Cinématique des fluides
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- Gustave Chaput
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1 Cinématique des fluides L. Menguy, PSI*, Lycée Montesquieu, Le Mans février 2011
2 Plan du cours - Cinématique des fluides Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire I. Champ de vitesse dans un fluide 1. Description lagrangienne et eulérienne 2. Notion de trajectoire et de ligne de courant 3. Dérivée particulaire II. 1. Débits massique et volumique, densité de courant 2. Bilans de masse : équation de conservation de la masse III. 1. Ecoulement stationnaire 2. Ecoulement incompressible 3. Ecoulement irrotationnel
3 Plan du cours - Cinématique des fluides Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire I. Champ de vitesse dans un fluide 1. Description lagrangienne et eulérienne 2. Notion de trajectoire et de ligne de courant 3. Dérivée particulaire II. 1. Débits massique et volumique, densité de courant 2. Bilans de masse : équation de conservation de la masse III. 1. Ecoulement stationnaire 2. Ecoulement incompressible 3. Ecoulement irrotationnel
4 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Champ de vitesse : descriptions lagrangienne et eulérienne Description lagrangienne On suit le cheminement d une particule de fluide (comme on le faisait en mécanique du point en math sup) Exemple On regarde une brindille emportée par le courant dans une rivière
5 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Champ de vitesse : descriptions lagrangienne et eulérienne Description lagrangienne On suit le cheminement d une particule de fluide (comme on le faisait en mécanique du point en math sup) Exemple On regarde une brindille emportée par le courant dans une rivière
6 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Champ de vitesse : descriptions lagrangienne et eulérienne Description eulérienne Pour observer un écoulement, on se place à un endroit donné, et on observe l eau s écouler (en un point fixe!!) Exemple On regarde dans une rivière, derrière une pile de pont, les tourbillons qui se forment et se déforment
7 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Champ de vitesse : descriptions lagrangienne et eulérienne Description eulérienne Pour observer un écoulement, on se place à un endroit donné, et on observe l eau s écouler (en un point fixe!!) Exemple On regarde dans une rivière, derrière une pile de pont, les tourbillons qui se forment et se déforment
8 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Champ de vitesse : descriptions lagrangienne et eulérienne Comparaison des approches lagrangienne et eulérienne Approche lagrangienne Approche habituelle en mécanique du point (math sup), donc PFD applicable à une particule de fluide Peu compatible avec les conditions aux limites (à des endroits fixés) Approche eulérienne Plus approprié à la mécanique des fluides car il y a des conditions aux limites Il faut donc adapter la mise en équation (voir partie dérivée particulaire)
9 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Champ de vitesse : descriptions lagrangienne et eulérienne Comparaison des approches lagrangienne et eulérienne Approche lagrangienne Approche habituelle en mécanique du point (math sup), donc PFD applicable à une particule de fluide Peu compatible avec les conditions aux limites (à des endroits fixés) Approche eulérienne Plus approprié à la mécanique des fluides car il y a des conditions aux limites Il faut donc adapter la mise en équation (voir partie dérivée particulaire)
10 Plan du cours - Cinématique des fluides Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire I. Champ de vitesse dans un fluide 1. Description lagrangienne et eulérienne 2. Notion de trajectoire et de ligne de courant 3. Dérivée particulaire II. 1. Débits massique et volumique, densité de courant 2. Bilans de masse : équation de conservation de la masse III. 1. Ecoulement stationnaire 2. Ecoulement incompressible 3. Ecoulement irrotationnel
11 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Notions de trajectoire et de ligne de courant Approche lagrangienne : la trajectoire On suit une brindille en traçant son trajet On photographie avec un temps de pause long le trajet des phares de voiture -> Voir Approche eulérienne : la ligne de courant On photographie instantanément l écoulement à t donné : la ligne de courant est tangente aux vecteurs vitesse -> Voir p5 Exemple : carte des vents -> Voir En régime stationnaire, trajectoires et lignes de courant sont confondues
12 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Notions de trajectoire et de ligne de courant Approche lagrangienne : la trajectoire On suit une brindille en traçant son trajet On photographie avec un temps de pause long le trajet des phares de voiture -> Voir Approche eulérienne : la ligne de courant On photographie instantanément l écoulement à t donné : la ligne de courant est tangente aux vecteurs vitesse -> Voir p5 Exemple : carte des vents -> Voir En régime stationnaire, trajectoires et lignes de courant sont confondues
