules r i et d arguments ϕ i (i = 1,..., n), est donné par z 1 z 2 z n = r 1 r 2 r n (cos(ϕ ϕ n ) + i sin(ϕ ϕ n )). (4.5) 4.5 L écriture exponentielle z = re iϕ Considérons les nombres complexes cosϕ+i sin ϕ de module unité et appelons f la fonction ϕ cos ϕ + i sin ϕ. D après ce que l on vient de voir au paragraphe précédent, on remarque que f a les propriétés suivantes : f(0) = 1, f(ϕ + ϕ ) = f(ϕ)f(ϕ ), f(ϕ ϕ ) = f(ϕ)/f(ϕ ), qui ne sont pas sans rappeler celles de l exponentielle (e 0 = 1, e x+x e x x = e x /e x ). On pose par analogie 1 avec cette fonction = e x e x et e iϕ = cosϕ + i sin ϕ Un nombre complexe z de module r quelconque pourra donc s écrire z = re iϕ 1 on peut introduire cette nouvelle fonction différemment : l exponentielle réelle est définie par son développement en série : e x = 1+ x 1! + x2 2! + x3 3! +... Si l on remplace x par iϕ on obtient, pour la partie réelle 1 ϕ2 2! + ϕ4 4!..., qui n est autre que le développement en série de cos ϕ, et pour la partie imaginaire, ϕ 1! ϕ3 3! + ϕ5 5!... qui correspond au développement en série de sinϕ.

44 34 Chapitre 4 : Les nombres complexes... c est simple L introduction de cette nouvelle écriture permet de simplifier considérablement les calculs. Par exemple, l inverse d un nombre complexe z = re iϕ est 1/z = ( 1 r )e iϕ, son conjugué z = re iϕ et son carré z 2 = r 2 e 2iϕ, etc. Notons que la fonction ϕ e iϕ est périodique, de période 2π : e i(ϕ+2π) = e iϕ. Remarque : pour r = 1 et ϕ = π on obtient la célèbre relation d Euler 2 e iπ + 1 = 0, qui lie les cinq constantes remarquables 0, 1, π, e et i Formule de Moivre Formule d Euler En faisant z 1 = z 2 =... = z n = z dans la formule (4.5) on obtient l expression de la puissance n ième de z sous forme trigonométrique : z n = r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)). (4.6) On peut aussi l obtenir très simplement grâce à l écriture exponentielle de z : z n = (re iϕ ) n = r n e inϕ et puisque e inϕ = e i(nϕ) = cos(nϕ) + i sin(nϕ) on retrouve (4.6). Par ailleurs, comme z n = r n (cosϕ + i sin ϕ) n on voit que (cosϕ + i sin ϕ) n = (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) formule connue sous le nom de formule de Moivre. 3 En inversant le système { cosϕ + i sin ϕ = e iϕ on obtient les formules d Euler : cos ϕ i sin ϕ = e iϕ (4.7) cosϕ = eiϕ + e iϕ, sin ϕ = eiϕ e iϕ 2 2i 2 Leonhard Euler, mathématicien suisse ( ). 3 Abraham de Moivre, mathématicien français ( )

45 4.6 Racines n-ième d un nombre complexe Racines n-ième d un nombre complexe Soient n un entier et Z un complexe non nul dont l écriture sous forme exponentielle est Z = Re iφ. Les racines n-ième de Z sont les nombres complexes z solutions de l équation z n = Z. Si l on pose z = re iϕ, comme z n = r n e inϕ et que l égalité de deux nombres complexes implique l égalité de leurs modules et de leurs arguments (modulo 2π) on a { r n = R r = n R nϕ = Φ + 2kπ, k Z ϕ = Φ n + 2kπ n, k Z Ainsi les racines n-ième de Z ont toutes le même module r = n R et sont au nombre de n (en effet, même si l entier relatif k peut prendre toutes les valeurs possibles, la fonction e iϕ est de période 2π). Elles s écrivent donc z k = n R e i(φ n +2kπ n ), k = 0, 1, 2,..., n 1 Dans le plan complexe, les images de ces n racines sont régulièrement réparties sur la circonférence d un cercle de rayon n R. Il s ensuit que leur somme est nulle : k=n 1 k=0 z k = 0. Exemple 4.4. Calculons les racines carrées de i. Le module est R = 1 et un argument est Φ = π/2. Les deux racines sont donc z k = e i( π 4 +kπ) (k = 0, 1), c-à-d, z 0 = e i π 4 = (1 + i)/ 2 et z1 = e i( π 4 +π) = e i5π 4 = (1 + i)/ 2 = z0. Les images de z 0 et z 1 sont sur le cercle trigonométrique et diamétralement opposées. Exemple 4.5. Soit à calculer les racines cubiques de Z = i 1. On a (cf. l exemple 4.3) R = Z = 2 et Φ = arg Z = 3π/4 (modulo 2π). Les trois racines cubiques de i 1 sont donc z k = 6 2 e ( π 4 + 2kπ 3 ), k = 0, 1, 2, soit z 0 = 6 2 e i π 4, z1 = 6 2 e i11π 12, z2 = 6 2 e i19π 12. Les images M 0, M 1 et M 2 de ces trois nombres complexes sont sur le cercle de rayon 6 2 et forment un triangle équilatéral.

46 36 Chapitre 4 : Les nombres complexes... c est simple 4.7 Résolution d une équation du deuxième degré Pour résoudre dans C une équation du type Az 2 + Bz + C = 0, (4.8) où A 0, B, C sont trois nombres donnés, on applique la méthode bien connue qui consiste à calculer le discriminant = B 2 4AC, (4.9) puis à calculer les deux solutions (éventuellement confondues) données par z 1 = B δ 2A, z 2 = B + δ 2A (4.10) où ±δ sont les deux racines carrées de : (±δ) 2 =. Deux cas peuvent alors se présenter Cas où les coefficients sont réels Si les trois coefficients A, B et C sont tous réels, le discriminant est aussi un nombre réel. S il est positif, les deux racines carrées de sont simplement ±δ = ± et les deux solutions de (4.8) sont réelles z 1 = B 2A, z 2 = B +. 2A Si est négatif, l équation (4.8) n a pas de solution dans R mais en a dans C. En remarquant que = i 2 on voit que les deux racines carrées du discriminant sont ±δ = ±i. Les deux solutions de (4.8) sont alors complexes (conjuguées) et données par z 1 = B i 2A, z 2 = B + i. 2A Exemple 4.6. Calculons les solutions de z 2 +2z+2 = 0. Le discriminant vaut = 4, soit encore = 4i 2 = (2i) 2. On a donc δ = 2i et les deux solutions sont z 1 = 1 i et z 2 = z 1 = 1 + i.

