Masse de Jupiter. 2) On a répertorié dans un tableau les périodes T et les rayons r de trois satellites de Jupiter :

Transcription

1 Masse de upite Execice : Cet execice a pou but de détemine la masse de upite en étudiant le mouement de cetains de ses satellites que son Euope, Ganymède et Callisto. On donne G = 6, N.m.kg -. 1) Le mouement des satellites de upite sea étudié dans le epèe oien, epèe considéé comme galiléen. On supposea que les satellites de upite ont une tajectoie ciculaie. a) Détemine la natue du mouement d un satellite de upite ainsi que sa itesse en fonction du ayon de l obite, de la masse M de upite et de la constante de gaitation unieselle G. b) En déduie la péiode du satellite et monte que la quantité / 3 est constante pou tous les satellites de upite. ) On a épetoié dans un tableau les péiodes et les ayons de tois satellites de upite : Euope Ganymède Callisto Péiode (en h) 85, Rayon (en km) 6, , , a) Repésente, à l aide de la Casio FX-CG0, le gaphe donnant les aiations de en fonction de 3. ace la doite y = 3, x. b) A l aide du gaphique, en déduie la masse de upite. 1

2 Solution : 1) a) Natue du mouement et expession de la itesse : Le mouement des satellites de upite est dû à la foce d attaction unieselle de upite. Cette foce est diigée es le cente de upite et est nomale à la tajectoie du satellite. On sait que dans le epèe de Fenet on a d a = t+ n où t est le ecteu unitaie tangent à la tajectoie et dt dans la même diection que le ecteu itesse puis n est le ecteu unitaie nomal diigée es le cente de upite. D apès la deuxième loi de Newton, dans un epèe supposé galiléen, Fext = ma où m est la masse du satellite. De plus la foce gaitationnelle est donnée pa.m F = n où M est la masse de upite et le ayon d un de ces satellites tounant autou de celle-ci puis G est la constante de gaitation unieselle. On déduit alos pa pojection suiant les ecteus unitaies : i i d m = 0 dt.m m = d = 0 dt = Puisque d = 0 ceci monte que la itesse est constante quel que soit t. En conséquence le mouement est dt ciculaie unifome. A pati de la deuxième équation on déduit alos que =. b) Expession de la péiode et étude de la quantité / 3 : Un satellite de upite a décie une coube ciculaie, donc la distance pacouue coespond au péimète d un cecle pendant une péiode. Puisque Comme distance pacouue π π = alos = =. péiode = alos π = c est-à-die que = π. A pati de l expession de, on peut alos aisément étudie la quantité / 3. Etant donné que π = alos 3 = =. 3

3 Comme G et M sont des constantes, on peut die que la quantité / 3 est constante. On ient donc de éifie la toisième loi de Keple. ) a) Repésentation gaphique, à l aide de la Casio FX-CG0, des aiations de en fonction de 3 : On sélectionne, à l aide des flèches (Fig.1), le mode Statistics en tapant EXE. Puis un nouel écan appaait pemettant de ente les aleus souhaitées (Fig.). Fig.1 Fig. Apès s ête assué que chacune des listes soit ide, on a pouoi ente su List 1 les aleus de 3 et su List les aleus de (Fig.3, 4, 5 et 6). Il fauda s assue de coneti les km en m et les heues en secondes. Fig.3 Fig.4 3

4 Fig.5 Fig.6 A pésent, on tape su F1 (GRAPH) afin de choisi le numéo de gaphique puis une nouelle fois su F1 (GRAPH1) pou effectiement tace le gaphique (Fig.7 et Fig.8) Fig.7 Fig.8 On tape à pésent su F (DefG) puis on définit note doite y = 3, x et on tape su EXE (Fig.9) puis on finalise le tacé en appuyant su F6 (DRAW) afin de dessine la doite (Fig.10). Fig.9 Fig.10 4

5 b) A l aide du gaphique, déduisons en la masse de upite : On constate que la doite passe pa l oigine gaphiquement et pa cetains points de = f( 3 ), donc et 3 peuent ête considéés comme popotionnelles. La doite passant pa l oigine du epaie, on peut détemine le coefficient diecteu de la doite. On sait que Alos , c est-à-die a = 7 3, s m -3. Δ a = = Δ, a = 6, Sachant que a On déduit alos que = d apès les questions pécédentes. M = alos l application numéique donne M = 1, kg. G.a Remaque : La aleu touée est difféente de la masse éelle de upite puisque les aleus du ayon du tableau ne sont données qu à deux chiffes significatifs. On deait toue une masse poche de 1, kg. 5