Fonctions affines ; Equations et inéquations

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Marie-Noëlle Morency
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1 Fonctions ffines ; Equtions et inéqutions I. Fonctions ffines.. Définition Définition d une fonction ffine : on ppelle fonction ffine toute fonction définie sur pr f ( ) où et sont des réels tels que. L coure représenttive d une fonction ffine est une droite. Eemple : Trcer l coure représenttive de l fonction f définie sur pr f ( ). Ordonnée à l origine Coefficient directeur différence des ordonnées/différence des scisses Sens de vrition f est croissnte si > et décroissnte si <. Démonstrtion : Soit u et v dns tel que u v er cs : > Multiplier pr (>) ne chnge ps le sens des inéglités donc jouter un nomre ne chnge ps le sens des inéglités donc Les nomres et leurs imges sont rngés dns le même ordre donc l fonction f est croissnte sur u v u v

L coure représenttive d une fonction ffine est une droite. Eemple : Trcer l coure représenttive de l fonction f définie sur pr f ( ).

2 ème cs : < Multiplier pr (<) chnge le sens des inéglités donc u v jouter un nomre ne chnge ps le sens des inéglités donc u v Les nomres et leurs imges sont rngés dns l ordre contrire donc l fonction f est décroissnte sur Eemples : L fonction ffine L fonction ffine est croissnte sur est décroissnte sur. Crctéristion Théorème : f est l fonction ffine définie sur pr f ( ). Lorsque vrie d un nomre h, lors f() vrie de h. On trduit insi : L ccroissement de l fonction f est proportionnel à l ccroissement de l vrile, le coefficient de proportionnlité étnt. Illustrtion : Soit f définie sur pr f ( ) 8 - f() - - * * Démonstrtion : Pour tous réels et h, On : f ( h) f ( ) h f ( h) h f ( ) f ( h) ( h) h ( ) h f ( ) h. Eercices :. Déterminer l fonction ffine f telle que f(-)8 et f() - f() Donc f ( ) f ( ) 6 f ( ) 6

Lorsque vrie d un nomre h, lors f() vrie de h. On trduit insi : L ccroissement de l fonction f est proportionnel à l ccroissement de l vrile, le coefficient de proportionnlité étnt.

3 . f est une fonction ffine telle que f(-)- et f()-. Clculer f(6). 6-6 f() - - d où f ( 6) Donc. Une droite psse pr les points ( ; ) et B( ; ). Déterminer son éqution. coefficien t directeur Ici, L éqution est de l forme y B B y y. est sur l droite donc ses coordonnées vérifient l éqution. ( ) (B) : y ordonnée à l'origine Théorème réciproque : Si les ccroissements d une fonction f sont proportionnels u ccroissements de l vrile vec pour coefficient de proportionnlité, lors f est une fonction ffine où réel. Eercice : Démontrer que l fonction f définie sur pr f ( ) n est ps ffine. - f() L ccroissement des imges n est ps proportionnel à l ccroissement de l vrile donc f n est ps ffine.. Signe Déterminer le signe d une fonction, c est déterminer l position de l coure pr rpport à l e des scisses.

( ) (B) : y ordonnée à l'origine Théorème réciproque : Si les ccroissements d une fonction f sont proportionnels u ccroissements de l vrile vec pour coefficient de proportionnlité, lors f est une

4 Eemples : er cs : f est l fonction ffine définie sur pr f ( ). f est strictement croissnte sur Sur ] ;, ], f ( ) Sur [,; [, f ( ) Tleu de vrition de f : Tleu de signe de f : - - ème cs : f est l fonction ffine définie sur pr f ( ) f est strictement décroissnte sur Sur ] ; 6 ], f ( ) Sur [ 6 ; [, f ( ) Tleu de vrition de f : , - Tleu de signe de f : 6 -,

- - - - - - - Tleu de signe de f : - - ème cs : f est l fonction ffine définie sur pr f ( ) f

5 Signe de : Si > si -/ Si <, les signes sont inversés. On dit que l on met le signe de à droite du zéro. II. Equtions et inéqutions. On sit désormis résoudre une éqution et déterminer le signe d une epression du er degré (fonction ffine).. Equtions Une éqution est une églité où figure un nomre inconnu. Résoudre une éqution, c est trouver toutes les vleurs possiles du nomre inconnu telles que l églité soit vrie : ces vleurs sont les solutions de l éqution.. Eqution du er degré. Equtions se rmennt u er degré Règle du produit NUL : Un produit de fcteurs est nul si et seulement si l un des fcteurs est nul. B ou B Eemples :. Résoudre 6 L éqution n étnt ps du premier degré, on reconnît une somme et on essie de l écrire sous forme d un produit de fcteurs ( ) Donc 6 ou S { ; 6}

Résoudre une éqution, c est trouver toutes les vleurs possiles du nomre inconnu telles que l églité soit vrie : ces vleurs sont les solutions de l éqution.. Eqution du er degré.

6 . Résoudre ( ) Si on développe on otient une epression de degré. On se rmène à «zéro», on reconnît une somme et on essie de l écrire sous forme de produit de fcteurs. ( ) ( ) ) ( ( )( ) ou ; S Rppel sur les églités remrqules Forme développée Forme fctorisée ( ) ( ) ( )( ). Résoudre ( ) On une epression de degré. On se rmène à «zéro», on reconnît une somme et on essie de l écrire sous forme de produit de fcteurs. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) { } ; S Règle du quotient nul : Un quotient est nul si et seulement si son numérteur est nul et son dénominteur non nul. et B B Eemple : Résoudre donc {} S

( ) ( ) ) ( ( )( ) ou ; S Rppel sur les églités remrqules Forme développée Forme fctorisée ( ) ( ) ( )( ). Résoudre ( ) On une epression de degré.

7 c. Résolution grphique. Inéqutions

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