47 4.7 Résolution d une équation du deuxième degré Cas général Dans le cas général, est un nombre complexe : = Re iφ. Il faut alors calculer ses deux racines carrées (cf. 4.6) : ±δ = ± Re iφ/2. Une fois celles-ci trouvées on calcule z 1 et z 2 par (4.10). Remarque : lors d un calcul et après avoir déterminer les deux solutions z 1 et z 2 d une équation, on pensera à vérifier la justesse des calculs en vérifiant que z 1 + z 2 = B/A, et z 1 z 2 = C/A, ce qui est parfois moins lourd que de remplacer la valeur de z dans (4.8) par z 1 puis par z 2. Exemple 4.7. Soit à déterminer les solutions de l équation 1+i 2 z2 + (2 + i)z = 0. Calculons le discriminant : = (2+i) i = i. On a déjà vu ( 4.6) que les racines carrées de i sont ±(1 + i)/ 2. Les deux solutions de l équation proposée sont alors, après simplification z 1 = i 3 2 2, z 2 = i Vérification Calculons la somme et le produit de ces deux solutions : z 1 + z 2 = 3 + i, z 1 z 2 = 3(1 i)/2. Ces deux nombres sont bien égaux à, respectivement, B/A = 2(2 + i)/(1 + i) = 3 + i et C/A = 3/(1 + i) = 3(1 i)/2. Exemple 4.8. Prenons un exemple légèrement plus compliqué : z 2 + (i 1)z + i + 2 = 0. Le discriminant est = (i 1) 2 4(i + 2) = 8 6i. Il nous faut en calculer les racines carrées. On sait que celles-ci s écrivent ±δ = ± Re iϕ/2 = ± ( R cos ϕ 2 + i sin ϕ ) 2 où R est le module de et ϕ un de ses arguments. On a R = 10, cosϕ = 4/5 et sin ϕ = 3/5. Remarquons que rien ne sert à déterminer ϕ, seuls cos(ϕ/2) et sin(ϕ/2) nous sont nécessaires. Pour cela utilisons tout d abord la relation cos 2 (ϕ/2) = (1 + cosϕ)/2. Cela nous donne cos 2 (ϕ/2) = 1/10. Comme sin ϕ et cosϕ sont négatifs, l angle ϕ est dans le troisième quadrant du cercle trigonométrique, c est-à-dire qu il se trouve (modulo 2π) dans l intervalle [π, 3π/2]. Sa moitié est donc dans l intervalle [π/2, 3π/4]. On en déduit que cos(ϕ/2) est négatif et vaut 1/ 10. Pour trouver sin(ϕ/2) utilisons maintenant la relation sin ϕ = 2 sin(ϕ/2)cos(ϕ/2). On en tire sin(ϕ/2) = 3/ 10 et on trouve enfin que les racines carrées de sont ±δ = ±( 1 + 3i).

48 38 Chapitre 4 : Les nombres complexes... c est simple On peut finalement calculer les deux solutions de notre équation z 1 = Vérifions nos calculs : (i 1) ( 1 + 3i) 2 = 1 2i, z 2 = (i 1) + ( 1 + 3i) 2 z 1 + z 2 = 1 2i + i = 1 i, z 1 z 2 = (1 2i)i = i + 2 nombres qui sont bien égaux à B/A et C/A, respectivement. = i.

49 4.8 Formulaire Formulaire forme algébrique forme trigonométrique forme exponentielle z a + ib r(cos ϕ + i sinϕ) re iϕ z = z a = a et b = b r = r et ϕ = ϕ [2π] r = r et ϕ = ϕ [2π] z a2 + b 2 r r argz cos(argz) = a/ z sin(arg z) = b/ z ϕ [2π] ϕ [2π] z a ib r(cos ϕ i sinϕ) re iϕ z + z (a + a ) + i(b + b ) (r cosϕ + r cosϕ ) + i(r sin ϕ + r sin ϕ ) re iϕ + r e iϕ z z (aa bb ) + i(ab + a b) rr [cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )] rr e i(ϕ+ϕ ) z z = z z 1 z (a2 + b 2 )(a 2 + b 2 ) rr rr a a 2 + b 2 i b 1 a 2 + b 2 r (cosϕ i sinϕ) 1 r e iϕ z aa + bb z a 2 + b 2 a b iab a 2 + b 2 r r [cos(ϕ ϕ ) + i sin(ϕ ϕ )] r r ei(ϕ ϕ ) z z = z z a 2 + b 2 a 2 + b 2 r r r r z 2 a 2 b 2 + 2iab r 2 (cos2ϕ + i sin2ϕ) r 2 e 2iϕ z n (a + ib) n r n (cosnϕ + i sinnϕ) r n e niϕ z + z 2a 2r cosϕ r(e iϕ + e iϕ ) z z 2ib 2ir sin ϕ r(e iϕ e iϕ ) z z a 2 + b 2 r 2 r 2

50 40 Chapitre 4 : Les nombres complexes... c est simple Exercices Exercice 4.1. Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : z 1 = e iπ, z 2 = e 2iπ, z 3 = e i π 2, z4 = 5e i π 4. Exercice 4.2. Donner la forme trigonométrique des nombres z 1 = 2 + 2i, z 2 = 1 + i 3, z 3 = z 1 z 2, z 4 = z 1 /z 2, z 5 = z1 3. Exercice 4.3. Comment choisir z pour que le nombre z 2 + 2z 3 soit réel? Exercice 4.4. Trouver le lieu des points du plan complexe dont les affixes z sont tels que z z = 4. Exercice 4.5. Où sont situés les points M d affixe z vérifiant z (a + ib) = 1? Exercice 4.6. Résoudre dans C les équations a) z 2 3z = 1, b) z 2 + z(i 2) i = 0, c) z 3 (5 + 3i)z 2 + (2 + 14i)z + 8 8i = 0 (on remarquera que z = 2i est une racine). Exercice 4.7. Soit Z = z i où z C { 1 + 2i}. z + 1 2i a) Calculer Re(Z) et Im(Z). b) Représenter l ensemble E des points d affixe z pour lesquels Z est réel. c) Représenter l ensemble E des points d affixe z pour lesquels Z est imaginaire pur.

51 Chapitre 5 Fonctions de plusieurs variables 5.1 Rappels et compléments sur les fonctions d une variable réelle Continuité Soit f une fonction d un variable réelle x et à valeurs dans R. On dit que f est continue au point x 0 si f(x) admet une limite quand x tend vers x 0 et si cette limite est égale à f(x 0 ) : lim f(x) = f(x 0). x x 0 0 Cette définition est équivalente à l énoncé suivant 1 : pour tout nombre positif donné ε, il existe un nombre positif η tel que f(x) f(x 0 ) < ε pour x x 0 < η. Graphiquement (voir figure 5.1), cela signifie que si l on prend une bande centrée sur f(x 0 ), aussi mince soit-elle, on peut toujours trouver un intervalle centré sur x 0 pour lequel tous les points du graphe de f sont à l intérieur de la bande choisie. Une fonction continue est une fonction qui est continue en chacun des points de son domaine de définition. Intuitivement : on peut tracer toute portion de son graphe sans lever le crayon. 1 ou de façon plus concise : ε > 0, η > 0, x x 0 < η = f(x) f(x 0 ) < ε.

52 42 Chapitre 5 : Fonctions de plusieurs variables Fig. 5.1 Exemple d une fonction continue. Toutes les valeurs f(x) pour x [x 0 η, x 0 + η] sont à des distances de f(x 0 ) inférieures à ε. Exemple 5.1. La fonction x 1/x est une fonction continue sur R, x tan(x) est continue sur ] π/2; π/2[. Par contre, la fonction qui donne le signe d un nombre réel 1 si x < 0 x R sgn(x) = 0 si x = 0 1 si x > 0 n est pas continue en 0, et la fonction x R E(x) qui donne la partie entière admet une infinité de points de discontinuité (tous les x Z)., Exemple 5.2. Le graphe d une fonction discontinue présente des sauts aux points de discontinuités (il faut lever le crayon en ces points). Certains phénomènes physiques donnent lieu à des relations non-continues entre grandeurs. C est le cas par exemple de la relation entre la quantité de chaleur Q(T) qu il faut apporter (ou qui est libérée) par un corps et sa température T. Supposons que ce corps soit de la glace à la température T 0 < 0 o C et que nous réchauffons dans les conditions normales de pression. Sous l action de la chaleur, la température du corps augmente jusqu à atteindre la température de fusion T 1 = 0 o C, mais cesse d augmenter tant qu il reste de la glace alors que l on chauffe toujours (donc que Q augmente). Une fois toute la masse d eau liquéfiée, T peut recommencer à augmenter jusqu à atteindre le point de vaporisation T 2 = 100 o C où à nouveau la température reste constante jusqu à ce que toute la masse d eau soit en phase gazeuse. Ainsi, les points T 1 et T 2 sont pour la fonction T Q(T) des points de discontinuité. Les sauts de discontinuités Q 1 = lim Q(T) T T 1+0 lim Q(T), T T 1 0 Q 2 = lim Q(T) lim Q(T) T T 2+0 T T 2 0 correspondent ici à la chaleur latente de fusion et à la chaleur latente de vaporisation.