13 Plan du cours - Cinématique des fluides Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire I. Champ de vitesse dans un fluide 1. Description lagrangienne et eulérienne 2. Notion de trajectoire et de ligne de courant 3. Dérivée particulaire II. 1. Débits massique et volumique, densité de courant 2. Bilans de masse : équation de conservation de la masse III. 1. Ecoulement stationnaire 2. Ecoulement incompressible 3. Ecoulement irrotationnel
14 Dérivée particulaire : notations Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Notations Il faut bien distinguer : D v utilisée en approche lagrangienne, en suivant la particule Dt (dans le PFD en mécanique du point) v en approche eulérienne (on reste en un point fixe et on t compare les vitesses des particules successives en ce point)!!! D v Dt v t
15 Dérivée particulaire : notations Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Notations Il faut bien distinguer : D v utilisée en approche lagrangienne, en suivant la particule Dt (dans le PFD en mécanique du point) v en approche eulérienne (on reste en un point fixe et on t compare les vitesses des particules successives en ce point)!!! D v Dt v t
16 Dérivée particulaire : notations Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Notations Il faut bien distinguer : D v utilisée en approche lagrangienne, en suivant la particule Dt (dans le PFD en mécanique du point) v en approche eulérienne (on reste en un point fixe et on t compare les vitesses des particules successives en ce point)!!! D v Dt v t
17 Dérivée particulaire : notations Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Exemple Observation du trafic routier Accélération d un voiture que l on suit Différence de vitesse entre deux voitures successives passant au même endroit Le problème est le même pour la dérivée particulaire d un champ de masse volumique : Dµ Dt µ t La partie suivante a donc pour but de relier Dµ Dt et µ t
18 Dérivée particulaire : notations Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Exemple Observation du trafic routier Accélération d un voiture que l on suit Différence de vitesse entre deux voitures successives passant au même endroit Le problème est le même pour la dérivée particulaire d un champ de masse volumique : Dµ Dt µ t La partie suivante a donc pour but de relier Dµ Dt et µ t
19 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de masse volumique Définition : la masse volumique La masse volumique d une particule de taille mésoscopique dv est : µ = δm dv On dit qu un fluide est incompressible si µ = constante En première approximation, c est le cas pour : les liquides (comme l eau) les gaz pour des vitesses d écoulement v c son (comme l air)
20 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de masse volumique Définition : la masse volumique La masse volumique d une particule de taille mésoscopique dv est : µ = δm dv On dit qu un fluide est incompressible si µ = constante En première approximation, c est le cas pour : les liquides (comme l eau) les gaz pour des vitesses d écoulement v c son (comme l air)
21 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de masse volumique Définition : la masse volumique La masse volumique d une particule de taille mésoscopique dv est : µ = δm dv On dit qu un fluide est incompressible si µ = constante En première approximation, c est le cas pour : les liquides (comme l eau) les gaz pour des vitesses d écoulement v c son (comme l air)
22 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de masse volumique Démonstration faite au tableau Relation de dérivation particulaire Dµ Dt = µ t +( v. grad)µ Interprétation
23 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de masse volumique Démonstration faite au tableau Relation de dérivation particulaire Dµ Dt = µ t +( v. grad)µ Interprétation
24 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de masse volumique Démonstration faite au tableau Relation de dérivation particulaire Dµ Dt = µ t +( v. grad)µ Dérivée locale Interprétation
25 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de masse volumique Démonstration faite au tableau Relation de dérivation particulaire Dµ Dt = µ t +( v. grad)µ Dérivée locale Dérivée convective Interprétation
26 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de vitesse Même raisonnement à appliquer sur v au lieu de µ Définition de l accélération L accélération d une particule de fluide est par définition : a (M,t) = D v Dt (M,t) Dérivée particulaire du champ de vitesse D v Dt (M,t) = v t (M,t)+( v. grad) v
27 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de vitesse Même raisonnement à appliquer sur v au lieu de µ Définition de l accélération L accélération d une particule de fluide est par définition : a (M,t) = D v Dt (M,t) Dérivée particulaire du champ de vitesse D v Dt (M,t) = v t (M,t)+( v. grad) v
