UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SJAP Année universitaire Cours de Statistiques et Économétrie.

Transcription

1 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SJAP Année universitaire Master Droit-Éco Cours de M. Desgraupes Cours de Statistiques et Économétrie Séance 05 1 Analyse de série temporelle Manipulation des séries temporelles Représentation graphique Agrégation des valeurs Lissage Lissage par moyenne mobile Lissage par LOESS Lissage exponentiel Lissage de Holt-Winters Tendance linéaire

2 1 Analyse de série temporelle Séries temporelles On utilise une série temporelle constituée des températures mensuelles moyennes relevées à la station météorologique du Parc Montsouris (Paris 14ème) de janvier 1900 à février Cette série a été construite pour servir d illustration à cette séance à partir de données fournies par le projet European Climate Assessment & Dataset 1. Données originales : fichier TG_STAID txt dans l archive ECA_blend_tg.zip. Les températures sont indiquées en nombres entiers en dixièmes de degrés Celsius. Chargement des données : dftemp <- read.table(" Master1/TemperatureMontsouris.R", header=true) > names(dftemp) [1] "mois" "temp" > attach(dftemp) <environment: 0x1044d35f8> attr(,"name") [1] "dftemp" C est un dataframe. On crée une série temporelle stmp à partir du vecteur des températures comme ceci : > stmp<-ts(temp,start=c(1900,1),end=c(2010,2),freq=12) Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Voir la documentation de la fonction ts et la signification des arguments start, end, frequency et deltat : help(ts) Résumé des données : > summary(stmp) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max > idx <- which(stmp==max(stmp)) 1. Klein Tank, A.M.G. et co-auteurs, Daily dataset of 20th-century surface air temperature and precipitation series for the European Climate Assessment. Int. J. of Climatol., 22, Données et métadonnées disponibles à http ://eca.knmi.nl 2

3 [1] 1279 > mois[idx] [1] > idx <- which(stmp==min(stmp)) [1] 674 > mois[idx] [1] L objet stmp est de classe ts. 1.1 Manipulation des séries temporelles Les attributs d une série temporelle peuvent être récupérés avec les fonctions start, end et frequency : > start(stmp) [1] > end(stmp) [1] > frequency(stmp) [1] 12 La fonction time crée un vecteur de valeurs numériques correspondant aux dates auxquelles la série temporelle a été échantilonnée : time(stmp) Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug La fonction cycle renvoie un vecteur d indices de chaque valeur à l intérieur d un cycle : cycle(stmp) Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec C est utile pour retrouver l indice au sein d un cycle. Par exemple : > cycle(stmp)[temp==max(temp)] [1] 7 3

4 Cette commande indique que la température moyenne maximale a été relevée pendant un mois de juillet (=7). La fonction deltat permet d obtenir l intervalle de temps entre chaque observation sous forme d une fraction de la période (ici 1/12) : > deltat(stmp) [1] On peut extraire une partie d une série temporelle au moyen de la fonction window. Cette fonction accepte les mêmes arguments start, end, frequency et deltat que la fonction ts. Par exemple, extrayons une sous-série avec les données allant de janvier 1990 à décembre 1999 : st9099 <- window(stmp, start = c(1990,1), end = c(1999,12)) R connaît aussi un autre type d objet appelé série temporelle multiple (mts) : c est comme un dataframe dont chaque colonne serait une série temporelle. 1.2 Représentation graphique La fonction plot a un comportement particulier quand on l applique à un objet de classe ts : > plot(stmp) Le graphe est représenté sur la figure 1. Avec la fonction window, on peut tracer la courbe d une partie seulement de la série (ici de 1980 à 2010) : > plot(window(stmp, start = c(1980,1), end = c(2010,2)), main=' ',xlab='',ylab='températures') Le graphe est représenté sur la figure 2. La fonction boxplot couplée avec la fonction cycle permet de construire des boîtes à moustache pour chacune des périodes d un cycle : > boxplot(stmp ~ cycle(stmp)) Le vecteur cycle(stmp) est utilisé ici implicitement comme un facteur. Le graphe est représenté sur la figure 3. Cela met en évidence quelques valeurs aberrantes (outliers). 1.3 Agrégation des valeurs La fonction aggregate permet de calculer des statistiques (telles que moyenne, sommes, etc.) sur des sous-ensembles d une série temporelle. L argument nfrequency est le nombre d observations à utiliser par unité de temps. Il faut spécifier une valeur qui soit un diviseur de la fréquence de la série elle-même. Par exemple, pour une série de fréquence 12, si la valeur de nfrequency est 1, on obtiendra des statistiques par année. Si la valeur de nfrequency est 2, on obtiendra des statistiques par semestres car la fonction créera des sous-ensembles de 6 valeurs. Si la valeur de nfrequency est 4, on obtiendra des statistiques par trimestres. Dans l argument FUN, on indique la fonction à appliquer. Par exemple, calculons les valeurs moyennes par semestre sur les dix dernières années : > stmp0009 <- window(stmp, start = c(2000,1), end = c(2009,12)) 4