53 5.1 Rappels et compléments sur les fonctions d une variable réelle Dérivabilité La fonction f est dite dérivable en x 0 I R si le rapport (f(x 0 + ε) f(x 0 ))/ε admet une limite finie quand ε tend vers 0. On note cette limite f (x 0 ) : f f(x 0 + ε) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. (5.1) ε 0 ε Graphiquement (figure5.2a), le nombre f (x 0 ) correspond au coefficient directeur (pente) de la droite tangente au graphe de f passant par le point (x 0, f(x 0 )). Une fonction n est pas dérivable en x 0 (figure5.2b) si la tangente n est pas définie de façon unique ou si sa pente est infinie (tangente parallèle à l axe Oy). Une fonction dérivable est une fonction qui est dérivable en chacun des points x 0 de son domaine de définition I. Une fonction dérivable en un point x 0 est forcément continue en ce point. La réciproque n est pas vraie : une fonction continue peut ne pas être dérivable en certains points (cf. figure 5.2b), voire n être dérivable en aucun point. C est le cas des courbes fractales par exemple, ou de la trajectoire d une particule qui change continuellement de direction (mouvement brownien). Fig. 5.2 (a) Interprétation graphique de la dérivée en un point x 0 : lorsque ε tend vers 0, le point B de la courbe tend vers le point A d abscisse x 0 et la droite (AB) se confond avec la droite tangente. La tangente de l angle que fait celle-ci avec l axe Ox est donc égal à f (x 0 ). (b) La dérivée n existe que si la tangente à la courbe de f est bien définie. Exemple d une fonction continue mais non-dérivable en trois points : aux points P et R la tangente a une pente infinie, au point Q la tangente n est pas unique.

54 44 Chapitre 5 : Fonctions de plusieurs variables Dérivée et différentielle Soit I l ensemble des points x 0 I pour lesquels f est dérivable. Alors, la fonction notée f, qui à tout élément x de I associe le nombre f (x), f : x f (x), s appelle la fonction dérivée de f ou simplement dérivée de f. Elle permet donc de calculer, aux points x I, la valeur des pentes des droites tangentes à la courbe de f. Considérons un point x de I et soit ε une variation quelconque de x. L accroissement y = f(x+ε) f(x) lorsque l on passe de x à x+ε est (figure5.3) y = tan(β)ε. Si l on remplace l angle β par l angle α, c est-à-dire l angle dont la tangente vaut f (x), on obtient à la place de y la quantité f (x)ε. L erreur que l on commet sur y (BN sur la figure), est d autant plus petite que ε est petit. La quantité f (x)ε, produit de la dérivée de f en x et de l accroissement arbitraire ε, s appelle la différentielle de f au point x et est notée df(x). Fig. 5.3 Si l on considère la fonction f(x) = x, on a f (x) = 1 et df(x) = dx = 1 ε = ε de sorte que la différentielle dx de x est un accroissement arbitraire et l on peut alors écrire df(x) = f (x) dx (5.2) pour toute fonction f dérivable au point x 2. Exemple 5.3. Prenons f(x) = x 3 + 2x 2 + 3x + 4 et calculons l accroissement de f lorsque l on passe de x = 3 à x = 3, 01 : y = f(3, 01) f(3) 0, Utilisons maintenant l expression de la différentielle de f : df(x) = (3x 2 + 4x + 3)dx qui, calculée en 3 pour dx = 3, 01 3 = 0, 01, donne df(3) = 42 0, 01 = 0, 42. La différence entre y et df est donc de l ordre du millième pour dx = 0, 01 et elle n est plus que de l ordre du centmillième lorsque dx est de l ordre du millième. En confondant l accroissement et la différentielle 2 Au passage on comprend ici la notation df(x) dx, autre façon couramment utilisée pour désigner la dérivée f (x).

55 5.1 Rappels et compléments sur les fonctions d une variable réelle 45 lorsque l accroissement de la variable est petit, on obtient une relation linéaire (5.2) entre la variation de la fonction (df(x)) et l accroissement de la variable (dx). C est par ce biais qu est obtenue la grande majorité des équations différentielles qui régissent des phénomènes physiques. À partir de la relation (5.2) il est facile de voir que les règles classiques de dérivation bien connues et rappelées dans le tableau ci-dessous, s appliquent aussi aux différentielles. Dans ce tableau a désigne une constante, u et v deux fonctions dérivables et n un entier. Pour alléger l écriture, la dépendance en x a été omise. fonction dérivée différentielle a 0 0 u + v u + v du + dv uv u v + v u udv + vdu u/v (u v v u)/v 2 (vdu udv)/v 2 u n nu n 1 u nu n 1 du Cas d une fonction composée Le cas d une fonction composée mérite d être rappelé plus en détail. Soit donc u et v deux fonctions dérivables et f(x) = u v(x). Dans cette expression la fonction u dépend de v qui elle-même dépend de x, ce que l on peut aussi écrire f(x) = u(v(x)). La dérivée de f se calcule de la façon suivante (le symbole d/dx permet une écriture plus évidente de ce calcul) : f (x) = du(v(x)) = du(v) dv(x) dx dv dx. Le premier facteur du(v)/dv s écrit encore u (v) et représente la dérivée de u en tant que fonction de v. La différentielle de f est donc df(x) = u (v)dv(x). Exemple ) Considérons la fonction f(x) = sin(1 + x 2 ) qui est composée de la fonction v : x 1 + x 2 et de la fonction u : v sin(v). La dérivée de v est v (x) = 2x celle de u est u (v) = cos(v), d où f (x) = 2xcos(1 + x 2 ). 2) La trajectoire d un projectile lancé dans le vide avec une vitesse initiale faisant un angle α avec l axe horizontal Ox et dont la composante selon cet axe vaut v 0x est une parabole dont l équation cartésienne est donnée par y = xtan α 1 2 (x/v 0x) 2 g. Sachant que le déplacement horizontal x varie en fonction du temps comme x(t) = v 0x t, on demande de calculer la vitesse verticale v y. Il suffit de calculer la dérivée par rapport à t de y : v y (t) = dy dt = dy dx dx dt = v 0x tan α gt.

56 46 Chapitre 5 : Fonctions de plusieurs variables Dérivées de quelques fonctions usuelles f(x) f (x) f(x) f (x) x n nx n 1 sin x cos x x 1/(2 x) cos x sinx 1/x 1/x 2 tan x 1/cos 2 x e x e x arcsin x 1/ 1 x 2 ln x 1/x arccos x 1/ 1 x 2 a x a x ln a arctan x 1/(1 + x 2 ) Croissance et décroissance La figure 5.4 rappelle les résultats suivants qui découlent directement de la définition de la dérivée (5.1) (ou de la différentielle (5.2) : f (x) > 0, x [a, b] f est croissante sur [a, b], f (x) < 0, x [a, b] f est décroissante sur [a, b], f (x) = 0, x [a, b] f est constante sur [a, b], pour toute fonction f dérivable sur l intervalle [a, b]. On dira de même que f est croissante en x 0 (resp., décroissante) si f (x 0 ) > 0 (resp., si f (x 0 ) < 0). Fig. 5.4 Fonction croissante sur [a, b] (f (x) > 0), décroissante sur [c, d] (f (x) < 0) et constante sur [e, f] (f (x) = 0).

