Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

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1 Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin (chez) voila.fr 2. gilles.costantini (chez) bacamaths.net

2 Tableau récapitulatif des exercices indique que cette notion a été abordée dans l exercice F.I. : fonction définie par une intégrale ; I.P.P. : intégration par parties ; E.D. : équations différentielles N Lieu Année ROC F.I. I.P.P. Aires Vol. E.D. Trigo. exp ln Suites Session 2 Liban juin 2 2 Inde avril 2 Session 29 3 Amérique du Nord juin 29 4 Centres étrangers juin 29 5 France juin 29 6 France (sujet initial) juin 29 7 La Réunion juin 29 8 Liban juin 29 9 Polynésie juin 29 Inde avril 29 Nouvelle-Calédonie mars 29 Session 28 2 Antilles-Guyane sept 28 3 France / La Réunion sept 28 4 Polynésie sept 28 5 Centres étrangers juin 28 6 France juin 28 7 La Réunion juin 28 8 Liban juin 28 9 Polynésie juin 28 2 Amérique du Nord mai 28 2 Inde avril 28 Session Antilles-Guyane sept Polynésie sept Amérique du Nord juin Antilles-Guyane juin Asie juin France juin Liban juin Polynésie juin 27 Session 25 3 Asie juin 25 3 La Réunion juin Liban juin Inde avril 25 Session Amérique du Sud nov France sept Polynésie sept Antilles-Guyane juin Polynésie juin 24 F. Demoulin Page

3 N Lieu Année ROC F.I. I.P.P. Aires Vol. E.D. Trigo. exp ln Suites Session 2 39 Polynésie sept 2 4 Inde avril 2 Années 9 4 France juin Asie juin La Réunion 997 Années 8 44 Bordeaux-Caen Nancy-Metz 98 F. Demoulin Page 2

4 Exercice Liban, juin 2 (5 points) Partie A Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants : e = ; pour tous réels x et y, e x e y = e x+y.. Démontrer que, pour tout réel x, e x = e x. 2. Démontrer que, pour tout réel x et pour tout entier naturel n, ( e x) n = e nx. Partie B On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par :. a. Montrer que u + u =. b. Calculer u. En déduire u. u n = 2. Montrer que, pour tout entier naturel n,u n. e nx +e x dx 3. a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, u n+ + u n = e n. n b. En déduire, que pour tout entier naturel n non nul, u n e n. n 4. Déterminer la limite de la suite (u n ). F. Demoulin Page 3

5 Exercice 2 Inde, avril 2 (6 points) Partie A Restitution organisée de connaissances Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l intervalle [a ; b]. On suppose connus les résultats suivants : b [ ] b b f (t)+ g (t) dt = f (t) dt+ g (t) dt ; a si, pour tout t [a ; b], f (t), alors a a b a f (t) dt. Montrer que : si pour tout t [a ; b], f (t) g (t), alors b a Partie B f (t) dt b a g (t) dt. Soit n un entier naturel non nul. On appelle f n la fonction définie sur [ ; + [ par : et on pose I n = ln ( + x n) dx. f n (x)=ln ( + x n) On note C n la courbe représentative de f n dans un repère orthononnal ( O ; ı ; j ).. a. Déterminer la limite de f en+. b. Étudier les variations de f sur [ ; + [. c. À l aide d une intégration par parties, calculer I et interpréter graphiquement le résultat. (Pour le calcul de I on pourra utiliser le résultat suivant : x pour tout x [ ; ], x+ = x+ ) 2. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a I n ln 2. b. Étudier les variations de la suite (I n ). c. En déduire que la suite (I n ) est convergente. 3. Soit g la fonction définie sur [ ; + [ par : a. Étudier le sens de variation de g sur [ ; + [. g (x)=ln(+ x) x b. En déduire le signe de g sur [ ; + [. Montrer alors que, pour tout entier naturel n non nul, et pour tout x réel positif, on a : ln ( + x n) x n c. En déduire la limite de la suite (I n ). F. Demoulin Page 4

6 Exercice 3 Amérique du Nord, juin 29 (5 points) Partie A Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a< b. si u sur [a ; b], alors pour tous réels α et β, b a b a u(x) dx ; [αu(x)+βv(x)] dx = α b a u(x) dx+ β b a v(x) dx. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si, pour tout x de [a ; b], f (x) g (x) alors b a f (x) dx b a g (x) dx. Partie B On considère la fonction f définie sur l intervalle [ ; ] par f (x)=e x2 et on définit la suite (u n ) par : u = f (x) dx = e x2 dx pour tout entier naturel n non nul, u n = x n f (x) dx= x n e x2 dx. a. Démontrer que, pour tout réel x de l intervalle [ ; ], e f (x). b. En déduire que e u. 2. Calculer u. 3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n. b. Étudier les variations de la suite (u n ). c. En déduire que la suite (u n ) est convergente. 4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n n+. b. En déduire la limite de la suite (u n ). F. Demoulin Page 5

7 Exercice 4 Centres étrangers, juin 29 (6 points) Soit n un entier naturel. On note f n la fonction définie sur l ensemble R des nombres réels par : f n (x)= e nx +e x On note C n la courbe représentative de f n dans un repère orthogonal ( O ; ı ; j ). Les courbes C, C, C 2 et C 3 sont représentées ci-dessous : C 2 C 3 y C C x Partie A Quelques propriétés des fonctions f n et des courbes C n. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les courbes C n ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées. 2. Étude de la fonction f a. Étudier le sens de variation de f. b. Préciser les limites de la fonction f en et+. Interpréter graphiquement ces limites. c. Dresser le tableau de variation de fonction f sur R. 3. Étude de la fonction f a. Démontrer que f (x)= f ( x) pour tout nombre réel x. b. En déduire les limites de la fonction f en et+, ainsi que son sens de variation. c. Donner une interprétation géométrique de 3.a. pour les courbes C et C. 4. Étude de la fonction f n pour n 2 a. Vérifier que, pour tout entier naturel n 2 et pour tout nombre réel x, on a : f n (x)= e nx + e (n )x b. Étudier les limites de la fonction f n en et en+. c. Calculer la dérivée f n (x) et dresser le tableau de variations de la fonction f n sur R. F. Demoulin Page 6