5 stmp Time FIGURE 1 Graphique de la série stmp. Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec > aggregate(stmp0009, FUN=mean, nfreq=2) Time Series: Start = c(2000, 1) End = c(2009, 2) Frequency = 2 [1] [7] [13]

6 Températures FIGURE 2 Graphique de 1980 à [19] Cela fait 20 valeurs. Les moyennes annuelles sont obtenues comme ceci : > aggregate(stmp0009, FUN=mean, nfreq=1) Time Series: Start = 2000 End = 2009 Frequency = 1 [1] [7] Voici les minima par trimestre : > aggregate(stmp0009, FUN=min, nfreq=4) Qtr1 Qtr2 Qtr3 Qtr

7 FIGURE 3 Boîtes à moustache par cycle On peut de même avoir un résumé par année comme ceci > aggregate(stmp0009, FUN=summary, nfreq=1) Time Series: Start = 2000 End = 2059 Frequency = 1 [1] [9] [17] [25] [33]

8 [41] [49] [57] Le résultat n est pas facile à lire. Les valeurs se lisent six par six : ce sont les six quantités renvoyées par summary comme dans : > summary(window(stmp, start = c(2000,1), end = c(2000,12))) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max Une manière plus lisible d afficher ces données serait sous forme d une matrice de 10 lignes et 6 colonnes : > agg <- aggregate(stmp0009,fun=summary,nfreq=1) > matrix(agg,ncol=6, nrow=10) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] [6,] [7,] [8,] [9,] [10,] Voici la représentation graphique des valeurs agrégées par année (voir la figure 4) : > plot(aggregate(stmp, FUN=mean, nfreq=1)) Pour voir les boîtes à moustache par périodes de 4 mois (nfreq=3), on écrirait l instruction suivante : semestres <- aggregate(stmp, FUN=mean, nfreq=3) boxplot(semestres ~ cycle(semestres)) 2 Lissage 2.1 Lissage par moyenne mobile Le lissage par moyenne mobile est exécuté par la fonction decompose. Par exemple : > dec <- decompose(stmp) > class(dec) [1] "decomposed.ts" > names(dec) 8

9 aggregate(stmp, FUN = mean, nfreq = 1) Time FIGURE 4 Valeurs agrégées par année. [1] "x" "seasonal" "trend" "random" "figure" [6] "type" L objet dec obtenu est de classe decomposed.ts. dans cet objet, on récupère les séries représentant la tendance, les variations saisonnières et les résidus sous la forme dec$trend, dec$seasonal et dec$random respectivement. Le terme dec$figure représente les variations saisonnières sur un cycle seulement tandis que dec$seasonal représente la répétition de cette figure cyclique sur toute la longueur de la série. dec$figure [1] [7] La fonction plot se comporte de manière particulière avec les objets de classe decomposed.ts comme on peut le voir sur la figure 5. La fonction plot, lorsqu elle est appliquée au résultat d une décomposition, produit quatre graphiques superposés représentant la série de départ, la tendance, la saisonnalité et les résidus : > plot(dec) On peut aussi effectuer à la main le calcul des moyennes mobiles : 9

