Séries, intégrales et probabilités

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1 Séries, intégrles et probbilités Thierry MEYRE Préprtion à l grégtion interne. Année Université Pris Diderot. IREM.

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3 BIBLIOGRAPHIE. Les ouvrges de référence CMP Anlyse MP. Cours (vec exercices-types, méthodes, exercices et problèmes corrigés). Monier. Editions Dunod. 5ème édition CMPSI Anlyse MPSI. Cours, méthodes et exercices corrigés. Monier. Éditions Dunod. 5ème édition DAN Mthémtiques pour l grégtion interne. Anlyse et Probbilités. Cours et exercices corrigés. Dntzer. Éditions Vuibert EMP Anlyse MP. 200 exercices développés. 800 exercices d entrînement. Rppels de cours. Monier. Éditions Dunod. 2ème édition EMPSI Les méthodes et exercices de Mthémtiques MPSI. Monier. Éditions Dunod ESC Probbilités et Sttistiques pour le CAPES et l Agrégtion interne. Escoffier. Éditions Ellipses RUD Principes d nlyse mthémtique. Rudin. Éditions Dunod Ouvrges plus difficiles BAR Probbilité. Brbe, Ledoux. EDP Sciences BP Théorie de l intégrtion. Brine, Pgès. Éditions Vuibert. 4ème édition COT Exercices de Probbilités. Cottrell et l. Éditions Cssini FOA Clcul des Probbilités. Fot, Fuchs. Éditions Dunod. 2ème édition GRA Intégrtion. Grmin. Éditions Hermnn

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5 Chpitre 1 Intégrle de Riemnn. Il existe différentes théories de l intégrtion qui s ppliquent à des clsses de fonctions plus ou moins vstes. L théorie que nous llons exminer dns ce cours été formulée pr Bernhrd Riemnn, professeur à l université de Göttingen (Allemgne), en Elle le mérite de reposer sur une construction reltivement simple et s pplique bien ux fonctions continues pr morceux, qui sont les seules u progrmme officiel. Dns ce chpitre, nous considérons des pplictions définies sur un intervlle [, b] et à vleurs dns un espce de Bnch E sur le corps K = R ou C. Dns l prtique, nous intégrerons très souvent des pplictions à vleurs dns R ou C mis l construction de l intégrle de Riemnn pour des pplictions à vleurs dns un espce de Bnch générl n pporte ucune difficulté supplémentire. De même, nous llons définir l intégrle de Riemnn sur une clsse plus lrge que celle des pplictions continues pr morceux, à svoir l clsse des pplictions réglées, cr cel ne nous demnder ucun effort de construction supplémentire. 1.1 Applictions réglées. Définition On ppelle subdivision d un intervlle réel [, b] toute fmille finie σ = ( i ) 0 i n d éléments du segment [, b] telle que : = 0 < 1 < < n = b On ppelle ps de l subdivision σ le réel positif σ = mx 0 i n ( i i 1 ) 5

6 6 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. On dit qu une subdivision σ est plus fine qu une subdivision σ si tous les éléments de σ pprtiennent à σ. Nous llons mintennt définir deux clsses de fonctions de [, b] dns E qui nous seront utiles dns l construction de l intégrle de Riemnn. Définition On dit qu une ppliction f : [, b] E est en esclier s il existe une subdivision σ = ( i ) 0 i n de [, b] et des constntes (c i ) 0 i n 1 E n telles que, pour tout 0 i n 1, f ]i, i+1 [ c i. On dit que f : [, b] E est une ppliction continue pr morceux s il existe une subdivision σ = ( i ) 0 i n de [, b] et des pplictions f 0,, f n 1 telles que, pour tout 0 i n 1, f i est définie et continue sur [ i, i+1 ] vec x ] i, i+1 [ f(x) = f i (x) Dns les deux cs, on dit que l subdivision σ est dptée à l ppliction en esclier (resp. continue pr morceux) f. Remrques 1. Cette dernière condition équivut u fit que, pour tout 0 i n 1, l ppliction f ]i, i+1 [ est continue et prolongeble pr continuité ux extrémités de l intervlle. Ainsi, l ppliction suivnte f : [ 1, 1] R est continue sur ] 1, 0[ et ]0, 1[ mis n est ps continue pr morceux : f(x) = 1 si x 0 et f(0) = 0. x 2. Si σ est dptée à f, lors toute subdivision σ plus fine que σ est encore dptée à f. 3. On en déduit que si f et g sont deux pplictions en esclier (resp. continues pr morceux), vec des subdivisions dptées respectives σ et σ, lors σ σ est une subdivision dptée ux deux pplictions f et g à l fois. 4. Dns le cs prticulier où E = R ou C, le lecteur pourr montrer à titre d exercice que le produit de deux pplictions en esclier (resp. continues pr morceux) est encore une ppliction en esclier (resp. continue pr morceux). 5. Pour tout k N {+ }, on définit de fçon nlogue l notion d ppliction de clsse C k pr morceux.

7 1.1. APPLICATIONS RÉGLÉES. 7 Nottions et rppels : Nous noterons C([, b], E), resp. C M ([, b], E), E([, b], E), B([, b], E) l ensemble des pplictions f : [, b] E continues, resp. continues pr morceux, en esclier, bornées. Nous rppelons que (B([, b], E), +, ) est un espce vectoriel que nous munirons de l norme suivnte : f = sup f(x) E x [,b] Cette norme est encore ppelée norme de l convergence uniforme pour une rison que nous llons rppeler mintennt. Définitions Soit (f n ) n N et f des pplictions définies sur l intervlle [, b] et à vleurs dns l espce de Bnch E. On dit que l suite d pplictions (f n ) n N converge simplement vers l ppliction f sur l intervlle [, b] si x [, b] ɛ > 0 N N n N f n (x) f(x) ɛ. On dit que l suite d pplictions (f n ) n N converge uniformément vers l ppliction f sur l intervlle [, b] si ɛ > 0 N N n N x [, b] f n (x) f(x) ɛ. Remrques 1. L convergence simple de (f n ) vers f sur [, b] équivut donc à dire que pour tout x [, b], l suite (f n (x)) n N converge vers f(x) dns E. 2. L convergence uniforme est plus forte que l convergence simple, l différence vennt de ce que N ne dépend ps de x dns le cs de l convergence uniforme, contrirement à ce qui se psse pour l convergence simple. Ainsi, si l on prend f n = 1 ]0,1/n[ et f 0, l suite (f n ) n N converge simplement vers f sur R mis ne converge ps uniformément vers f sur R. Proposition Soit (f n ) une suite d pplictions bornées de [, b] dns E qui converge uniformément vers une ppliction f : [, b] E. Alors f est une ppliction bornée et f n f 0. L preuve de cette proposition est lissée u lecteur à titre d exercice.

