Electronique quantique

Transcription

1 Electoique quatique 3 èe èe Cous "Hilbet et Fouie à ote aide" /3 alai.sibille@esta.f

2 Qu avos-ous déjà ais? La stuctue liéaie de l'équatio de Scödige ilique que la cobiaiso liéaie de deux solutios est égaleet ue solutio. C'est l'exessio du icie de sueositio ou les états quatiques Nous avos vu l'illustatio de ce icie das le cade de l'exéiece des fetes d'youg, qui eet de coede l'aaitio ogessive des fages d'iteféece ou les fetes ouvetes, a sueositio des foctios d'odes coesodat à ue seule fete ouvete. L'équatio de Scödige ossède des solutios statioaies, ou lesquelles la seule déedace teoelle se touve das ue vaiatio liéaie de la ase avec le tes ; la desité de obabilité de ésece est alos idéedate du tes. Les foctios d'ode statioaies s'obtieet a ésolutio d'ue équatio aux valeus oes, dot les valeus oes doet les éegies du systèe. L'eseble de ces valeus oes est "souvet" quatifié i.e. discet /3

3 Pogessio Les gads cocets L'éocé des icies de la téoie quatique l'utilisatio et les coséqueces du foalise de la téoie quatique Les icies de la ysique statistique Illustatios quatique-statistique 3/3

4 Pla de la séace L'esace de Hilbet des foctios d'ode Etats o statioaies secte discet Etats o statioaies secte cotiu Le aquet d'odes 4/3

5 L'esace de Hilbet des foctios d'ode La stuctue liéaie de l'équatio de Scödige va ous eette d'utilise le cade extêeet uissat de l'algèbe liéaie ou ogesse das ote coéesio des éoèes quatiques.. L'eseble oté E=L des foctios colexes de caé soable est u esace vectoiel su MA0. Les foctios d'ode eésetatives d'u systèe à ue aticule véifiet cette oiété, uisqu'o leu iose la coditio de oalisatio 3 d = esace. E ysique quatique o ote taditioelleet ue telle foctio cosidéée coe éléet de cet esace otatio de Diac, et o utilise la déoiatio état quatique. t Si la foctio d'ode déed du tes, o otea. 5/3

6 L'esace de Hilbet des foctios d'ode. Cet esace se touve ête ilbetie, aès défiitio du oduit scalaie eitie : = d 3 O véifie tès facileet : λ + μ χ = λ χ + μ χ, χ λ + μ = λ χ + μ χ =, 0, et = 0 = 0 3. L'équatio de Scödige s'exie de faço coacte sous foe i oéatoielle, où H est l'oéateu =edooise ailtoie : d dt t = H t esace vectoiel doté d'u oduit scalaie eitie, colet ou la oe 6/3

7 7/3 4. L'oéateu H est auto-adjoit o dit aussi eitique : H=H + O aelle que l'adjoit véifie la oiété caactéistique Doc ou l'ailtoie : Ceci est e effet iédiat : O : itégatios a aties, foctios ulles à l'ifii Fialeet : A A = + H H = d V d d V H Δ = Δ + = d dx d d dx d 3 3 = 3 H d V H = Δ + = L'esace de Hilbet des foctios d'ode

8 L'esace de Hilbet des foctios d'ode 5. Les valeus oes d'u oéateu eitique sot éelles : A = A doc cette exessio est éelle A = λ = λ doc λ est éel 6. Les foctios oes d'u oéateu eitique sot otogoales losque les valeus oes sot difféetes : Soit A = λ et A = λ + A = A = A = A λ A = A = λ λ = = 0 8/3

9 L'esace de Hilbet des foctios d'ode Coséqueces de ces belles atéatiques :. Les éegies statioaies, valeus oes de H, sot éelles ouf!. Des foctios d'ode statioaies d'éegies difféetes sot otogoales 3. O adetta que l'eseble des foctios d'ode statioaies foe ue base de l'esace des foctios de caé soable, qu'o coisia souvet otooée NB : tout esace de Hilbet adet ue base ilbetiee, cf MA 0 Nous soes aiteat aés ou alique ces coaissaces au calcul des états o statioaies 9/3

10 Etats o statioaies secte discet 0/3 d t Au lieu de ésoude diecteet i = H t, o eut décoose les états dt quatiques déedat du tes su ue base bie coisie : celle des états H = statioaies véifiat doc. O va utilise ue base = δ E t = c t otooée :. La décoositio s'écit : d dc i = H i = c t H t dt δ dc dc i = c t H i = c t H dt dt dc i c t H = c t E = c t E = Ec t dt = c t = c 0 ex iet / t c 0 ex iet / =