10 Decomposition of additive time series random seasonal trend observed Time FIGURE 5 Graphique de décomposition par moyenne mobile. > len <- length(temp) > mmob<-vector(length=len) > for (i in 7:len) { mmob[i] <- sum( c(temp[i-6]/2, temp[(i-5):(i+5)], temp[i+6]/2) )/12 } On obtient les mêmes valeurs que dans dec$trend. Voici les 24 premières : > dec$trend[1:24] [1] NA NA NA NA NA NA [7] [13] [19] > mmob[1:24] [1] [7] [13] [19]

11 Calcul à la main des variations saisonnières : on élimine les 6 valeurs initiales et finales qui sont NA et on soustrait la tendance dans la série obtenue, on calcule les moyennes pour chacun des 12 mois. > len <- length(temp) > idx <- 7:(len-6) > msaison <- by(temp[idx]-mmob[idx],cycle(stmp)[idx],mean) La moyenne de ces moyennes mensuelles est proche de 0 : mean(msaison) [1] On soustrait cette moyenne pour obtenir la saisonnalité définitive : > saisons <- as.vector(msaison-mean(msaison)) [1] [6] [11] Remarque : à la fin de ce calcul, on ne trouve pas tout-à-fait les mêmes valeurs que dans le terme dec$figure ci-dessus car R fait quelques corrections de lissage sur les valeurs initiales et finales de la série. Finalement le vecteur des résidus est obtenu en retirant à la fois la tendance et la saisonnalité : > residus <- temp-mmob-saisons[cycle(stmp)] 2.2 Lissage par LOESS La technique LOESS est implémentée dans R pour les séries temporelles par la fonction stl. Cette fonction renvoie un objet de classe stl comportant en particulier une composante appelée time.series qui est une série temporelle multiple composée de colonnes appelées trend, seasonal et remainder, correspondant respectivement à la tendance, l effet saisonnier et le reste (résidus). Le premier argument de la fonction stl est la série temporelle et le second argument (appelé s.window) est soit le mot-clé periodic, soit une valeur numérique indiquant la taille de la fenêtre pour extraire localement les données. Voici un exemple d utilisation : > loessdec <- stl(stmp, s.window="periodic") > class(loessdec) [1] "stl" > names(loessdec) [1] "time.series" "weights" "call" "win" [5] "deg" "jump" "inner" "outer" On obtient : 11

12 remainder trend seasonal data time FIGURE 6 Graphique de décomposition par LOESS. loessdec$time.series seasonal trend remainder Jan Feb Mar Apr May La fonction plot, comme précédemment, produit quatre graphiques : > plot(loessdec) Le graphe est représenté sur la figure 6. Exercice : refaisons les calculs en se restreignant aux 20 dernières années : > stmp20 <- window(stmp, start = c(1990,1), end = c(2010,2)) > loessdec20 <- stl(stmp20, s.window="periodic") > plot(loessdec20, main='loess ') Le graphe est représenté sur la figure 7. 12

13 LOESS remainder trend seasonal data time FIGURE 7 Graphique loess Lissage exponentiel Afin d obtenir un lissage exponentiel, on utilise la fonction HoltWinters avec les arguments beta et gamma égaux à 0 (FALSE) : > expdec <- HoltWinters(stmp, beta=0, gamma=0) Holt-Winters exponential smoothing with trend and additive seasonal component. Call: HoltWinters(x = stmp, beta = 0, gamma = 0) Smoothing parameters: alpha: beta : 0 gamma: 0 Coefficients: [,1] a b