8 8 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Remrque: L espce vectoriel normé (B([, b], E), ) est un espce de Bnch cr il hérite de l complétude de E. Preuve : [DAN 43]. Il est fcile de vérifier qu une ppliction continue pr morceux est bornée, en utilisnt le fit que chcune des pplictions f 0,, f n 1 de l définition est continue sur un intervlle compct donc bornée. Nous consttons lors que E([, b], E) est un sous-espce vectoriel de C M ([, b], E), qui est lui-même un sous-espce vectoriel de B([, b], E). Nous llons mintennt prouver l églité suivnte : C M ([, b], E) = C([, b], E) + E([, b], E) Commençons en introduisnt une définition simple mis bien utile dns l prtique. Définition Soit F un ensemble quelconque et A une prtie de F. On ppelle fonction indictrice de A l ppliction notée 1 A : F {0, 1} définie pr 1 A (x) = 1 si x A et 1 A (x) = 0 si x / A. Remrque: Cette ppliction est ppelée dns certins ouvrges d nlyse fonction crctéristique de A mis nous n utiliserons ps ce vocble dns ce cours cr l notion de fonction crctéristique en clcul des probbilités est tout utre. Proposition Pour toute ppliction f C M ([, b], E), il existe une ppliction f c C([, b], E) et une ppliction f e E([, b], E) telles que : f = f c + f e Démonstrtion: Nous llons prouver pr récurrence sur n N l proposition suivnte : P n : Toute ppliction f C M ([, b], E) dmettnt u plus n points de discontinuité peut s écrire sous l forme nnoncée L proposition P 0 est trivilement vrie. Montrons mintennt que P n 1 implique P n. Soit f dmettnt u plus n points de discontinuités et x 0 l un de ces points. Nous définissons l ppliction g E([, b], E) pr : x [, b], g(x) = f(x 0 )1 [,x0 [(x) + f(x 0 )1 {x0 }(x) + f(x 0 +)1 ]x0,b](x) On vérifie fcilement que l ppliction h = f g dmet u plus n 1 points de discontinuité donc pr hypothèse de récurrence, on peut écrire h = h c +h e. Nous vons donc f = h c + h e + g et nous concluons en posnt : f c = h c, f e = h e + g

9 1.1. APPLICATIONS RÉGLÉES. 9 À titre d exercice, le lecteur pourr montrer que les pplictions f c et f e sont uniques à constnte dditive près. Définition On dit qu une ppliction f : [, b] E est réglée si elle est limite uniforme d une suite d pplictions en esclier. Autrement dit, l ensemble R([, b], E) des pplictions réglées est le sousespce vectoriel de B([, b], E) défini comme l dhérence de E([, b], E) pour l norme de l convergence uniforme : R([, b], E) = E([, b], E) Proposition Toute ppliction f : [, b] E continue pr morceux est réglée. Autrement dit, on l inclusion : C M ([, b], E) R([, b], E). Démonstrtion: Nous vons évidemment E([, b], E) R([, b], E) donc, d près l proposition précédente, il suffit de prouver l inclusion : C([, b], E) R([, b], E) Considérons donc f : [, b] E continue et, pour tout n N, définissons l fonction en esclier f n : [, b] E pr n 1 ( x [, b], f n (x) = f + k b ) 1 n [+k b n,+(k+1) b [(x)+f(b)1 {b}(x) n k=0 Puisque f est continue sur l intervlle compct [, b], elle est uniformément continue d près le théorème de Heine. Ainsi, pour ɛ > 0 rbitrire, on peut trouver α > 0 tel que Posons N = [ b α (x, y) [, b] 2 x y α = f(x) f(y) ɛ ] + 1 de sorte que n N b n n N, f f n ɛ α. Nous vons lors : Comme ɛ > 0 étit rbitrire, ceci prouve que f est limite uniforme de l suite (f n ). On peut crctériser les fonctions réglées pr l propriété suivnte. Nous dmettrons ce résultt, dont le lecteur pourr trouver l preuve dns les nciens livres de clsses préprtoires. Proposition Une ppliction f : [, b] E est réglée si et seulement si elle dmet une limite à droite en tout point de [, b[ et une limite à guche en tout point de ], b].

10 10 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Remrque: Nous déduisons de cette crctéristion des pplictions réglées que toute ppliction monotone f : [, b] R est réglée et qu un produit de deux pplictions réglées de [, b] dns R (ou C) est encore une ppliction réglée. Exemple: L ppliction f : [0, 1] R définie pr f(x) = (E[x 1 ]) 1 pour 0 < x 1 et f(0) = 0 est réglée : on peut le prouver directement d près l définition ou bien constter qu elle est croissnte. En revnche, elle n est ps continue pr morceux. En effet, l ensemble de ses discontinuités est infini dénombrble : c est { 1, n 2}. n Nous consttons donc que l inclusion énoncée dns l proposition est stricte : C M ([, b], E) R([, b], E). 1.2 Construction de l intégrle de Riemnn Intégrle d une ppliction en esclier Proposition et définition Soit f : [, b] E une ppliction en esclier et σ = ( i ) 0 i n une subdivision dptée à f : 0 i n 1, f ]i, i+1 [ c i. Alors l somme n 1 i=0 ( i+1 i )c i est un élément de E indépendnt de l subdivision σ choisie. On l ppelle intégrle sur [, b] de l ppliction f et l on note : b n 1 f(x)dx = ( i+1 i )c i i=0 Démonstrtion: Pour prouver que les sommes ssociées à deux subdivisions dptées σ et σ sont identiques, on compre chcune d entre elles à l somme ssociée à l subdivision plus fine σ σ, ce qui permet de conclure fcilement. Proposition Pour toute ppliction f E([, b], E), on f E([, b], R) et b b f(x)dx f(x) dx

11 1.2. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 11 Démonstrtion: Si σ = ( i ) 0 i n est une subdivision dptée à f, nous consttons imméditement qu elle est ussi dptée à l ppliction f qui est encore en esclier. L inéglité que nous cherchons à prouver s écrit donc n 1 n 1 ( i+1 i )c i ( i+1 i ) c i i=0 i=0 et résulte de l inéglité tringulire. Proposition L ppliction I : E([, b], E) E définie pr f E([, b], E) I(f) = b f(x)dx est une ppliction linéire continue de norme I L = b. Démonstrtion: On vérifie imméditement que (λ, µ) R 2 (ou C 2 ) (f, g) E([, b], E) 2 I(λf + µg) = λi(f) + µi(g) en effectunt le clcul vec une subdivision σ dptée à l fois à f et g. L proposition précédente nous donne b n 1 f(x)dx n 1 ( i+1 i ) c i ( i+1 i ) f = (b ) f i=0 donc I est une ppliction linéire continue de norme u plus égle à (b ). Il nous reste à remrquer que l églité est obtenue pour une fonction constnte non nulle, ce qui nous permet de conclure. i= Intégrle d une ppliction réglée Pour prolonger l ppliction linéire continue I de E([, b], E) à R([, b], E), nous llons utiliser un procédé générl énoncé dns l proposition suivnte. Proposition Soient F un espce vectoriel normé, F 1 un sous-espce dense de F et E un espce de Bnch. Alors toute ppliction linéire continue u : F 1 E se prolonge de mnière unique en une ppliction linéire continue û : F E de même norme : û L = u L.