57 5.1 Rappels et compléments sur les fonctions d une variable réelle Courbure La dérivée première permet de connaître le sens de variation d une fonction. La dérivée seconde, si elle existe, permet de caractériser en particulier la courbure de son graphe. On dira que la courbe a une portion concave (resp., convexe) si celle-ci forme un creux (la concavité) tourné du côté des y négatifs (resp., positifs) (figure5.5). On peut montrer que f est concave sur [a, b] f (x) < 0, x [a, b], f est convexe sur [a, b] f (x) > 0, x [a, b]. Fig. 5.5 Notion de convexité et de concavité. Pour passer d une portion concave à une portion convexe le graphe d une fonction doit s infléchir dans l autre sens. En ce point, que l on nomme point d inflexion, la dérivée seconde s annule en changeant de signe. Par exemple, x [0, 2π] sinx est concave pour les x appartenant à l intervalle ]0, π[ et convexe sur ]π, 2π[. Le point x = π est un point d inflexion. La fonction x x 2 est partout convexe. L opposée, f, d une fonction convexe f est une fonction concave et inversement. Aux points où f et f existent, on peut calculer la courbure par la formule C(x) = f (x) (1 + f (x) 2 ) 3 2 (5.3) Comme son nom l indique, cette quantité permet de mesurer le degré avec lequel la courbe est localement arquée. Ainsi une droite a une courbure identiquement nulle, celle d un cercle est constante.

58 48 Chapitre 5 : Fonctions de plusieurs variables À cette courbure est associé le rayon de courbure R(x) = 1/C(x). Ce rayon est celui du cercle qui «colle le mieux à la courbe» (cercle osculateur). En mécanique la courbure (5.3) correspond au module de l accélération ressentie lorsque l on parcourt la courbe à vitesse constante (souvenez-vous de l expression de l accélération normale : a n = v 2 /R...) Exemple 5.5. f(x) = x 2 est partout convexe sur R. D après son graphe on voit que sa courbure est plus forte au voisinage de 0 et qu elle décroit vers 0 quand x tend vers ±. En effet, C(x) = 2/(1 + 4x 2 ) 3/2, C(0) = 2 et lim x ± C(x) = 0. Le cercle osculateur en x = 0 est donc le cercle de rayon R = 1/2 et de centre (0, 1/2) Extremums On considère ici le cas d une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ouvert I =]a, b[, les bornes pouvant éventuellement être à l infini. Une telle fonction f admet un extremum local (ou relatif ) en x 0 si ce point sépare un intervalle de croissance d un intervalle de décroissance de f. On aura pour un maximum local f(x 0 ) f(x) et pour un minimum local f(x 0 ) f(x) pour tout point x suffisamment proche de x 0. L extremum sera dit global (ou absolu) si ces inégalités ont lieu non plus seulement dans un voisinage de x 0 mais pour tout x de I. Exemple 5.6. f(x) = x 2 est décroissante sur ], 0[ et croissante sur ]0, + [, le point x 0 = 0 est donc un point où f admet un minimum. Ce minimum est d ailleurs un minimum global car f(x) 0 = f(0), x R. Au point x 0 = π/2, la fonction sinx admet un maximum car à gauche de ce point on peut trouver un intervalle sur lequel sinx est croissante l intervalle ]0, π/2[, par exemple et à droite de x 0 on peut trouver un intervalle de décroissance par exemple ]π/2, π[. Il est évident que si la fonction est dérivable sur I =]a, b[, alors nécessairement la dérivée s annule aux points où elle admet des extremums : f (x 0 ) = 0. On fera attention au fait que la condition précédente n est pas suffisante : en un point x 0 pour lequel f (x 0 ) = 0 (point dit critique), f n admet pas forcément d extremum. Il suffit par contre que cette dérivée n ait pas le même signe à droite et à gauche de ce point (figure5.6) pour qu elle en admette un. Exemple 5.7. La dérivée de la fonction f(x) = x 3 s annule pour x = 0. Cependant, f n admet pas d extremum en ce point. En effet, f (x) = 3x 2 est positive à droite et à gauche de x = 0, donc f est croissante aussi bien à droite qu à gauche de ce point (figure 5.6).

59 5.1 Rappels et compléments sur les fonctions d une variable réelle 49 Fig. 5.6 Condition d existence d un extremum pour une fonction dérivable sur un ouvert : la dérivée doit s annuler et changer de signe. À gauche, fonction admettant un minimum local (au point B de la courbe) et deux maximums (aux points A et C) dont l un est glocal (C). À droite, exemple d une fonction dont la courbe possède un point critique mais pas d extremum. Ainsi, pour trouver les extremums locaux de la fonction f dérivable sur ]a, b[, il faut calculer f (x), résoudre l équation f (x) = 0 pour trouver les points critiques, étudier les changements de signe de f (x) dans le voisinage de chaque point critique. La dernière étape peut être nettement simplifier si la fonction est deux fois dérivable. En effet, d après ce que l on a vu au paragraphe 5.1.7, si f (x 0 ) > 0, la courbe est convexe en ce point et si de plus f (x 0 ) = 0 alors forcément ce point correspond à un minimum. De la même façon on aura un maximum si f (x 0 ) < 0 et f (x 0 ) = 0. On se souviendra donc que pour toute fonction deux fois dérivable sur ]a, b[ : f (x 0 ) = 0 et f (x 0 ) < 0 f admet un maximum en x 0. f (x 0 ) = 0 et f (x 0 ) > 0 f admet un minimum en x 0, Si f (x 0 ) est nulle, on ne peut pas conclure en général sans passer par l étude du signe de f autour de x 0. On gardera aussi à l esprit que la dérivabilité n est pas nécessaire à l existence d un extremum. La fonction dont le graphe est représenté à la figure 5.2b n est pas

60 50 Chapitre 5 : Fonctions de plusieurs variables dérivable aux points P et Q et y admet pourtant un maximum et un minimum, respectivement. Pour étudier ces cas de figure, il faut étudier les variations (croissance et décroissance) de la fonction autour de ces points. Exemple ) La fonction f : x R x n est pas dérivable en x 0 = 0 car la pente n y est pas unique. De toute évidence elle y admet pourtant un minimum puisque x 0 = x 0 pour tout x R. 2) La fonction f : x R 3 (x 2) 2 a pour dérivée f (x) = Cette dérivée, définie partout x 2 sauf en x 0 = 2, est négative à gauche de ce point et positive à droite. La courbe de f est donc décroissante jusqu en x 0 puis croissante au-delà de x 0. Ce point est donc un minimum (ce que l on aurait pu voir sans faire de calcul en remarquant que (x 2) 2 est toujours positif et s annule en 2 et qu il en va donc de même pour f : f(x) 0 = f(2), x R). Signalons pour finir que si f est définie sur un intervalle fermé [a, b] elle admet toujours une plus grande et une plus petite valeur. Pour trouver ces valeurs, il faut comparer les éventuels extremums atteints par f sur ]a, b[ avec les valeurs f(a) et f(b) prises par f aux extrémités de l intervalle. Exemple ) La fonction f(x) = x a une dérivée non nulle. Elle possède pourtant dans tout intervalle [a, b] une plus petite valeur (f(a) = a) et une plus grande valeur (f(b) = b). 2) La fonction dont le graphe est représenté ci-contre possède deux extremums locaux en x 1 et x 2. Dans l intervalle [a, b], le maximum global est atteint en x 2 tandis que le minimum global l est en b : on écrit max x [a,b] f(x) = f(x 2 ) et min x [a,b] f(x) = f(b). 5.2 Fonctions de R n dans R On rencontre de nombreuses situations où la grandeur étudiée dépend de plusieurs autres. Par exemple, dans un lever topographique, la grandeur mesurée est la hauteur topographique h et celle-ci est bien sûr dépendante du lieu où elle est prise donc de deux variables (coordonnées) x et y. La hauteur, quantité scalaire, est donc fonction d un couple de nombre (x, y) : h = f(x, y). On dit que c est une fonction de R 2 dans R ou encore que c est une fonction numérique de deux variables réelles. Le graphe de la fonction f, c est-à-dire l ensemble des points (x, y, f(x, y)) lorsque (x, y) décrit le domaine D R 2 du plan sur lequel on a effectué les mesures de h, est une surface de l espace à trois dimensions (figure5.7) : S = {(x, y, z) R 3 ; (x, y) D et z = f(x, y)}.

