Les calculatrices sont interdites

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1 Les calculatrices sont interdites Ce sujet coporte deux problèes indépendants qui portent sur des thèes différents. Chaque problèe coporte plusieurs parties qui sont le plus souvent indépendantes les unes des autres. 1 / 14

2 Preier problèe : odélisation d une suspension de véhicule Sur un véhicule, les suspensions ont de ultiples fonctions. Elles servent notaent : - à aéliorer le confort des occupants ; - à aéliorer la tenue de route en aintenant le contact entre les roues et le sol algré ses irrégularités (aélioration de la sécurité) ; - à diinuer l effet, sur l enseble des organes écaniques, des vibrations et ipacts dus aux irrégularités de la route (diinution de l usure et du risque de rupture). Il existe différents types de suspensions et, dans ce problèe, nous nous intéresserons à un type très répandu : les suspensions à ressorts. De anière siplifiée, ces suspensions se coposent d un ressort qui assure la liaison entre les roues (asses non suspendues) et la caisse (asse suspendue) et d un systèe d aortisseent. Le but de ce problèe est d étudier certaines caractéristiques des suspensions à ressort. En particulier, nous étudierons les ouveents verticaux du véhicule dans différentes situations : véhicule non aorti, véhicule aorti en régie libre, véhicule se déplaçant sur un sol non plat Pour l enseble du problèe, le référentiel d étude est le référentiel terrestre considéré coe galiléen. Le véhicule est souis au chap de pesanteur terrestre g. Données : chap de pesanteur : g = 10.s -2. Hypothèses : tout au long du problèe, on considèrera que : - l extréité supérieure du ressort est en contact avec le véhicule et l extréité inférieure du ressort est reliée à une roue qui se trouve en contact avec le sol ; - la roue reste en contact avec le sol à tout instant ; - les diensions de la roue sont telles qu on la suppose ponctuelle de sorte qu elle suit parfaiteent le profil de la route, y copris lorsque le sol n est pas plat. Notations : dérivées teporelles : pour une fonction x(t) les dérivées teporelles seront notées : 2 dx( t) d x( t) x ( t) = et x ( t) = ; 2 dt dt fonctions coplexes : pour une fonction x( t) = X cos( ω t + ϕ). jϕ jω t jω t On notera x( t) = X exp[ j( t + )] = X e e X e, où x(t) = Re(x) et On a donc ω ϕ = jϕ X = Xe ( X représente l aplitude coplexe de ). X = X et ϕ = arg( ). X 2 / 14

3 ω ω

4 ω =

5

6 = ω = = = + + =

7 16 Pour siplifier les notations, on posera : ω 0 2 = k et 2λ = h. Z' Déteriner l expression de la réponse coplexe de la suspension en fonction de ω, ω 0 et λ. Z s Montrer que le odule de la réponse coplexe est donné par l expression : Z ' ω0 + 4λ ω H = =. Z s ( ω ω ) + 4λ ω 0 Par la suite, les candidats pourront utiliser l expression précédente du odule de la réponse coplexe, êe s ils ne sont pas parvenus à la déontrer. 17 Etude de la réponse coplexe Déteriner la valeur vers laquelle tend H lorsque la pulsation ω tend vers 0. Décrire dans ce cas le coporteent de la asse par rapport au sol Déteriner la valeur vers laquelle tend H lorsque la pulsation ω tend vers l infini. Décrire dans ce cas le coporteent de la asse par rapport au sol On considère pour siplifier : - que la valeur axiale de H est atteinte pour une pulsation ω r non nulle telle que le dénoinateur de l expression précédente est inial ; que l on se trouve dans le cas où ω 0 > 2λ. Déteriner l expression de ω r en fonction de ω 0 et λ. A quoi correspond physiqueent le cas où la pulsation est égale à ω r? Rearque : en réalité, la déterination de la pulsation qui correspond à la valeur axiale de H aurait dû prendre en copte le fait que le nuérateur de H dépend égaleent de la pulsation. Le calcul coplet conduit à des résultats sensibleent équivalents. 18 Donner l allure de la courbe représentant valeurs particulières déterinées dans la question précédente. Z' H = en fonction de ω. On fera apparaître les Z s 7 / 14

8 = Φ

9 22 Déteriner l expression du chap B à appliquer pour que le cadre puisse servir d aortisseur de coefficient de frotteent h. On expriera B en fonction de h, R et a. 23 Pour un aortisseur de véhicule, le coefficient de frotteent doit être de l ordre de h = 10 4 S.I. On se place dans le cas d un cadre de côté a = 10 c et de résistance R = 10-4 Ω. Déteriner nuériqueent l ordre de grandeur du chap B qu il faudrait appliquer au cadre pour produire un tel coefficient de frotteent. Quel est l ordre de grandeur de l intensité du chap agnétique que peut créer un aiant peranent? Pourrait-on créer un chap agnétique d une telle intensité avec un électroaiant? 9 / 14