12 12 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Démonstrtion: Soit x F ; il existe une suite (x n ) F N 1 qui converge vers x. L suite (x n ) étnt convergente dns F, elle est de Cuchy et l inéglité u(x n ) u(x m ) u L x n x m prouve que l suite (u(x n )) est de Cuchy dns l espce de Bnch E donc convergente. Nous pouvons poser û(x) = lim u(x n ) sns mbiguïté cr l vleur de cette limite ne dépend ps du choix de l suite (x n ) qui converge vers x ; en effet, si (x n ) et (y n ) convergent toutes deux vers x, lors x n y n 0 et l inéglité u(x n ) u(y n ) u L x n y n implique lim u(x n ) = lim u(y n ). L ppliction û : F E insi définie est linéire puisque, si (x n ) converge vers x et (y n ) converge vers y, lors l suite (λx n +µy n ) converge vers λx+µy d où : û(λx + µy) = lim u(λx n + µy n ) = lim(λu(x n ) + µu(y n )) = λû(x) + µû(y) Si (x n ) converge vers x, en pssnt à l limite dns l inéglité u(x n ) u L x n, nous obtenons û(x) u L x donc û L u L. Pr illeurs, si nous notons S (resp. S 1 ) l sphère unité de F (resp. F 1 ), nous vons : û L = sup û(x) sup û(x) = sup u(x) = u L x S x S 1 x S 1 d où finlement û L = u L. Il nous reste à démontrer l unicité de ce prolongement. Soit donc v : F E une ppliction linéire continue telle que x F 1, v(x) = u(x). Soit x F quelconque ; lors il existe (x n ) F N 1 qui converge vers x. A fortiori, (x n ) est une suite d éléments de F qui converge vers x et donc, pr continuité de v sur F, v(x) = lim v(x n ). D utre prt, pour tout n N, x n F 1 et donc v(x n ) = u(x n ). En définitive, nous obtenons pour x F quelconque : v(x) = lim v(x n ) = lim u(x n ) = û(x) Nous en déduisons imméditement l proposition suivnte, qui nous permet de définir l intégrle de Riemnn d une ppliction réglée.

13 1.2. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 13 Proposition L ppliction I : E([, b], E) E définie pr f E([, b], E) I(f) = b f(x)dx se prolonge de fçon unique en une ppliction linéire continue Î : R([, b], E) E de norme Î L = b. Pour toute ppliction f : [, b] E réglée, nous ppellerons intégrle de Riemnn de f sur [, b] l vleur Î(f) et nous noterons Î(f) = b f(x)dx Corollire (Inéglité de l moyenne) f R([, b], E) b f(x)dx (b ) f Remrques 1. On ppelle moyenne de l ppliction f sur l intervlle [, b] l élément de E suivnt : 1 b f(x)dx b S norme (dns E) est donc mjorée pr f. 2. Pr convention, nous poserons b f(x)dx = b f(x)dx Propriétés élémentires Proposition (Reltion de Chsles) Soit f R([, b], E) et c ], b[ ; lors, on l églité b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx

14 14 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Démonstrtion: Si f E([, b], E), il suffit de choisir une subdivision σ dptée à f et contennt le point c (ce qui est toujours possible quitte à rjouter ce point à l subdivision) pour obtenir l églité. Dns le cs générl, il existe une suite (f n ) d éléments de E([, b], E) qui converge uniformément vers f et nous concluons en pssnt à l limite dns l églité b Proposition f n (x)dx = f R([, b], E) c b f n (x)dx + b c f n (x)dx b f(x)dx f(x) dx Démonstrtion: Nous prenons une suite (f n ) d éléments de E([, b], E) qui converge uniformément vers f et nous écrivons l inéglité donnée pr l proposition : b b f n (x)dx f n (x) dx (1.1) Remrquons mintennt que ( f n ) est une suite d éléments de E([, b], R) qui converge uniformément vers f R([, b], R) puisque l inéglité tringulire nous donne n N x [, b] f n (x) f(x) f n (x) f(x) f n f Nous en déduisons que f R([, b], R) et que, pr définition même de l intégrle de Riemnn, nous vons l églité : b f(x) dx = lim b f n (x) dx Il nous reste lors à psser à l limite dns l églité (1.1) pour conclure. Exercice: Soit f R([, b], C). Nous svons qu il existe une suite (f n ) d éléments de E([, b], C) qui converge uniformément vers f. Montrer que (Rf n ) est une suite d éléments de E([, b], R) qui converge uniformément vers Rf. Procéder à un risonnement similire vec (If n ). En déduire l églité : b g(t) dt = b Rg(t) dt + i b Ig(t) dt

15 1.2. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN Intégrle d une ppliction à vleurs réelles Nous llons mintennt énoncer des propriétés de l intégrle de Riemnn spécifiques u cs où f est une ppliction à vleurs dns E = R. Proposition (Croissnce) (f, g) R([, b], R) 2 Démonstrtion: nous vons : b (Positivité) f R([, b], R) f 0 b f(x)dx f g b f(x)dx b g(x)dx L première propriété résulte de l proposition puisque f(x)dx = b f(x) dx b f(x)dx 0 L seconde propriété est une conséquence de l première pr linérité. Proposition Soit f C([, b], R) telle que f 0. Alors, on l impliction suivnte : b f(x)dx = 0 f 0. Démonstrtion: Nous risonnons pr l bsurde en supposnt l existence de x 0 [, b] tel que f(x 0 ) > 0. Nous remrquons lors que, pr continuité de f en x 0, il existe un segment non réduit à un point [c, d] inclus dns [, b] et tel que x [c, d] f(x) f(x 0). 2 En utilisnt l reltion de Chsles et l proposition précédente, nous en déduisons : b d où une contrdiction. f(x)dx d c f(x)dx (d c)f(x 0) 2 > 0, Remrque: L proposition précédente ne se générlise ps u cs d une ppliction f continue pr morceux. Il suffit de considérer f = 1 {} pour le constter. Proposition (Inéglité de Cuchy-Schwrz) Soient f, g R([, b], R) ; lors nous vons l inéglité suivnte : b ( b ) 1 ( f(x)g(x)dx f 2 2 b ) 1 (x)dx g 2 2 (x)dx. Si nous supposons en outre f et g continues sur [, b], lors il y églité si et seulement si f et g sont linéirement liées.

16 16 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Démonstrtion: Considérons l ppliction P : R R définie pr λ R P (λ) = b (λf + g) 2 (x)dx. D près l positivité de l intégrle de Riemnn étblie dns l proposition 1.2.9, nous vons P (λ) 0 pour tout λ R. En outre, nous consttons que P est un polynôme de degré u plus 2 puisque λ R b P (λ) = λ 2 f 2 (x)dx + 2λ b f(x)g(x)dx + b g 2 (x)dx. Si b f 2 (x)dx = 0, l inéglité P (λ) 0, λ R implique b f(x)g(x)dx = 0 (fire tendre λ vers ou + ) et donc l inéglité de Cuchy-Schwrz est imméditement vérifiée. Sinon, le polynôme P est de degré 2 et ne prend jmis de vleur strictement négtive donc son discriminnt est négtif ou nul, ce qui nous donne l inéglité voulue. Pssons mintennt u cs d églité en supposnt que ( b 2 ( b f(x)g(x)dx) = ) ( b ) f 2 (x)dx g 2 (x)dx. Si f = 0, il y évidemment une liison linéire entre f et g. Sinon, d près l proposition , nous vons b f 2 (x)dx > 0 et P est un polynôme de degré 2 dont le discriminnt est nul. Il dmet lors une unique rcine double que nous notons λ 0. Nous vons donc b (λ 0 f + g) 2 (x)dx = 0 et l proposition nous permet d en déduire, puisque (λ 0 f + g) 2 C([, b], R), que λ 0 f + g = 0. Il est fcile de vérifier réciproquement que s il existe (α, β) R 2 {(0, 0)} tel que αf + βg = 0, lors nous nous trouvons dns le cs d églité de Cuchy- Schwrz. Remrques 1. On démontre pr une preuve très similire l inéglité de Cuchy- Schwrz dns le cdre beucoup plus générl des espces préhilbertiens réels. Le lecteur pourr trouver cette preuve dns [DAN 9-10].