61 5.2 Fonctions de R n dans R 51 Fig. 5.7 Le graphe d une fonction numérique de n variables (ici 2) est une surface de R n+1 (ici de l espace R 3 ) : lorsque le point (x, y) décrit le domaine D (zone grise), le point (x, y, z), où z = f(x, y), décrit la surface S. Dans le cas général, une fonction numérique de n variables réelles est une fonction de R n dans R qui à un point (x 1, x 2,..., x n ) de R n associe un nombre réel u = f(x 1, x 2,..., x n ). Dans la pratique, les variables x i peuvent correspondre à des grandeurs qui ne sont pas forcément de la même nature; elles ont donc en général des dimensions physiques différentes (longueur, temps, masse, température, etc). Par exemple, la loi régissant l état d une mole de gaz parfait PV = RT fait intervenir trois grandeurs (R est une constante) : P, V et T toutes de dimensions différentes. De cette expression on peut tirer l une des trois grandeurs en fonction des deux autres qui sont alors considérées comme des variables indépendantes. Ainsi, on peut faire u = P, x 1 = V et x 2 = T, la fonction f étant alors f(x 1, x 2 ) = Rx 2 /x 1, c est-à-dire P = f(v, T) = RT/V. Notons aussi que la relation entre u et les x i (i = 1, 2,..., n) peut être donnée soit sous forme explicite si l expression de la fonction f est connue : u = f(x 1, x 2,..., x n ) et dans ce cas on peut explicitement calculer u dès que l on donne des valeurs numériques aux x i. Exemple : u = x 1 + 2x 2 + 3x 3, soit sous forme implicite, c est-à-dire sous forme d une équation liant u aux n variables : F(u, x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pour pouvoir calculer la valeur que prend u pour des x i donnés, il faut alors résoudre cette équation ce qui peut être plus ou moins facile. La loi

62 52 Chapitre 5 : Fonctions de plusieurs variables des gaz parfaits (PV RT = 0) citée plus haut, fournit un exemple de relation implicite qu il est facile de résoudre, c est-à-dire de mettre sous forme explicite. Par contre, résoudre l équation u sin(u) x 2 1 x 2 2 = 0 n est pas du tout évident. Notations On se limitera dans la suite aux fonctions de deux ou trois variables, la généralisation à plus de trois variables étant sans difficulté majeure. Dans ce cas, plutôt que de nommer ces variables x 1, x 2, x 3 on utilisera x, y, z. Pour alléger l écriture, un élément de R n sera parfois désigner par une lettre italique en caractère gras : x = (x, y) R 2, y = (x, y, z) R 3. L écriture u = f(x, y) pourra alors être remplacée par u = f(x) sans que cela soit systématique. Sur les figures, le point de l espace euclidien correspondant à un élément de R n sera désigné par une lettre majuscule : O, P, M, etc. L espace étant rapporté à un système d axes cartésien d origine O, la notation x désignera aussi bien les coordonnées du point M correspondant que les composantes du vecteur OM Deux types de représentations graphiques d une fonction de deux variables Pour une fonction f de deux variables on peut utiliser la représentation en perspective de son graphe, comme sur la figure 5.7, ou utiliser des coupes de celui-ci avec des plans. Parmi ce dernier type, la représentation en lignes de niveau consiste à projeter sur le plan xoy les coupes du graphe de f avec des plans parallèles à xoy et (en général) régulièrement espacés. On illustre ces deux représentations sur un cas simple, celui de la fonction définie sur D = R 2 par f(x, y) = x 2 + y 2. Représentation en perspective Pour esquisser le graphe de f, c est-à-dire la surface S = {(x, y, z); z = x 2 +y 2 }, on peut d abord remarquer que f(x, y) 0 donc que S se trouve dans le demi-espace

63 5.2 Fonctions de R n dans R 53 z 0. Ensuite, on remarque que l on ne change pas f si l on permute x et y. Il y a donc une symétrie de révolution autour de l axe Oz. On peut donc se contenter de représenter la trace du graphe dans n importe qu elle plan contenant Oz puis de le faire tourner autour de cet axe pour obtenir la surface S. Choisissons le plan xoz. Tous les points de ce plan sont tels que y = 0 et les valeurs prises par f sont donc f(x, 0) = x 2. Puisque dans ce plan z = x 2, la trace de S est une parabole (figure5.8). Le graphe de f est alors ce que l on appelle un paraboloïde. Fig. 5.8 Construction de la surface définie par z x 2 y 2 = 0. Représentation par courbes de niveau Comme le suggère la figure5.9, il s agit de représenter, dans le plan xoy, les courbes résultant de l intersection de la surface S avec des plans parallèles au plan xoy. Comme ces plans ont pour équations cartésiennes z = C 1, z = C 2,..., z = C N où les C i sont des constantes, les courbes obtenues sont donc définies par f(x, y) = C 1, f(x, y) = C 2,..., f(x, y) = C N. On a illustré sur la figure5.9 ces courbes pour des constantes C i valant 0, 1, 2, et 3 et pour la fonction f(x, y) = x 2 + y 2. Chacune de ces courbes s appelle une courbe de niveau ou une ligne de niveau de la fonction. Comme par définition la valeur de f ne varie pas lorsque l on se déplace sur une de ces lignes, on les nomme aussi lignes équipotentielles de f. On retiendra donc qu une ligne de niveau est solution de l équation f(x, y) = C. Dans notre exemple C ne peut être que positive puisque f l est et les lignes de niveau sont alors des cercles de centre (0, 0) et de rayon C : x 2 + y 2 = C.

64 54 Chapitre 5 : Fonctions de plusieurs variables On trace alors ces courbes pour quelques valeurs de C et on étiquète chacune d elles par la valeur correspondante (figure5.9). Fig. 5.9 Construction des lignes de niveau de f(x, y) = x 2 + y 2. Une autre façon de représenter les équipotentielles de f est d utiliser une représentation en carte de couleurs (figure 5.10). L échelle des couleurs donne alors la correspondance entre les couleurs et les plages de valeurs prises par f Fig Représentation en carte de couleurs de f(x, y) = x 2 + y 2. Anticipons un peu en faisant une remarque sur laquelle nous aurons l occasion de revenir : les lignes de niveau représentées sur la figure5.9 (ou sur la figure5.10) sont fermées et entourent le point (0, 0) qui est le point où f(x, y) = x 2 + y 2 atteint son minimum. Ceci est une caractéristique des lignes de niveau : elles se referment autour des extremums locaux. C est ainsi que sur une carte topographique l on reconnait facilement les sommets et les creux.

65 5.2 Fonctions de R n dans R 55 Avant d aborder ces aspects plus en détail, on se souviendra des informations qualitatives ci-dessous que peut donner une représentation en courbes de niveau (voir aussi vos cours de cartographie). Des niveaux qui augmentent dans une direction indiquent que la fonction croît dans cette direction. Inversement, des niveaux qui diminuent dans une direction indiquent la décroissance de la fonction dans cette direction. Les courbes de niveau se resserrent là où la fonction varie rapidement (forte pente), elles sont plus espacées là où la fonction varie plus lentement (pente douce). Des courbes de niveau qui se referment sont le signe d un extremum local. Les cols sont marqués par des courbes dont les niveaux augmentent dans certaines directions et diminuent selon d autres. Fig Illustration sur un exemple topographique de quelques informations que l on peut tirer d une représentation en courbes de niveau.