28 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de vitesse Même raisonnement à appliquer sur v au lieu de µ Définition de l accélération L accélération d une particule de fluide est par définition : a (M,t) = D v Dt (M,t) Dérivée particulaire du champ de vitesse D v Dt (M,t) = v t (M,t)+( v. grad) v Accélération locale (caractère non permanent)
29 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de vitesse Même raisonnement à appliquer sur v au lieu de µ Définition de l accélération L accélération d une particule de fluide est par définition : a (M,t) = D v Dt (M,t) Dérivée particulaire du champ de vitesse D v Dt (M,t) = v t (M,t)+( v. grad) v Accélération locale (caractère non permanent) Accélération convective (caractère non uniforme)
30 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de vitesse Autre écriture possible D v Dt (M,t) = v t (M,t)+ grad ( v 2 2 ) + rot v v
31 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de vitesse Autre écriture possible D v Dt (M,t) = v t (M,t)+ grad Accélération locale (caractère non permanent) ( v 2 2 ) + rot v v
32 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de vitesse Autre écriture possible D v Dt (M,t) = v t (M,t)+ grad ( v 2 2 ) + rot v v Accélération locale (caractère non permanent) Accélération convective (caractère non uniforme)
33 Description lagrangienne et eulérienne Notion de trajectoire et de ligne de courant Dérivée particulaire Dérivée particulaire d un champ de vitesse Autre écriture possible D v Dt (M,t) = v t (M,t)+ grad ( v 2 2 ) + rot v v Accélération locale (caractère non permanent) Accélération convective (caractère non uniforme) Interprétation des deux termes de l accélération convective : variation de la norme de v et changement de direction On introduit le vecteur rotation qui est par définition : 1 Ω = rot v 2
34 Plan du cours - Cinématique des fluides Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse I. Champ de vitesse dans un fluide 1. Description lagrangienne et eulérienne 2. Notion de trajectoire et de ligne de courant 3. Dérivée particulaire II. 1. Débits massique et volumique, densité de courant 2. Bilans de masse : équation de conservation de la masse III. 1. Ecoulement stationnaire 2. Ecoulement incompressible 3. Ecoulement irrotationnel
35 Plan du cours - Cinématique des fluides Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse I. Champ de vitesse dans un fluide 1. Description lagrangienne et eulérienne 2. Notion de trajectoire et de ligne de courant 3. Dérivée particulaire II. 1. Débits massique et volumique, densité de courant 2. Bilans de masse : équation de conservation de la masse III. 1. Ecoulement stationnaire 2. Ecoulement incompressible 3. Ecoulement irrotationnel
36 Le débit volumique Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse Définition du débit volumique On appelle débit volumique D V à travers une surface (S) orientée, le volume qui traverse (S) par unité de temps (compté + si du même sens que ds, - sinon) Expression du débit volumique à travers une surface (S) D V = v. ds S
37 Le débit volumique Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse Définition du débit volumique On appelle débit volumique D V à travers une surface (S) orientée, le volume qui traverse (S) par unité de temps (compté + si du même sens que ds, - sinon) Expression du débit volumique à travers une surface (S) D V = v. ds S
38 Le débit massique Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse Définition du débit massique On appelle débit massique D m à travers une surface (S) orientée, la masse de fluide qui traverse (S) par unité de temps (compté + si du même sens que ds, - sinon) Expression du débit massique à travers une surface (S) D m = µ v. ds S
39 Le débit massique Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse Définition du débit massique On appelle débit massique D m à travers une surface (S) orientée, la masse de fluide qui traverse (S) par unité de temps (compté + si du même sens que ds, - sinon) Expression du débit massique à travers une surface (S) D m = µ v. ds S
40 Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse Vecteur densité de courant (ou densité de flux de masse) Définition du vecteur densité de courant Le vecteur densité de courant de masse est par définition : j = µ v Conséquence On peut alors écrire : D m = S j. ds Parallèle avec la charge en électricité
41 Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse Vecteur densité de courant (ou densité de flux de masse) Définition du vecteur densité de courant Le vecteur densité de courant de masse est par définition : j = µ v Conséquence On peut alors écrire : D m = S j. ds Parallèle avec la charge en électricité
42 Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse Vecteur densité de courant (ou densité de flux de masse) Définition du vecteur densité de courant Le vecteur densité de courant de masse est par définition : j = µ v Conséquence On peut alors écrire : D m = S j. ds Parallèle avec la charge en électricité