17 1.2. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN Dns le cs où f, g R([, b], C), l inéglité de Cuchy-Schwrz s écrit : b ( b f(x)ḡ(x)dx ) 1 ( f(x) 2 2 b ) 1 dx g(x) 2 2 dx et le cs d églité pour des pplictions continues reste celui où f et g sont linéirement liées. Le lecteur pourr dpter l démonstrtion précédente à titre d exercice en choisissnt, pour (f, g) fixé, un couple (ρ, θ) R + R tel que b f(x)ḡ(x)dx = ρeiθ puis en considérnt : P (λ) := b Exercices Référence :EMPSI pges f(x) + λe iθ g(x) 2 dx. 1. Soit f C([, b], R) telle qu il existe x 1 [, b] tel que f(x 1 ) > 0, et b f = 0. Montrer qu il existe x 2 [, b] tel que f(x 2 ) < Déterminer les limites respectives des suites : n = 1 0 x n 1 + x dx ; b n = π 0 sin x x + n dx ; c n = π 0 n sin x x + n dx ; d n = 3. Soient f, g C([0, 1], R) telles que f 0, g 0, fg 1. Prouver l inéglité 1 0 f(x)dx 4. Soit f C([0, 1], R) telle que 1 0 f 2 = Montrer que f 0 ou f ****** g(x)dx 1. f 3 = Nous terminons ce prgrphe en énonçnt deux résultts clssiques (mis hors progrmme) fisnt intervenir l notion de moyenne qui été définie dns l remrque suivnt l proposition f xn dx. Proposition (Première formule de l moyenne) Soient f C 0 ([, b], R) et g R([, b], R) telle que g 0. Alors : c [, b] b f(x)g(x)dx = f(c) b g(x)dx

18 18 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Démonstrtion: Considérons l ppliction h : [, b] R définie pr : x [, b] h(x) = f(x) b g(x)dx L ppliction f étnt continue sur le compct, connexe [, b] et l intégrle de g sur [, b] étnt positive, nous vons : [ ] h([, b]) = inf f [,b] b Puisque g 0, nous vons les inéglités : g(x)dx, sup f [,b] b g(x)dx x [, b] inf [,b] f g(x) f(x)g(x) sup f g(x) [,b] Pr intégrtion sur l intervlle [, b], nous en déduisons : inf f [,b] b g(x)dx b f(x)g(x)dx sup f [,b] b g(x)dx Autrement dit, le réel b f(x)g(x)dx pprtient à h([, b]), d où l existence de c [, b] tel que b f(x)g(x)dx = h(c) = f(c) b g(x)dx Proposition (Seconde formule de l moyenne) Soient f : [, b] R, supposée positive et décroissnte et g R([, b], R). Alors, c [, b] b f(x)g(x)dx = f(+) c g(x)dx Démonstrtion: Voir [DAN ] qui prouve ce résultt dns le cs où f et g sont continues pr morceux. Dns le cs générl, remrquons que b f(x)g(x)dx est bien définie à cuse de l remrque fite à l suite de l proposition : f est réglée cr décroissnte et fg est réglée en tnt que produit d pplictions réglées. Le reste de l démonstrtion s dpte sns difficulté.

19 1.3. OUTILS PRATIQUES DE CALCUL D UNE INTÉGRALE Outils prtiques de clcul d une intégrle Tous les outils que nous présenterons dns ce prgrphe reposent en fit sur le lien entre intégrle et primitive, que nous llons donc triter en premier. Pour cette prtie très clssique, le lecteur pourr se reporter de préférence à [DAN ] ou encore à [CMPSI ]. Dns tout ce prgrphe, I désigne un intervlle réel d intérieur non vide (i.e. I ni vide ni réduit à un point). Nous rppelons ici l inéglité des ccroissements finis : Proposition Soit E un espce vectoriel normé et f : [, b] E une ppliction continue sur [, b] et dérivble sur ], b[. S il existe M R + tel que f (x) M pour tout x ], b[, lors nous vons l inéglité : f(b) f() M(b ) Utilistion d une primitive Définition Soient f et F deux pplictions de I dns E. On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivble sur I et telle que F = f. Proposition Soient F une primitive de f sur I et G : I E. Alors G est une primitive de f sur I si et seulement si : C E x I G(x) = F (x) + C. Démonstrtion: Il est immédit de vérifier qu une ppliction G de l forme précédente est bien une primitive de f sur I. Réciproquement, si nous supposons que G est une primitive de f sur I, nous consttons que l ppliction G F est dérivble sur I, de dérivée nulle. L inéglité des ccroissements finis entrîne lors (en mjornt l norme de l dérivée pr l constnte nulle!) que l ppliction G F est constnte sur I, d où l conclusion. Remrque: Dns l définition et les deux propositions précédentes, nous vons simplement supposé que E est un espce vectoriel normé quelconque. Désormis, nous urons besoin de supposer que E est un espce de Bnch fin de pouvoir introduire des intégrles d pplictions à vleurs dns E.

20 20 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Théorème (fondmentl de l nlyse) Soit f : I E une ppliction continue et I. Alors l ppliction F : I E définie pr est une primitive de f sur I. x I F (x) = x f(t) dt Démonstrtion: Soit x 0 I ; nous llons prouver que F est dérivble en x 0 et que F (x 0 ) = f(x 0 ). Soit ɛ > 0 rbitrire. Puisque l ppliction f est continue u point x 0, nous pouvons choisir α > 0 tel que t I t x 0 α = f(t) f(x 0 ) ɛ. Pour tout réel h non nul tel que x 0 + h I et h α, nous vons 1 ( F (x0 + h) F (x 0 ) ) f(x 0 ) h = 1 h = 1 h f(t) dt f(x 0 ) x 0 ( f(t) f(x0 ) ) dt x0 +h x0 +h d où les inéglités 1 ( F (x0 + h) F (x 0 ) ) f(x 0 ) h 1 h x 0 x0 +h x 0 ɛ dt ɛ. Nous en déduisons que F est dérivble en x 0 et que F (x 0 ) = f(x 0 ). Remrques 1. Dns le cs où I = [, b], si nous supposons seulement f R([, b], E), l ppliction F n est ps forcément dérivble mis est toujours continue sur [, b] : le lecteur le prouver fcilement en utilisnt le fit que l ppliction f est bornée. 2. L importnce de l hypothèse de continuité est mnifeste dns cette preuve. Si l on suppose seulement que f est continue (resp. continue à droite, continue à guche) u point x 0 I, l même démonstrtion montre que F est dérivble (resp. dérivble à droite, dérivble à guche) u point x 0 et que l dérivée F (x 0 ) (resp. dérivée à droite F d (x 0), dérivée à guche F g(x 0 )) est égle à f(x 0 ). Ainsi, si f C M (I, E), nous vons F (x) = f(x) en tout point x où f est continue ; le lecteur vérifier lors que F C 0 CM 1 (I, E).