66 56 Chapitre 5 : Fonctions de plusieurs variables Continuité f étant une fonction de R n dans R, on dira qu elle est continue au point x 0 = (x 01, x 02,..., x 0n ) si f(x) admet une limite quand x tend vers x 0 et que cette limite est égale à f(x 0 ) : lim f(x) = f(x 0). x x 0 0 où désigne l une des normes usuelles dans R n. Une fonction est dite continue si elle est continue en tous les points de son domaine de définition. Alors, comme on l a vu pour les fonctions d une variable, le graphe d une telle fonction ne présente aucun saut. Dans notre exemple «topographique» précédent, si h est continue alors on peut se promener sur la surface S, dans toutes les directions, sans jamais risquer de tomber d une falaise ou dans un puits Dérivées partielles premières On expose le cas des fonctions de deux variables, la généralisation à n > 2 variables se faisant sans difficulté. Considérons donc une fonction f : R 2 R et un point P 0 (x 0, y 0 ). Lorsque l on passe de ce point au point P (x 0 + ε, y 0 + η), la valeur de la fonction varie de z = f(x 0 + ε, y 0 + η) f(x 0, y 0 ). On peut décider de se déplacer d abord parallèlement à Ox, en passant du point P 0 au point P 1 (x 0 + ε, y 0 ), puis parallèlement à Oy en passant de P 1 à P ou, inversement, d abord parallèlement à Oy en se déplaçant de P 0 à P 2 (x 0, y 0 + η) puis de P 2 à P. Bien entendu, tout autre chemin menant de P 0 à P donnerait le même résultat, l expression de z étant indépendante du chemin emprunté puisque seules les coordonnées de ces deux points y interviennent. Effectuons le trajet qui mène de P 0 à P 1. Le point courant (x, y) décrit le segment [P 0, P 1 ] formé par les points de coordonnées (x, y 0 ) avec x 0 x x 0 +ε. Le point (x, y, f(x, y)) du graphe S de f décrit dans le même temps une portion de la courbe plane C y0 (figure5.12) intersection de S avec le plan P y0 d équation y = y 0. Cette courbe est décrite par la fonction de la seule variable x (puisque la valeur de y ne varie pas et est fixée à y 0 ) définie par g(x) = f(x, y 0 ). Si cette fonction est dérivable au point x 0, sa dérivée, g g(x 0 + ε) g(x 0 ) (x 0 ) = lim, ε 0 ε

67 5.2 Fonctions de R n dans R 57 donne le taux de variation de f au point x 0 lorsque l on fait varier x uniquement. Cette dérivée est notée f x (x 0, y 0 ) ou encore f (x x 0, y 0 ) ce qui se lit «d rond f sur d rond x au point (x 0, y 0 )». Fig Interprétation géométrique de la dérivée partielle f x (x 0, y 0 ). La courbe C y0 est l intersection entre le graphe de f (surface S) et le plan P y0 (plan parallèle au plan xoz et passant par (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ))). Cette courbe admet une tangente T y0 en x 0 si la fonction x f(x, y 0 ) est dérivable en ce point. Sa dérivée en x 0, pente de la droite tangente T y0, correspond à la dérivée partielle de f au point (x 0, y 0 ). Sa définition est donc, puisque g(x 0 + ε) = f(x 0 + ε, y 0 ) et g(x 0 ) = f(x 0, y 0 ) : f x (x f(x 0 + ε, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim ε 0 ε (5.4) et on l appelle dérivée partielle de f par rapport à x au point (x 0, y 0 ). Elle donne donc la dérivée de f au point (x 0, y 0 ) dans la direction particulière de l axe Ox. De la même façon, en effectuant le trajet de P 0 au point P 2 de coordonnées (x 0, y 0 + η), on est conduit à la définition de f y (x f(x 0, y 0 + η) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim, (5.5) η 0 η dérivée partielle de f par rapport à y au point (x 0, y 0 ) et qui donne la dérivée de f au point (x 0, y 0 ) dans la direction particulière de l axe Oy.

68 58 Chapitre 5 : Fonctions de plusieurs variables Exemple Reprenons la fonction f(x, y) = x 2 +y 2 dont le graphe et les lignes de niveau ont été représentés au paragraphe Calculons sa dérivée partielle par rapport à x au point (3, 4). Il s agit de dériver la fonction g(x) = f(x, y 0 ) = x On a donc g (x) = 2x et alors f x (x 0, y 0 ) = g (x 0 ) = 2 3 = 6 De même, en considérant la fonction h(y) = f(x 0, y) = y 2, on obtient f y (x 0, y 0 ) = h (y 0 ) = 2 4 = 8. D une façon plus générale, on retiendra que pour calculer les dérivées partielles de la fonction f(x, y) en un point quelconque (x, y) où elles existent il faut considérer que y est une constante et dériver f par rapport à x pour obtenir f/ x(x, y), que x est une constante et dériver f par rapport à y pour obtenir f/ y(x, y). Exemple Calculons, au point (x, y), les dérivées partielles de la fonction définie par f(x, y) = 1 xy + 2 cosy On considère y comme une constante et on dérive par rapport à x : f y (x, y) = x (xy + 2 cosy) 2. On considère maintenant x comme une constante et on dérive par rapport à y : f (x, y) = x 2 siny y (xy + 2 cosy) 2. Une fonction de deux variables a donc, si elles existent, deux dérivées partielles au point (x 0, y 0 ). Pour les mêmes raisons, une fonction de trois variables f(x, y, z) f pourra avoir trois dérivées partielles au point x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) : (x f x 0), (x y 0), f (x z 0) et une fonction de n variables f(x 1, x 2,..., x n ) aura, si elles existent, n dérivées f f f partielles au points x 0 = (x 01, x 02,..., x 0n ) : x 1 (x 0 ), x 2 (x 0 ),..., x n (x 0 ). Si les dérivées partielles de la fonction f(x, y) existent en tous les points d un domaine D, les fonctions notées f/ x et f/ y, qui à tout point x = (x, y) de D associent les nombres f/ x(x), f/ y(x) : x D f x (x), x D f y (x), s appellent les fonctions dérivées partielles de f ou simplement dérivées partielles de f.

69 5.2 Fonctions de R n dans R Différentielle Vecteur gradient Comme on l a dit plus haut, les dérivées partielles f (x x 0) et f (x y 0) sont les dérivées de f au point x 0 = (x 0, y 0 ) dans les deux directions particulières des axes Ox et Oy, c est-à-dire qu elle représentent les taux de variation de f quand le point (x, y) se déplace le long d un segment parallèle à Ox et à Oy, respectivement. On peut tout aussi bien calculer les taux de variation que subit f lorsque (x, y) se déplace sur des segments de directions quelconques par rapport aux axes. On obtient ce que l on appelle des dérivées directionnelles ( f (x x 0) et f (x y 0) en étant donc que des cas particuliers). La notion de différentiabilité généralise aux fonctions de plusieurs variables celle de dérivabilité pour les fonctions d une variable. Si une fonction est différentiable en x 0, les dérivées directionnelles en ce point existent quelle que soit la direction. On admettra qu inversement, si les dérivées directionnelles en ce point existent dans toute direction et si de plus elles sont continues alors la fonction est différentiable. Différentielles partielles Différentielle totale Lorsque l on passe du point (x 0, y 0 ) au point voisin (x 0 +ε, y 0 +η), en effectuant un déplacement arbitraire ε selon Ox et un déplacement arbitraire η selon Oy, la valeur de la fonction u = f(x, y) varie de u = f(x 0 +ε, y 0 +η) f(x 0, y 0 ). On peut l écrire u = f(x 0 + ε, y 0 + η) f(x 0, y 0 + η) + f(x 0, y 0 + η) f(x 0, y 0 ). En introduisant comme on l a fait précédemment la fonction g(x) = f(x, y 0 + η) et la fonction h(y) = f(x 0, y), on a u = [g(x 0 + ε) g(x 0 )] + [h(y 0 + η) h(y 0 )]. La différence qui se trouve dans le premier crochet représente l accroissement de la fonction g au point x 0, celle du deuxième crochet, l accroissement de la fonction h au point y 0. On a vu ( 5.1.3) que si une fonction g d une variable réelle x est dérivable en x 0, son accroissement g(x 0 +ε) g(x 0 ), pour une petite variation arbitraire dx = ε de la variable x, est proche de sa différentielle dg(x 0 ) en ce point et que celle-ci est donnée par dg(x 0 ) = g (x 0 )ε = g (x 0 )dx. Or on vient de voir que la dérivée de la fonction g(x) = f(x, y 0 +η) définit la dérivée partielle de f par rapport à x au point (x 0, y 0 + η), on a donc dg(x 0 ) = f x (x 0, y 0 + η)dx.