14 s s s s s s s s s s s s L objet expdec est de classe HoltWinters et comporte les termes suivants : > class(expdec) [1] "HoltWinters" > names(expdec) [1] "fitted" "x" "alpha" [4] "beta" "gamma" "coefficients" [7] "seasonal" "SSE" "call" En particulier, le terme SSE représente la valeur minimale de la somme des carrés des erreurs de prédiction à une période (SCEP1) : > expdec$sse [1] Les coefficients a, b, s1,..., s12 sont les valeurs initales des suites de récurrence : niveau estimé a t, pente b t, effets saisonniers s t. Le terme fitted est une série temporelle multiple comportant les valeurs estimées ˆx, le niveau, la tendance et la saisonnalité. Voici un extrait : expdec$fitted xhat level trend season Jan Feb Mar Apr May On peut les représenter sur un même graphique grâce à la fonction plot : > plot(expdec$fitted) Le graphe est représenté sur la figure 8. Le α obtenu ( ) indique un faible degré de lissage : la valeur de référence est de l ordre de 0.2. En règle générale, on n utilise pas ce type de lissage sur de longues séries. Refaisons les calculs en se restreignant aux 20 dernières années : 14

15 expdec$fitted season trend level xhat Time FIGURE 8 Graphique expdec. > stmp20 <- window(stmp, start = c(1990,1), end = c(2010,2)) > expdec20 <- HoltWinters(stmp20,beta=0,gamma=0) > plot(expdec20$fitted, main='temperatures ') Le graphe est représenté sur la figure Lissage de Holt-Winters On utilise aussi la fonction HoltWinters, comme dans la section précédente, mais en laissant cette fois R calculer une estimation pour les arguments beta et gamma : > hwdec <- HoltWinters(stmp) Holt-Winters exponential smoothing with trend and additive seasonal component. Call: HoltWinters(x = stmp) Smoothing parameters: alpha:

16 Temperatures trend level season xhat Time FIGURE 9 Graphique de lissage exponentiel de 1990 à beta : gamma: Coefficients: [,1] a b s s s s s s s s s s s s Le graphe est représenté sur la figure 10 : 16

17 Temperatures season trend level xhat Time FIGURE 10 Graphique de lissage par Holt-Winters (α estimé). > plot(hwdec$fitted, main='temperatures ') Le α obtenu ( ) indique faible degré de lissage. Refaisons les calculs en imposant α = 0.2 : > hwdec2 <- HoltWinters(stmp, alpha=0.2) Holt-Winters exponential smoothing with trend and additive seasonal component. Call: HoltWinters(x = stmp, alpha = 0.2) Smoothing parameters: alpha: 0.2 beta : gamma: Coefficients: [,1] a b

18 Temperatures alpha = 0.2 season trend level xhat Time FIGURE 11 Graphique de lissage par Holt-Winters (α = 0.2). s s s s s s s s s s s s Le graphe est représenté sur la figure 11 : > plot(hwdec2$fitted, main='temperatures alpha = 0.2') 2.5 Tendance linéaire On peut rechercher un modèle linéaire dans une série temporelle comme dans n importe quel vecteur d observations. Ici, le temps sert de variable explicative. On utilise la fonction lm : 18

19 > reg <- lm(dec$trend ~ time(stmp)) Call: lm(formula = dec$trend ~ time(stmp)) Coefficients: (Intercept) time(stmp) > summary(reg) Call: lm(formula = dec$trend ~ time(stmp)) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e e <2e-16 *** time(stmp) 1.797e e <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 1308 degrees of freedom (12 observations deleted due to missingness) Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 1305 on 1 and 1308 DF, p-value: < 2.2e-16 Représentation graphique (voir la figure 12) : > plot(time(stmp),dec$trend,type='l',main="tendance lineaire", ylab="temperature") > abline(reg) 19

20 Tendance lineaire Temperature time(stmp) FIGURE 12 Régression linéaire sur les températures. 20