21 1.3. OUTILS PRATIQUES DE CALCUL D UNE INTÉGRALE 21 Corollire Toute ppliction continue f : I E dmet u moins une primitive sur I. En choisissnt f : R + R définie pr f(x) = 1/x, nous pouvons définir le logrithme népérien comme l unique primitive de f s nnulnt u point 1. Grâce u théorème fondmentl de l nlyse, nous obtenons une méthode qui est à l bse du clcul prtique des intégrles : l utilistion d une primitive. C est de cette méthode de clcul que découlent l intégrtion pr prties et le chngement de vrible que nous énoncerons ci-dessous. Proposition Soit f : I E une ppliction continue, [, b] un segment inclus dns I et F une primitive de f sur [, b]. Nous vons lors l églité Démonstrtion: b f(x) dx = F (b) F (). Nous définissons l ppliction G : I E pr x I G(x) = x f(t) dt. En ppliqunt l proposition 1.3.3, nous consttons que l ppliction G F est constnte sur [, b]. En prticulier, G(b) F (b) = G() F (), ce qui s écrit encore G(b) G() = F (b) F (), d où l conclusion. Remrque: Nous utiliserons l nottion suivnte : [F (x)] b = F (b) F () Intégrtion pr prties Proposition Soient f, g C 1 ([, b], K). Alors on l églité : b f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] b b f (x)g(x)dx. Démonstrtion: Nous utilisons l églité (fg) = f g + fg et, puisque toutes les pplictions en jeu sont continues sur [, b], nous l intégrons entre et b : b (fg) (x)dx = b f (x)g(x)dx + b f(x)g (x)dx. D près l proposition 1.3.6, le membre de guche est égl à [f(x)g(x)] b, d où l conclusion.

22 22 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Remrque: On peut fcilement générliser l proposition précédente u cs où f C 1 ([, b], R) et g C 1 ([, b], E). Voir [DAN 192]. Un exemple clssique d utilistion de l intégrtion pr prties est le clcul des intégrles de Wllis ([CMPSI 234] ou [DAN ] qui est plus détillé) : I n := π/2 0 sin n x dx, n N On peut en déduire l formule de Wllis [CMP 261] qui nous donne l équivlent suivnt lorsque n tend vers l infini : π I n 2n Cet équivlent est utile notmment pour déterminer l constnte intervennt dns l formule de Stirling : n! 2π n n+1/2 e n. L formule de Tylor vec reste intégrl se démontre pr récurrence grâce à une intégrtion pr prties : Proposition Soient I un intervlle non réduit à un point, n N et f C n+1 (I, K). Pour tout (, b) I 2 vec b, nous vons l églité : n f (k) () b f(b) = (b ) k f (n+1) (t) + (b t) n dt k! n! Exercices k=0 1. (EMPSI 83) Soit f C 2 ([0, 2π], R) une ppliction convexe. Prouver l inéglité 2π 0 f(x) cos x dx (CMPSI 235) Prouver l convergence suivnte lorsque x + : x 1 et log t dt 1. e x log x Chngement de vrible Proposition Soient f C 0 (I, E) et u C 1 ([, b], I). Alors on l églité : b f(u(t)) u (t)dt = u(b) u() f(x) dx.

23 1.3. OUTILS PRATIQUES DE CALCUL D UNE INTÉGRALE 23 Démonstrtion: Considérons l ppliction G : I E définie pr x I G(x) = x u() f(t)dt et l ppliction F : [, b] E définie pr F = G u. D près l proposition 1.3.4, l ppliction G est une primitive de f sur I ; en prticulier, G C 1 (I, E). Comme en outre u C 1 ([, b], I), nous en déduisons pr composition que F C 1 ([, b], E) et t [, b] F (t) = f(u(t))u (t). Ainsi, F est une primitive de l ppliction continue t f(u(t))u (t) sur [, b] et nous concluons pr l proposition Remrques 1. On dit courmment que l on posé le chngement de vrible x = u(t) et donc que (formellement) dx = u (t)dt. 2. On peut générliser l proposition précédente u cs où f est simplement continue pr morceux mis u prix d une condition supplémentire : u strictement monotone de [, b] sur I = [α, β]. Voir [DAN 194] Voici une ppliction de l proposition u cs d une fonction périodique. Proposition Soit f C(R, E) une ppliction T -périodique (T > 0). Alors nous vons l églité : (t 1, t 2 ) R 2 t1 +T t 1 f(x) dx = t2 +T t 2 f(x) dx. Démonstrtion: t1 +T D près l reltion de Chsles, t2 t2 +T f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx + t 1 t 1 t 2 Il nous suffit donc pour conclure de prouver l églité : t2 t 1 f(x)dx = t2 +T t 1 +T f(x)dx, t1 +T t 2 +T qui s écrit encore, en vertu de l T -périodicité de l ppliction f, t2 t 1 f(x + T )dx = t2 +T t 1 +T f(y)dy f(x)dx. et cette dernière églité résulte du chngement de vrible y = x + T.

24 24 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Remrque: En vertu de l remrque précédente, cette proposition se générlise u cs où f est continue pr morceux. En effet, le chngement de vrible que nous vons utilisé dns l démonstrtion est strictement croissnt puisqu il s git simplement d une trnsltion Exercices suggérés. Référence :EMPSI pges Soit f C([0, 1], R). Prouver l inéglité 1 (f(x) + xf(1 x))dx 3 2 f Clculer l vleur de l intégrle 2π 1 + cos x dx Clculer l vleur de l intégrle 0 π/4 0 log(1 + tn x) dx. 4. En utilisnt une comprison vec une intégrle, prouver l mjortion et en déduire : n N n N n k=1 1 k 1 + log n d n(1 + log n). d n 5. Déterminer les limites suivntes : lim u 0+ π/2 0 e u sin x dx ; lim u 0+ 3u u cos x x dx. 6. Déterminer l ensemble des pplictions f C(R +, R) telles que f 0 et x R + f(x) x 0 f(t) dt. Indiction : Introduire g(x) = exp( x) x f(t) dt. 0

25 1.3. OUTILS PRATIQUES DE CALCUL D UNE INTÉGRALE Etudier et représenter grphiquement l ppliction f : R R définie pr l intégrle dépendnt d un prmètre ux bornes suivnte : x R f(x) = 2x x e t2 dt. Indiction : Utiliser les vleurs numériques qui vous sont données cidessous : log 2 α = 0, 481 ; f(α) 0, Soit f : R + R une ppliction k-lipschitzienne (k 0). On définit l ppliction F : R + R pr F (0) = f(0) et x R + F (x) = 1 x x 0 f(t)dt. Montrer que l ppliction F est k/2-lipchitzienne. Indiction : Effectuer un chngement de vrible pour fixer les bornes de l intégrle. 9. Soit f C([0, 1), R) telle que Prouver l inéglité : (x, y) [0, 1] 2 xf(y) + yf(x) f(x) dx π 4. Indiction : Ecrire de deux fçons différentes cette intégrle en utilisnt les chngements de vrible x = sin u et x = cos v. Référence :CMP Clculer les intégrles suivntes : I = π/2 0 cos x 1 + sin x cos x dx ; J = 2. Soit θ [0, π/2[ fixé. Clculer l intégrle 2θ 3. Clculer l intégrle suivnte : π/2 0 x cos(x θ) dx. 1 1 x x + 2 dx. sin x 1 + sin x cos x dx. Indiction : Effectuer les chngements de vribles successifs x = cos θ puis θ = 2(ϕ + π/4).