43 Plan du cours - Cinématique des fluides Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse I. Champ de vitesse dans un fluide 1. Description lagrangienne et eulérienne 2. Notion de trajectoire et de ligne de courant 3. Dérivée particulaire II. 1. Débits massique et volumique, densité de courant 2. Bilans de masse : équation de conservation de la masse III. 1. Ecoulement stationnaire 2. Ecoulement incompressible 3. Ecoulement irrotationnel
44 Bilan de masse Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse Soit un volume V (FIXE dans l espace) entouré par une surface S fermée Variation de la masse dans le volume V par unité de temps = Masse entrante par unité de temps Masse sortante par unité de temps m t = D m (1) ( ) µ dv = j. ds (2) t V S On applique le théorème de Schwarz à (1) On applique le théorème de Green-Ostrogradski à (2)
45 Bilan de masse Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse Soit un volume V (FIXE dans l espace) entouré par une surface S fermée Variation de la masse dans le volume V par unité de temps = Masse entrante par unité de temps Masse sortante par unité de temps m t = D m (1) ( ) µ dv = j. ds (2) t V S On applique le théorème de Schwarz à (1) On applique le théorème de Green-Ostrogradski à (2)
46 Bilan de masse Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse Soit un volume V (FIXE dans l espace) entouré par une surface S fermée Variation de la masse dans le volume V par unité de temps = Masse entrante par unité de temps Masse sortante par unité de temps m t = D m (1) ( ) µ dv = j. ds (2) t V S On applique le théorème de Schwarz à (1) On applique le théorème de Green-Ostrogradski à (2)
47 Bilan de masse Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse Soit un volume V (FIXE dans l espace) entouré par une surface S fermée Variation de la masse dans le volume V par unité de temps = Masse entrante par unité de temps Masse sortante par unité de temps m t = D m (1) ( ) µ dv = j. ds (2) t V S On applique le théorème de Schwarz à (1) On applique le théorème de Green-Ostrogradski à (2)
48 Bilan de masse Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse Equation de conservation locale de masse div j + µ t = 0 Sans perte ni création de matière Notion de divergence Parallèle entre les équations de conservation de la masse, de la charge en électricité, de l énergie en électromagnétisme...
49 Bilan de masse Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse Equation de conservation locale de masse div j + µ t = 0 Sans perte ni création de matière Notion de divergence Parallèle entre les équations de conservation de la masse, de la charge en électricité, de l énergie en électromagnétisme...
50 Bilan de masse Débits massique et volumique, densité de courant Bilans de masse : équation de conservation de la masse Equation de conservation locale de masse div j + µ t = 0 Sans perte ni création de matière Notion de divergence Parallèle entre les équations de conservation de la masse, de la charge en électricité, de l énergie en électromagnétisme...
51 Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Plan du cours - Cinématique des fluides I. Champ de vitesse dans un fluide 1. Description lagrangienne et eulérienne 2. Notion de trajectoire et de ligne de courant 3. Dérivée particulaire II. 1. Débits massique et volumique, densité de courant 2. Bilans de masse : équation de conservation de la masse III. 1. Ecoulement stationnaire 2. Ecoulement incompressible 3. Ecoulement irrotationnel
52 Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Plan du cours - Cinématique des fluides I. Champ de vitesse dans un fluide 1. Description lagrangienne et eulérienne 2. Notion de trajectoire et de ligne de courant 3. Dérivée particulaire II. 1. Débits massique et volumique, densité de courant 2. Bilans de masse : équation de conservation de la masse III. 1. Ecoulement stationnaire 2. Ecoulement incompressible 3. Ecoulement irrotationnel
53 Ecoulement stationnaire Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Caractérisation d un écoulement stationnaire Un écoulement stationnaire est un écoulement pour lequel les champs de vitesse et de masse volumique ne dépendent pas du temps en un point donné : v t = 0 et µ t = 0!!! A priori, d v 0!!! dt Exemple : rivière avec zones de rapides et zones calmes
54 Ecoulement stationnaire Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Caractérisation d un écoulement stationnaire Un écoulement stationnaire est un écoulement pour lequel les champs de vitesse et de masse volumique ne dépendent pas du temps en un point donné : v t = 0 et µ t = 0!!! A priori, d v 0!!! dt Exemple : rivière avec zones de rapides et zones calmes