8 Partie B Étude d une suite liée aux fonctions f n On pose, pour tout entier naturel n, u n = f n (x) dx.. Calculer u puis montrer que u + u =. En déduire u. 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n : 3. Calculer l intégrale u n e nx dx e nx dx. En déduire que la suite (u n ) est convergente et préciser sa limite. F. Demoulin Page 7

9 Exercice 5 France, juin 29 (6 points) Soit f la fonction définie sur l intervalle [ ; + [ par : f (x)=ln ( + xe x) On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle [ ; + [. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. La courbe C est représentée sur le graphique ci-dessous. Partie A. Justifier que lim x + f (x)=. 2. Justifier que pour tout nombre réel positif x, le signe de f (x) est celui de x. 3. Étudier les variations de la fonction f sur l intervalle [ ; + [. Partie B Soit λ un nombre réel strictement positif. On pose A (λ) = deux méthodes différentes.. Première méthode λ f (x) dx. On se propose de majorer A (λ) à l aide de a. Représenter, sur le graphique ci-dessous, la partie du plan dont l aire en unité d aire, est égale à A (λ). b. Justifier que pour tout nombre réel λ strictement positif, A (λ) λ f (). 2. Deuxième méthode a. Calculer à l aide d une intégration par parties λ xe x dx en fonction de λ. b. On admet que pour tout nombre réel positif u, ln( + u) u. Démontrer alors que, pour tout nombre réel λ strictement positif, A (λ) λe λ e λ Application numérique Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de A (5), arrondi au centième. Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où λ=5? j C O ı λ F. Demoulin Page 8

10 Exercice 6 France (sujet initial), juin 29 (6 points) Soit f la fonction définie sur l intervalle [ ; + [ par : f (x)=+ xe x Sa courbe représentative C dans le repère orthonormal ( O ; ı ; j ) et la droite d équation y = sont tracées ci-dessous. C O Partie A. Justifier les propriétés suivantes constatées sur la représentation graphique. a. La droite est asymptote à la courbe C en+. b. La fonction f est décroissante sur l intervalle [ ; + [. 2. Soit t un nombre réel positif. On considère l intégrale a. Interpréter graphiquement cette intégrale. b. Montrer que t f (x) dx= t te e t +. t f (x) dx. F. Demoulin Page 9

11 Partie B On note I le point de coordonnées ( ; ) et J le point de coordonnées ( ; ). Pour tout nombre réel t de l intervalle [ ; ], M t désigne le point de la courbe C d abscisse t et N t le point de coordonnées (t ; ). On appelle D t, le domaine du plan délimité par la droite (I M t ), l axe des abscisses, l axe des ordonnées et la courbe C. Ce domaine est représenté par la zone grisée du graphique ci-joint. Soit A (t) la mesure de son aire exprimée en unité d aire. M t J O N t I. Interpréter graphiquement A () et donner sa valeur exacte. 2. Interpréter graphiquement A () et donner sa valeur exacte. 3. Calculer l aire du triangle M t N t I. 4. En déduire que pour tout nombre réel t appartenant à l intervalle [ ; ] : A (t)= t ( t t ) Dans cette question toute trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Existe-t-il un unique nombre réel α de l intervalle [ ; ] tel que A (α)= A ()? 2 Justifier la réponse. e t F. Demoulin Page

12 Exercice 7 La Réunion, juin 29 (6 points) Soient f et g les fonctions définies sur l intervalle [ ; + [ par : f (x)= xe x et g (x)= x 2 e x On note C f et C g les représentations graphiques des fonctions f et g dans le plan muni d un repère ( O ; ı ; j ). Partie A La courbe représentative C f de la fonction f dans un repère ( O ; ı ; j ) est donnée dans e graphique ci-dessous.. D après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction f et sa limite en+? 2. Valider ces conjectures à l aide d une démonstration. 3. Tracer sur le graphique ci-dessous la courbe C g représentative de la fonction g. 4. Quelle semble être la position relative de la courbe C f par rapport à la courbe C g? Valider cette conjecture à l aide d une démonstration. Partie B L objectif de cette partie est de calculer, en unités d aire, la mesure de l aire A de la partie du plan comprise entre les courbes C f et C g et les droites d équations x= et x=.. Hachurer sur le graphique cette partie du plan. 2. Soit I = f (x) dx. Démontrer que I = 2 e. 3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Soit H la fonction définie sur l intervalle [ ; + [ par : a. Calculer la dérivée H de la fonction H. H(x)= ( x 2 + 2x ) e x b. En déduire une primitive sur l intervalle [ ; + [ de la fonction g. 4. Déterminer la valeur exacte de l aire A. F. Demoulin Page

13 j C f O ı F. Demoulin Page 2

14 Exercice 8 Liban, juin 29 (8 points) On considère la fonction f définie sur R par : f (x)=ln ( +e x) + 3 x La courbe C représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal est donnée dans le graphique ci-dessous. Ce graphique sera complété. Partie A. a. Déterminer la limite de la fonction f en+. b. Montrer que la droite D d équation y = x est asymptote à la courbe C. Tracer D. 3 c. Étudier la position relative de D et de C. d. Montrer que, pour tout réel x, f (x)=ln ( e x + ) 2 3 x. e. En déduire la limite de f en. 2. a. On note f la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que pour tout x réel, f (x)= ex 2 3(e x + ). b. En déduire les variations de la fonction f. Partie B Soit n un entier naturel non nul. On appelle d n, l aire, en unités d aire, du domaine du plan délimité par la courbe C, la droite D d équation y = x et les droites d équations x= et x= n. 3. Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, d n = 2. On admet que, pour tout réel x, ln ( +e x) e x. n ln ( +e x) dx. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à, d n. La suite (d n ) n est-elle convergente? Partie C Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe C. On note T la tangente à la courbe C au point d abscisse.. Calculer le coefficient directeur de T puis construire T sur le graphique. 2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Soient M et N deux points de la courbe C d abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (M N ) est parallèle à la droite T. F. Demoulin Page 3