26 26 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. 4. Soient > 0 fixé et f C([0, ], R +). Clculer l intégrle 0 f(t) f(t) + f( t) dt. En déduire l vleur de l intégrle suivnte : π/ Applictions suggérées. 0 (cos t) sin t dt. (cos t) sin t + (sin t) cos t Pour un exposé systémtique sur le clcul de primitives, le lecteur pourr pr exemple consulter le chpitre 9 de [CMPSI 309]. Le lemme de (Riemnn-)Lebesgue, qui concerne les séries de Fourier, est trité dns le cs C 1 pr intégrtion pr prties dns [CMPSI ] et dns le cs plus générl d une ppliction continue pr morceux dns [DAN ]. Les pplictions de R dns R qui sont dditives et continues sont exctement les pplictions linéires : une démonstrtion à l ide d intégrles de ce résultt clssique est donnée dns [EMPSI 83]. Le lecteur trouver dns [CMPSI 232] l démonstrtion du lemme clssique suivnt en utilisnt le lien entre primitive et intégrle : Lemme (Gronwll) Soient T R + et f, g : [0, T [ R continues, f 0, g 0, telles que C > 0 x [0, T [ f(x) C + x 0 fg. Alors on l inéglité suivnte : x [0, T [ ( x ) f(x) C exp g. 0 Le lemme de Gronwll est très utile en théorie des équtions différentielles. Prouvons pr exemple que l éqution dy dt = b(y) ; y(0) =

27 1.4. SOMMES DE RIEMANN 27 vec R fixé et b : R R supposée k-lipschitzienne, dmet u plus une solution. Supposons donc que x et y soient deux solutions de cette éqution différentielle si bien que, pour T > 0 rbitrire, t [0, T [ x t = + t 0 b(x s ) ds et y t = + t 0 b(y s ) ds. Nous en déduisons, en utilisnt l inéglité de Cuchy-Schwrz, que pour tout t [0, T [ ( t 2 (x t y t ) 2 = [b(x s ) b(y s )] ds) t 0 t 0 [b(x s ) b(y s )] 2 ds. Puisque l ppliction b est supposée k-lipschitzienne, nous en déduisons : t [0, T [ t (x t y t ) 2 T k 2 (x s y s ) 2 ds. 0 En ppliqunt le lemme de Gronwll vec g T k 2 et C > 0 rbitrire, nous en déduisons : t [0, T [ (x t y t ) 2 C exp(t k 2 t). Nous pouvons lors conclure en fisnt tendre C vers 0 puis en utilisnt T > 0 rbitrire. 1.4 Sommes de Riemnn L notion de sommes de Riemnn est introduite dns [CMPSI ] et illustrée pr plusieurs exercices. Elle ne figure ps u progrmme officiel mis ser nénmoins bien utile dns plusieurs leçons pour fournir des illustrtions ou des exercices. Le résultt essentiel, que nous llons énoncer imméditement près une première définition, est ssez intuitif (fire un dessin). Définition On ppelle subdivision pointée d un segment [, b] un couple (σ, Θ) où σ = ( i ) 0 i n est une subdivision de [, b] et Θ = (θ i ) 1 i n est une fmille de points de [, b] telle que : 1 i n θ i [ i 1, i ].

28 28 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Définition et proposition Soit f R([, b], E) et (σ, Θ) une subdivision pointée de [, b]. On ppelle somme de Riemnn ssociée à l ppliction f et à l subdivision pointée (σ, Θ) l quntité : n S(f, σ, Θ) = ( i i 1 ) f(θ i ). i=1 Considérons mintennt une suite (σ N, Θ N ) N N de subdivisions pointées de [, b] telle que l suite des ps ( σ N ) n N tende vers 0. Alors nous vons l convergence suivnte lorsque N tend vers l infini : S(f, σ N, Θ N ) b f(x) dx. Démonstrtion: Le lecteur trouver l preuve dns [DAN ] qui se restreint u cs f continue pr morceux mis l démonstrtion est exctement l même pour f réglée. L idée est d exminer d bord le cs où f est de l forme c1 [α,β], c E, puis de psser u cs d une ppliction en esclier pr linérité pour terminer l démonstrtion pr densité de E([, b], E) dns (R([, b], E), ). Remrque: Dns le cs où f C([, b], E), l énoncé précédent résulte de l construction de l intégrle de Riemnn. En effet, en consttnt d une prt qu une somme de Riemnn peut s écrire comme intégrle d une fonction en esclier bien choisie et d utre prt que le théorème de Heine nous donne l uniforme continuité de f, nous pouvons écrire le résultt précédent sous l forme b f = lim N + où (f N ) est une suite de fonctions en esclier qui converge uniformément vers f sur [, b]. Un cs prticulier souvent utilisé dns l prtique est obtenu en prennt des subdivisions régulières de [, b]. Plus précisément, pour tout N N, nous définissons l subdivision σ N comme l fmille ( i ) 0 i N telle que : 0 i N b f N, i = + i b N. En outre, nous définissons l subdivision pointée (σ N, Θ N ) en choisissnt simplement θ i = i 1 pour tout 1 i N. L proposition précédente nous donne lors :

29 1.4. SOMMES DE RIEMANN 29 Corollire Pour toute ppliction f C M ([, b]), nous vons l convergence suivnte lorsque N tend vers l infini : b N N 1 i=0 f ( + i b ) N b f(x) dx. Ce résultt nous fournit une méthode pour clculer une pproximtion d une intégrle dite méthode des rectngles. Dns le cs où f est suffismment régulière, on peut utiliser l inéglité de Tylor-Lgrnge pour mesurer l qulité de cette pproximtion, ce qui est essentiel dns l prtique. Nous écrivons l proposition suivnte dns le cs = 0 et b = 1, ce qui ne fit ps perdre de générlité puisqu on peut toujours se rmener à ce cs pr un simple chngement de vrible (trnsformtion ffine). Proposition Supposons f C 3 ([0, 1], R). Alors on le développement symptotique : N 1 1 f N i=0 ( ) i = N 1 0 f(x) dx f(1) f(0) 2N + f (1) f (0) 12N 2 ( ) 1 + O N 3 Démonstrtion: Voir [DAN ]. Nous reviendrons beucoup plus précisément sur les différentes méthodes de clcul de l vleur pprochée d une intégrle dns un chpitre ultérieur. Exercices Référence :EMPSI pges Montrer que l suite de terme générl u n = n k=1 1 n2 + 2kn est convergente et clculer s limite. 2. Montrer que l suite de terme générl u n = n (1 + k2 n 2 k=1 est convergente et clculer s limite. ) 1/n

30 30 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. 3. Montrer que l suite de terme générl u n = n (n + k) α (n + k + 1) β, k=0 où α > 0, β > 0 et α + β = 1, est convergente et clculer s limite. Indiction :Introduire v n = n k=0 (n + k) 1 et prouver que v n 1 n + 1 2n + 1 u n v n. 4. Montrer que l suite de terme générl u n = n sin k n sin k 2 n k=1 est convergente et clculer s limite. Indiction :Introduire v n = n k k=1 sin k n 2 n x R + x x3 6 et montrer l inéglité sin x x. 5. Soit f C([0, 1], R) et ϕ : R R convexe. Montrer l inéglité de Jensen : ( 1 ) 1 ϕ f ϕ(f) Convergences de suites d pplictions Les définitions des convergences simple et uniforme ont été données pge 7. Rppelons simplement ici que l continuité en un point x 0 (ou sur l intervlle [, b]) est conservée pr pssge à une limite uniforme [DAN 271], ce qui n est ps le cs pour une limite simple. On peut en déduire que (C([, b], E), ) est un espce de Bnch en tnt que sous-espce fermé de (B([, b], E), ) qui est lui-même un espce de Bnch. Proposition Soit (f n ) n N une suite d pplictions réglées de [, b] dns E qui converge uniformément sur [, b] vers une ppliction f. Alors f R([, b], E) et nous vons l églité : b f(x) dx = b lim n + f n (x) dx.