70 60 Chapitre 5 : Fonctions de plusieurs variables C est ce que l on appelle la différentielle partielle de f selon Ox. On aura par un raisonnement identique la différentielle partielle de f selon Oy : dh(y 0 ) = f y (x 0, y 0 )dy. Finalement, en additionnant les deux différentielles partielles on obtient la différentielle totale df(x 0, y 0 ) de f au point (x 0, y 0 ) : df(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )dx + f y (x 0, y 0 )dy (5.6) expression qui permet de calculer une valeur approchée de l accroissement de f lorsque x et y subissent de petites variations dx et dy. Cette expression (5.6) s étend directement aux fonctions de 3 variables (et plus) : df(x 0, y 0, z 0 ) = f x (x 0, y 0, z 0 )dx + f y (x 0, y 0, z 0 )dy + f z (x 0, y 0, z 0 )dz (5.7) Exemple Soit à calculer, sans calculatrice, une valeur approchée de A = (3, 01) 2 + (3, 99) 2. On remarque que A = 5, ce qui fournit une première approximation mais grâce à la notion de différentielle, on peut faire un peu mieux. En effet, A est la valeur en (3, 01, 3, 99) de la fonction f(x, y) = x 2 + y 2 et 5 est la valeur de f en (x 0, y 0 ) = (3, 4). La valeur cherchée A peut s écrire A = 5 + u, mais u n est évidemment pas connu. Ce que l on sait par contre, c est que u doit être proche de df(x 0, y 0 ) si on n est pas trop loin de (x 0, y 0 ). Donc écrivons que u df(3, 4) et utilisons (5.6) pour trouver une approximation de A meilleure que 5 : A 5 + df(3, 4) = 5 + f f (3, 4)dx + (3, 4)dy x y avec dx = 3, 01 3 = 0, 01 et dy = 3, 99 4 = 0, 01. Il nous faut calculer les dérivées partielles de f en (3, 4) : D où f x (x 0, y 0 ) = x 0 x y 2 0 A , La valeur exacte est A = 4, = 3 5, f y (x 0, y 0 ) = ( 0, 01) = 5 0, 01 5 y 0 x y 2 0 = 4, 998. = 4 5.

71 5.2 Fonctions de R n dans R 61 Vecteur gradient Si l on note dx = (dx, dy) le vecteur contenant les différentielles des variables x = (x, y), on remarque que la différentielle de f(x) donnée par (5.6) s écrit comme le produit scalaire de dx avec le vecteur que l on note gradf(x) : df(x) = gradf(x) dx (5.8) et dont les composantes sont les dérivées partielles de f en x ( f gradf(x) = x (x), ) f y (x) (5.9) Ce vecteur est appelé vecteur gradient de f ou simplement gradient de f. Interprétation géométrique du vecteur gradient Considérons la représentation par courbes de niveau de la fonction différentiable f(x, y) et soit x 0 = (x 0, y 0 ) un point par lequel passe la ligne de niveau de valeur C 0. À partir de ce point, on considère tous les déplacements dx = (dx, dy) que l on peut effectuer et ayant tous la même longueur extrêmement petite (figure5.13). Fig En partant de x 0 et en se déplaçant de dx on se retrouve en x en subissant une différence de niveau C C 0 df(x 0 ). Parmi toutes les orientations possibles de dx (cercle en pointillés), quelles sont celles pour lesquelles cette différence de niveau est nulle, maximale, minimale? On suppose pour se fixer les idées que C M > C > C 0 > C m.

72 62 Chapitre 5 : Fonctions de plusieurs variables Un de ces déplacements nous amènera sur une nouvelle ligne de niveau C engendrant une variation de f quantifiée par la différentielle df(x 0 ). Quelles orientations donner au déplacement dx pour que f ne varie pas, pour que f croisse le plus ou pour que f décroisse le plus? La figure 5.13 donne une idée des réponses. Imaginons dans un premier temps que le déplacement dx se fasse tangentiellement à la courbe de niveau en nous amenant au point x 0. Le déplacement étant très faible, x 0 se trouve quasiment sur la même courbe de niveau que x 0. La différentielle de f en x 0 est donc nulle pour cette variation dx. Mais d après (5.8), cela signifie que gradf(x 0 ) et dx sont orthogonaux. Autrement dit : gradf(x 0 ) est un vecteur qui est orthogonal à l équipotentielle passant par x 0. Supposons maintenant que le déplacement dx nous amène en x sur une ligne de niveau supérieur (C > C 0 ). La valeur de f a augmentée et donc df est positive. Le produit scalaire entre gradf(x 0 ) et dx est donc positif ce qui signifie que ces deux vecteurs font entre eux un angle α aigu. On en conclut que : gradf(x 0 ) pointe dans le sens des valeurs croissantes de f. Ainsi, gradf(x 0 ) indique la direction qu il faut prendre à partir de x 0 pour s élever le plus (ligne de plus grande pente). En effet, df(x 0 ) = gradf(x 0 ) dx cosα et le déplacement dx qui permet de maximiser ce produit est celui qui est colinéaire à gradf(x 0 ) et qui nous amène au point x M sur la figure5.13. On a alors df(x 0 ) = gradf(x 0 ) dx : le module du gradient donne la plus grande différence de niveau pour un déplacement unitaire. Pour la raison opposée, le déplacement qui minimisera la différence de niveau (celui qui permettra de descendre le plus «vite») est celui qui est dans le sens opposé au gradient et qui nous amène au point x m de la figure5.13 et dans ce cas df(x 0 ) = gradf(x 0 ) dx. Exemple Reprenons l exemple du paraboloïde d axe Oz défini par f(x, y) = x 2 + y 2. Le vecteur gradient est en tout point (x, y) donné par gradf(x, y) = (2x, 2y). Si l on note P le point du plan xoy de coordonnées (x, y), on a gradf(x, y) = 2 OP. Tous les vecteurs gradf(x, y) sont donc bien orthogonaux aux cercles de centre O et sont dirigés vers les valeurs croissantes de f. Sont dessinés sur la figure ci-contre quelques représentants de ce champ de vecteurs du plan xoy.

73 5.2 Fonctions de R n dans R Vecteur normal et plan tangent à une surface La relation u = f(x, y) peut toujours s écrire sous forme implicite f(x, y) u = 0. Dans cette expression u n est pas une variable indépendante : sa valeur est fonction de celles de x et de y. Considérons la fonction F des trois variables indépendantes (x, y, z) définie par F(x, y, z) = f(x, y) z. Pour chaque valeur du couple (x, y), u est bien sûr solution de F(x, y, u) = 0. F étant une fonction de trois variables ses équipotentielles ne sont pas des courbes de R 3, comme c est le cas avec f, mais des surfaces (surfaces de niveau) définies par F(x, y, z) = C. Le graphe de f peut aussi s écrire S = {(x, y, z) R 3 ; z = f(x, y)} S = {(x, y, z) R 3 ; F(x, y, z) = 0}, il n est donc rien d autre que l équipotentielle 0 de la fonction F. Le graphe d une fonction de deux variables peut donc être vu comme une des surfaces équipotentielles d une fonction de trois variables. Tout ce qui a été dit au paragraphe précédent pour les fonctions de deux variables et vrai aussi pour les fonctions de trois variables et plus. En particulier, le gradient (s il existe) est, en un point x 0 = (x 0, y 0, z 0 ), un vecteur orthogonal à l équipotentielle passant par ce point. On en conclut que le vecteur ( ) F gradf(x 0 ) = (x x 0), F (x y 0), F (x z 0) est normal à la surface définie par F(x, y, z) = 0 au point x 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Dans le cas particulier où F s écrit F(x, y, z) = f(x, y) z, le vecteur normal au point (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) de la surface S est donc donné par et dont le module vaut N(x 0, y 0 ) = ( f N (x0, y 0 ) = x (x 0, y 0 ), f ) y (x 0, y 0 ), f x (x 0, y 0 ) 2 + f y (x 0, y 0 ) 2.