15 3 y 2 C x F. Demoulin Page 4

16 Annales Terminale S Exercice 9 Polynésie, juin 29 (6 points) Le plan est muni d un repère orthogonal ( O ; ı ; j ). Partie A La courbe C, donnée ci-dessous, est la courbe représentative d une fonction f dérivable sur [ ; + [, de fonction dérivée f continue sur [ ; + [. ( ) La courbe C passe par les points O et A ; et, sur [ ; ], elle est au dessus du segment [O A]. 2e. Montrer que 2. Montrer que f (x) dx= 2e f (x) dx 4e Partie B On sait désormais que la fonction f considérée dans la partie A est définie sur [ ; + [ par : f (x)= xe x x 2 +. Déterminer la limite de f en +. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. 2. On considère la fonction g définie sur [ ; + [ par : g (x)= x 3 + x 2 + x. Établir que l équation g (x)= admet une solution unique α dans l intervalle [ ; + [. 3. a. Montrer que pour tout x de [ ; + [, f (x) et g (x) sont de signes contraires. b. En déduire les variations de f sur [ ; + [. 4. On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par : 2n u n = f (x) dx n a. Montrer que pour tout x de [ ; + [, x x b. Montrer que pour tout entier naturel n, u n 2 c. En déduire la limite de u n quand n tend vers+. ( e n e 2n).,3,2 A, C O 2 F. Demoulin Page 5

17 Exercice Inde, avril 29 (7 points) Soit f la fonction définie sur l intervalle [ ; + [ par : f (x)= xe x2 On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( O ; ı ; j ) O du plan. Cette courbe est représentée ci-contre. ı 2 j Partie A. a. Déterminer la limite de la fonction f en+. (On pourra écrire, pour x différent de : f (x)= x x2 ). x2 e 2 b. Démontrer que f admet un maximum en et calculer ce maximum Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d aire et en fonction de a, l aire F (a) de la partie du plan limitée par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équations respectives x = et x = a. Quelle est la limite de F (a) quand a tend vers +? Partie B On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par : On ne cherchera pas à expliciter u n. u n = n+ n f (x) dx. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de et de : b. Quel est le sens de variation de la suite (u n ) n 2? f (n+ ) u n f (n) c. Montrer que la suite (u n ) converge. Quelle est sa limite? n 2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif n, F (n)= u k. b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On donne ci-dessous les valeurs de F (n) obtenues à l aide d un tableur, pour n entier compris entre 3 et 7. Interpréter ces résultats. k= n F (n), , ,5,5,5 F. Demoulin Page 6

18 Exercice Nouvelle Calédonie, mars 29 (6 points) Soit f une fonction définie pour tout nombre réel x par : f (x)=(+ x)e x Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; ı ; j ) d unité graphique cm.. a. Étudier le signe de f (x) sur R. b. Déterminer la limite de la fonction f en. Déterminer la limite de la fonction f en+. c. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur R. Calculer, pour tout nombre réel x, f (x). En déduire les variations de la fonction f sur R. d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [ 2 ; 5]. 2. On note (I n ) la suite définie pour tout entier naturel n par : n I n = f (x) dx Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de I n en fonction de n. a. Montrer que, pour tout n N : I n. b. Montrer que la suite (I n ) est croissante. 3. a. À l aide d une intégration par parties, montrer que, pour tous réels a et b : b b. En déduire l expression de I n en fonction de n. a f (x) dx = ( 2 b)e b + (2+ a)e a c. Déterminer lim I n. n + d. Donner une interprétation graphique de cette limite. α 4. Déterminer α R tel que f (x) dx = e. Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d aire? F. Demoulin Page 7

19 Exercice 2 Antilles Guyane, septembre 28 (7 points) Soit f la fonction définie sur R par : f (x)= x+ 2 4ex e x + 3 On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( O ; ı ; j ) d unité graphique 2 cm.. a. Déterminer la limite de f en. b. Démontrer que la droite D d équation y = x+ 2 est asymptote à la courbe C. c. Étudier la position de C par rapport à D. 2. a. On note f la fonction dérivée de f. Calculer f (x) et montrer que, pour tout réel x, on a : ( e f x 3 (x)= e x + 3 b. Étudier les variations de f sur R et dresser le tableau de variations de la fonction f. 3. a. Que peut-on dire de la tangente D 2 à la courbe C au point I d abscisse ln 3? b. En utilisant les variations de la fonction f, étudier la position de la courbe C par rapport à D a. Montrer que la tangente D 3 à la courbe C au point d abscisse a pour équation : y = x+. 4 b. Étudier la position de la courbe C par rapport à la tangente D 3 sur l intervalle ] ; ln 3]. On pourra utiliser la dérivée seconde de f notée f définie pour tout x de R par : ) 2 f "(x)= 2ex (e x 3) (e x + 3) 3 5. On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe C. Tracer la courbe C, les tangentes D 3, D 3 et les asymptotes à la courbe C. On rappelle que l unité graphique choisie est 2 cm. 6. a. Déterminer une primitive de la fonction g définie sur R par : g (x)= ex e x + 3. b. Soit λ un réel strictement négatif. On note A (λ) l aire, en unités d aire, du domaine limité par D, C et les droites d équations x = λ et x =. Montrer que A (λ)=4ln 4 4ln ( ) e λ + 3. c. Calculer lim λ A (λ). F. Demoulin Page 8

20 Exercice 3 France / La Réunion, septembre 28 (4 points) On considère la suite numérique (J n ) définie, pour tout entier naturel n non nul, par :. Démontrer que la suite (J n ) est croissante. J n = n e t + t dt 2. Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n aboutit pas. On définit la suite (I n ), pour tout entier naturel n non nul, par : a. Justifier que, pour tout t, on a t+ t+. b. En déduire que J n I n. n I n = (t+ )e t dt c. Calculer I n en fonction de n. En déduire que la suite (J n ) est majorée par un nombre réel (indépendant de n). d. Que peut-on en conclure pour la suite (J n )? F. Demoulin Page 9

21 Exercice 4 Polynésie, septembre 28 (6 points) On considère la fonction f définie sur R par : f (x)=ln ( e x + 2e x) La courbe C représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. Partie A Étude de la fonction f. Montrer que, pour tout réel x, f (x)= x+ ln ( +2e 2x). On admet que, pour tout réel x, f (x)= x+ ln ( 2+e 2x). 2. Calculer lim f (x) et montrer que la droite D d équation y = x est asymptote à C. x + Étudier la position relative de C et de D. 3. Calculer lim x f (x) et montrer que la droite D d équation y = x+ ln 2 est asymptote à C. 4. Étudier les variations de la fonction f. Montrer que le minimum de la fonction f est égal à 3 ln Tracer les droites D et D sur le graphique ci-dessous. Partie B Encadrement d une intégrale On pose I = 3 2 [f (x) x] dx.. Donner une interprétation géométrique de I. 2. Montrer que, pour tout X [ ; + [, ln(+ X ) X. 3. En déduire que I 3 2 2e 2x dx et donner un encadrement de I d amplitude, j ı F. Demoulin Page 2