31 1.5. CONVERGENCES DE SUITES D APPLICATIONS 31 Démonstrtion: Dns l espce vectoriel normé (B([, b], E), ), nous vons f = lim f n vec (f n ) (R([, b], E)) N. Or R([, b], E) est un sousespce fermé de (B([, b], E), ) puisque, pr définition, R([, b], E) = E([, b], E) Nous en déduisons que f R([, b], E) et donc que l intégrle du membre de guche est bien définie. Pr construction, l intégrle de Riemnn est une ppliction linéire continue Î : (R([, b], E), ) E de norme (b ), comme nous l vons étbli dns l proposition Nous déduisons de cette propriété de continuité que Î(f) = lim Î(f n), d où l conclusion. Une utre fçon d boutir à cette conclusion est d écrire les inéglités : b f(x) dx b b f n (x) dx f(x) f n (x) dx (b ) f f n Remrque: Cette interversion entre limite et intégrle n est ps vlble lorsqu il y seulement convergence simple, même si toutes les pplictions en jeu sont continues. Un contre-exemple est obtenu en prennt = 0, b = 1 et en définissnt comme suit f n, n N : f n (x) = n 2 x si 0 x 1/n, f n (x) = 2n n 2 x si 1/n x 2/n et f n (x) = 0 sinon. Dns toute l suite de ce prgrphe, nous llons considérer des pplictions numériques définies sur [, b] et nous llons définir de nouveux types de convergences pour des suites de telles pplictions. Proposition et définition L ppliction 1 définie sur C([, b], R) pr f C([, b], R) f 1 = b f(x) dx est une norme sur C([, b], R) ppelée norme 1. Soient (f n ) n N et f des pplictions numériques continues sur [, b]. Si l suite (f n ) converge vers f dns (C([, b], R), 1 ), on dit que (f n ) converge en moyenne vers f. Démonstrtion: L seule vérifiction qui ne soit ps immédite est celle de l impliction suivnte : f 1 = 0 f = 0. Elle résulte de l proposition

32 32 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Remrque: L énoncé précédent se générlise sns difficulté à C([, b], E), vec E espce de Bnch quelconque. En revnche, le produit sclire que nous llons introduire mintennt pourrit être générlisé à C([, b], C) mis ps u-delà. Proposition et définition L ppliction, définie sur (C([, b], R)) 2 pr (f, g) (C([, b], R)) 2 f, g = b f(x)g(x) dx est un produit sclire sur C([, b], R). L norme induite pr ce produit sclire est ppelée norme 2 et donc définie pr : ( b f C([, b], R) f 2 = ) 1 f 2 2 (x) dx. Soient (f n ) n N et f des pplictions numériques continues sur [, b]. Si l suite (f n ) converge vers f dns (C([, b], R), 2 ), on dit que (f n ) converge en moyenne qudrtique vers f. Démonstrtion: Le lecteur vérifier sns difficulté que l ppliction, est bilinéire symétrique positive. Le fit qu elle soit définie résulte de l proposition Remrque: L inéglité de Cuchy-Schwrz, énoncée dns l proposition , se réécrit donc dns notre cdre (f, g) (C([, b], R)) 2 f, g f 2 g 2. Sous cette forme, elle est d illeurs vrie dns le cdre beucoup plus générl des espces préhilbertiens, insi que son cs d églité. Le lecteur pourr se reporter à [DAN 9-10]. C est précisément l inéglité de Cuchy-Schwrz que nous llons utiliser pour comprer les trois normes que nous vons précédemment définies sur C([, b], R). Proposition Pour toute ppliction f C([, b], R), nous vons les inéglités f 1 b f 2 (b ) f.

33 1.5. CONVERGENCES DE SUITES D APPLICATIONS 33 Démonstrtion: Grâce à l inéglité de Cuchy-Schwrz, nous pouvons écrire (en notnt 1 l ppliction constnte et égle à 1 sur [, b]) f 1 = b f(x) dx = f, 1 f = b f 2, d où l première inéglité. Nous obtenons lors l seconde inéglité en écrivnt ( b f 2 = ) 1 f 2 2 (x) dx ( b ) 1 f 2 2 dx = b f. Corollire Soient (f n ) n N et f des pplictions numériques continues sur [, b]. Si (f n ) converge uniformément vers f sur [, b], lors (f n ) converge en moyenne qudrtique vers f sur [, b]. Si (f n ) converge en moyenne qudrtique vers f sur [, b], lors (f n ) converge en moyenne vers f sur [, b] Dns les deux cs, l réciproque est fusse comme nous llons le voir mintennt. Contre-exemples : 1. Prenons = 0, b = 1,f 0 et définissons f n, n N pr : f n (x) = n 4 x si 0 x 1/n 3, f n (x) = 2n n 4 x si 1/n 3 x 2/n 3 et f n (x) = 0 sinon. Alors l suite (f n ) converge en moyenne qudrtique vers f mis ne converge ps uniformément vers f. 2. Prenons = 0, b = 1,f 0 et définissons f n, n N pr : f n (x) = n 3 x si 0 x 1/n 2, f n (x) = 2n n 3 x si 1/n 2 x 2/n 2 et f n (x) = 0 sinon. Alors l suite (f n ) converge en moyenne vers f mis ne converge ps en moyenne qudrtique vers f : on pourr remrquer que f n (x) n/2 dès que 1/(2n 2 ) x 3/(2n 2 ). Remrque et exercice suggéré : On peut montrer que pour tout p N, l ppliction p définie sur C([, b], R) pr ( b f C([, b], R) f p = ) 1 f(x) p p dx

34 34 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. est une norme sur C([, b], R) : on l ppelle norme p. Ce résultt qui repose en fit sur une inéglité de convexité n est ps trivil. Le lecteur intéressé pr l démonstrtion pourr se reporter ux inéglités dites de Hölder et Minkowski dns tout livre de théorie de l mesure et de l intégrtion. L nottion que nous vons utilisée pour l norme de l convergence uniforme est lors justifiée pr le résultt suivnt : f C([, b], R) lim f p = f. p + Le lecteur trouver ce résultt sous l forme d un exercice corrigé dns [DAN ]. 1.6 Intégrle d une fonction dépendnt d un prmètre Nous considérons une ppliction f : E [, b] F, où (E, d) est un espce métrique et F un espce de Bnch. Rppelons ici que E [, b] est lors lui-même un espce métrique en tnt que produit de deux espces métriques. Théorème (Continuité) Si f : E [, b] F est continue, lors nous pouvons définir l ppliction Φ : E F pr : x E Φ(x) = et cette ppliction Φ est continue b f(x, t) dt Nous supposons désormis que E = I, intervlle réel. Soit (x 0, t 0 ) I [, b]. Rppelons que l dérivée prtielle f x(x 0, t 0 ) désigne, sous réserve de son existence, l dérivée u point x 0 I de l ppliction x f(x, t 0 ) de I dns F. Théorème (Dérivbilité) Si f : I [, b] F est continue, telle que l dérivée prtielle f x existe et soit continue sur I [, b], lors l ppliction Φ : I F définie pr : x I Φ(x) = est de clsse C 1 et nous vons l églité : x I Φ (x) = b b f(x, t) dt f x(x, t) dt