74 64 Chapitre 5 : Fonctions de plusieurs variables Fig Une surface S de R 3 peut être définie par la donnée d une fonction z = f(x, y) ou sous forme d une équation implicite du type F(x, y, z) = 0. Si x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) désigne un point de cette surface (c-à-d, F(x 0 ) = 0) et si F est différentiable en ce point, le vecteur ( F x (x 0), F y (x 0), F z (x 0)) est normal à S en ce point. Remarquons aussi que si F est une fonction affine de x, y et z : F(x, y, z) = ax + by + cz + d, son gradient est constant et égal à (a, b, c). On retrouve ainsi que les composantes d un vecteur normal au plan ax+by +cz +d = 0 sont données par les trois premiers coefficients (a, b, c). Revenons au cas général et déterminons maintenant l équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 du plan P tangent à la surface S en un point x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) où la normale est bien définie. Puisque P et S sont tangents en x 0, ils partagent le même point x 0 et la même normale. Les trois premiers coefficients de l équation du plan sont donc égaux aux composantes du gradient de F en x 0, le dernier d étant déterminé par l appartenance de x 0 à ce plan. On a donc a = F x (x 0), b = F y (x 0), c = F z (x 0) et d = ax 0 by 0 cz 0. Le plan tangent à la surface définie par F(x, y, z) = 0 au point x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) a pour équation (x x 0 ) F x (x 0) + (y y 0 ) F y (x 0) + (z z 0 ) F z (x 0) = 0.

75 5.2 Fonctions de R n dans R 65 Dans le cas particulier où F s écrit F(x, y, z) = f(x, y) z, l équation du plan tangent devient z = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) + f(x 0, y 0 ), généralisation à deux variables de ce que l on connaissait à une variable (équation de la droite tangente : y = f (x 0 )(x x 0 )+f(x 0 ) pour une courbe définie par y = f(x)). Exemple Revenons à nouveau à la fonction définie par f(x, y) = x 2 + y 2 et dont le graphe est le paraboloïde qui peut aussi s écrire S = {(x, y, z) R 3 ; F(x, y, z) = x 2 + y 2 z = 0}. Le vecteur normal à cette surface, en un quelconque de ses points est donné par N(x, y) = (2x, 2y, 1). Au point (0, 0), il vaut N 0 = (0, 0, 1) et au point (1, 2) il vaut N 1 = (2, 4, 1). Les plans tangents P 0 et P 1 associés ont donc pour équations cartésiennes z = 0 et 2x + 4y z = 5, respectivement Dérivées partielles secondes Une fonction f de deux variables (x, y) a deux dérivées partielles premières f/ x, f/ y, qui définissent deux nouvelles fonctions qui à leur tour peuvent avoir deux dérivées partielles premières. Ce sont les dérivées partielles secondes de f. Considérons la fonction f/ x. Ses deux dérivées premières sont 2 f (x, y) = x2 x ( f (x, y) x ), 2 f (x, y) = y x y De même les deux dérivées premières de f/ y sont ( ) 2 f f (x, y) = (x, y), x y x y 2 f (x, y) = y2 y ( f (x, y) x ). (5.10) ( ) f (x, y). (5.11) y Les dérivées 2 f/ x y et 2 f/ y x sont dites dérivées croisées (ou mixtes) de f. Un résultat important (théorème de Schwarz) montre que si elles existent et sont continues au point (x, y) alors elles sont égales : 2 f y x (x, y) = 2 f (x, y), (5.12) x y autrement dit, l ordre dans lequel on dérive n importe pas. Dans ce cas de figure, une fonction de deux variables a donc trois dérivées partielles secondes, une fonction de trois variables en a six et une fonction de n variables en a n(n + 1)/2.

76 66 Chapitre 5 : Fonctions de plusieurs variables Exemple La fonction définie par f(x, y) = x 2 + xy a pour dérivées partielles premières f x (x, y) = f (x, y) = 2x + y, x f y(x, y) = f (x, y) = x. y Les dérivées de f x sont Celles de f y sont f x x (x, y) = 2 f f (x, y) = 2, x2 f y x (x, y) = 2 f f (x, y) = 1, x y et on a bien 2 f/ x y = 2 f/ y x. x y = 2 f (x, y) = 1. y x y y = 2 f (x, y) = 0. y Extremums Comme pour le cas des fonctions d une seule variable, la condition nécessaire pour qu une fonction de plusieurs variables f, différentiable en x 0, admette un extremum local en ce point est que les dérivées premières s y annulent : gradf(x 0 ) = 0 (5.13) Là-aussi, cette condition n est pas suffisante : tous les points vérifiant (5.13) (points dit critiques) ne sont pas forcément des points où f admet un extremum. Pour chercher les extremums de la fonction différentiable z = f(x, y), il faut donc passer par les étapes suivantes : calculer ( f f gradf(x, y) = (x, y), ), (x, y) x y trouver les points critiques de f par résolution du système de deux équations aux deux inconnues x et y : gradf(x, y) = 0, étudier les variations de f dans le voisinage de ces points critiques. Si x 0 est un point critique, le plan tangent au graphe S de f passant par le point (x 0, f(x 0 )) est parallèle aux plan xoy (plan «horizontal»). Si, localement autour de x 0, la surface S est d un seul côté de ce plan, alors ce point x 0 est le lieu d un extremum local. Sur la figure 5.15, les points A et B correspondent à un maximum et à un minimum, respectivement. En effet, le graphe de f est au-dessous (au moins localement) du plan tangent passant par A tandis qu il est au-dessus de celui passant par B. Les points C et D ne sont pas, par contre, des extremums. Ils correspondent ici à ce que l on nomme des cols ou des points de selle par analogie avec la forme d une selle de cheval.

77 5.2 Fonctions de R n dans R 67 Fig Exemple d une fonction admettant des extremums locaux (points A et B) et des points de selle ou cols (points C et D). Comme pour les extremums, ces derniers correspondent aussi à des points critiques de la fonction : les plans tangents passant par ces points sont horizontaux (le gradient est nul). Mais à la différence des extremums, la surface S n est pas localement que d un côté des plans tangents. Comme le suggère la figure 5.16 qui représente la même fonction f que celle représentée à la figure 5.15, il est facile, à partir des courbes de niveau de f et de la distribution de son champ de gradient, de distinguer les extremums des cols d une part, les minimums des maximums d autre part. Si la fonction f est deux fois dérivable, les dérivées secondes permettent de préciser les choses, au moins dans certains cas. On donne le critère qui permet d identifier si un point critique x 0 est le lieu d un maximum, d un minimum ou d un col. On se limite aux cas d une fonction de deux variables et on pose r = 2 f x 2 (x 0), s = 2 f x y (x 0), = rt s 2. t = 2 f y 2 (x 0), Le point x 0 = (x 0, y 0 ) étant un point critique ( gradf(x 0 ) = 0 ) : si > 0 et r > 0 alors f admet un minimum local en x 0, si > 0 et r < 0 alors f admet un maximum local en x 0, si < 0 alors f admet un point col en x 0, si = 0 on ne peut rien dire.