22 Exercice 5 Centres étrangers, juin 28 (7 points) Prérequis : on rappelle que : lim x + x =+. ln x. Démontrer que lim x + x =. Partie A Restitution organisée des connaissances 2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : lim x + e x ln x x n =. Partie B Étude d une fonction f Soit f la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par : f (x)= x ln x x 2 On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O ; ı ; j ) (unité graphique 2 cm).. Soit u la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par u(x)=x 3 +2ln x. a. Étudier le sens de variation de la fonction u sur l intervalle ] ; + [. b. Calculer u() et en déduire le signe de u(x) pour x appartenant à l intervalle ] ; + [. 2. Étude de la fonction f a. Déterminer les limites de f en et en+. b. Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variations de la fonction f. 3. Éléments graphiques et tracés. a. Démontrer que la droite d équation y = x est asymptote oblique à la courbe C. b. Déterminer la position de C par rapport à. c. Tracer la courbe C et la droite. Partie C Calcules d aires On note α un nombre réel strictement positif et on désigne par A (α) l aire, exprimée en unités d aire, de la partie du plan délimitée par la courbe C, la droite et les droites d équation x = et x = α.. On suppose dans cette question que α>. a. À l aide d une intégration par parties, démontrer que : A (α)= lnα α α. b. Déterminer la limite l de A (α) lorsque α tend vers Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative non fructueuse. sera prise en compte dans l évaluation. ( ) Démontrer que l=a. e F. Demoulin Page 2

23 Exercice 6 France, juin 28 (5 points) Les courbes C f et C g données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal ( O ; ı ; j ), les fonctions f et g définies sur l intervalle ] ; + [ par : f (x)=ln x et g (x)=(ln x) 2 C g C f j ı e. On cherche à déterminer l aire A (en unités d aire) de la partie du plan hachurée. On note I = e ln x dx et J = e (ln x) 2 dx. a. Vérifier que la fonction F définie sur l intervalle ] ; + [ par F (x)=x ln x x est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I. b. Démontrer à l aide d une intégration par parties que J = e 2I. c. En déduire J. d. Donner la valeur de A. 2. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n aboutit pas. Pour x appartenant à l intervalle [ ; e], on note M le point de la courbe C f d abscisse x et N le point de la courbe C g de même abscisse. Pour quelle valeur de x la distance M N est maximale? Calculer la valeur maximale de M N. F. Demoulin Page 22

24 Exercice 7 La Réunion, juin 28 (5 points) Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. Partie A Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ] ; + [ par : f (x)= ln(x) x 2 Sa courbe représentative C, construite dans un repère orthonormal, et son tableau de variations sont donnés ci-dessous.. Le tableau de variations de f donne des propriétés sur les variations de la fonction, les limites aux bornes de l ensemble de définition ainsi que l extremum. Énoncer puis démontrer ces propriétés. 2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Existe-t-il des tangentes à la courbe C qui contiennent le point O origine du repère? Si oui, donner leur équation. Partie B Soit g la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par : x ln t g (x)= t 2 dt. a. Que représente f pour la fonction g? b. En déduire le sens de variations de g sur ] ; + [. ( ) 2. Interpréter géométriquement les réels g (3) et g. 2 ln x+ 3. a. À l aide d une intégration par parties, montrer que g (x)=. x b. Déterminer la limite de g en +.,5,,5 C -2 - O ,5 -, -,5-2, F. Demoulin Page 23

25 x e 2 + 2e f (x) F. Demoulin Page 24

26 Exercice 8 Liban, juin 28 (5 points) On considère une fonction f dérivable sur l intervalle ] ; + [. On donne le tableau de ses variations : x 2 + f (x) + + +e 2 f (x) x Soit g la fonction définie sur ] ; + [ par g (x)= f (t) dt. Partie A. En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe C susceptible de représenter f dans le plan muni d un repère orthogonal (unités graphiques : cm sur l axe des abscisses, 2 cm sur l axe des ordonnées). 2. a. Interpréter graphiquement g (2). b. Montrer que g (2) 2,5. 3. a. Soit x un réel supérieur à 2. Montrer que x 2 f (t) dt x 2. En déduire que g (x) x 2. b. Déterminer la limite de la fonction g en+. 4. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l intervalle ] ; + [. Partie B On admet que, pour tout réel t, f (t)=(t )e t +.. À l aide d une intégration par parties, exprimer en fonction du réel x l intégrale 2. En déduire que, pour tout réel x, g (x)= x ( e x). 3. Déterminer la limite de la fonction g en. x (t )e t dt. F. Demoulin Page 25

27 Exercice 9 Polynésie, juin 28 (7 points) Partie A Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a< b. si u sur [a ; b], alors pour tous réels α et β, b a b a u(x) dx ; [ ] b αu(x)+βv(x) dx = α u(x) dx+ β a b a v(x) dx. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si, pour tout x de [a ; b], f (x) g (x), alors b a f (x) dx b a g (x) dx. Partie B On considère la fonction f définie sur [;+ [ par : f (x)= x+ ln ( +e x) Sa courbe représentative C ainsi que la droite D d équation y = x sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d unité graphique 2 cm.. Montrer que f est croissante et positive sur [;+ [. 2. a. Montrer que la courbe C admet pour asymptote la droite D. b. Étudier la position de C par rapport à D. 3. Soit I l intégrale définie par : I = On ne cherchera pas à calculer I. ln ( +e x) dx = a. Donner une interprétation géométrique de I. [f (x) x] dx. b. Montrer que pour tout réel t, on a ln (+ t) t (on pourra étudier les variations de la fonction g t définie sur [; + [ par g (t) = ln( + t) t). On admettra que pour tout réel t, on a ln(+ t). t+ c. En déduire que pour tout x de [;+ [, on a : ( d. Montrer que ln 2 e x e x + ln( +e x) e x ) I e. +e e. En déduire un encadrement de I d amplitude,4 par deux nombres décimaux. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On désigne par M et N les points de même abscisse x appartenant respectivement à C et D. On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance M N est inférieure à, 5 mm. Déterminer l ensemble des valeurs de x pour lesquelles M et N sont indiscernables. F. Demoulin Page 26