10 σ = ω ω θ

11 = θ σ Γ σ Φ Γ σω = ω σ π σ = ω σ

12 ω θ = ω ω = ω

13 10 Soit un point P d un rayon de la roue. On repèrera la position du point P par la distance r entre P et le centre de la roue Déteriner l expression E du chap électrooteur créé en un point P d un rayon iergé dans le chap agnétique en fonction de r, ω, B et d un vecteur unitaire que l on précisera En déduire l expression de la force électrootrice e créée sur chaque rayon iergé dans le chap agnétique Justifier, en détaillant la réponse apportée, qu aucune force électrootrice n apparaît sur la circonférence de la roue. 11 Tous les rayons étant en contact électrique d une part avec la circonférence de la roue (de résistance nulle) et d autre part avec le oyeu O de la roue et copte-tenu de la syétrie de rotation de la roue, on adet que : - chaque rayon iergé dans le chap agnétique est parcouru par le êe courant d intensité i 0 ; - chaque rayon non souis au chap agnétique est parcouru par un courant d intensité i 1. Le schéa électrique équivalent à la roue est donc le suivant : R e R e R R u i 0 i 0 i1 i1 N 2 rayons iergés dans le chap agnétique N rayons hors 2 du chap agnétique Figure 8 : schéa électrique équivalent de la roue On note u la différence de potentiel appliquée à chaque rayon Déteriner l expression de l intensité i 0 en fonction de u, e et R. Déteriner l expression de l intensité i 1 en fonction de u et R En appliquant la loi des nœuds au centre O de la roue, déteriner la relation entre i 0 et i 1. En déduire les expressions de i 0 et i 1 en fonction de e et R puis en fonction de B, L, R et ω. 13 / 14

14 12 Déterination du oent résultant des forces de Laplace Quels sont les rayons de la roue souis à une force de Laplace? 12.2 On considère un rayon souis à une force de Laplace. Soit un éléent de longueur dr de ce rayon situé à une distance r du centre O. Déteriner l expression de la force éléentaire de Laplace df à laquelle cet éléent de circuit est souis. Exprier df en fonction de i 0, B, dr et d un vecteur unitaire que l on précisera Déteriner l expression dm du oent éléentaire de la force de Laplace par rapport à l axe Ox auquel est souis cet éléent de circuit. Exprier dm en fonction de i 0, B, r, dr et d un vecteur unitaire que l on précisera En déduire l expression du oent M de la force de Laplace F à laquelle est souis un rayon iergé en fonction de i 0, B, L et d un vecteur unitaire que l on précisera. En déduire l expression du oent résultant M tot des forces de Laplace appliquées aux différents rayons de la roue. Exprier M tot en fonction de i 0, B, L, N et d un vecteur unitaire que l on précisera puis en fonction de B, L, N, R et ω. 13 En appliquant le théorèe du oent cinétique à la roue en rotation par rapport à l axe Ox, déteriner l équation différentielle notée (1) vérifiée par la vitesse de rotation angulaire ω de la roue. Rearque : on pourra, pour siplifier, considérer sans déonstration que le oent du poids des rayons de la roue par rapport à l axe Ox est nul. dω ω Mettre cette équation sous la fore + = 0 et exprier τ en fonction de R, J, N, B et L. dt τ En considérant que la vitesse de rotation angulaire de la roue est égale à une valeur ω 0 à un instant t = 0, déteriner la solution ω ( t) de l équation différentielle (1). Donner l allure de la représentation graphique de ω ( t). Quelle est la signification physique de la constante τ? 14 Ce dispositif de freinage par courant de Foucault est utilisé sur les poids lourds et les véhicules de transport en coun Pourquoi ce dispositif n est-il qu un dispositif de ralentisseent secondaire et ne peut-il être utilisé coe dispositif unique de freinage? Par quel effet physique est transforée l énergie cinétique du véhicule lors du freinage par courant de Foucault? 14.2 Les freins par courant de Foucault sont utilisés le plus souvent en copléent de freins à disque classiques sur lesquels des plaquettes fixes et solidaires du véhicule viennent frotter sur des disques en rotation et solidaires des roues. Par quel effet physique est transforée l énergie cinétique du véhicule lors du freinage avec des freins à disque? Quels sont les avantages, au niveau de l entretien, d un dispositif de freinage par courant de Foucault par rapport à un frein classique à disque? Fin de l énoncé 14 / 14

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16 IMPRIMERIE NATIONALE D après docuents fournis