35 1.7. ARCS PARAMÉTRÉS 35 Le lecteur trouver l preuve de ces deux théorèmes dns les nciens livres de clsses préprtoires, pr exemple dns le chpitre 8 de Rmis-Deschmps- Odoux, tome 3. Ces résultts seront considérblement générlisés dns l section 3.3 grâce u théorème de convergence dominée. 1.7 Arcs prmétrés Rectifiction d un rc prmétré. Le lecteur pourr se reporter à [DAN ] à propos de l rectifiction des rcs prmétrés, que nous présentons très succinctement ici. Définition Soit d N fixé et f C([, b], R d ).On dit que le couple Γ = ([, b], f) est un rc prmétré continu de R d. Cet rc est dit rectifible si { n 1 sup } f( i+1 ) f( i ) < +, i=0 cette borne supérieure portnt sur toutes les subdivisions ( i ) 0 i n (n N ) de l intervlle [, b] et désignnt l norme euclidienne dns R d. Dns ce cs, cette borne supérieure est ppelée longueur de l rc prmétré continu Γ et notée L(Γ). Un exemple d rc continu non rectifible nous est donné pr l ppliction f : [0, 1] R 2 définie pr f(0) = (0, 0) et t ]0, 1] f(t) = (t, t sin 1 t ). Le lecteur pourr démontrer que l borne supérieure ci-dessus est infinie en choisissnt judicieusement des subdivisions et en utilisnt l divergence de l série hrmonique (i.e. 1 n = + ). n Proposition Soit f C 1 ([, b], R d ) et Γ = ([, b], f) l rc prmétré ssocié. Alors cet rc est rectifible, de longueur L(Γ) = b f (x) dx.

36 36 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Exercice suggéré : Référence : Topologie, Anlyse pr G. FLORY, exercices vec solutions, tome 3, éditions Vuibert. Clculer l longueur totle de l stroïde (voir figure ci-dessous) définie sous forme prmétrée pr : f(t) = ( cos 3 t, sin 3 t), 0 t 2π Intégrle curviligne d une forme différentielle. Une utre ppliction ux rcs prmétrés concerne l notion d intégrle curviligne d une forme différentielle le long d une courbe orientée. Cette notion permet en prticulier de clculer le trvil d une force le long d une courbe en Physique. Référence : [CMPSI ].

37 Chpitre 2 Intégrles impropres. Dns tout ce chpitre, nous considérons des pplictions à vleurs dns le corps K = R ou C. Nous pourrions en fit définir les intégrles impropres dns le cdre plus générl des pplictions à vleurs dns un espce de Bnch E mis dns l prtique ce sont surtout des intégrles impropres réelles ou complexes qui pprissent. Le lecteur intéressé pr les énoncés générux dns E pourr les trouver dns les nciens livres de clsses préprtoires (Rmis-Deschmps- Odoux pr exemple). 2.1 Définition des intégrles impropres. Définition Soit I un intervlle réel et f : I K. Nous dirons que l ppliction f est continue pr morceux sur I si l restriction de f à tout segment inclus dns I est continue pr morceux. Dns ce cs, nous noterons f C M (I, K). Exemple: Soit I = [, b[ vec < < b +. Alors f C M ([, b[, K) si et seulement si, pour tout x [, b[, l restriction de f à l intervlle compct [, x] est continue pr morceux. Remrque: Si nous définissons une ppliction en esclier sur [, b[ pr : σ : = 0 < < n = b, (c i ) 0 i n 1 K n, i = 0,, n 1, f ]i, i+1 [ c i remrquons qu une ppliction continue pr morceux sur [, b[ n est ps forcément limite uniforme sur [, b[ de fonctions en esclier cr cel impliquerit qu elle soit bornée. L ppliction f : [0, 1[ R définie pr f(x) = (1 x) 1 fournit lors un contre-exemple. 37

38 38 CHAPITRE 2. INTÉGRALES IMPROPRES. Définition Soit f C M ([, b[, K) vec < < b +. Nous définissons l ppliction F : [, b[ K pr : x [, b[ F (x) = x f(t)dt Si l ppliction F dmet une limite l K lorsque x tend vers b, nous dirons que l intégrle impropre b f(t)dt est convergente et que s vleur est : b f(t)dt = l Dns le cs contrire (F n dmet ps de limite ou bien tend vers l infini), nous dirons que l intégrle impropre est divergente. Remrque: Si c [, b[, l reltion de Chsles implique imméditement que les intégrles impropres b f(t)dt et b f(t)dt ont même nture, convergentes ou divergentes. Dns le cs où elles convergent, nous vons l églité c : b f(t)dt = c f(t)dt + b c f(t)dt L notion d intégrle impropre générlise l intégrle de Riemnn dns deux directions : intervlle non borné (cs b = + ) ou bien ppliction non bornée (pr exemple, f(x) tend vers + lorsque x b ). Nous llons rencontrer ces deux situtions dns l exemple très clssique suivnt. converge si et seule- Exemple de Riemnn L intégrle impropre + 1 ment si α > 1. L intégrle impropre b dt t α dt converge si et seulement si α < 1. (b t) α Mlgré l simplicité de l preuve (prendre une primitive), cet exemple est importnt cr il sert souvent de référence lorsqu on emploie des reltions de comprison pour étudier l convergence d une intégrle impropre (nous y reviendrons ci-dessous). Même si, pour fixer les idées, nous vons trvillé jusqu à présent vec des intégrles impropres sur un intervlle de l forme [, b[, il est évident que tout ce qui précède s dpte imméditement pour définir des intégrles impropres sur un intervlle de l forme ], b]. Ainsi, l exemple de Riemnn se réécrit comme suit sur ], b] :

39 2.2. ÉTUDE DE LA CONVERGENCE : CAS POSITIF 39 Exemple: L intégrle impropre b dt converge si et seulement si α < 1. (t ) α Nous pouvons lors combiner les deux cs précédents pour définir comme suit une intégrle impropre sur un intervlle ouvert. Proposition et définition Soit I =], b[ vec < b + et f C M ( ], b[, K). Supposons qu il existe c 0 ], b[ tel que les intégrles c0 f(t)dt et b c 0 f(t)dt soient convergentes. Alors, pour tout c ], b[, les intégrles c f(t)dt et b f(t)dt convergent et leur somme est indépendnte c du choix de c. On dit que l intégrle impropre b f(t)dt est convergente et que s vleur est : b f(t)dt = c f(t)dt + b c f(t)dt Dns le cs contrire, on dit que l intégrle impropre b f(t)dt est divergente. Nous pourrions même considérer le cs d une ppliction f : [, b] K, vec < < b < +, qui n est ps bornée u voisinge d un certin nombre de points d un ensemble fini F [, b]. On découpe lors le segment [, b] en segments dont l intérieur ne contient ucun point de F et l on étudie l convergence de l intégrle de f, à guche et à droite, ux points de F comme ci-dessus. Notons nénmoins que, dns ce cs, l ppliction f n est ps forcément continue pr morceux sur [, b]. Dns l suite de ce cours, nous llons mettre en évidence diverses méthodes d étude de l convergence d une intégrle impropre ; nous écrirons les propositions dns le cs d une intégrle impropre définie sur un intervlle de l forme I = [, b[, lissnt u lecteur le soin de les dpter ux utres cs. 2.2 Étude de l convergence : cs positif Avnt d exminer plusieurs critères de convergence ou divergence, nous commençons pr une remrque générle propre u cs positif. Si f C M ([, b[, R + ) et si nous définissons l ppliction F : [, b[ R pr x [, b[ F (x) = x f(t)dt l hypothèse f 0 implique l croissnce de F (pr l reltion de Chsles). Nous en déduisons, en utilisnt l définition d une borne supérieure : lim x b F (x) = sup F + [,b[

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