28 C D F. Demoulin Page 27

29 Exercice 2 Amérique du Nord, mai 28 (4 points) On considère les suites (x n ) et ( y n ) définies pour tout entier naturel n non nul par : x n = t n cos t dt et y n = t n sin t dt. a. Montrer que la suite (x n ) est à termes positifs. b. Étudier les variations de la suite (x n ). c. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (x n )? 2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, x n n+. b. En déduire la limite de la suite (x n ). 3. a. À l aide d une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n non nul : x n+ = (n+ )y n + sin() b. En déduire que lim n + y n =. 4. On admet que, pour tout entier naturel n non nul, y n+ = (n+ )x n cos(). Déterminer lim nx n et lim ny n. n + n + F. Demoulin Page 28

30 Exercice 2 Inde, avril 28 (4 points). Soit f et H les fonctions définies sur [ ; + [ respectivement par : f (x)= x e x x et H(x) = f (t) dt a. Justifier que f et H sont bien définies sur [ ; + [. b. Quelle relation existe-t-il entre H et f? c. Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O ; ı ; j ) du plan. Interpréter en termes d aire le nombre H(3). 2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre H(3). x e x a. Montrer que, pour tout réel x >, e x = x e x. 3 b. En déduire que f (x) dx= 3ln ( e ) ( 3 ln ) e c. Montrer que si x 3, alors ln d. En déduire un encadrement de 3 ( ) ln ( e x) ln e 3 ln ( e x) dx puis de ln ( e x) dx. ( e 3 ). 3 f (x) dx. F. Demoulin Page 29

31 Exercice 22 Antilles Guyane, septembre 27 (5 points) Question de cours Soit I un intervalle de R. Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que u et v soient continues sur I. Rappeler et démontrer la formule d intégration par parties sur un intervalle [a ; b] de I. Partie A Soit f une fonction définie et dérivable sur l intervalle [ ; ]. On note f la fonction dérivée de f. On suppose que f est continue sur l intervalle [ ; ].. Utiliser la question de cours pour montrer que : 2. En déduire que f (x)dx= f () [ ] f (x) f () dx = x f (x)dx. x f (x)dx Partie B On désigne par ln la fonction logarithme nepérien. Soit f la fonction définie sur l intervalle ] 2 ; 2[ par : ( ) 2+ x f (x)=ln 2 x Soit C la courbe représentative de f sur l intervalle ] 2 ; 2[ dans un repère orthonormé d unité graphique 2 cm.. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 2. a. Montrer que, pour tout réel x de l intervalle ] 2 ; 2[, on a f (x)= 4 4 x 2. b. En déduire les variations de f sur l intervalle ] 2 ; 2[. Partie C La courbe C est tracée sur le graphique ci-dessous. Hachurer sur ce graphique la partie P du plan constituée des points M(x ; y) tels que : En utilisant la partie A, calculer en cm 2 l aire de P. x et f (x) y ln3 F. Demoulin Page 3

32 4 3 2 j -2 - ı F. Demoulin Page 3

33 Exercice 23 Polynésie, septembre 27 (7 points) On désigne par (E) l ensemble des fonctions f continues sur l intervalle [ ; ] et vérifiant les conditions (P ), (P 2 ) et (P 3 ) suivantes : (P ) : f est strictement croissante sur l intervalle [ ; ] ; (P 2 ) : f ()= et f ()= ; (P 3 ) : pour tout réel x de l intervalle [ ; ], f (x) x. Dans un repère orthonormal ( O ; ı ; j ) du plan, on note C f la courbe représentative d une fonction f de l ensemble (E) et D la droite d équation y = x. À toute fonction f de (E), on associe le nombre réel I f = [x f (x)] dx.. a. Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E). La déterminer en justifiant l élimination des deux autres. O O O Courbe n Courbe n 2 b. Montrer que, pour toute fonction f de (E), I f. Courbe n 3 2. Soit h la fonction définie sur l intervalle [ ; ] par h(x)=2 x (on rappelle que, pour tout x réel, 2 x = e x ln 2 ). a. Montrer que la fonction h vérifie les conditions (P ) et (P 2 ). b. Soit ϕ la fonction définie sur l intervalle [ ; ] par ϕ(x)=2 x x. Montrer que, pour tout x de [ ; ], ϕ(x) (on pourra étudier le sens de variation de la fonction ϕ sur [ ; ]). En déduire que la fonction h appartient à l ensemble (E). c. Montrer que le réel I h associé à la fonction h est égal à 3 2 ln Soit P une fonction définie sur l intervalle [ ; ] par P(x) = ax 2 + bx+ c où a, b et c sont trois nombres réels tels que <a <. On se propose de déterminer les valeurs des réels a, b et c pour que la fonction P appartienne à l ensemble (E) et que I p = I h. a. Montrer que la fonction P vérifie la propriété (P 2 ) si et seulement si, pour tout réel x de l intervalle [ ; ], P(x)= ax 2 + ( a)x. Montrer que toute fonction P définie sur [ ; ] par P(x)= ax 2 +( a)x avec < a< appartient à (E). b. Exprimer en fonction de a le réel I P associé à la fonction P. c. Montrer qu il existe une valeur du réel a pour laquelle I P = I h. Quelle est cette valeur? F. Demoulin Page 32

34 Exercice 24 Amérique du Nord, juin 27 (7 points). Restitution organisée de connaissances. L objet de cette question est de démontrer que On supposera connus les résultats suivants : lim x + e x x =+. la fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa fonction dérivée ; e = ; pour tout réel x, on a e x > x ; soient deux fonctions ϕ et ψ définies sur l intervalle [A ; + [ où A est un réel positif. Si pour tout x de [A ; + [, ψ(x) ϕ(x) et si lim x + ψ(x)=+, alors lim ϕ(x)=+. x + a. On considère la fonction g définie sur [ ; + [ par g (x)=e x x2 2. Montrer que pour tout x de [ ; + [, g (x). e x b. En déduire que lim x + x =+ 2. On appelle f la fonction définie sur [ ; + [ par f (x)= 4 xe x 2. On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( O ; ı ; j ). La courbe C est représentée ci-dessous. a. Montrer que f est positive sur [ ; + [. b. Déterminer la limite de f en+. En déduire une conséquence graphique pour C. c. Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [ ; + [. 3. On considère la fonction F définie sur [ ; + [ par F (x)= t f (t) dt. a. Montrer que F est une fonction strictement croissante sur [ ; + [. b. Montrer que F (x)= e x 2 x 2 e x 2. c. Calculer la limite de F en+ et dresser le tableau de variations de F sur [ ; + [. d. Justifier l existence d un unique réel positif α tel que F (α) =, 5. À l aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de α à 2 près par excès. 4. Soit n un entier naturel non nul. On note A n l aire, en unités d aire, de la partie du plan située entre l axe des abscisses, la courbe de f et les droites d équations x = et x = n. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que A n,5. F. Demoulin Page 33