55 Ecoulement stationnaire Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Conséquences De l équation de conservation locale de la masse, il vient : div j = 0 ce qui donne aussi avec la forme intégrale : j. ds = 0. S Le flux de j est conservatif : le débit massique est le même à travers tout tube de courant. Exemple
56 Ecoulement stationnaire Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Conséquences De l équation de conservation locale de la masse, il vient : div j = 0 ce qui donne aussi avec la forme intégrale : j. ds = 0. S Le flux de j est conservatif : le débit massique est le même à travers tout tube de courant. Exemple
57 Ecoulement stationnaire Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Conséquences De l équation de conservation locale de la masse, il vient : div j = 0 ce qui donne aussi avec la forme intégrale : j. ds = 0. S Le flux de j est conservatif : le débit massique est le même à travers tout tube de courant. Exemple
58 Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Plan du cours - Cinématique des fluides I. Champ de vitesse dans un fluide 1. Description lagrangienne et eulérienne 2. Notion de trajectoire et de ligne de courant 3. Dérivée particulaire II. 1. Débits massique et volumique, densité de courant 2. Bilans de masse : équation de conservation de la masse III. 1. Ecoulement stationnaire 2. Ecoulement incompressible 3. Ecoulement irrotationnel
59 Ecoulement incompressible Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Caractérisation d un écoulement incompressible Un écoulement incompressible est un écoulement pour lequel donc en particulier µ = constante µ t = 0 et Dµ Dt = 0
60 Ecoulement incompressible Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Conséquences De l équation de conservation de la masse, il vient : div j = 0 et div v = 0 ce qui donne aussi avec la forme intégrale : S j. ds = 0 et S v. ds = 0 Le flux de v est conservatif : le débit volumique est le même à travers tout tube de courant (de même que le débit massique). Exemple
61 Ecoulement incompressible Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Conséquences De l équation de conservation de la masse, il vient : div j = 0 et div v = 0 ce qui donne aussi avec la forme intégrale : S j. ds = 0 et S v. ds = 0 Le flux de v est conservatif : le débit volumique est le même à travers tout tube de courant (de même que le débit massique). Exemple
62 Ecoulement incompressible Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Conséquences De l équation de conservation de la masse, il vient : div j = 0 et div v = 0 ce qui donne aussi avec la forme intégrale : S j. ds = 0 et S v. ds = 0 Le flux de v est conservatif : le débit volumique est le même à travers tout tube de courant (de même que le débit massique). Exemple
63 Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Plan du cours - Cinématique des fluides I. Champ de vitesse dans un fluide 1. Description lagrangienne et eulérienne 2. Notion de trajectoire et de ligne de courant 3. Dérivée particulaire II. 1. Débits massique et volumique, densité de courant 2. Bilans de masse : équation de conservation de la masse III. 1. Ecoulement stationnaire 2. Ecoulement incompressible 3. Ecoulement irrotationnel
64 Ecoulement irrotationnel Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Rappel : on a vu que Ω = 1 2 rot v est lié aux tourbillons. Caractérisation d un écoulement irrotationnel Un écoulement irrotationnel est un écoulement dans lequel il n y a pas d effets tourbillonnaires : rot v = 0.
65 Ecoulement irrotationnel Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Parallèle avec l électrostatique -> potentiel Ecoulement irrotationnel = écoulement potentiel On peut donc associer un champ scalaire Φ(M,t) au champ de vitesse v (M,t) (comme en électrostatique avec E (M,t)). Un écoulement irrotationnel est aussi appelé écoulement potentiel : rot v = 0 Φ tel que v = gradφ
66 Ecoulement irrotationnel Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Parallèle avec l électrostatique -> potentiel Ecoulement irrotationnel = écoulement potentiel On peut donc associer un champ scalaire Φ(M,t) au champ de vitesse v (M,t) (comme en électrostatique avec E (M,t)). Un écoulement irrotationnel est aussi appelé écoulement potentiel : rot v = 0 Φ tel que v = gradφ
67 Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Ecoulement irrotationnel ET incompressible Si de plus, l écoulement est incompressible : Equation de Laplace Si l écoulement est à la fois irrotationnel ET incompressible : appelée équation de Laplace div v = div( gradφ) = Φ = 0 Comparaison avec l électrostatique
68 Ecoulement stationnaire Ecoulement incompressible Ecoulement irrotationnel Ecoulement irrotationnel ET incompressible Si de plus, l écoulement est incompressible : Equation de Laplace Si l écoulement est à la fois irrotationnel ET incompressible : appelée équation de Laplace div v = div( gradφ) = Φ = 0 Comparaison avec l électrostatique
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