11 Etats o statioaies secte discet /3 L'état du systèe est aiteat cou exliciteet à tout istat, ou autat qu'o coaisse les coosates iitiales su la base des états statioaies! O ces deièes s'obtieet iédiateet : Tout ceci s'exie sileet a des ots : iitialeet l'état quatique ossède ue cetaie décoositio su les états statioaies. Celle-ci este valide au cous du tes, sacat que les états évoluet à leu "oe yte", déteié a les féqueces de Bo. O e déduit iédiateet la foctio d'ode : 0 ex iet / t = c 3 0 = c 0 = c 0 c 0,0 d E / c 0 =, t = c0 ex iet /

12 /3 Quels sot les états statioaies ou des aticules libes i.e. e l absece de otetiel? Il faut ésoude : E v v Δ = = = t i t E i t ex ex, La solutio est coue : ce sot les odes laes L'éegie de ces états foe u eseble cotiu, idexé a le vecteu d'ode : = i K ex La déedace teoelle est atuelleet celle des états statioaies : E / = Etats o statioaies secte cotiu

13 Etats o statioaies secte cotiu Le secte cotiu ésete ue difficulté atéatique : les états statioaies e sot as oalisables : 3 3 d = K d esace esace U tel état e eut décie u état ysiqueet éalisable. NEANMOINS : L'ode lae décit ue situatio yotétique ysiqueet iteétable : celle d'u flux statioaie de aticules occuat tout l esace. = Das cetais cas ue foctio d'ode eut localeet s'aoxie à ue ode lae 3/3 L'ode lae est u iteédiaie de calcul coode : L'eseble des odes laes costitue ue base de décoositio ou les foctios d'ode oées. C'est ce que ous allos voi.

14 4/3 Le aquet d odes Ue coséquece des costatatios écédetes : ue aticule libe e sauait ête das u état statioaie. Elle e eut qu évolue au cous du tes. Utilisos la liéaité de l'équatio de Scödige ou costuie u tel état aquet d odes: / 0 ex, t ie c t c t = = Secte discet = d i t i t 3 / 3 ex,0 ex, π Secte cotiu [ ] /,0 ex, t ie t = = d i t t 3 / 3 ex,, π E / = avec

15 Le aquet d odes La foctio d ode Les coosates, t, t d'aute que la tasfoée de Fouie de : eut doc se décoose su ue base d odes laes. costituet ue foctio de l iulsio qui 'est ie, t, t i 3 =, tex d 3 / π O a les oiétés «bie coues» de la tasfoée de Fouie :, t i 3 =, tex d 3 / π = 3 3, t d, t d = Cote-teu de cette syétie, il y a aucue aiso qu o accode as à l iulsio les êes doits qu à la ositio! 5/3

16 Le aquet d odes, t est à l iulsio ce que est à la ositio. est la desité de obabilité coesodat à la esue de, de la êe faço que desité de obabilité coesodat à la esue de, t t est la O voit ici que et e sot que deux "eésetatios" aticulièes de l état quatique., t, t Cet objet a u coteu séatique e soi Je eux le décie a deux ots eésetatios difféets : 6/3 "cai" "stul"

17 Le aquet d odes, t est à l iulsio ce que est à la ositio. est la desité de obabilité coesodat à la esue de, de la êe faço que desité de obabilité coesodat à la esue de, t t est la O voit ici que et e sot que deux "eésetatios" aticulièes de l état quatique., t, t Ceci costitue ue étae iotate das ote aalyse de la descitio du ode quatique. Jusqu'à éset la tès fote ovatio que ous avos cosidéée a aot à ue descitio classique a oté su l'itoductio de la foctio d'ode, t, et ous avos etièeet aisoé su cette deièe. O voit aiteat que la foctio d'ode de vaiable est ue descitio ossible, adatée à cetais oblèes, ais ça 'est as la seule. 7/3

18 Le aquet d odes libe Quid ou le aquet d odes libe? O a :, t =,0 ex =,0 [ ie t / ] Ce qui taduit le fait qu ue ode lae est statioaie e l absece de otetiel La obabilité de touve tel ou tel ésultat de esue de e déed as du tes : ceci est l aalogue quatique de la cosevatio de l iulsio ou u systèe isolé. 8/3

19 Le aquet d odes libe Le caactèe disesif du aquet d odes oviet du fait que caque ode lae qui le coose évolue avec ue vitesse de ase difféete, ca x, t, t ω = E / = / 9/3

20 Paticules souises à u otetiel Das le cas de aticules souises à u otetiel, les odes laes e sot as statioaies ca elles e sot as état oe de H. Il faut soit ésoude diecteet l équatio de Scödige déedat du tes, soit calcule les ouveaux états statioaies et les utilise coe base de décoositio. Voyos ce que cela doe. 0/3

21 Paticules souises à u otetiel Paquet d odes e iteactio avec u u de otetiel E<u Paquet d odes e iteactio avec ue baièe de otetiel x, t, t /3

22 Paticules souises à u otetiel A deux diesios : exéiece des fetes d'youg e o statioaie Voi égaleet tt:// /3

23 C est tout ou aujoud ui! Pesez à : Révise aès caque cous Péae le cous suivat Pou vous aide : tt:// 3/3