35 C O F. Demoulin Page 34

36 Exercice 25 Antilles Guyane, juin 27 (6 points) Question de cours Prérequis : positivité et linéarité de l intégrale. Soient a et b deux réels d un intervalle I de R tels que a b. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l intervalle I, f (x) g (x), alors b a f (x) dx b a g (x) dx. Partie A. Soit x un réel supérieur ou égal à. Calculer en fonction de x l intégrale x (2 t) dt. 2. Démontrer que pour tout réel t appartenant à l intervalle [ ; + [, on a : 2 t t. 3. Déduire de ce qui précède que pour tout réel x supérieur ou égal à, on a : 2 x2 + 2x 3 2 ln x Partie B Soit h la fonction définie sur R par h(x)= 2 x2 + 2x 3 2. Sur le graphique ci-dessous, le plan est muni d un repère orthogonal ( O ; ı ; j ) dans lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions h et logarithme népérien sur l intervalle [ ; 4]. On a a tracé également la droite d équation x= 4.. a. Démontrer que 4 h(x)dx =. b. Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente. 2. On note D le domaine du plan délimité par la droite et les courbes représentatives des fonction h et logarithme népérien sur l intervalle [ ; 4]. En utilisant une intégration par parties, calculer l aire de D en unités d aire. F. Demoulin Page 35

37 y,5,,5 j O i x -,5 -, -,5 F. Demoulin Page 36

38 Exercice 26 Asie, juin 27 (4 points) Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.. Si f est la fonction définie pour tout nombre réel x par : f (x)=sin 2 x, alors sa fonction dérivée vérifie, pour tout nombre réel x, f (x)=sin 2x. 2. Soit f est une fonction définie et dérivable sur l intervalle [ ; ], dont la dérivée est continue sur cet intervalle. Si f ( )= f (), alors : t f (t) dt = f (t) dt. 3. Soit f une fonction définie et continue sur l intervalle [ ; 3]. Si 3 f (t) dt 3 g (t) dt, alors pour tout nombre réel x appartenant à [ ; 3] : f (x) g (x). 4. Si f est solution de l équation différentielle y = 2y + 2 et si f n est pas une fonction constante, alors la représentation de f dans un repère du plan, n admet aucune tangente parallèle à l axe des abscisses. F. Demoulin Page 37

39 Exercice 27 France, juin 27 (3 points). Restitution organisée de connaissances Démontrer la formule d intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b]. 2. Soient les deux intégrales définies par : a. Démontrer que I = J et que I = J+ e π +. b. En déduire les valeurs exactes de I et de J. π π I = e x sin x dx et J = e x cos x dx F. Demoulin Page 38

40 Exercice 28 Liban, juin 27 (6 points) Soient f et g les fonctions définies sur l intervalle ] ; + [ par : f (x)=ln x et g (x)=(ln x) 2 On note C f et C g les courbes représentatives respectives de f et g dans un repère orthogonal. Les courbes C f et C g sont données dans le graphique ci-dessous.. a. Étudier le signe de (ln x)( ln x) sur ] ; + [. b. En déduire la position relative des deux courbes C f et C g sur ] ; + [. 2. Pour x appartenant à ] ; + [, M est le point de C f d abscisse x et N est le point de C g de même abscisse. a. Soit h la fonction définie sur ] ; + [ par h(x)= f (x) g (x). Étudier les variations de la fonction h sur ] ; + [. b. En déduire que sur l intervalle [ ; e], la valeur maximale de la distance M N est obtenue pour x= e. c. Résoudre dans ] ; + [ l équation (ln x) 2 ln x=. d. En déduire que, sur ] ; [ ]e ; + [, il existe deux réels a et b (a< b) pour lesquels la distance M N est égale à. 3. a. À l aide d une intégration par parties, calculer e ln x dx. b. Vérifier que la fonction G définie sur ] ; + [ par G(x)= x [ (ln x) 2 2ln x+ 2 ] est une primitive de la fonction g sur ] ; + [. c. On considère la partie du plan délimitée par les courbes C f, C g et les droites d équations x = et x= e. Déterminer l aire A en unités d aire de cette partie du plan. C g C f j O i F. Demoulin Page 39

41 Exercice 29 Polynésie, juin 27 (6 points) On considère la fonction f définie sur ] ; + [ par : f (x)=+ x ln x On note C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( O ; ı ; j ). Toutes les aires considérées dans ce problème seront exprimées en unités d aire. Partie A Le but de cette partie est de déterminer un encadrement de l aire A du domaine délimité par l axe des abscisses, la courbe C f et les deux droites d équations x = et x = 2. On note M et N les points de C f d abscisses respectives et 2, P et Q leurs projetés orthogonaux respectifs sur l axe des abscisses. La figure est donnée ci-dessous.. a. Montrer que f est positive sur [ ; 2]. b. Montrer que le coefficient directeur de la droite (M N ) est 2ln 2. c. Soit E le point d abscisse 4 e. Montrer que, sur l intervalle [ ; 2], le point E est l unique point de C f en lequel la tangente à C f est parallèle à (M N ). d. On appelle T la tangente à C f au point E. Montrer qu une équation de T est y = (2ln 2)x 4 e Soit g la fonction définie sur [ ; 2] par g (x)= f (x) [(2ln 2)x 4e ] +. ( x a. Montrer que, pour tout x de [ ; 2], g (x)=+ln. 4) b. Étudier les variations de g sur [ ; 2] et en déduire la position relative de C f et de la tangente T sur cet intervalle. 3. Soient M et N les points d abscisses respectives et 2 de la droite T. On admet que la courbe C f reste sous la droite (M N ) sur l intervalle [ ; 2] et que les points M et N ont des ordonnées strictement positives. a. Calculer les aires des trapèzes M NQP et M N QP. b. En déduire, à l aide de la calculatrice, un encadrement de A d amplitude. Partie B Le but de cette partie est de déterminer la valeur exacte de A.. À l aide d une intégration par parties, calculer 2. En déduire la valeur exacte de A. 2 x ln x dx. F. Demoulin Page 4

42 3 Annales Terminale S y N N E M M C f T P Q 2 2 x F. Demoulin Page 4

43 Exercice 3 Asie, juin 25 (7 points) On s intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers e 2. On définit, pour tout entier naturel n, l intégrale :. Calculer I. 2 I n = n! (2 x)n e x dx 2. Établir que pour tout entier naturel n, I n 2n ( e 2 ). n! 3. À l aide d une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel n : 4. Démontrer par récurrence que e 2 = + 2! On pose, pour tout entier naturel n, u n = 2n n!. I n+ = I n 2n+ (n+ )! 2! n n! + I n. a. Calculer u n+ u n et prouver que pour tout entier naturel n 3, u n+ 2 u n. b. En déduire que pour tout entier naturel n 3, u n u 3 ( 2) n En déduire la limite de la suite (u n ) puis celle de la suite (I n ). 7. Justifier enfin que : e 2 = lim n + ( + 2! ! ) 2n n! F. Demoulin Page 42

44 Exercice 3 La Réunion, juin 25 (3 points) On considère les fonctions f et g définies, sur l intervalle [;+ [, par : f (x)=ln(x+ ) et g (x)=e x On désigne par C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormal ( O ; ı ; j ). Ces courbes sont tracées sur le graphique ci-dessous (le candidat en disposera comme il le jugera utile ; il sera à joindre à la copie, avec les éventuels ajouts effectués par le candidat).. Vérifier que les courbes C f et C g ont une tangente commune au point O(; ). Préciser la position de la courbe C f par rapport à cette tangente. 2. Démontrer que les courbes C f et C g sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x. 3. Soit a un nombre réel strictement positif. On se propose de calculer de deux façons différentes le nombre I (a)= a ln(x+ )dx. a. En utilisant des considérations d aires, démontrer que : b. En déduire la valeur de I (a). I (a)=a ln(a+ ) ln(a+) ( e x ) dx c. Retrouver la valeur de I (a) en effectuant une intégration par parties F. Demoulin Page 43

45 Exercice 32 Liban, juin 25 (8 points) Partie A On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n non nul par : u n = ( t) n e t dt. Montrer que la fonction f : t (2 t)e t est une primitive de g : t ( t)e t sur [; ]. En déduire la valeur de u. 2. Montrer à l aide d une intégration par parties que, pour tout n non nul : u n+ = (n+ )u n (R) Partie B On regarde d abord ce qu affichent deux calculatrices différentes pour les valeurs approchées des 25 premiers termes de la suite (u n ) en utilisant pour le calcul la relation de récurrence (R) ci-dessus. Voici les résultats affichés par ces deux calculatrices : Valeur Valeur de u n affichée par Valeur de u n affichée par de n la première calculatrice la deuxième calculatrice 7, E 7, E 2 4, E 4, E 3 3, E 3, E 4 2, E 2, E 5, E, E 6, E, E 7, E, E 8, E, E 9, E, E 9, E 2 9, 95648E 9, 2348E 2 9, 27228E 2 2 8, E 2 8, E 2 3 7, E 2 8, E 2 4 7, 89939E 2, E 5 6, E 2, E+ 6 5, E 2 2, E+ 7 7, 23862E 3 3, E+2 8 8, E 6, E+3 9, E+, E+5 2 3, E+2 2, E+6 2 7, E+3 4, E+7 22, E+5, E , E+6 2, E+ 24 8, E+7 5, E+ 25 2, E+9, E+3 F. Demoulin Page 44

46 Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (u n ) quand on examine les résultats obtenus avec la première calculatrice? Et les résultats obtenus avec la deuxième calculatrice? Partie C Dans cette partie on se propose d étudier la suite (u n ) à partir de la relation de définition : pour tout entier naturel n non nul, u n = ( t) n e t dt.. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, u n. 2. a. Montrer que pour tout réel t de l intervalle [; ] et pour tout entier naturel non nul n : b. En déduire que pour tout n non nul, u n e n+. 3. Déterminer la limite de la suite (u n ). ( t) n e t e ( t) n Partie D Dans cette partie, on se propose d exploiter la relation de récurrence (R) vérifiée par la suite (u n ) : u n+ = (n+ )u n Étant donné un réel a, on considère la suite (v n ) définie par : v = a et pour tout entier naturel non nul n, v n+ = (n+ )v n On s intéresse à l influence du terme initial a de cette suite sur son comportement à l infini.. En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul n, v n = u n + (n!)(a+ 2 e) où n! désigne le produit des n premiers entiers naturels non nuls. 2. Étudier le comportement de la suite (v n ) à l infini suivant les valeurs de a. (On rappelle que lim n!=+ ) n + 3. En déduire une raison susceptible d expliquer les résultats affichés par les deux calculatrices. F. Demoulin Page 45

47 Exercice 33 Inde, avril 25 On considère la fonction f, définie sur [;+ [ par f (t)= et t.. a. Justifier la continuité de f sur [; + [. b. Montrer que f est croissante sur [;+ [. 2. Restitution organisée de connaissances On pourra raisonner en s appuyant sur le graphique fourni. Pour tout réel x de [;+ [, on note A (x ) l aire du domaine délimité par la courbe représentant f dans un repère orthogonal, l axe des abscisses et les droites d équations x = et x = x. On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur [;+ [ est une primitive de f. a. Que vaut A ()? b. Soit x un réel quelconque de [;+ [ et h un réel strictement positif. Justifier l encadrement suivant : f (x ) A (x + h) A (x ) f (x + h) h c. Lorsque x >, quel encadrement peut-on obtenir pour h< et tel que x + h? d. En déduire la dérivabilité en x de la fonction A ainsi que le nombre dérivé en x de la fonction A. e. Conclure e 2 x + h 2 x F. Demoulin Page 46

48 Exercice 34 Amérique du Sud, novembre 24 A 2 B 2 3 On a représenté ci-dessus, dans un repère orthonormal ( O ; ı ; j ), la courbe représentative de la fonction f dérivable sur R, solution de l équation différentielle (E) : y + y = et telle que y()=e. Déterminer f (x) pour tout x réel. 2. Soit t un réel donné de l intervalle [; e]. Résoudre dans R l équation e x = t d inconnue x. 3. Soit A le point d abscisse et B le point d abscisse de la courbe. On considère le solide obtenu par rotation autour de l axe des ordonnées de l arc de courbe AB comme représenté ci-dessous. On note V son volume et on admet que V = π Calculer V à l aide de deux intégrations par parties successives. e ( ln t) 2 dt F. Demoulin Page 47

49 Exercice 35 France, septembre 24. Soit g la fonction définie sur l intervalle ];+ [ par : g (x)= x ( x 2 ). a. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que l on ait, pour tout x > : g (x)= a x + b x+ + c x. b. Trouver une primitive G de g sur l intervalle ]; + [. 2. Soit f la fonction définie sur l intervalle ];+ [ par : f (x)= 2x ( x 2 ) 2. Trouver une primitive F de f sur l intervalle ];+ [. 3. En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer : 3 2x I = ( 2 x 2 ) ln x dx. 2 On donnera le résultat exact sous la forme p ln2 + q ln 3, avec p et q rationnels. F. Demoulin Page 48

50 Exercice 36 Polynésie, septembre 24 La courbe C donnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur ];+ [ par : j O - -2 f (x)= ln x x + x. α ı 2 3 C a. Montrer que f est dérivable et que, pour tout x strictement positif, f (x) est du signe de : N (x)= [ 2 ( x x ) + ln x ]. b. Calculer N () et déterminer le signe de N (x) en distinguant les cas < x < et x >. c. En déduire le sens de variation de f sur ];+ [ et les coordonnées du point de C d ordonnée maximale. 2. On note A (α) l aire, exprimée en unités d aire, de la partie du plan grisée sur la figure, où α désigne un réel de ]; [. a. Exprimer A (α) en fonction de α (on pourra utiliser une intégration par parties). b. Calculer la limite de A (α) lorsque α tend vers. Donner une interprétation graphique de cette limite. 3. On définit une suite (u n ) n N par son premier terme u élément de [; 2] et : pour tout entier naturel n, u n+ = lnu n un +. a. Démontrer, pour tout réel x élément de [; 2], la double inégalité ln x x. b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n appartient à [; 2]. 4. En remarquant que, pour tout entier naturel n, u n+ = f (u n )+u n, déterminer le sens de variation de la suite (u n ). 5. a. Montrer que la suite (u n ) n N est convergente. On note l sa limite. b. Déterminer la valeur exacte de l. F. Demoulin Page 49

51 Exercice 37 Antilles-Guyane, juin 24 But de l exercice : approcher ln(+ a) par un polynôme de degré 5 lorsque a appartient à l intervalle [;+ [. a dt a Soit a [;+ [. On note I (a)= + t et pour k (t a) k N, on pose I k (a)= dt. (+ t) k+. Calculer I (a) en fonction de a. 2. À l aide d une intégration par parties, exprimer I (a) en fonction de a. 3. À l aide d une intégration par parties, démontrer que : I k+ (a)= ( )k+ a k+ + I k (a) pour tout k N. k+ 4. Soit P le polynôme défini sur R par P(x)= 5 x5 4 x4 + 3 x3 2 x2 + x. Démontrer en calculant I 2 (a), I 3 (a) et I 4 (a), que I 5 (a)= ln(+ a) P(a). 5. Soit J(a) = a (t a) 5 dt. Calculer J(a). (t a)5 6. a. Démontrer que pour tout t [; a], (+ t) 6 (t a)5. b. Démontrer que pour tout a [;+ [, J(a) I 5 (a). 7. En déduire que pour tout a [;+ [, ln(+ a) P(a) a Déterminer, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequel P(a) est une valeur approchée de ln( + a) à 3 près. F. Demoulin Page 5

52 Exercice 38 Polynésie, juin 24 On considère la suite (I n ) n N définie par : I n =. a. Déterminer le sens de variation de cette suite. b. Montrer que (I n ) n N est une suite positive. e t 2 e t 2 + t+ n dt. c. Montrer que pour tout t [; ] on a + t+ n +n et en déduire que I n n+. Que peut-on en conclure quant à la convergence de (I n ) n N? 2. On considère f et g deux fonctions définies sur [; ] par : a. Étudier le sens de variation et le signe de f. f (x)=e x + x et g (x)= x+ x2 b. En déduire le sens de variation de g sur [; ]. c. Établir, pour tout x appartenant à [; ], l encadrement : x e x x+ x2 2. d. En déduire un encadrement de e t 2 pour tout t appartenant à [; ]. e. Établir l encadrement : f. Donner une valeur de p telle que I p (n+ 2) I 23 n 3(n+ ). 2 e x. F. Demoulin Page 5

53 Exercice 39 Polynésie, septembre 2 Pour tout naturel n on pose : I n = 2 n+ n!. À l aide d une intégration par parties, calculer I. 2. Démontrer que pour tout naturel n on a : ( t) n e t 2 dt. I n+ = I n 2 n+ (n+ )!. 3. En déduire par récurrence que pour tout naturel n on a : e=+ 2! n n! + I n. 4. Montrer que l on peut trouver une constante A telle que : On pourra déterminer A en majorant la fonction : I n 2 n n! A. t ( t) n e t 2 sur l intervalle [; ]. En déduire la limite quand n tend vers plus l infini de : u n = + 2! n n!. F. Demoulin Page 52

54 Exercice 4 Inde, avril 2. On pose, pour tout entier naturel n non nul : I n = n! a. À l aide d une intégration par parties, calculer I. b. Prouver que, pour tout entier naturel n non nul : I n n! ( x) n e x dx. e x dx. En déduire lim I n. n + c. Montrer, en utilisant une intégration par parties, que, pour tout entier naturel n non nul, on a : I n+ = (n+ )! I n. 2. On considère la suite réelle (a n ), définie sur N par a = et, pour tout entier naturel n non nul : a n+ = a n + ( )n+ (n+ )!. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : b. En déduire lim n + a n. a n = e + ( )n I n. F. Demoulin Page 53

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